Normat 55:3, 97–118 (2007) 97

Longomontanus og cirklens kvadratur

Talmystik, matematik og kontrovers

Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh

Steno Instituttet

Aarhus Universitet

Ny Munkegade, bygning 1521

DK-8000 Århus C

henrik.kragh.sorensen@si.au.dk

helge.kragh@si.au.dk

Resumé

Danske Longomontanus (1562–1647) er mest kendt som astronom og en af

Tycho Brahes (1546–1601) disciple. Imidlertid havde han også en livslang in-

teresse for — næsten besættelse af — et af matematikkens klassiske problemer,

nemlig cirklens kvadratur. Igennem årtier publicerede han gentagne beviser,

som dog ikke havde international gennemslagskraft. Først henimod slutnin-

gen af sit liv ﬁk han international respons og det af den mest kritiske slags,

idet den engelske matematiker John Pell (1611–1685) var meget opsat på

at gendrive Longomontanus. Dette førte til en kontrovers, som illustrerer,

at matematikken — ligesom resten af videnskaben — i 1600-tallet fungerede

efter andre normer, end tilfældet er i dag.

I denne artikel beskrives først Longomontanus’ brug af talmystiske argu-

menter i astronomien, idet sådanne argumenter også optræder i forbindelse

med cirklens kvadratur. Dernæst fremhæves nogle af de klassiske forudsæt-

ninger for Longomontanus’ cirkelkvadraturer, og et par af Longomontanus’

påståede beviser gengives og diskuteres. Derefter præsenteres Pells gendri-

velse af Longomontanus, inden det i konklusionen analyseres, hvad denne

kontrovers siger om matematikken for næsten 400 år siden.

Indledning

I 1600-tallet var matematikken i Danmark på mange måder både perifer og provin-

siel. Europas mest berømte matematikere tog ikke megen notits af deres danske

kolleger, og når disse begav sig ud på matematiske opdagelsesrejser på egen hånd

var det ofte i afkroge af matematikken og med metoder, som ikke tjente stort til at

påkalde sig samtidens opmærksomhed.

Dette er bemærkelsesværdigt forsåvidt at

danske astronomer på samme tid var vældigt ansete og at svenske matematikere

på mange måder var bedre orienterede om den internationale udvikling end deres

danske kolleger.

98 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

Det danske akademiske miljø var centreret i København, og ved universitetet fand-

tes igennem 1600-tallet et eller to professorater i de matematiske fag. I perioden fra

1605 til 1647 beklædte Christen Sørensen fra Lomborg, bedre kendt som Longo-

montanus (1562–1647), et af disse professorater —først fra 1605 til 1621 det “lavere

professorat” og fra 1621 stillingen som mathematicus superior, dvs. professoratet

i “højere matematik”, som reelt var landets første lærestol i astronomi. Som elev

af Tycho Brahe (1546–1601) blev og bliver Longomontanus husket som en vigtig

dansk astronom, men hele livet bevarede han en interesse for matematikken. Denne

side af Longomontanus’ virke er ikke blevet ydet helt så meget opmærksomhed —

og det med nogen god grund, idet den kun svært lader sig forene med et moderne

billede af videnskabens og især matematikkens praksis.

I denne artikel beskrives Longomontanus’ liv og matematiske virke, idet vi foku-

serer på hans livslange interesse for løsningen af cirklens kvadratur. Ved at præsen-

tere og diskutere nogle af Longomontanus’ løsningsforslag og den modtagelse, de

ﬁk i hans samtid, tegner vi et billede af en kontroversiel matematiker, som aktivt

søgte at forene den jordiske og den himmelske matematik ved hjælp af talmystiske

argumenter.

Longomontanus’ biograﬁ og astronomiske virke

Christen Sørensen (se ﬁgur 1) blev født i 1562 i fattige kår i Lomborg (heraf den

senere latinisering Longomontanus) ved Lemvig i Vestjylland.

Hans forældre var

“hæderlige Bønderfolk”, men havde ikke mulighed for at sikre drengen den lær-

dom han efterstræbte, så han rejste hjemmefra i en alder af cirka 15 år og ﬂyttede

til Viborg, hvor han blev optaget i katedralskolen. Efter at have tilbragt 11 år i

latinskolen blev han i 1588 immatrikuleret ved universitetet i København. Allerede

i latinskolen havde Longomontanus udvist evner for større udregninger, og i Kø-

benhavn blev han anbefalet til Tycho som dennes medhjælper ved astronomiske

beregninger. Efter otte års tro tjeneste — og efter at Tycho i 1597 havde forladt

observatoriet på Hven— begav Longomontanus sig på en studierejse i udlandet.

Undervejs besøgte han Tycho i Prag i året 1600 og opnåede en magistergrad i Ro-

stock i 1602, før han vendte tilbage til en stilling ved Universitetet i København

i 1605. Fra 1607 og indtil han døde “mæt af Dage” i 1647 besad Longomontanus

som nævnt et professorat i matematik og astronomi samme sted.

Som en af Tychos mest værdsatte assistenter blev Longomontanus naturligt den-

nes astronomiske arvtager — og det i en periode, hvor astronomien undergik fun-

damentale forandringer. I Uraniaborg-observatoriet på Hven havde Tycho og hans

assistenter foretaget nogle af tidens mest omfattende og præcise observationsserier,

og den numeriske og teoretiske efterbehandling af observationerne var et vigtigt

og tidskrævende arbejde for såvel Tycho som assistenterne. Tychos observationer

blev udgangspunktet for Johannes Keplers (1571–1630) analyser af planetbaner,

som i 1609 i værket Astronomia nova førte til formuleringen af planeternes ellip-

seformede omløbsbaner og de to første keplerske love. Men Keplers revision af det

kopernikanske system var ikke eneherskende i begyndelsen af 1600-tallet. Med ud-

gangspunkt i Tychos obvervationer og teorier udgav Longomontanus i 1622 værket

Astronomia Danica (se ﬁgur 2), som i nogen tid overskyggede Keplers Astronomia

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 99

Figur 1: Christen Sørensen Longomontanus, reproduceret fra [T].

nova. I sin Astronomia Danica fremstillede Longomontanus det såkaldt “tychoniske

verdensbillede”, som i overensstemmelse med det klassiske ptolemæiske verdensbil-

lede lader solen kredse om en ubevægelig jord og bibeholder cirkelbevægelserne,

men i modsætning dertil lader de øvrige planeter kredse om solen og ikke om jor-

den.

Værket fandt stor udbredelse blandt Europas astronomer umiddelbart efter

udgivelsen, og det blev da også genoptrykt to gange i 1640 og 1663. Men med

udviklingen af den cartesiske ﬁlosoﬁ fra omkring 1640 blev det kopernikanske, he-

liocentriske verdensbillede i løbet af et par årtier anerkendt som den accepterede

kosmologi.

Som Tychos assistent og senere som professor i den højere matematik og forfatter

af Astronomia Danica bidrog Longomontanus væsentligt til sin tids astronomiske

observationer og teoretisering. I særdeleshed var hans bestræbelser i Astronomia

Danica på at præsentere det tychoniske verdensbillede som et kompromis mellem

klassiske og moderne teorier et aspekt, som blev taget op og forfulgt af andre

astronomer og lærde. At Longomontanus i 1622 — altså ﬂere år efter at Kepler

havde beskrevet planeternes baner som ellipser — publicerede et værk bygget på

det tychoniske verdensbillede med dets cirkelbevægelser skal ikke blot ses som et

udtryk for usikkerhed i astronomiske kredse omkring det rette verdensbillede. Der

har også været tale om en god del kontrovers og polemik, idet Longomontanus

så sig selv som Tychos rette forsvarer og kritiserede Kepler for at have benyt-

tet Tychos observationer af Mars til sine egne og “u-tychoniske” teoretiseringer.

Denne kontroversielle side af Longomontanus — og ﬂere andre af 1600-tallets vi-

denskabsmænd — kom også til udtryk i forbindelse med indretningen af det nye

observatorium i Rundetårn i København. Den franske læge, astrolog og matemati-

ker Jean-Baptiste Morin (1583–1656) angreb i starten af 1640’erne i ﬂere skrifter

Longomontanus for hans tychoniske astronomi i almindelighed og for hans plan

100 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

(a) Forsiden (b) Sammenligning af de tre verdensbille-

der med henblik på Mercurs omløb

Figur 2: Longomontanus’ Astronomia Danica fra 1622 var et vigtigt astronomisk

værk, som fremsatte det “tychoniske verdensbillede” til sammenligning med det

klassiske, geocentriske ptolemæiske verdensbillede og det kopernikanske verdensbil-

lede.

for observatoriet i særdeleshed. I stedet for selv at svare på angrebene, overlod

Longomontanus det til sin assistent Jørgen From (1605–1651) at føre forsvaret.

Blandt Longomontanus’ originale bidrag til astronomien var hans teorier om

solens bevægelse. Foruden at bygge disse teorier på argumenter omkring jordens

alder, benyttede Longomontanus på central vis også talmystiske overvejelser. Der

er derfor grund til kort at omtale og diskutere, hvordan tallenes mystik inﬂuerede

astronomien og verdensopfattelsen hos den danske matematiker og astronom.

Et af de største astronomiske problemer i forbindelse med solens bevægelse var

at afgøre, hvordan man skulle forholde sig til ældre observationer, som afveg fra mo-

derne teorier. Man havde i 1600-tallet adgang til gamle observationer helt tilbage

fra antikken, men nye observationsmetoder og standarder gjorde det naturligt for

Longomontanus at forsøge at lave en ny og almengyldig beskrivelse af solens bevæ-

gelse. Med udgangspunkt i 36 af Tychos sol-observationer udledte Longomontanus

værdien

for eccentriciteten

(se ﬁgur 3). Undervejs i beregningerne revidere-

de Longomontanus nogle af de centrale talværdier, men målet helligede i nogen

grad midlerne. At Longomontanus fandt netop værdien

havde nemlig en større

betydning for ham, idet han nu mente at have fundet en dybtliggende sandhed,

som ville være stabil og give evig begrundelse for hans model. Grunden var den, at

28 var et perfekt tal, hvorved forstås, at 28 er summen af sine egentlige divisorer:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Sådanne perfekte tal var blevet studeret siden oldtiden

og blev af nogle betragtet som havende en nærmest guddommelig karakter. Siden

antikken kendte man til ﬁre perfekte tal: 6, 28, 496 og 8128, og ligesom 28 indtog

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 101

Figur 3: Longomontanus’ sol-model med eccentriciteten

, gentegnet på grundlag

af [Mo]. T angiver jordens centrum, S solens centrum og e afstanden fra sol-banens

centrum til jordens centrum.

også 496 en central betydning i Longomontanus’ sol-teorier. At Longomontanus

kunne relatere centrale naturkonstanter til perfekte tal var både en bekræftelse af

teorierne og et bevis på, at verden var skabt i harmoni og fuldkommenhed.

Longomontanus’ talmystiske argumenter var ikke begrænsede til astronomien,

men fandt også tilsvarende, stiltiende anvendelser i rene matematiske undersøgelser,

nemlig i hans beviser for cirklens kvadratur, som er vores tema i det følgende.

Longomontanus og cirklens kvadratur

Set ud fra et matematikhistorisk perspektiv er Longomontanus mest kendt — eller

rettere berygtet — for sine vedvarende påstande om at have løst problemet om cirk-

lens kvadratur, hvilket han arbejdede med gennem 35 år.

I det følgende opridses

først nogle centrale dele af baggrunden for Longomontanus’ arbejder med dette

problem, hvorefter hans gentagne forsøg på at løse det diskuteres.

I sit udgangspunkt handler problemet om cirklens kvadratur om til en given

cirkel at konstruere et kvadrat med samme areal — deraf problemets navn “cirk-

lens kvadratur”. I den klassiske geometri var konstruktionsmidlerne begrænsede til

passer og lineal, dvs. til konstruktioner, som kan udføres med linjer og cirkler og

disses skæringer. Nedenfor omtales, hvordan antikke matematikere forsøgte at an-

gribe problemet omkring cirklens kvadratur og undervejs nåede til at “kvadrere”

visse andre beslægtede ﬁgurer.

Antikken bibragte også en anden væsentlig vinkel på problemet om cirklens kva-

dratur, nemlig at denne kvadratur var relateret til et andet spørgsmål om cirkler,

nemlig at ﬁnde deres omkreds. Som det også omtales nedenfor, fandt man ud af,

102 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

at både cirklens areal og dens omkreds afhang af en central proportionalitetskon-

stant — en konstant, som vi idag benævner π.

Problemet om cirklens kvadratur var på Longomontanus’ tid — i 1600-tallet —

tæt knyttet til forsøg på at angive en præcis talværdi for forholdet mellem en

cirkels omkreds og diameter, dvs. π. Kunne et sådant udtryk ﬁndes — enten som

en endelig, eksakt decimalbrøk eller ved hjælp af kvadratrødder — ville det også

være muligt at gennemføre en eksakt cirkelkvadratur med passer og lineal. Inden

vi kommer til at diskutere dette i forhold til Longomontanus’ beviser, er det dog

på tide at omtale nogle af de klassiske indsigter og resultater.

Cirklens kvadratur i Antikken: Hippokrates

En af de antikke grækere, som studerede cirklens kvadratur, var angiveligt Hip-

pokrates fra Chios (5. årh. f.v.t.).

Selvom det ikke lykkedes Hippokrates at nå

det endelige mål, er hans navn knyttet sammen med en anden bemærkelsesværdig

bedrift, nemlig kvadraturen af visse andre krumlinjede ﬁgurer kaldet “småmåner”

(lunulae, herefter blot omtalt som “måner”), som er af direkte vigtighed for vo-

res diskussion af og forståelse for Longomontanus’ første oﬀentliggjorte kvadratur.

Hippokrates fandt ud af, at visse ﬁgurer afgrænset af cirkelbuer faktisk lod sig

kvadrere. Hvis man indskriver en retvinklet, ligebenet trekant i en halvcirkel og

på hver af trekantens sider tegner en halvcirkel med sidelængden som diameter,

så er de fremkomne måner kvadrérbare (se ﬁgur 4, hvor månerne er skraverede).

Det centrale resultat i Hippokrates’ kvadratur ﬁndes i sætning XII.2 i Euklid fra

Alexandrias (3. årh. f.v.t.) Elementer: “Arealerne af to cirkler forholder sig som

kvadraterne på deres diametre” [E, XII.2]. I Hippokrates’ tilfælde gælder, at for-

holdet mellem diameteren i de små halvcirkler og den store halvcirkel er 1 :

√

Halvcirklen i ﬁguren kan nu opfattes som udgjort af trekanten og to skiver, som

hvis de tilføjes en måne giver en lille halvcirkel. Ved at sammenfatte disse to ob-

servationer ser man, at arealet af hver af de skraverede måner er lige så stort som

halvdelen af trekantens areal. Som vi skal se senere, benyttede Longomontanus i

sit første argument en tilsvarende konstruktion, blot med et indskreven trapez i

stedet for trekanten.

Figur 4: Hippokrates fra Chios’ “måner,” som hver har samme størrelse som halv-

delen af trekanten.

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 103

Cirklens kvadratur og π: Arkimedes

Hippokrates’ kvadratur af visse “måner” var ingen hjælp til at løse cirklens kvadra-

tur. Matematikere fortsatte med at behandle problemet, og Arkimedes fra Syrakus

(287–212 f.v.t.) præsterede to centrale resultater, som var af afgørende vigtighed

for de senere bestræbelser. Det første resultat var, at Arkimedes i sin Cirklens

udmåling beviste, at cirklens areal er lige så stort som arealet af den retvinklede

trekant, der har cirklens radius og omkreds som kateter.

I moderne notation (og

med A for cirklens areal og O for dens omkreds) genkender vi denne sammenhæng

som A =

rO =

× r × (2πr) = πr

Arkimedes’ andet store resultat af relevans for vores diskussion var en approk-

simation af forholdet mellem cirklens omkreds og diameter, dvs. en approksimativ

bestemmelse af π. Ved at om- og indskrive regulære sekskanter i en cirkel (som vi

antager har radius 1) var Arkimedes i stand til at opnå øvre og nedre grænser for

π. Idet han så halverede siderne i polygonerne ﬁre gange (dvs. til 96-goner) fandt

Arkimedes vurderingen

cirkelperiferi

diameter

| {z }

< 3

. (1)

Denne vurdering dukker senere op i et af Longomontanus’ argumenter for hans

cirkelkvadratur.

Værdier for π i b egyndelsen af 1600-tallet

Man havde på Longomontanus’ tid meget gode approksimationer af π. Allerede

i 1585 havde Ludolph van Ceulen (1540–1610) beregnet π med en usikkerhed på

20. decimal, og omkring 1610 havde Ceulen forﬁnet metoden til at kunne beregne

hele 35 decimaler af approximationen til π. Hollænderen Willebrord Snell (1580–

1626), som Longomontanus kan have mødt da de begge besøgte Tycho i Prag

i året 1600, beregnede i 1620’erne med sin egen metode approximationer til π

og var også i stand til at veriﬁcere de 35 cifre, som Ceulen havde angivet. Den

mest imponerende approximation blev leveret af jesuitten Christopher Grienberger

(1561–1636) i Elementa trigonometrica fra 1630, hvor han fandt en værdi for π, hvis

første 39 cifre stemmer med den moderne (se ﬁgur 5).

Nogle af disse resultater

var endda beviseligt kendte i Danmark — og dermed vel også af Longomontanus —

idet Christoﬀer Dybvads (1572–1632) Euklid-kommentarer fra 1603 havde gengivet

Ceulens resultat [A2, s. 126]. Disse nok så præcise tilnærmelser løste imidlertid ikke

problemet om cirklens kvadratur.

Longomontanus’ Cyclometria, 1612

Longomontanus’ første bidrag til diskussionen omkring cirklens kvadratur fremkom

i 1612 med afhandlingen Cyclometria ex lunulis reciproce demonstrata (herefter

omtalt som Cyclometria), dvs. cirklens udmåling bevist ved måneformede ﬁgurer.

I dette værk, som fylder 83 sider og er dedikeret til kong Christian IV (se ﬁgur 7),

nåede Longomontanus via forskellige argumenter frem til værdien

√

3 ≈ 3,14186 (2)

104 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

(a) Forsiden (b) Værdien for π

Figur 5: Jesuitten Christopher Grienberger (1561–1636) publicerede i 1630 en værdi

for π, som er korrekt på de angivne 39 cifre.

for π, idet han fejlagtigt mente, at udtrykket gjaldt præcist. Beviset er kort disku-

teret i [A2, s. 126–127] og skal også kort gennemgås her.

Figur 6: Den første side af Longomontanus’ Cyclometria ex lunulis reciproce demon-

strata, hvoraf også dedikationen til kongen fremgår; [L1, s. 3].

Værket begynder med en diskussion, hvori Longomontanus refererer til tidligere

arbejder om cirklens kvadratur.

Longomontanus’ centrale ide ligger tæt op ad

Hippokrates’ kvadratur, hvortil Longomontanus også henviser gentagne gange. De i

titlen på Longomontanus’ Cyclometria omtalte “måner” er nemlig sammenlignelige

med Hippokrates’, men adskiller sig alligevel på et enkelt vigtigt punkt.

Longomontanus indskrev en regulær sekskant i en cirkel og tegnede halvcirkler

på sekskantens sider. Da ﬁguren er symmetrisk, er kun halvdelen af den vist i

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 105

ﬁgur 7. Tre på hinanden følgende sider i den indskrevne sekskant udgør sammen

Figur 7 : Longomontanus’ ﬁgur fra Cyclometria [L1, s. 49], gentegnet på grundlag

af [A2, s. 127].

med diameteren et trapez ABCD. Simple (og korrekte) arealbetragtninger ledte

Longomontanus til den erkendelse, at

trapez − lille halvcirkel = 3 “måner”. (3)

For således at udføre cirklens kvadratur var det tilstrækkeligt for Longomontanus at

være i stand til at kvadrere de skraverede måner. Desværre for Longomontanus var

hans måner ikke af den slags, der kan kvadreres sådan som de tidligere betragtede

måner kunne, men det har Longomontanus ikke været klar over.

I hvert fald

ændrede hans argumentation på dette trin tilsyneladende karakter fra de eksakte

arealbestemmelser til mere vidtløftige argumenter. Den centrale oplysning, nemlig

månernes areal, er medtaget i Cyclometria, men hvor han hidtil havde ført beviser

“skønner [Longomontanus] derefter uden at begrunde det, at en lille halvcirkel er

lig med 1

måne” [A2, s. 127]. Trapezets areal kunne han derimod beregne eksakt:

hvis radius i den store cirkel er 1 er trapezets areal

√

, og altså

stor cirkel =

√

. (4)

En meget lignende konstruktion med måner konstrueret på en sekskant fandtes også

hos Hippokrates, men i modsætning til Longomontanus stoppede Hippokrates efter

at have relateret månernes kvadratur til kvadraturen af cirklen [Hth, bd. 1, s. 186].

Man noterer sig altså sammenfattende om Longomontanus’ 1612-bevis, at det

bygger på klassiske ideer sammenlignelige med Hippokrates’ måner, at det på et trin

bliver skønsbaseret, nærmere “mystisk”, og tilsyneladende eksplicit approksimativt

uden at Longomontanus synes at dvæle derved, og at Longomontanus når frem til

værdien π =

√

3. Alle disse træk er centrale også for vor diskussion af de følgende

beviser.

Kritikken af Longomontanus’ første bevis

Longomontanus’ forsøg på cirkelkvadratur i Cyclometria blev hurtigt mødt med

kritik fra en af landets førende matematiske kapaciteter. Thomas Fincke (1561–

1656), som indtil 1602 havde besiddet det professorat i “lavere matematik”, som

106 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

Longomontanus beklædte i 1612, var ingen uværdig opponent.

Fincke havde i

1583 udgivet sit betydningsfulde matematiske værk Geometriae rotundi libri XIV,

som var ganske banebrydende. I denne bog, som omhandlede den plane og sfæriske

trigonometri, gengav Fincke nogle af de trigonometriske resultater og tabeller, som

var blevet udviklet før ham. I særdeleshed indeholder hans bog en behandling af

tangens-tabeller, som skal vise sig interessant i det følgende. Mest iøjnefaldende for

sin samtid var Finckes bog dog nok derved at den ikke byggede direkte på Euklids

grundlag for geometrien, men derimod var inspireret af den franske ﬁlosof Petrus

Ramus (1515–1572).

Selvom han ikke bidrog med meget forskning, nærede Fincke en livslang interesse

for matematik, og han fortsatte også efter overgangen til andre professorater med at

forelæse over matematiske emner. I sin egenskab af professor ved Universitetet blev

Fincke i 1597 pålagt at besigtige instrumenterne på Hven efter Tychos bortrejse,

og han fældede en ganske hård dom over deres tilstand.

Finckes meget anstrengte

forhold til Tycho kan muligvis have ført til et modsætningsforhold mellem Fincke

og Longomontanus, selvom de to mænd blev i familie da Longomontanus i 1607

giftede sig ind i den magtfulde Fincke-Bartholin-klan.

I et brev til universitetskansleren kritiserede Fincke i 1612 skarpt Longomon-

tanus’ Cyclometria.

At Fincke valgte at gå til universitetets oﬃcielle kanaler og

ikke diskutere sine indvendinger direkte med forfatteren — som han jo på dette

tidspunkt måtte kende også privat — kan ses som et eksempel på den polemiske

(disputerende) stil i den akademiske verden og som et udtryk for, at Fincke fandt

sin kritik af Longomontanus ganske alvorlig. Imidlertid formåede hverken Finckes

eller andres senere kritik at overbevise Longomontanus om bevisets svagheder eller

problemets utilgængelighed.

Longomontanus’ efterfølgende beviser

I perioden efter 1612 udgav Longomontanus en række andre beviser for cirklens

kvadratur. Man kan undre sig over, at Longomontanus syntes at nok et bevis var

berettiget. Men man skal nok ikke tolke hans handling som et udslag af usikkerhed

hos ham selv så meget som et forsøg på at overbevise sine kritikere.

I 1627 publicerede Longomontanus nok et arbejde om cirklens kvadratur og det

blev indtil 1646 fulgt af yderligere mindst ti skrifter.

I 1637 udgav Longomon-

tanus således en pamﬂet med titlen Coronis problematica ex mysteriis . . . (Kort

udkast, fremstillet ud fra mysterierne ved de tre tal: 6, 7 og 8, sammenlignede paa

rette maade i deres kvadrater, ved hvilke i det store og hele cirkellinien i talvær-

di gøres lig med den rette linie) [L2], som kun fyldte 16 sider. Alligevel indeholdt

den lille pamﬂet — og andre som den — ﬂere forskellige sætninger om cirklens kva-

dratur, som blev præsenteret med tilhørende ﬁgurer. Foruden cirkelkvadraturerne

indeholdt pamﬂetterne også nogle af Longomontanus’ eksplicit talmystiske over-

vejelser, som derved også blev sat i forbindelse med den eksakte matematik. Nogle

af sætningerne om cirklens kvadratur benyttede igen kvadraturen af månerne, som

Longomontanus havde hævdet i 1612. Andre sætninger bestod ikke af meget me-

re end henvisninger til ﬁgurer. Men en af sætningerne henviste til en ﬁgur og et

argument, som Longomontanus få år senere søgte at udbrede til hele verdens kend-

skab.

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 107

Longomontanus’ Rotundi in plano, 1644

Det mest omdiskuterede af Longomontanus’ cirkelkvadraturer blev udgivet i Am-

sterdam i 1644 under titlen Rotundi in plano seu circuli absoluta mensura (herefter

omtalt som Rotundi in plano), dvs. det rundes mål i en plan ﬂade, eller cirklens

virkelige udmåling. Her brugte Longomontanus en ganske anden metode end i 1612,

men alligevel nåede han frem til samme værdi for π (2), blot skrev han den nu på

formen π =

√

18252/43 og angav som tilnærmet værdi 3,141859604427, hvilket er

en endnu større nøjagtighed af denne brøk end tidligere angivet.

I indledningen til Rotundi in plano skrev Longomontanus, at han havde haft sit

nye kvadraturbevis færdigt i nogle år og via en rejsende havde sendt det til Galileo

Galilei (1564–1642) i håb om at denne ville støtte ham og udbrede kendskabet

til beviset til andre matematikere. Han havde imidlertid ikke fået noget svar fra

Galilei, som også var død i mellemtiden, og Longomontanus så det derfor for sin

videnskabelige pligt at gøre Europas matematikere opmærksom på sin opdagelse.

Dette gjorde han i form af en bog udgivet af den anerkendte hollandske forlægger

Johan Blaeu (1596–1673). Blandt Europas lærde tiltrak Longomontanus’ bevis sig

især opmærksomhed fra den engelske matematiker John Pell (1611–1685), hvis

imødegåelse af Longomontanus vil blive diskuteret nedenfor. Forinden er det dog

på sin plads at beskrive Longomontanus’ bevis fra Rotundi in plano, hvis centrale

argumenter som nævnt allerede fandtes i tidligere udgivelser.

Longomontanus’ cirkelkvadratur i Rotundi in plano bygger på et (forkert) udsagn

om ﬁguren 8, som er konstrueret på følgende vis: I den ligesidede trekant ABC er

indskrevet en cirkelbue, og DE er trukket parallel med BC. Så er trekanten ADE

igen ligesidet, og i ADE indskrives yderligere en cirkelbue. Dette deﬁnerer altså

afstandene DF ud fra BD og en analyse viser, at

AF = AN = AD × cos

∠BAC.

Om denne ﬁgur mente Longomontanus, at der gjaldt, at

segment DNEM

horn DF N + horn EGN

, (5)

dvs. at det ternede areal forholder sig til det skraverede som 9 : 4.

Longomontanus var måske blevet inspireret til dette lemma ud fra Arkimedes’

klassiske areal- og volumen-bestemmelser, der alle bygger på simple forhold mellem

heltal. Men i Longomontanus’ tilfælde er resultatet forkert. Det bevis, som Longo-

montanus gav, er bygget på en simpel cirkelslutning, hvori Longomontanus antog

det, der skulle bevises (at forholdet er 9 : 4) for så at bevise det — og så nytter

det ikke noget, at han for at efterprøve resultatet regnede yderligere tre iterationer

igennem med samme cirkelslutning. En analyse af ﬁgur 8 viser nemlig, at forholdet

mellem de to segmenter godt nok er uafhængigt af afstanden AB men afhænger af

vinklen ∠BAC.

Den værdi (9 : 4), som Longomontanus hævdede generelt, svarer

konkret kun til en bestemt vinkel ∠BAC ≈ 33,7

◦

. Med det fejlagtige resultat nå-

ede Longomontanus til en kvadratur af cirklen, som ligesom tidligere beviser gav

værdien π =

√

Efter selve beviset anførte Longomontanus nogle yderligere argumenter, som han

mente bestyrkede resultatets korrekthed. Et af dem går ud på, at hans værdi

√

108 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

Figur 8: Longomontanus’ centrale ﬁgur fra Rotundi in plano (1644), gentegnet på

grundlag af [vM2, s. 318].

ligger næsten midt i det mest præcise interval, som Arkimedes havde angivet (se

tabel 1). Derfor skulle Longomontanus’ værdi — ifølge ham selv — være bedre end

de andre “konkurrerende” værdier for π [vM2, s. 320].

Arkimedes’ nedre grænse 3

3,14084507

Arkimedes’ øvre grænse 3

3,14285714

Midtpunktet af Arkimedes’ interval 3,14185111

Longomontanus’ værdi

√

3 3,14185960

Grienbergers værdi π 3,14159265

Cornus værdi (se nedenfor)

√

2 3,14269681

Pells øvre grænse (se nedenfor) 3,14176

Tabel 1: Sammenligning af værdier for π.

Kontroversen med Pell om cirklens kvadratur

Som omtalt havde Longomontanus valgt en ganske aktiv strategi for at tiltrække

opmærksomhed omkring sin Rotundi in plano. Den blev oﬀentliggjort i Amsterdam

med det eksplicitte formål at udbrede resultatet til bredere kredse, selvom Longo-

montanus allerede tidligere havde publiceret næsten præcist det samme argument

tilsyneladende uden at tiltrække stor interesse. Publikationen i 1644 provokerede

den engelske matematiker Pell til en indædt kamp for at få Longomontanus til at

indse sit resultats fejlagtighed. Pell var ingen betydelig forsker, men han havde go-

de kontakter både i England og på kontinentet.

Mellem 1643 og 1652 opholdt han

sig i Holland, hvorfra han korresponderede med matematikere i England og også

stod i brevveksling med Marin Mersenne (1588–1648) i Frankrig. Selvom cirklens

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 109

kvadratur var et emne, der stadig blev diskuteret i de matematiske kredse, synes

det for Pell at være blevet lidt af en besættelse at gendrive Longomontanus — en

besættelse til hvilken han tog ganske mange forskellige midler i brug.

Pell’s kritik af Longomontanus

Det meste oplagte for Pell havde måske været at påpege den ovenfor omtalte cirkel-

slutning i Longomontanus’ bevis i Rotundi in plano for derved at påpege argumen-

tets ukorrekthed, men dette var ikke Pells strategi. I stedet søgte han at bevise, at

den værdi π =

√

3, som Longomontanus udledte, ikke kunne være korrekt. Og

for at give sit argument ydeligere vægt forsøgte Pell med held at mobilisere den

matematiske elite til at udtrykke støtte til hans forehavende og hans argument.

For at bevise, at værdien

√

3 ikke var korrekt kunne Pell måske have henvist

til nogle af de meget præcise beregninger af π, der — som allerede omtalt— var til-

gængelige i 1640’erne. Men Longomontanus havde allerede taget brodden af dette

argument ved at hævde, at fordi hans værdi lå tættere på det aritmetiske gennem-

snit af Arkimedes’ bedste grænser for π var hans værdi bedre end de konkurrerende

bud.

I stedet søgte Pell med simplest mulige redskaber at bevise, at omkredsen af

en regulær 256-gon omskrevet om en cirkel med diameter 100.000 er mindre end

314.176. Og da Longomontanus’ værdi for cirklens omkreds svarede til 314.185,96

mente Pell, at dette var en stærk gendrivelse.

Pells argumentation byggede på et centralt lemma, som angiver hvad vi i dag vil

betegne som en tangens-relation ved en vinkelfordobling.

Hvis R betegner radius

i en cirkel og φ en vinkel, så kan vi med Pell betragte Tan φ som den størrelse, vi

i moderne notation ville skrive som Tan φ = R tan φ (se ﬁgur 9). Udtrykt i denne

Tan φ = R tan φ

Figur 9: Relationen mellem R, φ og Tan φ som anvendt i Pells lemma, [vM2, s. 326].

110 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

notation angiver Pells lemma da, at Tan 2φ kan udtrykkes ved

Tan 2φ =

Tan φ

− Tan

, (6)

forudsat at 0

◦

< φ < 45

◦

. Pell valgte nu radius R = 100.000 og en første vinkel,

således at

Tan φ

= 41.421,36. (7)

Pell var ikke nødt til at angive selve vinklen φ

, men kunne blot (stiltiende)

udnytte, at Tan er kontinuert, således at en vinkel fandtes, for hvilken relatio-

nen (7) var opfyldt. Nu kunne Pell så benytte lemmaet (6) til at sikre sig, at

Tan 2φ

> 100.000 = R. Ved igen stiltiende at udnytte egenskaber ved tangensfunk-

tionen (denne gang, at den er monotont voksende mellem 0

◦

og 45

◦

), var det derfor

muligt for Pell at konkludere, at 2φ

> 45

◦

, og altså at φ

> 22

◦

. Ideen i Pells vi-

dere argument var nu at angive Tan til en række nye vinkler Tan φ

, . . . , Tan φ

uden

at behøve at angive selve vinklernes størrelser præcist, men således at φ

k−1

(k = 2,3, . . . ). Formålet var at nå en så lille vinkel (hvilket Pell nåede ved φ

), at

denne vinkel ville give en omkreds af den tilhørende omskrevne regulære polygon,

som var mindre end Longomontanus’ udtryk

√

3. Pell opnåede dette ved at vælge

følgende værdier

Tan φ

= 41.421,36 φ

> 22

◦

Tan φ

= 19.891,24 φ

> 11

◦

Tan φ

= 9.849,15 φ

> 5

◦

Tan φ

= 4.912,69 φ

> 2

◦

Tan φ

= 2.454,86 φ

> 1

◦

Tan φ

= 1.277,25 φ

360

◦

512

Lad os fastholde Pells radius R = 100.000 og indføre notationen O for omkredsen

af en cirkel med radius R og O

for omkredsen af en regulær n-kant omskrevet en

cirkel med radius R. Da gælder O

= 2n Tan

360

◦

, så med den opnåede værdi for

Tan φ

fandt Pell ved at vælge n = 256, at

256

= 256 Tan

360

◦

512

< 256 Tan φ

= 314.176. (8)

Dermed var gendrivelsen af Longomontanus fuldendt, idet omkredsen af den om-

skrevne 256-kant altså var mindre end 314.176 og dermed mindre end Longomon-

tanus’ værdi R ×

√

3 (som nemlig var større end 314.185), altså

O <

256

< 314.176 < 314.185 < R

√

3. (9)

Det centrale i Pells argumentation var som beskrevet, at hans brug af lemmaet

gav ham mulighed for at speciﬁcere værdier af Tan φ

som ledte til den ønskede

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 111

vurdering for φ

. Denne fremgangsmåde var velegnet netop til Pells gendrivelse,

fordi den gav en metode til at vurdere omkredsene ved hjælp af rationale ap-

proksimationer uden at afrundinger ophobedes. Denne metode benyttede Pell ikke

blot til at gendrive Longomontanus’ cirkelkvadratur, men også til at afvise et be-

vis fremført af den stort set ukendte landmåler og amatør-matematiker Cornu fra

Pont-sur-Yonne på omtrent samme tid.

Cornu havde foreslået, at sidelængden i

et indskrevet kvadrat forholdt sig til en fjerdedel af cirkelens omkreds som 9 : 10;

dette ville altså svare til

Cornu

= 2 ×

√

2 ≈ 3,142696. (10)

Da denne værdi er endnu større end Longomontanus’ kunne Pell altså med samme

fremgangsmåde gendrive også Cornus cirkelkvadratur.

Kontroversen om cirklens kvadratur

Pells tilbagevisning kom i 1644 i form af det korte skrift I. Pellius contra Ch.

S. Longomontanum, der i sin oprindelige form også kendes som Refutatiuncula,

dvs. den lille gendrivelse.

Han overtalte Blaeu til at indsætte det blot to sider

lange modbevis som et slags appendiks til Longomontanus’ bog — en usædvanlig

manøvre, der virkede som salt i det sår, han havde påført den danske matematiker

og astronom. Ikke blot frakendte han beviset nogen gyldighed, han sendte også en

kopi af skriftet til Longomontanus sammen med et brev, hvori han bad ham om

at indrømme sin fejltagelse. Det havde den 82-årige Longomontanus aldeles ikke

i sinde, og i stedet reagerede han ved hurtigt at udgive et polemisk svarskrift i

København, der i 1645 blev suppleret med skriftet Controversia inter Christianum

Longomontanum & Johannem Pellium. Det blev året efter fulgt af endnu et forsvar

for cirklens kvadratur i form af Caput tertium libri primi de absoluta mensura

rotundi plani, dvs. tredje afsnit af den første bog om cirkelskivens virkelige mål.

Der var to aspekter af Pells gendrivelse, som Longomontanus fandt særligt pro-

blematiske. For det første var selve Pells argument som beskrevet baseret på et tri-

gonometrisk lemma, hvis gyldighed Longomontanus simpelthen benægtede. Selvom

Pells fremgangsmåde udmærkede sig ved at holde sig til rationale vurderinger, var

Pells brug af tangens-begrebet en anstødssten for Longomontanus. For det første sy-

nes Longomontanus at have forstået tangens-begrebet i relation til tangens-tabeller.

Disse var notorisk upålidelige og derfor et let oﬀer for kritik.

For det andet knyt-

tes selve tangens-begrebet ofte til Finckes ovenfor omtalte værk, så noget af den

oprindelige uoverensstemmelse mellem Fincke og Longomontanus omkring cirklens

kvadratur i 1612 kan også have haft indﬂydelse på Longomontanus’ modstand mod

Pell mange år senere.

I en bemærkelsesværdig og hidtil upåagtet kilde til et møde mellem Longomon-

tanus og den senere så berømte ﬁlosof og matematiker René Descartes (1596–1650)

i 1631, dukker tangens-argumentets natur op igen. Under sit ophold i Amsterdam

mødte Pell i marts 1646 Descartes, og i et brev til sin matematikinteresserede men-

tor Charles Cavendish (1591–1654) beskrev Pell sine samtaler med Descartes som

“[a] long discourse of Mathematicall matters.”

I deres samtale udtrykte Descar-

tes ros til Pell for netop at undgå irrationaliteter (surds), der ligesom tangens-

tabellerne var forbundet med usikkerheder og mange fejl:

112 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

“That not longe after comming into Denmarke, he [Descartes ] visited Lon-

gomontanus & proﬀered to demonstrate to him y

ground of his error. They

spent one whole day together, shut up in a chamber alone. In y

evening

when they should parte, he perceived y

Longomontanus understood none of

his reasons. So he thought it not worth while to goe to him any more. He

praises my way of dealing with him in rationall numbers, utterly excluding

all mention or thought of Surds, and thinkes that if Longomontanus cannot

understand y

paper he can understand nothing. And therefore wondered to

heare y

he had written twice against me.”

For det andet var det selvfølgelig netop på grund af Longomontanus’ modstand mod

det centrale lemma en svaghed for Pells argument, at han oprindelig ikke havde

angivet et bevis derfor. Men Pell anførte i sin korrespondance med Cavendish, at

han ikke følte det nødvendigt at præsentere et bevis. Pells argument var, at enhver

duelig matematiker selv ville kunne indse korrektheden i løbet af en halv time —

men dette gjaldt åbenbart ikke for Cavendish, hvis første forsøg var fejlagtigt.

For

at understøtte sit argument, og fordi Longomontanus havde søgt at få Galilei til at

legitimere sit bevis, forsøgte Pell selv at mobilisere kendte matematikere for sin sag

og få dem til at bevise lemmaet på andre måder. Som han skrev i et brev, “yose

ignorant Danes may be so much y

more confounded to see a thing demonstrated

so many severall wayes, which Longomontanus sayd was indemonstrabile.”

Det kan næppe have overrasket Pell, at Longomontanus med alle midler tog til

genmæle. Ikke desto mindre reagerede Pell vredt og tilsyneladende med forbavselse.

I november 1644 beskrev han i et brev til Cavendish sin modstander i København

som “a peevish, obstinate, ignorant, infatuated old man.” Om Longomontanus’ før-

ste svarskrift skrev han, at det var “a reply in scurvy language & long inough to

let the readers know that as yet he neither dislikes his owne bookes nor under-

stands my discourse against them.” Tilsyneladende overførte han sin vrede mod

Longomontanus til dennes landsmænd i almindelighed. I et brev fra 1645, hvor han

skældte ud over Longomontanus’ nye Controversia, skrev han hånligt om “those

blundering Danes” og “those selfe-conceited Danes,” der absolut intet forstod [MS,

s. 388–389, 424].

Den kampagne, som Pell med stor energi førte mod Longomontanus, bestod

hovedsageligt i at overtale berømte matematikere til at støtte sin sag, enten ved

at levere nye beviser for “Pells lemma” eller ved blot at udtrykke deres accept af

lemmaet og derved afvisning af Longomontanus’ bevis. Pells stort anlagte kampag-

ne lykkedes, idet foruden Cavendish fremtrædende matematikere som Mersenne,

Descartes, Thomas Hobbes (1588–1679), Bonaventura Cavalieri (1598–1647) og Gil-

les Personne de Roberval (1602–1675) oﬀentligt støttede ham i kontroversen, sådan

som den kulminerede i Pells Controversiae de vera circuli mensura fra 1647.

Heri

optrykte han breve fra de ti matematikere, der støttede hans synspunkter. Bogen,

der udkom få måneder før Longomontanus’ død, afsluttede kontroversen mellem

Pell og Longomontanus og bidrog til Pells anerkendelse i det lærde Europa. Den

engelske digter Andrew Marvell (1621–1678), der var en bekendt af Pell, alluderede

til striden i sit digt Upon Appleton House, hvor han skrev: “Let others vainly strive

t’immure / The circle in the Quadrature!”

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 113

Afslutning: talmystik, matematik og kontrovers

Naturligvis stoppede diskussionen om cirklens kvadratur ikke med Pells bog og

Longomontanus’ død. Samme år udkom i Antwerpen et stort værk, Opus geometri-

cum quadraturae circuli, skrevet af jesuit-matematikeren Gregorius Saint Vincent

(1584–1667), hvor cirklens areal blev behandlet ud fra uendelige rækker på en må-

de, der foregreb den senere integralregning.

Også blandt danske matematikere

levede problemet videre helt ind i 1700-tallet [A2, s. 127–128, 141–142]. Hobbes,

der kendte Descartes og var en nær ven af Mersenne, havde i striden omkring Lon-

gomontanus støttet Pell, men det betød ikke, at han afviste cirklens kvadratur. I

1655 opfandt han sit eget bevis for cirklens kvadratur, hvilket førte til en ny strid,

denne gang med John Wallis (1616–1703) i en hovedrolle. Men det er en anden

historie, hvorom kan læses i Douglas Jessephs bog Squaring the Circle [J].

Fælles for disputten mellem Longomontanus og Pell, den senere disput mel-

lem Hobbes og Wallis og mange andre videnskabelige disputter i 1600-tallet er

henvisningen til autoriteter og sociale netværk. Således har videnskabshistoriske

studier af Royal Society igennem dets første år efter grundlæggelsen i 1660 på-

peget, hvor meget videnskabsmændenes sociale status betød for deres virke.

Når

fysiske eksperimenter skulle rapporteres, var noget af deres gyldighed funderet i

pålideligheden hos den eksperimentelle fysiker og gentleman. Der er tale om til-

svarende “sociale argumenter”, når Longomontanus og Pell søgte at understøtte

deres egne argumenter ved at søge at henvise til domme derover fældet af de mate-

matiske videnskabers største autoriteter, nemlig henholdsvis Galilei og Roberval.

Alt dette foregik i en polemisk og disputerende kultur, som også omfattede ma-

tematikken. At være forpligtet på det bedre argument — og udelukkende at bygge

på rationale kriterier for at vurdere argumenter — er nyere tilføjelser til de ma-

tematiske videnskabers etos. Disse eksempler viser os, at i en vis forstand er det

en moderne egenskab ved matematikken, at det er den videnskab, hvori “enhver

uoverensstemmelse lader sig løse”, som moderne matematiksociologer er nået frem

til [Htz].

Tilbage står vi så med billedet af den danske matematiker Longomontanus som

en, der aldrig accepterede gendrivelsen af sine cirkelkvadraturer, og vi overvejer

hvad han kan have tænkt. Longomontanus havde livet igennem arbejdet med jor-

dens og himlenes matematik, både med beregninger og teoretiske modeller. Dette

arbejde havde ledt ham til at lægge en stor vægt på numerologiske eller talmystiske

overvejelser og argumenter. Således er det blevet beskrevet, hvordan de to perfekte

tal 28 og 496 spillede en stor rolle i hans sol-teori, ligesom de indgik centralt i hans

astronomisk baserede kronologi, hvor han beregnede Guds skabelse af verden til at

have fundet sted 3967 år før Kristi fødsel [Mo].

Tilsvarende indgik der altså i Longomontanus’ arbejder med cirklens kvadratur

også talmystiske overvejelser for eksempel i hans tro på pæne, heltallige forhold.

Foruden en vis portion stædighed var Longomontanus nemlig nok også drevet af

et for ham at se ikke tilfældigt sammenfald af resultater opnået ved forskellige

metoder. Vi kan formode, at nogle af disse metoder har været inspireret af det mål,

de havde i sigte, og en stor portion matematisk æstetik eller talmystik synes at have

spillet ind. Men samtidig må man også anerkende, at Pells oprindelige gendrivelse

ikke var fuldt underbygget, at tabeller vitterlig ikke var noget godt argument (som

jo heller ikke blev brugt), og at både irrationale tal og tangens-relationer kan have

114 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

været så nye og uhåndterlige størrelser i 1600-tallets begyndelse, at en matematiker

på Europas videnskabelige periferi kan være undskyldt i ikke helt at forstå dem.

Longomontanus’ argumenter for at afvise fx Pells gendrivelse kan således være

svære at forstå for moderne matematikere, som jo også ved, at hele opgaven er

umulig at løse.

I sit første matematikhistoriske arbejde om cirkelkvadraturernes

historie fra 1754 bemærkede Jean Étienne Montucla (1725–1799) således at han

var blevet “skuﬀet over at ﬁnde at Longomontanus — den berømte astronom fra

begyndelsen af det foregående århundrede — havde påført sig selv skade ved at

være underlagt den illusion at have udført cirklens kvadratur.” “Men,” fortsatte

Montucla, “Longomontanus fortjener nogen overbærenhed i kraft af sine nyttige

undersøgelser, for hvilke astronomien er ham tak skyldig” [Mon1, s. 224–225].

Noter

En vigtig undtagelse er Rasmus Bartholin (1625–1698), som i Holland leverede bidrag til

bearbejdningen af Descartes’ geometri [A2, s. 130–133]; se også [KKS1].

Den følgende biograﬁ bygger på oplysninger fra [DBL2; DBL1; T].

Tycho havde selv publiceret om det “tychoniske system” i 1588; se [K1, bd. I, s. 247].

For mere om astronomiens historie og de danske astronomers, inkl. Longomontanus’, forhold

dertil, se [K1, s. 219–268].

[K1, bd. I, s. 164ﬀ]. Morin, der var kendt som polemiker, var professor ved Collège Royal i

Paris, hvor han var kollega med den fremtrædende naturﬁlosof Pierre Gassendi (1592–1655), der

i 1654 udgav den første biograﬁ om Tycho Brahe, se [K3].

Longomontanus’ anstrengelser for at løse cirklens kvadratur omtales af autoriteter inden for

matematikhistorien som Montucla og Moritz Cantor (1829–1920); se fx [Mon2, bd. 4, s. 626], der

dog fejlagtigt angiver 1622 som årstallet for Cyclometria. Montucla havde allerede i 1754 omtalt

Longomontanus’ påståede beviser i sin [Mon1], se også s. 114. [C, bd. 2, s. 712–713] gengiver

hovedtrækket i Longomontanus’ bevis i Rotundi in plano, der i større detaljer er gennemgået i

[vM2, s. 317–320].

Se også [Lu, s. 33–34] og [Hth, bd. 1, s. 183–201]. Matematikeren Hippokrates fra Chios må

ikke forveksles med den berømte læge Hippokrates fra Kos (cirka 400 f.v.t.), som har ydet et

varigt bidrag til lægevidenskabens historie. Idag kender man kun til matematikeren Hippokrates’

arbejder gennem antikke kommentatorer, især Eudemus fra Rhodos (4. årh. f.v.t.).

Se også [Lu, s. 35–44].

Man skal være opmærksom på, at en selvstændig benævnelse og notation for π ikke opstod

før i begyndelsen af 1700-tallet og først blev standard efter Leonhard Eulers (1707–1783) brug af

symbolet i 1740’erne; se [Lu, s. 128] og [Caj, §§ 396–398].

Nogle steder ser man refereret værdien

som “Arkimedes’ værdi for π”, men det er vigtigt

at huske, at Arkimedes angav et interval for π, og ikke en bestemt værdi — hverken approksimativ

eller eksakt.

[G]. Forfatterne takker Siegmund Probst for assistance til at tilgå de relevante dele af Grien-

bergers værk.

Undervejs henviser Longomontanus til mange antikke matematiske forfattere og desuden også

til fx Johann Müller Regiomontanus (1436–1476), François Viète (1540–1603) og Ramus [L1,

s. 13,26,30].

Se [Hth, bd. 1, s. 199–200] for en forklaring af, hvilke “Hippokratiske” måner, der lader sig

kvadrere eksakt.

Oplysningerne om Fincke bygger på [DBL3; DBL4; Sch].

Ramus er mest kendt for sine opgør med aristotelismen, men han var også forfatter af værket

Scholae mathematicae fra 1569, som præsenterede et nyt syn på geometrien.

Om det dårlige forhold mellem Fincke og Tycho, se [Ch, s. 199–205].

Longomontanus blev gift med en af Caspar Bartholins (1585–1629) døtre (Dorthe, 1590–1637)

og kom således i familie med både Ole Worm (1588–1654) og Caspar Bartholins to begavede

sønner, Thomas (1616–1680) og Rasmus. Caspar Bartholin var gift med en af Finckes døtre,

Anna.

[A2, s. 125], hvoraf desværre ikke fremgår, hvori konkret Finckes kritik bestod.

Titlerne er angivet i [N].

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 115

Yderligere en af Longomontanus’ kvadraturkonstruktioner, som benytter en anden fremgangs-

måde end månerne, er anført i [Lu, s. 110–111]. Der gives ingen præcis reference, men det oplyses,

at ved denne lejlighed angav Longomontanus intet bevis.

Forholdet er helt præcist givet ved udtrykket

∠BAC

cos ∠BAC



∠BAC cos

∠BAC − sin

∠BAC



hvor ∠BAC angives i radianer.

Beviset er beskrevet i [vM2, s. 317–320].

Om Pell og hans arbejder og forbindelser, se [M1] samt [MS]. Sidstnævnte værk er behandlet

i et review symposium i Metascience [vM1].

Pell var imidlertid ikke ene om at angribe den aldrende professor i København. Det samme

skete i en anonym pamﬂet udgivet i Paris i 1644 med titlen Cyclometriae a Christiano Severini

Longomontano mathematicarum superiorum in Academia Hafniaensi regio professore. Skriftet

var formentlig forfattet af Claude Hardy (1598–1678), der hørte til kredsen omkring Mersenne og

var en af Descartes’ støtter [MS, s. 553].

[vM2, s. 323–324].

Pells argument er både fotograﬁsk gengivet og gennemgået i [vM2, s. 323–328], hvorpå det

følgende bygger.

Mersenne til Pell, 7. oktober 1645 og Pell til Mersenne, 18. oktober 1645; begge gengivet og

oversat i [M2, s. 82–86]. Gendrivelsen af Cornu er også kort omtalt [vM2, s. 336], hvor Cornus

identitet dog er et mysterium.

Skriftet, som idag kun ﬁndes i et enkelt originalt eksemplar, er gennemgået og fotograﬁsk

gengivet i [vM2].

[vM2, s. 321]; se også [MS, s. 389–390].

Pell til Cavendish, 12. marts 1646, som gengivet i [H]. Brevet er i sin helhed gengivet i [MS,

s. 467–471]. På den tid boede Cavendish i Paris.

Descartes’ hidtil upåagtede besøg på dansk grund er behandlet i [KKS2; KKS1].

[vM2, s. 330–335]. Et bevis kan let uddrages af additionsformlerne for cosinus og sinus, fx

tan 2x =

sin 2x

cos 2x

2 sin x cos x

cos

x − sin

2 tan x

1 − tan

Pell til John Leake, august 1645, som citeret i [J, s. 2].

Blandt de lærde, han henvendte sig til, var også den holstenske polyhistor Adam Olearius

(1603–1671), der var hofmatematiker for hertug Frederick III på Gottorp slot og desuden var kendt

som ingeniør og etnograf [K1, s. 167]. Også Descartes udtrykte sin fulde støtte til Pells gendrivelse

af Longomontanus i et brev til en ukendt adressat, idet han fandt Pells svar at være “meget klart

og åndrigt” [D, bd. 4, s. 342–343]. Descartes var bekendt med nogle af Longomontanus’ beviser, og

i det mindste beviset i Rotundi in plano, men han synes ikke at have haft nogen særlig interesse i

emnet og tog knap nok Longomontanus’ beviser alvorligt. I et brev fra december 1639 til Mersenne,

der tilsyneladende havde fortalt ham om Danmark, skriver han: “Hvis resten af det, De skriver om

Danmark, ikke er mere sandt, end det er sandt at Longomontanus har fundet cirklens kvadratur,

så er der ingen grund til at tro meget på det” [D, bd. 2, s. 636].

Se [St], der på s. 101 argumenterer, at linjerne henviser til striden mellem Longomontanus og

Pell.

Jf. [Lu, s. 111] og [Me]. Rasmus Bartholin var bekendt med Saint Vincents værk, som han

nævner i et brev til Worm, men uden at udtale sig om cirkelkvadraturen i øvrigt [S, bd. 3, s. 406].

Se især [Sh].

Det blev i 1882 bevist af Ferdinand Lindemann (1852–1939) [Li], at π er transcendent, dvs.

ikke er løsning i nogen algebraisk ligning. Dermed kan tallet specielt ikke konstrueres med passer

og lineal ud fra givne rationale størrelser, se [Lu, s. 128] eller [Kl, bd. 3, s. 980–982].

116 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

Litteratur

[A1] Kirsti Andersen, An impression of mathematics in Denmark in the period

1600–1800, Centaurus 24 (1980), 316–334.

[A2] Kirsti Andersen og Thøger Bang, Matematik, Københavns Universitet

1479–1979 (Svend Ellehøj, Leif Grane, Knud Waaben, Johannes C. Melchi-

or, Povl Johs. Jensen, Mogens Pihl og Torben Wolﬀ, red.), bind 12, G.E.C.

Gads Forlag, København, 1983, Udgivet af Københavns Universitet ved 500

års jubilæet, s. 113–199.

[Caj] Florian Cajori, A history of mathematical notations, Open Court Publis-

hing Company, Chicago, IL., 1952, 2 bind, først udgivet 1928–29.

[C] Moritz Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, B. G. Teub-

ner, Leipzig, 1880–1908, 4 bind.

[Ch] John Robert Christianson, On Tycho’s island: Tycho Brahe and his assi-

stants, 1570–1601, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

[D] Descartes, Oeuvres de Descartes, Vrin, Paris, 1966, først udgivet 1897–

1910, 12 bind, redigeret af C. Adam og P. Tannery.

[DBL1] , Christen Sørensen Longomontanus (1562–1647), Dansk Biograﬁsk

Leksikon, bind 9, Gyldendahl, København, 3. udg., 1981, 16 bind, s. 109–

110.

[DBL2] H. F. Rørdam og C. F. Pechüle, Christen Sørensen Longomontanus (1562–

1647), Dansk biograﬁsk Lexikon, tillige omfattende Norge for Tidsrummet

1537–1814, bind 10, Gyldendalske Boghandels Forlag (F. Hegel & Søn),

Græbes Bogtrykkeri, Kjøbenhavn, 1896, 19 bind, redigeret af C. F. Bricka,

s. 364–369.

[DBL3] H. F. Rørdam og H. G. Zeuthen, Thomas Fincke (1561–1656), Dansk

biograﬁsk Lexikon, tillige omfattende Norge for Tidsrummet 1537–1814,

bind 5, Gyldendalske Boghandels Forlag (F. Hegel & Søn), Græbes Bog-

trykkeri, Kjøbenhavn, 1891, 19 bind, redigeret af C. F. Bricka, s. 150–153.

[DBL4] C. M. Taisbak, Thomas Fincke (1561–1656), Dansk Biograﬁsk Leksikon,

bind 4, Gyldendahl, København, 3. udg., 1980, 16 bind, s. 398–399.

[E] Euklid, Euklids elementer, Nordisk Forlag, København, 1897–1912, 6 bind,

oversat af T. Eibe.

[G] Christopher Grienberger, Elementa trigonometrica, id est sinus tangentes,

secantes. in partibus sinus totius 100000, Zennetto, Roma, 1630.

[Hth] T. L. Heath, A history of Greek mathematics, Clarendon Press, Oxford,

1960, 2 bind, først udgivet 1921.

[Htz] Bettina Heintz, “In der Mathematik ist ein Streit mit Sicherheit zu ents-

cheiden”. Perspektiven einer Soziologie der Mathematik, Zeitschrift für

Soziologie 29 (2000), nummer 5, 339–360.

Normat 3/2007 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh 117

[H] Helen Hervey, Hobbes and Descartes in the light of some unpublished letters

of the correspondence between Sir Charles Cavendish and Dr. John Pell,

Osiris 10 (1952), 67–90.

[J] Douglas M. Jesseph, Squaring the circle. The war between Hobbes and

Wallis, The University of Chicago Press, Chicago/London, 1999.

[Kl] Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford

University Press, Oxford, 1990, 3 bind, først udgivet 1972.

[K1] Helge Kragh, Fra middelalderlærdom til den nye videnskab, 1000–1730,

Dansk Naturvidenskabs Historie, bind 1, Aarhus Universitetsforlag, Århus,

2005.

[K2] , Omkring Kopernikus: De tidligste skrifter om det kopernikanske

verdensbillede, Steno Museets Venner, Århus, 2006.

[K3] , Received wisdom in biography: Tycho biographies from Gassendi

to Christianson, The History and Poetics of Scientiﬁc Biography (Thomas

Söderqvist, red.), Aldershot, Ashgate, 2007, s. 121–133.

[KKS1] Helge S. Kragh og Henrik Kragh Sørensen, An odd couple: Descartes and

Longomontanus. A contribution to Cartesianism in seventeenth-century

Denmark, Ideas in History 2 (2007), nummer 1, 9–35.

[KKS2] , Longomontanus og Descartes: Et møde i København 1631, Ud-

kommer i Ole Rømers Venner, 2007.

[Li] F. Lindemann, Ueber die Zahl π, Mathematische Annalen 20 (1882), 213–

225.

[L1] Christiano S. Longomontano, Cyclometria ex lunulis reciproce demonstra-

ta, unde tam area, quam perimetri circuli exacta dimensio, & in numeros

diductio sequnta est, hactenus ab omnibus mathematicis unice desiderata,

Henrici Waldkirchĳ, Hafniæ, 1612.

[L2] , Coronis problematica ex mysteriis trium numerorum, senarĳ, sep-

tenarĳ, & octonarĳ, in suis qvadratis rite inter se collatis, concinnata:

Qvibus linea circularis rectæ multifariam in numeris æqvatur, Solomonis

Sartorii, Hafniæ, 1637.

[Lu] Jesper Lützen, Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordob-

ling. Fra oldtidens geometri til moderne algebra, Systime, Herning, 1985.

[M1] Noel Malcolm, The publications of John Pell, F.R.S. (1611–1685): Some

new light and some old confusions, Notes and Records of the Royal Society

of London 54 (2000), nummer 3, 275–292.

[M2] , Five unknown items from the correspondence of Marin Mersenne,

The Seventeenth Century 21 (2006), 73–98.

118 Henrik Kragh Sørensen og Helge S. Kragh Normat 3/2007

[MS] Noel Malcolm og Jacqueline Stedall, John Pell (1611-1685) and his cor-

respondence with Sir Charles Cavendish: The mental world of an early

modern mathematician, Oxford University Press, Oxford, 2005.

[Me] Ad Meskens, Gregory of Saint Vincent: A pioneer of the calculus, The

Mathematical Gazette 78 (1994), nummer 483, 315–319.

[Mo] Kristian Peder Moesgaard, Tychonian observations, perfect numbers, and

the date of creation: Longomontanus’s solar and precessional theories,

Journal for the History of Astronomy 6 (1975), 84–99.

[Mon1] Jean Etienne Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du cerc-

le; ouvrage propre à instruire des découvertes réelles faites sur ce problême

célébre, et à servir de préservatif contre de nouveaux eﬀorts pour le résoud-

re: avec une addition concernant les problêmes de la duplication du cube et

de trisection de l’angle, Jombert, Paris, 1754.

[Mon2] , Histoire des mathématiques, dans laquelle on rend compte de leurs

progrès depuis leur origine jusqu’à nos jours; où l’on expose le tableau et le

développement des principales découvertes dans toutes les parties, Albert

Blanchard, Paris, 1968, først udgivet 1799.

[N] Niels Nielsen, Matematikken i Danmark 1528–1800: Bidrag til en

bibliograﬁsk-historisk oversigt, Gyldendalske Boghandel, København og

Kristiania, 1912.

[S] H. D. Schepelern (red.), Breve til og fra Ole Worm, Munksgaard, Køben-

havn, 1965–1968, 3 bind.

[Sch] Jürgen Schönbeck, Thomas Fincke und die Geometria rotundi, NTM: In-

ternational Journal of History and Ethics of Natural Sciences, Technology

and Medicine 12 (2004), 80–99.

[Sh] Steven Shapin, A social history of truth, Science and Its Conceptual Fo-

undations, The University of Chicago Press, Chicago og London, 1994.

[St] Daniel Stempel, The Garden: Marvell’s Cartesian ecstacy, Journal of the

History of Ideas 28 (1967), nummer 1, 99–114.

[T] Victor E. Thoren, Christian Severin (1562–1647), Dictionary of Scientiﬁc

Biography (Charles Coulstone Gillispie, red.), bind 12, Charles Scribner’s

Sons, New York, 1975, s. 332.

[T] J. P. Trap (red.), Billeder af berømte danske mænd og kvinder der have

levet i tidsrummet fra Reformationens indførelse indtil Kong Frederik VIIs

død, Chr. Steen, København, 1867–1869, 3 bind.

[vM1] Jan van Maanen, Douglas M. Jesseph, Michael Hunter, Jackie Stedall og

Noel Malcolm, John Pell (1611–1685): Mathematical utopian, Metascience

15 (2006), 217–249, boganmeldelse af [MS].

[vM2] Jan A. van Maanen, The refutation of Longomontanus’ quadrature by John

Pell, Annals of Science 43 (1986), nummer 4, 315–352.