Normat 55:4, 157–165 (2007) 157
Reella vektorprodukter
Erik Darpö
Matematiska institutionen
Uppsala universitet
Box 480
SE-75106 Uppsala
erik.darpo@math.uu.se
Den vanliga vektorprodukten i det reella tredimensionella rummet har bland annat
följande viktiga egenskaper:
• Den är bilinjär,
• produkten av två vektorer är vinkelrät mot dem båda, samt
• längden av en produkt är lika med arean av den parallellogram som spänns
upp av de två faktorerna.
Om man tar dessa tre egenskaper som axiom, kan man ställa frågan om det går att
införa vektorprodukter på andra reella vektorrum än R
3
. Det visar sig att svaret
är ja precis i dimension 0, 1, 3 och 7, och att vektorprodukten är unik (upp till
isomorfi) i varje dimension. Vi presenterar ett elementärt och vad det verkar nytt
bevis för denna klassiska sats.
Definitioner och resultat
En reell vektorproduktalgebra är alltså ett euklidiskt rum
1
V = (V, hi) utrustat med
en bilinjär multiplikationsavbildning
V × V → V, (u, v) 7→ uv
som uppfyller axiomen
1. huv, vi = 0, huv, ui = 0,
2. kuvk
2
= kuk
2
kvk
2
− hu, vi
2
för alla u, v ∈ V .
2
En morfism mellan två vektorproduktalgebror V och W är
en ortogonal
3
avbildning ϕ : V → W som uppfyller ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v) för alla
1
À priori ej nödvändigtvis ändligtdimensionellt
2
Notera att inga andra krav ställs på multiplikationen än de ovan nämnda. Begreppet algebra
avser i denna artikel enbart ett vektorrum med en bilinjär multiplikation, som ej förutsätts vara
associativ.
3
En linjär avbildning ϕ : V → W mellan euklidiska rum sägs vara ortogonal om hϕ(u), ϕ(v)i =
hu, vi för alla u, v ∈ V .
158 Erik Darpö Normat 4/2007
u, v ∈ V . Vektorproduktalgebrorna V och W är isomorfa om det existerar en
bijektiv morfism ϕ : V → W .
Från villkor 2 följer att ku
2
k
2
= kuk
2
kuk
2
− hu, ui
2
= 0, alltså u
2
= 0 för alla
u ∈ V . Detta ger att 0 = (u + v)
2
= u
2
+ uv + vu + v
2
= uv + vu, så
(1) uv = −vu
för alla u, v ∈ V , det vill säga att multiplikationen i V är antikommutativ. Det-
ta betyder också de två ekvationerna huv, vi = 0 och huv, ui = 0 i villkor 1 är
ekvivalenta, enbart en av dem är nödvändig för definitionen.
Ekvationen (1) tillsammans med punkt 1 i definitionen ger nu
0 = hv(u + w), u + wi = hvu, ui + hvu, wi + hvw, ui + hvw, wi =
= hvu, wi + hvw, ui = −huv, wi + hu, vwi,
det vill säga
(2) huv, wi = hu, vwi
för godtyckliga u, v, w ∈ V .
Slutligen ser vi att 2 i definitionen medför att
(3) kuvk = 1 för varje ortonormalt par u, v ∈ V .
Det är inte svårt att visa att ekvationerna (1)–(3) (tillsammans med bilinearitet) i
själva verket ger en ekvivalent definition av en vektorproduktalgebra.
Vårt huvudresultat ges av Sats 1 nedan. Rummet R
n
anses utrustat med stan-
dardskalärprodukten, så att he
i
, e
i
i = 1, och he
i
, e
j
i = 0 om i 6= j.
Sats 1. Varje vektorproduktalgebra är isomorf med någon av nedanstående alge-
bror:
• Den triviala algebran {0}.
• Den 1-dimensionella algebran R med multiplikation uv = 0 för alla u, v ∈ R.
• Den 3-dimensionella algebran R
3
= span{e
1
, e
2
, e
3
} med multiplikation given
av den övre vänsta delen av Tabell 1.
• Den 7-dimensionella algebran som ges av Tabell 1.
Speciellt innebär Sats 1 att varje vektorproduktalgebra är ändligtdimensionell, och
att två vektorproduktalgebror av samma dimension är isomorfa.
4
Beviset för Sats 1 ges i nästa kapitel. Återstoden av detta kapitel ägnas åt
sammansättningsalgebror och deras relation till vektorproduktalgebror, samt hur
4
Det finns även en definition av vektorproduktalgebror över godtycklig grundkropp k av ka-
raktäristik skild från 2 (se exempelvis Brown, Gray [1]). Den allmänna definitionen tillämpad på
det reella fallet skiljer sig något från vår (den symmetriska formen h i förutsätts inte vara positivt
definit). Med denna definition kommer det att finnas exakt två isomorfiklasser av vektorproduk-
talgebror i vardera dimension 1, 3 och 7.
Normat 4/2007 Erik Darpö 159
· e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
1
0 e
3
−e
2
e
5
−e
4
−e
7
e
6
e
2
−e
3
0 e
1
e
6
e
7
−e
4
−e
5
e
3
e
2
−e
1
0 e
7
−e
6
e
5
−e
4
e
4
−e
5
−e
6
−e
7
0 e
1
e
2
e
3
e
5
e
4
−e
7
e
6
−e
1
0 −e
3
e
2
e
6
e
7
e
4
−e
5
−e
2
e
3
0 −e
1
e
7
−e
6
e
5
e
4
−e
3
−e
2
e
1
0
Tabell 1: Den 7-dimensionella vektorproduktalgebran
denna relation kan utnyttjas för att bevisa Hurwitz sats om sammansättning av
kvadratiska former (se nedan).
En sammansättningsalgebra (composition algebra) över R är ett euklidiskt rum
A 6= 0 utrustat med en bilinjär multiplikation sådan att kuvk = kukkvk för alla
u, v ∈ A. En morfism ϕ : A → B mellan sammansättningsalgebror är en ortogonal
avbildning som uppfyller ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) för alla a, b ∈ A. Sammansättningsal-
gebror uppstod ur det som idag kallas Hurwitz problem: För vilka n ∈ N r {0}
existerar det bilinjära former
ζ
k
= ζ
k
(ξ, η) =
n
X
i,j=1
a
(k)
ij
ξ
i
η
j
, a
(k)
ij
∈ R, k = 1, . . . , n
så att
(4) ζ
2
1
+ ··· + ζ
2
n
= (ξ
2
1
+ ··· + ξ
2
n
)(η
2
1
+ ··· + η
2
n
)
för alla ξ
1
, . . . , ξ
n
, η
1
, . . . , η
n
∈ R ?
Givet sådana bilinjära former är det euklidiska rummet R
n
med multiplikationen
(5) (x
1
, . . . , x
n
)(y
1
, . . . , y
n
) = (ζ
1
(x, y), . . . , ζ
n
(x, y))
en sammansättningsalgebra. Omvänt; givet en sammansättningsalgebrastruktur på
R
n
kommer de bilinjära former ζ
k
som definieras av (5) att uppfylla (4). Att lösa
Hurwitz problem är alltså ekvivalent med att bestämma de n ∈ N för vilka det
finns en sammansättningsalgebra A med dim A = n.
Lösningen gavs av Hurwitz [5] år 1898, som visade att sådana former existerar
precis när n ∈ {1, 2, 4, 8}. Vi skall visa att samma resultat följer från Sats 1, tillsam-
mans med Sats 2 nedan, som ger ett starkt samband mellan vektorproduktalgebror
och sammansättningsalgebror med identitetselement
5
.
Först ser man, att givet en ändligtdimensionell sammansättningsalgebra A kan
man konstruera en sammansättningsalgebra med etta av samma dimension: Be-
trakta ett godtyckligt element a ∈ A med kak = 1. Eftersom kaxk = kxak =
kakkxk = kxk för alla x ∈ A, så är de linjära avbildningarna L
a
: A → A, x 7→ ax
och R
a
: A → A, x 7→ xa ortogonala, och därmed även inverterbara. Definiera
5
Ett identitetselement (eller etta) i en algebra A är ett element 1
A
∈ A som uppfyller 1
A
u =
u1
A
= u för alla u ∈ A.
160 Erik Darpö Normat 4/2007
x ∗ y = R
−1
a
(x)L
−1
a
(y). Nu är (A, ∗) en sammansättningsalgebra, ty kx ∗ yk =
kR
−1
a
(x)L
−1
a
(y)k = kR
−1
a
(x)kkL
−1
a
(y)k = kxkkyk. Vidare är dim(A, ∗) = dim A,
och a
2
∗x = x = x ∗a
2
för alla x ∈ A, så a
2
är en etta i (A, ∗). För att lösa Hurwitz
problem räcker det alltså att betrakta sammansättningsalgebror med etta.
Givet en vektorproduktalgebra V definieras en multiplikation på rummet R ×V
enligt
(α, v) · (β, w) = (αβ − hv, wi, αw + βv + vw),
och en skalärprodukt h(α, v), (β, w)i = αβ +hv, wi (där hv, wi avser skalärprodukt-
en i V ). Vi använder H(V ) som beteckning för R×V utrustat med dessa strukturer.
Antag att A är en sammansättningsalgebra med identitetselement 1
A
. Sätt A
0
=
1
⊥
A
= {x ∈ A | hx, 1
A
i = 0} och låt P : A → A
0
vara den ortogonala projektionen av
A på underrummet A
0
. Vi definierar I(A) = (A
0
, ×), där multiplikationen ’×’ ges
av u×v = P (uv). Rummet I(A) är euklidiskt, med den inducerade skalärprodukten
från A. Följande sats säger att sammansättningsalgebror med etta och vektor-
produkter väsentligen är ekvivalenta koncept. Den visades först av Brown och Gray
[1, Theorem 4.1].
Sats 2.
1. Om V är en vektorproduktalgebra, så är H(V ) en sammansättningsalgebra
med etta. Varje sammansättningsalgebra med etta är isomorf med H(V ) för
någon vektorproduktalgebra V .
2. Om A är en sammansättningsalgebra med etta, så är I(A) en vektorprodukt-
algebra. För varje vektorproduktalgebra V finns en sammansättningsalgebra
A så att I(A) är isomorf med V .
3. För varje vektorproduktalgebra V gäller att IH(V ) är isomorf med V , och
för varje sammansättningsalgebra A med etta gäller att HI(A) är isomorf
med A.
Det är inte svårt att visa, att H och I i själva verket är funktorer, som definierar
en kategoriekvivalens.
Bevis (skiss): Att visa att H(V ) är en sammansättningsalgebra med identitetsele-
ment (1, 0) ∈ R ×V , om V är en vektorproduktalgebra, är en ren rutinverifikation.
För att visa att I(A) är en vektorproduktalgebra krävs lite förarbete.
Låt A vara en godtycklig sammansättningsalgbra, och x, y, z ∈ A. Då är
k(x + y)zk
2
= kx + yk
2
kzk
2
= (kxk
2
+ kyk
2
+ 2hx, yi)kzk
2
=
= kxk
2
kzk
2
+ kyk
2
kzk
2
+ 2hx, yikzk
2
men även
k(x + y)zk
2
= kxz + yzk
2
= kxzk
2
+ kyzk
2
+ 2hxz, yzi =
= kxk
2
kzk
2
+ kyk
2
kzk
2
+ 2hxz, yzi.
Således gäller
hxz, yzi = hx, yikzk
2
.
Normat 4/2007 Erik Darpö 161
På samma sätt kan man linearisera denna identitet genom att ersätta z med z + w
och utveckla höger- och vänsterled var för sig. Detta ger identiteten
(6) hxz, ywi + hxw, yzi = 2hx, yihz, wi för alla x, y, z, w ∈ A.
Låt nu A vara en sammansättningsalgebra med etta. Vi skall visa att I(A) =
(A
0
, ×) är en vektorproduktalgebra. Genom att sätta y = w = 1
A
i (6) får man för
alla x, z ∈ A
0
att hxz, 1
A
i = −hx, zi. Av detta följer att hx
2
, 1
A
i = −kxk
2
= −kx
2
k
och därmed
(7) x
2
= −kxk
2
1
A
, x ×x = P (x
2
) = 0.
Det senare implicerar anti-kommutativitet för ’×’, vilket är villkor (1) i vår alter-
nativa definition av en vektorproduktalgebra. Om istället x, z ∈ A
0
är ortonormala
fås hxz, 1
A
i = 0 och därmed kx × zk = kP (xz)k = kxzk = kxkkzk = 1, så även
villkor (3) är uppfyllt. Ekvationen hu × v, wi = hu, v × wi fås genom att sätta
z = 1
A
, x, y, z ∈ A
0
i (6).
En morfism ϕ : A → B mellan sammansättningsalgebror är i synnerhet en
ortogonal avbildning, och ϕ(1
A
) = 1
B
. Därför inducerar ϕ en avbildning ϕ
0
:
A
0
→ B
0
, v 7→ ϕ(v) mellan de ortogonala komplementen till 1
A
respektive 1
B
.
Man visar lätt att ϕ
0
är en morfism I(A) → I(B) av vektorproduktalgebror, som
är bijektiv om och endast om ϕ är bijektiv. På samma ger varje morfism f : V → W
mellan vektorproduktalgebror upphov till en morfism
¯
f : H(V ) → H(W ), (α, v) 7→
(α, f(v)) som är bijektiv precis när f är det.
Om A är en sammansättningsalgebra med etta så är definierar (α, v) 7→ α1
A
+v
en isomorfism HI(A) → A. För varje vektorproduktalgebra V gäller IH(V ) = V .
2
Korollarium 3.
1. Varje reell sammansättningsalgebra med etta är isomorf någon av följande
algebror: De rella talen R, de komplexa talen C, kvaternionerna H och okto-
nionerna O.
2. Det existerar bilinjära former ζ
k
= ζ
k
(ξ, η), k = 1, . . . , n som uppfyller (4)
om och endast om n ∈ {1, 2, 4, 8}.
Bevis. Enligt Sats 2 kommer varje sammansättningsalgebra med etta vara isomorf
med H(V ), där V är någon av de vektorproduktalgebror som anges i Sats 1. De
algebror som uppkommer på detta sätt är precis R, C, H och O.
Bilinjära former som uppfyller (4) existerar om och endast om det finns en
sammansättningsalgebra A med etta sådan att dim A = n, det vill säga om och
endast om n ∈ {1, 2, 4, 8}.
Klassen av reella sammansättningsalgebror med identitetselement sammanfaller
med klassen av reella ändligtdimensionella alternativa
6
divisionsalgebror. Därmed
ger vårt studium även ett nytt bevis för satsen att varje sådan divisionsalgebra är
6
En algebra kallas alternativ om varje underalgebra som genereras av två element är associativ.
162 Erik Darpö Normat 4/2007
isomorf någon av R, C, H och O. Originalbeviset till denna sats går tillbaka till
Zorn [10].
Varje sammansättningsalgebra A med etta är utrustad med en naturlig involution:
För a = α1
A
+ x ∈ R1
A
⊕ A
0
= A definieras ¯a = α1
A
− x. Enligt ekvation (7) är
x
2
= −kxk
2
1
A
och därmed
a¯a = (α1
A
+ x)(α1
A
− x) = α
2
1
A
− x
2
= α
2
1
A
+ kxk
2
1
A
= kak
2
1
A
.
Om vi identifierar R1
A
⊂ A med kroppen av skalärer R, får vi alltså
kak =
√
a¯a för alla a ∈ A.
Av Sats 2 följer att
vw = −hv, wi1
A
+ P (vw) för alla v, w ∈ A
0
.
Därmed gäller
(8) v × w = P (vw) =
1
2
[v, w]
där [v, w] = vw − wv är kommutatormultiplikationen. Vektorprodukten på A
0
ges
alltså av kommutatorn på A. Om A är associativ är den en Liealgebra under [ ],
och av (8) följer då att även I(A) = (A
0
, ×) är en Liealgebra.
7
I fallet A = H är
I(A) isomorf med so
3
R.
8
Den sjudimensionella vektorprodukten (här betecknad V
7
) är i motsats till de
lägredimensionella inte en Liealgebra. För att se detta, låt u, v, w ∈ V
7
vara ortonor-
mala, och w även ortogonal mot uv (sådana vektorer existerar eftersom dim V
7
> 3).
Av Lemma 4:3 nedan följer att (uv)w = (vw)u = (wu)v. Dessutom är k(uv)wk = 1,
och således
(uv)w + (vw)u + (wu)v = 3(uv)w 6= 0.
Den sjudimensionella vektorprodukten uppfyller alltså inte Jacobiidentiteten.
Vektorproduktalgebror studerades, och klassificerades, först av Eckmann [4] med
hjälp av topologiska metoder. Sambandet med sammansättningsalgebror utnytt-
jas för en klassifikation av Massey [8], som även ger ett alternativt bevis base-
rat på resultat från algebraisk topologi. Vektorprodukter över allmänna kroppar
av karaktäristik skild från två har behandlats av Brown och Gray [1] (av dem
kallade “two-fold vector products”), som även de använder sambandet med sam-
mansättningsalgebror för att nå en klassifikation. Rost [9] har bevisat att om d
är dimensionen hos en vektorproduktalgebra över en kropp k, char k 6= 2, så är
d(d −1)(d −3)(d −7) = 0 i k. Till detta kan läggas ett flertal artiklar som behand-
lar sammansättningsalgebror, såsom [7], [6] och [2]. Se även författarens kommande
artikel [3].
7
En Liealgebra g = (g, [ ]) är en algebra vars multiplikation uppfyller [x, x] = 0 och [[x, y], z] +
[[y, z]x] + [[z, y], x] = 0 (Jacobiidentiteten) för alla x, y, z ∈ g. Det är ett generellt resultat, att
varje associativ algebra A är en Liealgebra under sin kommutator.
8
En isomorfism I(H) → so
3
R ges av x
1
i + x
2
j + x
3
k 7→
0 x
3
x
2
−x
3
0 x
1
−x
2
−x
1
0
.
Normat 4/2007 Erik Darpö 163
Bevis för Sats 1
Idén i vårt bevis skiljer sig från de i de ovan nämnda publikationerna. Framställ-
ningen är elementär, och oberoende av sambandet med sammansättningsalgebror.
Tanken är att konceptet med multiplikativt oberoende mängder som introduceras
skall göra vektorproduktalgebror mer intiutivt lättförståeliga.
I återstoden av denna artikel kommer V och W alltid att beteckna reella vektor-
produktalgebror. Nedanstående lemma är grundläggande för att förstå strukturen
hos en vektorproduktalgebra.
Lemma 4. Antag att u, v ∈ V är ortonormala. Då gäller följande:
1. u(uv) = −v,
2. v(uv) = u.
Om därutöver w ∈ V är ortogonal mot u och v, så gäller även
3. u(vw) = −(uv)w = (vu)w.
I synnerhet är span{u, v, uv} slutet under multiplikation, och därmed en under-
algebra till V .
Bevis. Eftersom u är en enhetsvektor, så följer från ekvationen (3) att den linjära
avbildningen u
⊥
→ u
⊥
, x 7→ ux ortogonal.
9
Således gäller för alla x ∈ V att
hx, u(uv)i = hxu, uvi = −hux, uvi = hux, u(−v)i = hx, −vi.
Detta betyder att u(uv) = −v. Identiteten 2 är en omformulering av 1 med hjälp
av antikommutativitetsvillkoret (1).
Från 1 får vi att
−ku + wk
2
v = (u + w) ((u + w)v) = (u + w)(uv + wv) =
= u(uv) + u(wv) + w(uv) + w(wv) =
= −kuk
2
v + u(wv) + w(uv) − kwk
2
v =
= −ku + wk
2
v − u(vw) − (uv)w.
Alltså gäller u(vw) = −(uv)w.
Vårt grundläggande verktyg för att förstå vektorproduktalgebror är multiplikativt
oberoende mängder. Vi säger att en ändlig delmängd E ⊂ V är multiplikativt
oberoende om varje e ∈ E är normerad och ortogonal mot underalgebran hE
e
i ⊂ V
som genereras av E
e
= E r {e}.
Låt E ⊂ V vara en multiplikativt oberoende mängd, och e ∈ E. Av Lemma 4
följer att hE
e
i + hei + hE
e
ie ⊂ V är en underalgebra:
9
Med u
⊥
avses det ortogonala komplementet till u i V , alltså u
⊥
= {v ∈ V | hu, vi = 0}.
164 Erik Darpö Normat 4/2007
Antag att x, y ∈ hE
e
i, x = αy + x
0
där α ∈ R och hx
0
, yi = 0. Nu gäller
xy ∈ hE
e
i,
xe ∈ hE
e
ie,
x(ye) = (αy + x
0
)(ye) = −αkyk
2
e − (x
0
y)e ∈ hei + hE
e
ie,
ee = 0,
e(ye) = y ∈ hE
e
i,
(xe)(ye) = (ye)(ex) = ((ye)e)x = (−y)x = xy ∈ hE
e
i.
Alltså är hE
e
i + hei + hE
e
ie slutet under multiplikation, och således en underal-
gebra i V . Eftersom E ⊂ hE
e
i + hei + hE
e
ie ⊂ hEi så betyder detta att hEi =
hE
e
i + hei + hE
e
ie.
Enligt antagande är hei ortogonal mot hE
e
i. Dessutom gäller, för x, y ∈ E
e
, att
hx, yei = hxy, ei = 0 och he, xei = −he, exi = −he
2
, xi = 0. Alltså är även hE
e
ie
ortogonal mot både hE
e
i och hei. Sammanfattningsvis gäller alltså att
(9) hEi = hE
e
i ⊕ hei ⊕ hE
e
ie
med summanderna i högerledet parvis ortogonala.
Lemma 5. Om E ⊂ V är en multiplikativt oberoende mängd och f ∈ V normerad
och ortogonal mot hEi, så är även E ∪ {f } multiplikativt oberoende.
Bevis. Enligt antagande är f ortogonal mot hEi. Återstår att visa att varje e ∈ E
är ortogonal mot hE
e
∪ {f }i. Men hE
e
∪ {f }i = hE
e
i ⊕ hfi ⊕ hE
e
if. Vi vet enligt
antagande att e är ortogonal mot hE
e
i, och mot f. Dessutom är he, xfi = hex, fi =
0 för alla x ∈ hE
e
i, varför e är ortogonal även mot hE
e
if.
Som konsekvens av lemmat får vi att om V är ändligtdimensionell, så finns en
multiplikativt oberoende mängd E ⊂ V sådan att V = hEi. En sådan mängd
kallar vi en multiplikativ bas för V .
Den tomma mängden är multiplikativt oberoende, och h∅i = {0}, det vill säga
dimh∅i = 0. Av (9) följer att dimhEi = 2 dimhE
e
i + 1 för varje multiplikativt
oberoende mängd E och varje vektor e ∈ E. Därför gäller att dimhEi = 2
n
− 1,
där n är antalet element i E.
Antag nu att E = {u, v, w, z} ⊂ V är en multiplikativt oberoende mängd (så
dimhEi = 15). Vi får
u(v(wz)) = u((wv)z) = ((wv)u)z = −((vw)u)z
men även
u(v(wz)) = (vu)(wz) = (w(vu))z = ((vw)u)z.
Alltså är u(v(wz)) = 0, vilket motsäger att E är multiplikativt oberoende. Såle-
des kan ingen multiplikativt oberoende mängd innehålla mer än 3 element. Det-
ta utesluter existensen av oändligtdimensionella vektorproduktalgebror, eftersom i
Normat 4/2007 Erik Darpö 165
en sådan algebra skulle det vara möjligt att konstruera multiplikativt oberoende
mängder med godtyckligt många element. Vidare betyder det att varje vektorpro-
duktalgebra har dimension 0, 1, 3 eller 7.
Vi visar nu med induktion att två vektorproduktalgebror av samma dimension
måste vara isomorfa. Basfallet V = W = h∅i = {0} är klart. Låt E och F vara
multiplikativa baser för V respektive W , dim V = dim W , och e ∈ E, f ∈ F .
Det följer att E och F har samma antal element. Enligt induktionsantagandet
finns det en isomorfism ϕ : hE
e
i → hF
f
i. Vi definierar nu ˜ϕ : V → W genom
˜ϕ(x + λe + ye) = ϕ(x) + λf + ϕ(y)f , för x, y ∈ hE
e
i, λ ∈ R. Man verifierar direkt
att ˜ϕ är en morfism. Eftersom ϕ är bijektiv så följer av konstruktionen att ˜ϕ också
är det. Avbildningen ˜ϕ : V → W är alltså en isomorfism.
Å andra sidan är det inte svårt att kontrollera att V = R
7
med multiplikation
given av Tabell 1 uppfyller axiomen för en vektorproduktalgebra. Givet detta är det
också klart att span ∅, span{e
1
} och span{e
1
, e
2
, e
3
} är underalgebror (och därmed
själva vektorproduktalgebror) av de typer som anges i satsen.
Vi har visat att varje vektorproduktalgebra har samma dimension som någon
av de ovan nämnda (nämligen 0, 1, 3 eller 7), och att två vektorproduktalgebror
av samma dimension är isomorfa. Därför måste varje vektorproduktalgebra vara
isomorf med någon av dessa fyra, vilket är påståendet Sats 1.
Referenser
[1] Robert B. Brown and Alfred Gray. Vector cross products. Commentarii Mathematici
Helvetici, 42:222–236, 1967.
[2] J. A. Cuenca Mira. On composition and absolute-valued algebras. Proceedings of the
Royal Society of Edinburgh, 136A(4):717–731, 2006.
[3] Erik Darpö. Vector product algebras. To appear.
[4] Beno Eckmann. Stetige Lösungen linearer Gleichungssysteme. Commentarii Mathe-
matici Helvetici, 15:318–339, 1942–43.
[5] B. Hurwitz. Über die Komposition der quadratischen Formen. Mathematische An-
nalen, 88:1–25, 1922.
[6] Nathan Jacobson. Composition algebras and their automorphisms. Rend. Circ. Mat.
Palermo, 7(2):55–80, 1958.
[7] I. Kaplansky. Infinite-dimensional quadratic forms admitting composition. Procee-
dings of the American mathematical society, 4(6):956–960, 1953.
[8] W.S. Massey. Cross products of vectors in higher dimensional spaces. American
mathematical monthly, 90(10):697–701, 1983.
[9] Markus Rost. On the dimension of a composition algebra. Documenta Mathematica,
1:209–214, 1996.
[10] Max Zorn. Theorie der alternativen Ringe. Abh. Math. Sem. Hamburg, 8:123–147,
1931.
