166 Normat 55:4, 166–176 (2007)

Ickestandardanalys och historiska inﬁnitesimaler

Erik Palmgren

Matematiska institutionen

Uppsala universitet

Box 480

SE-75106 Uppsala

palmgren@math.uu.se

Oändligt små tal – inﬁnitesimaler – var en självklar del av grunden för diﬀerential-

kalkylen innan Dedekind, Weierstrass och andra runt 1870 genomförde den så kalla-

de aritmetiseringen av analysen, dvs konstruerade reella tal i termer av följder eller

mängder av rationella tal och deﬁnierade kontinuititet och gränsvärden i termer av

dessa. Trots att den “naiva” inﬁnitesimalkalkylen var rik på motsägelser har den

egentligen aldrig dött ut som en intuitiv metod. År 1961 visade Abraham Robin-

son att en konstruktion som använts för ickestandardmodeller av Peanoaritmetiken

även kunde användas för att ge en rigorös tolkning av inﬁnitesimalkalkylen. Redan

1934 hade Thoralf Skolem konstruerat aritmetiska modeller med oändligt stora tal.

Robinson tillämpade metoden på kroppen av reella tal istället för de naturliga ta-

len och kunde på så sätt förena Weierstrassk analys med inﬁnitesimaler. Robinson

gav i sin bok Nonstandard Analysis (1966) exempel på att resonemang med inﬁni-

tesimaler faktiskt var helt riktiga om man bara inför några lämpliga distinktioner

som är möjliga inom hans teori. Vidare undersökningar i denna anda utfördes av

Lakatos (1966/1978) och Cleave (1971). Mer begränsade modeller med inﬁnitesi-

maler hade konstruerats långt före Robinsons modell. Detlef Laugwitz och Curt

Schmieden publicerade 1958 en uppsats om den så kallade Ω-kalkylen som hade

ett liknande syfte som ickestandardanalysen. Deras mer elementära konstruktion

kan på goda grunder hävdas fånga det äldre inﬁnitesimalbegreppet väl. Under alla

omständigheter förtjänar Ω-kalkylen att vara bättre känd, vilket vi hoppas kunna

bidra med i denna artikel.

Till matematikhistoriens mest omdiskuterade satser hör Cauchys sats från 1821

om seriesummans kontinuitet (Spalt 2002). Den kritiserades och modiﬁerades av

Artikelförfattaren stöds av ett forskningsbidrag från Vetenskapsrådet (VR) i Sverige. Artikeln

bygger på ett seminarium som hölls för en grupp matematikhistoriker i Uppsala, februari 2003.

Ett särskilt tack går till Anders Öberg och Kajsa Bråting för intressanta samtal om Cauchys och

Björlings summasatser.

Normat 4/2007 Erik Palmgren 167

en rad berömda matematiker: Abel, Seidel och Stokes. Även den med Cauchy sam-

tida svenske matematikern E.G. Björling var involverad i diskussionen; se Domar

(1987) och Bråting (2007) för analyser av dennes insats och ytterligare referen-

ser. I moderna termer tycks Cauchys sats innebära att om en följd av kontinuerliga

funktioner konvergerar punktvis mot en funktion så är denna funktion kontinuerlig.

Detta är naturligtvis ett felaktigt resultat (se exempel nedan). Den nu vedertagna

korrigeringen av Cauchy är att lägga till kravet att konvergensen skall vara likfor-

mig. Laugwitz (1987a) menar dock att Cauchys sats är korrekt om man använder

Cauchys egna deﬁnitioner, och därmed inﬁnitesimaler. Utan att ge oss in i någon

matematikhistorisk debatt skall vi här presentera en tolkning i Ω-kalkylen som ger

vid handen att Cauchy sats inte bara ger ett tillräckligt villkor, och utan också

ett nödvändigt villkor, för att en följd av kontinuerliga funktioner som konvergerar

punktvis skall ha ett kontinuerligt gränsvärde. Detta ger alltså ett bättre resultat

än den korrigerade satsen.

1 En elementär modell för inﬁnitesimaler

De grundläggande begreppen i Ω-kalkylen (Schmieden och Laugwitz 1958, Laugwitz

1987) är betydligt enklare och mer intuitiva än de i Robinsons ickestandardanalys,

och kan presenteras utan hänvisning till satser om predikatlogik eller avancerade

mängdteoretiska konstruktioner, såsom kompakthetssatsen eller ultraﬁlter.

En vanlig informell beskrivning av inﬁnitesimaler var historiskt sett som “kvanti-

teter som går mot noll”. Den avgörande frågan är hur den dynamiska aspekten skall

förstås, dvs vad man menar med “går mot”. Med det moderna funktionsbegreppet

beskriver vi dem naturligt som talföljder som konvergerar mot noll. Följderna

a = (1,

, . . . ,

, . . .),

b = (

, . . . ,

n + 3

, . . .)

konvergerar båda mot noll, fast med olika hastighet. Följden a underskrider följden

b från och med 3:e termen. För talföljder x = (x

, x

, . . .) och y = (y

, y

, . . .)

deﬁnierar vi allmänt relationen <

(underskrider)

x <

y om, och endast om, det ﬁnns något n så att för alla m ≥ n gäller x

< y

För varje godtyckligt tal c låter vi c

beteckna den konstanta följden

= (c, c, c, . . .).

Tydligen gäller då att för varje positivt tal ε:

a <

Dessutom gäller 0

a, så a är större än noll. Detta är en äkta inﬁnitesimal, dvs

ett oändligt litet tal som ej är noll. Talföljden

Ω = (1, 2, 3, . . .)

168 Erik Palmgren Normat 4/2007

överskrider å andra sidan varje N

där N är ett givet naturligt tal. Ω kan därmed

kallas för ett oändligt tal.

Konstruktionen kan generaliseras. För varje mängd M av tal, eller andra mate-

matiska objekt, införs en ickestandard version M

av mängden M som är mängden

bestående av alla oändliga följder x = (x

, x

, . . .) där varje term x

tillhör M.

(Ekvivalent: M

är mängden av funktioner N → M. De naturliga talen är här

N = {1, 2, 3, . . .}.) Med beteckningarna ovan har vi a, b ∈ R

och Ω ∈ N

De vanliga aritmetiska operationerna utvidgas till ickestandardtal genom att

låta dem verka termvis

, x

, · · · ) + (y

, y

, · · · ) = (x

+ y

, x

+ y

, x

+ y

, . . .)

, x

, · · · ) · (y

, y

, · · · ) = (x

, x

, . . .)

−(x

, x

, · · · ) = (−x

, −x

, . . .)

|(x

, x

, · · · )| = (|x

|, |x

|, . . .)

Tydligen gäller då för exemplen ovan att

a · Ω · Ω = 1

, b · (Ω + 3

) = 1

så a och b kan betraktas som de inverterade talen

Ω

respektive

(Ω+3)

. Det vore

naturligt att betrakta talet Ω − 1 som inverterbart, men dess representerande följd

är

(0, 1, 2, 3, . . .)

så den första termen i följden (Ω − 1) · x är 0 oavsett val av x. Alltså har Ω − 1 inte

en invers i en strikt mening. Problemet är att termvis likhet mellan följder är ett

alldeles för strängt krav. Vi deﬁnierar istället relationen =

, slutligen lika,

x =

y om, och endast om, det ﬁnns något n så att för alla m ≥ n gäller x

= y

Antag nu att x ∈ R

och 0 <

|x|. Då ﬁnns det alltså n så att |x

| > 0 för alla

m ≥ n. Låt y

= x

−1

för m ≥ n och y

= 0 för m < n. Då gäller uppenbarligen

att

x · y = (x

· 0, . . . , x

n−1

· 0, x

−1

, x

n+1

−1

n+1

, . . .) =

Man bortser alltså från de inledande nollorna i vänsterledet.

Det är lätt att se att =

är en kongruensrelation med avseende på de aritmetiska

operationerna och relationen <

. Det är nu möjligt att deﬁniera en algebraisk

struktur på ekvivalensklasserna. Man kan förstås lika gärna skriva ut =

på samma

sätt som vid moduloräkning, vilket vi skall göra här.

Notera att u

omm u = v samt att u

omm u < v. För att få en

lättare notation utelämnas ? ofta på vanliga konstanter samt på relationerna =

och <

Deﬁnitioner. Låt x, y ∈ R

. Då

(a) x inﬁnitesimal om |x| < ε

för alla positiva ε.

Normat 4/2007 Erik Palmgren 169

(b) x och y ligger oändligt nära, symboliskt x ' y, om x − y är inﬁnitesimal.

för något positivt ε.

(d) x är standard om x = u

för något u ∈ R.

(e) x är konvergent om det ligger oändligt nära ett standardtal.

När vi inte behöver hänvisa till den representerande följden (x

, x

, . . .) för ett

ickestandardtal x ∈ R

skriver vi denna med vanlig kursiv stil x ∈ R

Man visar lätt att om x och y är inﬁnitesimaler, så är x + y och xy det också.

Om x är ändlig och y är inﬁnitesimal, så är xy inﬁnitesimal. Ett konvergent tal

kan skrivas som en summa av ett standardtal och en inﬁnitesimal. Vi har följande

omedelbara, men viktiga relation

Lemma 1.1. För x ∈ R

och a ∈ R gäller

x ' a

om, och endast om, följden (x

) konvergerar mot a.

Ett av “felen” i äldre texter om inﬁnitesimalräkning var enligt Robinson (1966)

att det saknades en lämplig distinktion mellan = och '. Här är en korrigerad

härledning av en derivata: Låt x ∈ R

vara standard, och låt dx vara en inﬁnitesimal

med |dx| > 0. Då har vi

(x + dx)

− x

= 3x

+ 3x dx + (dx)

' 3x

Det senare ledet följer eftersom 3x är ändlig och dx är inﬁnitesimal.

Anmärkning. Ickestandardtalen

J = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .)

U = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .)

är ändliga, men inte konvergenta. Vi ser att J · U = 0, vilket betyder att det

bland icke-konvergenta tal ﬁnns nolldelare. Detta betyder förstås också att R

, till

skillnad från R, ej är en talkropp. Notera dock att för konvergenta x, y ∈ R

xy ' 0 =⇒ x ' 0 eller y ' 0.

Vi nämnde att det är möjligt att ge godtyckliga mängder en ickestandard version.

Mängden av funktioner A×B → C har därmed en ickestandardutvidning (A×B →

. Denna består alltså av följder av funktioner från A × B till C. En sådan följd

f ∈ (A × B → C)

kan nu tillämpas på följder x ∈ A

och y ∈ B

, termvis, på

detta sätt:

f (x, y) = (f

, y

), f

, y

), f

, y

), . . . , f

, y

), . . .)

170 Erik Palmgren Normat 4/2007

Om f = g

har vi speciellt

(x, y) = (g(x

, y

), g(x

, y

), g(x

, y

), . . . , g(x

, y

), . . .).

Notera att detta var precis vad vi gjorde när de aritmetiska operationerna utvid-

gades till ickestandardtal, t.ex. g = + : R × R → R.

Anmärkning. Om x ∈ A

, så ger funktionen f : N → A deﬁnierad av f (n) = x

att

x = f

(Ω).

Alltså är varje ickestandardobjekt bilden av Ω under en standardfunktion. Detta

syns vara upphovet till benämningen Ω-kalkyl för Schmiedens och Laugwitz teori.

2 Kontinuitet

För funktioner f : R → R kan man införa olika kontinuitetsbegrepp med hjälp av

relationen '. Vi säger att f är stadig vid x ∈ R om för alla y ∈ R

' y =⇒ f

) ' f

(y).

Låt oss översätta detta till vanlig, Weierstrassk analys. Antag först att f är stadig

vid x. Låt y

∈ R vara en följd som går mot x. Sätter vi y = (y

, y

, . . .) har vi

då x

' y. Stadigheten ger direkt f

) ' f

(y). Uttolkar vi denna relation fås

för varje ε > 0 något n så att

|f(x) − f(y

)| < ε (m ≥ n).

Detta säger att f är kontinuerlig i x. Det är också lätt att visa det omvända. Alltså

gäller

Sats 2.1. Låt f : R → R vara en funktion och x ∈ R. Då är f stadig vid x om,

och endast om, f är kontinuerlig vid x.

Detta är en så kallad ickestandardkarakterisering av begreppet kontinuitet i en

punkt. Man kan även karakterisera likformig kontinuitet genom ett ickestandard-

begrepp. En funktion g : R → R är likformigt stadig om för alla x, y ∈ R

x ' y =⇒ g

(x) ' g

(y).

Vi överlåter beviset av följande sats till läsaren

Sats 2.2. En funktion f : R → R är likformigt stadig om, och endast om, den är

likformigt kontinuerlig.

Exempel. f(x) = x

är inte likformigt kontinuerlig R → R. Vi har

(Ω +

Ω

)

− Ω

= 2 +

Ω

' 2.

Villkoret i sats 2.2 uppfylls därmed inte för x = Ω + Ω

−1

och y = Ω.

Normat 4/2007 Erik Palmgren 171

2.1 Sats C

Cauchy påstås ha gett bevis för följande falska sats om kontinuitet (se Laugwitz

1987a):

: R → R (n = 1, 2, 3, . . .) av kontinuerliga

funktioner konvergerar mot en kontinuerlig funktion f(x) = lim

(x).

Ett motexempel till satsen fås genom att betrakta polygon-funktionerna

(x) = max(0, min(1, nx))

som konvergerar punktvis mot stegfunktionen g, given av g(x) = 0 om x ≤ 0, och

g(x) = 1 om x > 0. Här är g

, g

inritade i samma ﬁgur:

Laugwitz (1987a) menar att dock Cauchy gav ett riktigt bevis, men att felet ligger i

själva den moderna formuleringen av satsen. Översätter vi, det som Laugwitz menar

vara den rätta tolkningen av den urpsrungliga formuleringen, till Ω-kalkylen blir

den riktiga satsen följande.

Sats 2.3 (C’). Låt f

: R → R (n = 1, 2, 3, . . .) vara en följd av kontinuerliga

funktioner. Antag att för varje positiv ε ∈ R och varje konvergent x ∈ R

, så ﬁnns

n så att för alla naturliga tal m ≥ n,

|(f

)

(x) − f

(x)| <

Då är f kontinuerlig.

Bevis. Låt u ∈ R, x = u

och låt α ∈ R

vara inﬁnitesimal. Det räcker enligt Sats

2.1 att visa att

(x + α) ' f

(x),

för att visa att f är kontinuerlig. Tag positiv ε ∈ R

. Både x och x + α är konver-

genta. Välj enligt antagande m så stor att

(x) − f

(x)| < (ε/3)

(x + α) − f

(x + α)| < (ε/3)

För detta m är f

kontinuerlig, så |f

(x) − f

(x + α)| < (ε/3)

. Summera dessa

och använd triangelolikheten

(x + α) − f

(x)| ≤ |f

(x + α) − f

(x + α)|

+|f

(x + α) − f

(x)|

+|f

(x) − f

(x)|

< (

)

+ (

)

+ (

)

= ε

172 Erik Palmgren Normat 4/2007

Satsen är visad.

Intressant nog är Cauchys villkor även nödvändigt.

Sats 2.4. Låt f

: R → R (n = 1, 2, 3, . . .) vara en följd av kontinuerliga funktioner.

Antag att denna konvergerar punktvis mot en kontinuerlig funktion f : R → R. Då

gäller det att för varje positiv ε ∈ R, och varje konvergent x ∈ R

, ﬁnns n så att

för alla m ≥ n,

|(f

)

(x) − f

(x)| <

Bevis. Låt x ∈ R

vara konvergent och låt ε ∈ R vara positiv. Skriv x som en

summa av ett standardtal och en inﬁnitesimal u

+ α. Enligt punktvis konvergens

gäller nu att det ﬁnns n så att för varje m ≥ n

(u) − f(u)| < ε/3.

Därmed även |f

) − f

)| < (ε/3)

. Men f , och alla f

, är kontinuerliga så

) − f

(x)| < (ε/3)

) − f

(x)| < (ε/3)

Summerar vi och använder triangelolikheten erhåller vi för m ≥ n att

(x) − f

(x)| < ε

Betrakta nu följden g

i exemplet ovan och dess punktvisa gränsvärde g. Vi skall

se att Cauchys villkor ej är uppfyllt. Talet

Ω

är konvergent (men inte standard)

och för n ∈ N har vi

(

Ω

) =

Ω

men g

(

Ω

) = 1. Alltså



(

Ω

) − g

(

Ω

)



' 1.

Cauchys villkor är ej heller det samma som likformig konvergens. Deﬁniera h

R → R att vara h

(x) = sin(2πnx) på intervallet [0, 1/n] (en fullständig svängning)

och 0 annars. Då konvergerar h

punktvis mot funktionen som är konstant 0. Ty om

0 < t < 1, så ﬁnns m med

< t för alla n ≥ m, och följaktligen h

(t) = 0 = h(t).

Konvergensen är inte likformig, ens på intervallet [0, 1], eftersom

sup

0≤t≤1

(t) − h(t)| = 1,

för alla n. Här är h

, h

inritade i samma ﬁgur:

Normat 4/2007 Erik Palmgren 173

Man kan direkt se att denna följd (h

) uppfyller Cauchys villkor. Låt x ' t

, t ∈ R,

vara ett konvergent ickestandardtal. Om t = 0, har vi h

(x) ' h

(t) = 0 = h

(x).

För t > 0 följer h

(x) ' h

(t) = 0 för alla tillräckligt stora n.

Med hjälp av den läsning av Cauchy som Laugwitz (1987a) gör och denna ic-

kestandardtolkning i Ω-kalkylen kan vi se att Cauchy faktiskt kan sägas ha haft

ett bättre kriterium än likformig konvergens. Kriteriet är dock inte lika lätt att

uttrycka i standardtermer.

2.2 Likformig konvergens

Ett ickestandard naturligt tal n ∈ N

är oändligt om n > k

för varje k ∈ N.

Följande sats ger en ickestandardkarakterisering av likformig konvergens.

Sats 2.5. Låt f

: R → R (n = 1, 2, 3, . . .) vara en följd av funktioner. Skriv

f(n, x) = f

(x). Låt g : R → R. Då gäller att f

konvergerar likformigt mot g om,

och endast om, för alla x ∈ R

∗

och för alla oändliga m ∈ N

∗

(m, x) ' g

(x)

Bevis. (⇒) Antag att f

konvergerar likformigt mot g. Låt ε > 0. Då ﬁnns k så

att för alla ` ≥ k och alla u ∈ R

|f(`, u) − g(u)| < ε.

Tag nu m ∈ N

oändlig och x ∈ R

godtycklig. Då ﬁnns p så att för alla n ≥ p:

≥ k. För n ≥ p har vi tydligen

|f(m

, x

) − g(x

)| < ε.

Därmed gäller

(m, x) − g

(x)| < ε

(⇐) Antag att f

ej konvergerar likformigt mot g. Då ﬁnns ε > 0 och för varje

n ett tal m

> n samt x

∈ R så att

|f(m

, x

) − g(x

)| > ε.

Tag nu m = (m

, m

, . . .) och x = (x

, x

, . . .). Alltså

|f(m, x) − g(x)| > ε

och m är oändlig.

Ett överraskande generellt resultat är följande sats (Laugwitz 1978) om oändliga

ekvationssystem över R

Sats 2.6 (Robinsons lemma). Låt h : N × A

d+1

→ R vara en godtycklig funktion,

där A är någon mängd. Låt x

, . . . , x

∈ A

. Antag att

, x

, . . . , x

) ' 0

174 Erik Palmgren Normat 4/2007

för varje n ∈ N. Då ﬁnns oändlig m ∈ N

sådan att

(j, x

, . . . , x

) ' 0

för alla j ∈ N

med j ≤ m.

Bevis. Det är lätt att visa att vi kan välja en strängt växande följd av naturliga

tal

< `

< · · ·

så att för alla m ≥ `

och alla s ∈ {1, . . . , n}

|h(s, x

1,m

, . . . , x

d,m

)| <

Deﬁniera nu m

att vara n om `

≤ k < `

n+1

och 1 då k < `

. Då är m =

, m

, . . .) uppenbarligen ett oändligt naturligt tal. Antag att j ≤ m. Därmed

ﬁnns ett index r så att j

≤ m

för alla k ≥ r. Låt n ∈ N vara godtycklig och

tag k ≥ max(r, `

). Då gäller `

≤ k < `

för något n

≥ n. Vi har alltså

≤ m

= n

, så

|h(j

, x

1,k

, . . . , x

d,k

)| <

≤

Därmed

(j, x

, . . . , x

)| <

och eftersom n var ett godtyckligt naturligt tal

(j, x

, . . . , x

) ' 0.

Med hjälp av sats 2.5 och detta lemma kan vi erhålla ett ickestandardbevis av

satsen om likformig konvergens.

Sats 2.7. Låt f

: R → R (n = 1, 2, 3, . . .) vara en följd av kontinuerliga funktio-

ner. Låt g : R → R. Om f

konvergerar likformigt mot g, så är g kontinuerlig.

Bevis. Skriv f(n, x) = f

(x). Antag att u ∈ R

ligger oändligt nära a

och a ∈ R.

På grund av att varje f

(n ∈ N) är kontinuerlig har vi

, u) − f

, a

) ' 0.

Enligt Robinsons lemma ﬁnns oändlig m ∈ R

så att f

(m, u) − f

(m, a

) ' 0.

Sats 2.5 ger nu

g(u) ' f

(m, u) ' f

(m, a

) ' g(a

vilket visar att g är kontinuerlig.

Normat 4/2007 Erik Palmgren 175

3 Robinsons vs Schmieden-Laugwitz ickestandardanalys

Kan ickestandard analys användas i elementär undervisning? Ett större pedagogiskt

experiment med Robinsonsk ickestandardanalys i grundläggande analyskurser ge-

nomfördes av H.J. Keisler i början av 1970-talet. Den axiomatiska stilen i den

tillhörande läroboken (Keisler 1976) ﬁck kritik från vissa håll. Erret Bishop (1977)

menade i en anmälan av boken att studenterna inte får veta vad en inﬁnitesimal

egentligen är. Denna invändning drabbar inte Ω-kalkylen eftersom man, som vi sett,

kan ge en omedelbar och naturlig förklaring. Se Henle (1999) för en lyckad pedago-

gisk framställning av denna kalkyl. När man betraktar avancerade tillämpningar av

ickestandardanalysen (Albeverio mﬂ. 1986) verkar det klart att Robinsons kalkyl

är överlägsen Ω-kalkylen. I Robinsons kalkyl utgör de ickestandard reella talen en

talkropp, och har dessutom den kraftfulla så kallade övergångsprincipen gentemot

de reella talen, vilken innebär att båda talkropparna har samma första ordningens

logiska egenskaper. Ω-kalkylen har dock fördelen att den relativt enkelt kan gö-

ras konstruktivistiskt acceptabel i enlighet med Bishops konstruktiva metoder; se

(Martin-Löf 1989; Palmgren 1995, 1998; Schuster 2000).

Referenser

S. Albeverio, J.-E. Fenstad, R. Hoegh-Krohn, T. Lindstrøm (1986). Nonstan-

dard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics. Academic

Press.

E. Bishop (1977). Recension av Keisler (1976). Bulletin of the American Mat-

hematical Society, vol. 83, no. 2, s. 205–208.

K. Bråting (2007). A new look at E.G. Björling and the Cauchy sum theorem.

Archive for the History of Exact Sciences, vol. 61 (2007), s. 519–535.

J.P. Cleave (1971). Cauchy, Convergence and Continuity. The British Journal

for the Philosophy of Science vol 22, s. 27–37.

J.W. Dauben (1998). Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Ana-

lysis, A Personal and Mathematical Odyssey, Princeton, NJ: Princeton Uni-

versity Press.

Y. Domar (1987). E.G. Björling och seriesummans kontinuitet. Normat vol.

35, s. 50–56.

J.M. Henle (1999). Non-nonstandard analysis: Real inﬁnitesimals. Mathema-

tical Intelligencer, vol. 21, no 1, s. 67–73.

A.E. Hurd och P.A. Loeb (1985). An Introduction to Nonstandard Real Ana-

lysis. Academic Press.

H.J. Keisler (1976). Elementary Calculus. Prindle, Weber and Schmidt, Bo-

ston.

I. Lakatos (1978). Cauchy and the continuum: the signiﬁcance of non-standard

analysis for the history and philosophy of mathematics. Chapter 3 in Philo-

sophical papers, Vol 2: Mathematics, Science and Epistomology. Cambridge

University Press. (Tidigare opublicerad skrift från 1966).

176 Erik Palmgren Normat 4/2007

D. Laugwitz (1978). Inﬁnitesimalkalkül. Bibliographisches Institut, Mann-

heim.

D. Laugwitz (1987a). Inﬁnitely small quantities in Cauchy’s textbooks. Histo-

ria Mathematica, vol. 14, s. 258–274.

D. Laugwitz (1987b). Zahlen und Kontinuum. Bibliographisches Institut,

Mannheim.

D. Laugwitz (2001). Curt Schmieden’s approach to inﬁnitesimals: An eye-

opener to the historiography of analysis, In: P. Schuster et al. (eds.) Reuniting

the Antipodes - Constructive and Nonstandard Views of the Continuum s.

127–142, Kluwer.

P. Martin-Löf (1989). Mathematics of Inﬁnity. I: P. Martin-Löf och G. Mints

(red.), COLOG-88 Computer Logic, Lecture Notes in Computer Science, vol.

417, Springer.

E. Palmgren (1995) A constructive approach to nonstandard analysis. Annals

of Pure and Applied Logic vol. 73, s. 297–325.

E. Palmgren (1998). Developments in constructive nonstandard analysis. Bul-

letin of Symbolic Logic, vol. 4, s. 233–272.

A. Robinson (1966). Non-standard Analysis. North-Holland.

C. Schmieden och D. Laugwitz (1958). Eine Erweiterung der Inﬁnitesimalre-

chnung. Mathematisches Zeitschrift. vol. 69, s. 1–39.

P. Schuster (2000). A constructive look at generalized Cauchy reals. Mathe-

matical Logic Quarterly, vol. 46, no. 1, s. 125–134.

D.D. Spalt (2002). Cauchys Kontinuum: Eine historiographisches Annähe-

rung via Cauchys Summensatz. Archive for the History of Exact Sciences.

vol. 56, s. 285–338.