Normat 55:4, 177–180 (2007) 177
Mer om trianglar med given omkrets och area
Jan Boman
Matematiska Institutionen
Stockholms Universitet
jabo@math.su.se
I Normat nr 2, 2007 studerar Bengt Ulin mängden av trianglar med given omkrets
och area. Det är intuitivt ganska uppenbart att denna mängd är en kontinerlig
skara — utom i undantagsfallet liksidig triangel — vilket Ulin också påpekar i
inledningen till sin artikel. Den geometriska metod som Ulin använder ger dock
blott ett svagare resultat. Här ska visas att, utom i det nyssnämnda undantagsfallet,
mängden i fråga alltid utgör en sammanhängande sluten ”kurva” i mängden av alla
trianglar.
En pA-triangel, det vill säga en triangel med area A och omkrets 2p, ges av en
trippel a, b, c för vilken
A
2
= p(p − a)(p − b)(p − c), och 2p = a + b + c.
För att studera mängden av pA-trianglar kan vi välja att betrakta p som given och
betrakta A
2
som funktion av (a, b, c). Vi inser lätt att punkten a = b = c = 2p/3
är speciell. Det är därför naturligt att göra en translation av koordinater så att
denna punkt svarar mot origo, nämligen att införa x = a − 2p/3, y = b − 2p/3,
z = c − 2p/3. Detta leder till funktionen
G(x, y, z) = A
2
/p = (
p
3
− x)(
p
3
− y)(
p
3
− z) = (q − x)(q − y)(q − z), (1)
där jag har satt p/3 = q. Jag vill studera lösningarna till
G(x, y, z) = c, x + y + z = 0
för givet q och c. Om vi utvecklar (1) och använder att x + y + z = 0 så får vi
G(x, y, z) = q
3
+ (xy + yz + zx)q − xyz.
178 Jan Boman Normat 4/2007
Eftersom q är given kan vi lika gärna studera ekvationen F (x, y, z) = c där
F (x, y, z) = G(x, y, z) − q
3
= (xy + yz + zx)q − xyz.
Vidare kan vi göra oss av med q med hjälp av homogenitetstransformationen
(x, y, z) 7→ (qx, qy, qz), vilket leder till specialfallet då q = 1. Eller, vilket är ekvi-
valent, vi kan observera att det räcker att studera det ursprungliga problemet för
ett speciellt värde på p, till exempel p = 3, vilket svarar mot q = 1. Detta leder till
funktionen
F (x, y, z) = xy + yz + zx − xyz.
Punkten F (0, 0, 0) = 0 motsvarar liksidig triangel. Eftersom vi vet att den lik-
sidiga triangeln har den största möjliga arean för given omkrets väntar vi oss att
funktionen F ska anta negativa värden för (x, y, z) 6= (0, 0, 0) och x + y + z = 0.
Så är i själva verket fallet, åtminstone för små (x, y, z), ty restriktionen till planet
x + y + z = 0 av den kvadratiska formen Q(x, y, z) = xy + yz + zx är negativt
definit. Ett sätt att inse detta är att skriva Q(X) =
1
2
hBX, Xi där X = (x, y, z)
och B är den symmetriska matrisen
B =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
.
Denna matris har egenvärdet 2 med egenvektorn (1, 1, 1), och egenvärdet −1 på det
2-dimensionella egenrummet som är ortogonalt mot (1, 1, 1), ty om x + y + z = 0,
så gäller
B
x
y
z
=
y + z
z + x
x + y
=
−x
−y
−z
.
Det följer att funktionen F (x, y, z) inskränkt till planet x + y +z = 0 har ett strikt,
lokalt maximum i punkten (x, y, z) = (0, 0, 0). Härav följer i sin tur att åtminstone
för små c < 0 finns en sluten kurva i planet x+y+z = 0 som består av lösningar till
ekvationen F (x, y, z) = c. Därmed är visat att en triangel som inte avviker särskilt
mycket från liksidighet måste ha en oändlig, en-parametrig skara av pA-tvillingar,
det vill säga icke-kongruenta trianglar med samma värde på p och A.
För att visa en starkare utsaga måste vi studera lösningarna till F (x, y, z) = c
för godtyckliga c i intervallet −1 < c < 0. Ty med p = 3, det vill säga q = p/3 = 1,
kan ekvationen (1) skrivas
A
2
/3 = (1 − x)(1 − y)(1 − z) = 1 + xy + yz + zx − xyz = 1 + F (x, y, z),
varför A = 0 svarar mot F (x, y, z) = −1.
Beteckna funktionen F inskränkt till x + y + z = 0 med F
0
. Vi är intresserade av
kritiska punkter till funktionen F
0
, det vill säga nollställen till gradienten för F
0
.
Gradienten för F
0
, grad F
0
, måste vara lika med projektionen av grad F på planet
x+y + z = 0. Nollställena till grad F
0
måste alltså vara de punkter för vilka grad F
är parallell med normalen till planet x + y + z = 0, det vill säga är parallell med
Normat 4/2007 Jan Boman 179
(1, 1, 1). Detta villkor kan skrivas, ∂F/∂x = ∂F/∂y, ∂F/∂x = ∂F/∂z, vilket efter
en lätt räkning ger
(y − x)(z − 1) = 0, (z − x)(y − 1) = 0.
Tillsammans med ekvationen x + y + z = 0 ger detta de tre lösningarna
(1, 1, −2), (1, −2, 1), (−2, 1, 1)
och inga andra. I dessa punkter har F
0
värdet F (1, 1, −2) = −1. Detta innebär att
de enda kritiska värdena till F
0
(det vill säga funktionsvärden i kritiska punkter)
är 0 (som svarar mot liksidig triangel) och −1 (som svarar mot urartad triangel
med area lika med noll). Med andra ord, om (x, y, z) är en punkt i vilken −1 <
F
0
(x, y, z) < 0, så måste gradienten för F
0
vara skild från noll i punkten (x, y, z).
Härav kan vi nu dra följande viktiga slutsats: om −1 < c < 0 så är lösningsmäng-
den till F
0
(x, y, z) = c en ”snäll” (det vill säga deriverbar, ja till och med oändligt
deriverbar) kurva. (Välj koordinater i planet x + y + z = 0 och använd ”implicita
funktionssatsen”!) Det betyder exempelvis att lösningsmängden inte kan innehålla
en isolerad punkt, en punkt där två kurvor korsar varandra, eller en ”hörn”-punkt
på en kurva. Eftersom detta argument endast handlar om lösningsmängdens utse-
ende ”lokalt”, så utesluter det dock inte att lösningsmängden kunde bestå av två
eller flera disjunkta kurvor. Vad som återstår är just att visa att detta inte kan
inträffa.
De möjliga värdena på a, b, c, som ju beskrivs av triangelolikheten a ≤ b + c och
två analoga olikheter, motsvaras av x ≤ y +z +2, y ≤ x+z +2, z ≤ x+y +2. Dessa
tre olikheter definierar ett triangelformat delområde av planet x+y+z = 0, som jag
kallar T . Randen av T svarar mot urartad triangel med area noll, vilket som sagt
innebär att F
0
= −1 där. De nyssnämnda kritiska punkterna är hörnpunkterna
av triangeln T . Detta innebär att funktionen F
0
saknar andra kritiska punkter än
origo i det inre av T .
Sats. För varje c i intervallet −1 < c < 0 gäller att lösningsmängden till ekva-
tionen F
0
(x, y, z) = c i området T utgörs av en enda enkel sluten kurva i planet
x + y + z = 0.
Bevis. Antag motsatsen, det vill säga att lösningsmängden till F
0
= c i T innehåller
minst två disjunkta slutna kurvor, γ
1
och γ
2
. Låt D
1
vara det begränsade delområde
av planet x + y + z = 0 som har γ
1
till rand. Eftersom γ
1
⊂ T så är det klart att
D
1
⊂ T . Eftersom F
0
är konstant på γ
1
så måste F
0
ha en extrempunkt i D
1
. Men
denna punkt måste vara en kritisk punkt, och vi har sett att den enda kritiska
punkten i det inre av T är origo. Alltså måste origo tillhöra D
1
, det vill säga
γ
1
löper ett varv runt origo. Samma resonemang tillämpat på γ
2
visar att även γ
2
måste löpa ett varv runt origo. Men det betyder att kurvorna γ
1
och γ
2
tillsammans
avgränsar ett ringformat delområde av T , som inte innehåller origo. Eftersom F
0
är
konstant på detta områdes rand, så måste F
0
ha en extrempunkt i detta område.
Men detta är också omöjligt, eftersom origo var den enda kritiska punkten i det
inre av T . Därmed har vi fått en motsägelse, varmed satsen är bevisad.
Ovan har underförståtts att kongruenta trianglar betraktas som samma triang-
lar. Det betyder att två taltripplar (a, b, c) som är förbundna med en cyklisk per-
mutation, till exempel (a, b, c) och (b, c, a), svarar mot samma triangel. (Däremot
180 Jan Boman Normat 4/2007
svarar (a, b, c) och (b, a, c) mot trianglar som är varandras spegelbilder, men i all-
mänhet inte är kongruenta.) Den avbildning som associerar en taltrippel (a, b, c)
till en triangel med sidorna a, b, c är därför inte en-entydig. Genom ett ögonblicks
eftertanke ser vi lätt att varje triangel som inte är liksidig har precis tre taltripplar
som urbild under denna avbildning. Detsamma gäller förstås om vi ersätter tripp-
larna (a, b, c) med tripplarna (x, y, z). Detta innebär att medan punkten (x, y, z)
genomlöper en av de slutna kurvorna i satsen ovan, så genomlöper motsvarande
triangel en sluten kurva i mängden av trianglar exakt tre gånger. Därmed har vi
visat följande korollarium.
Korollarium. Låt Q vara en godtycklig triangel som inte är liksidig. Mängden av
trianglar som har samma omkrets och area som Q utgör en kompakt, sammanhän-
gande, en-parametrig skara, närmare bestämt en enkel, sluten kurva i mängden av
trianglar.
Om A = p
2
/
√
27 är triangeln liksidig. Om A < p
2
/
√
27, så finns två likbenta
trianglar med area A och omkrets 2p, en med de två längsta sidorna lika och en med
de två kortaste sidorna lika (jfr Sats 2 i Ulins artikel). Om vi även skulle identifiera
trianglar som är varandras spegelbilder, så skulle skaran av pA-trianglar inte längre
vara en sluten kurva utan i stället ett ändligt kurvstycke, vars ändpunkter är de
två nyssnämnda likbenta trianglarna.
