Normat 56:1, 5–23 (2008) 5

Selbergintervjuet – Matematisk Oppvext

Nils A. Baas og Christian F. Skau

Matematiske Institutt

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

baas@math.ntnu.no, csk@math.ntnu.no

Når ble du klar over at du hadde spesielle evner i matematikk?

Vel, jeg skal si dere at i grunnen den første tiden jeg husker, det var en gang −

vi bodde da på Nesttun ved Bergen − jeg må ha vært en 7-8 år gammel, og vi var

engasjert i et ballspill noen andre gutter og jeg. Jeg tror at det var en slags langball,

og det er jo ofte da man har en del tid og ikke gjør noen ting, man står bare og

venter. Da regnet jeg ofte ut forskjellige ting i hodet. Jeg drev og så på diﬀeransene

mellom de forskjellige kvadrater oppover, og så at man ﬁkk de ulike tall. Jeg greide å

ﬁnne et bevis for det. Jeg regnet ikke med bokstaver den gangen, men ved å tenke

på at mellom tallet og tallet pluss ett kvadrert, skjøt jeg inn produktet mellom

tallet ganger tallet pluss ett, og da kunne jeg lett ﬁnne ut diﬀeransen for begge

sider. Så jeg oppdaget da ved å addere de ulike tall oppover at ﬁkk jeg kvadrater

hele tiden, og jeg syns jo det var noe interessant. Litt senere så fant jeg også på

samme måte, kan man si, at A

− B

er (A + B) · (A − B). Det kan gjøres på

samme måte selvfølgelig ved å skyte inn AB mellom de to kvadratene. Da kan man

se diﬀeransen til begge sider, og det siste hjalp meg jo ganske mye i hoderegning.

Man kan forkorte en god del ting på den måten, særlig fordi kvadratene er ganske

lette å huske ganske langt oppover.

Hvordan vil du sammenligne dette med at Gauss som barn adderte 1+2+3+· · ·

osv. opp til 100 da han ble anmodet av sin lærer om å gjøre dette?

Det var noe bedre gjort.

Synes du det?

Ja, ja, det synes jeg var bedre gjort. Jeg er ikke så sikker på at jeg ville ha funnet

på noe sånt. Men jeg forsøkte aldri å addere tallene opp til 100. Det var aldri noen

som ba meg om å gjøre det.

Fortalte du dette til noen eller diskuterte du det med din far?

Nei, det gjorde jeg ikke. Det var en interessant erfaring som jeg faktisk kan huske

den dag i dag. Det gjorde et stort inntrykk på meg at den lovmessighet jeg hadde

greid å etablere, den holdt så å si generelt, ikke bare i eksempler. Først en del år

senere begynte jeg å lese litt. Min far hadde i sin forholdsvis store matematiske

boksamling også en del skolebøker, ikke bare fra Norge, men også fra Danmark.

De danske bøkene var av høyere kvalitet enn de norske og var tydelig skrevet av

bedre matematikere. Jeg så litt i skolebøker fra Danmark, og jeg lærte meg å løse

6 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

kvadratiske ligninger med en ukjent, og lineære ligninger med ﬂere ukjente − ved

å eliminere, ikke med determinanter. Determinanter møtte jeg først mye senere og

jeg må si jeg likte ikke noe særlig det med determinanter, men senere fant jeg at

de kunne være ganske nyttige.

Før vi går videre, kunne du si litt mer om din oppvekst og hvilke steder i Norge

du føler deg mest knyttet til?

Jeg er født i Langesund, men har ingen erindringer om Langesund. En del av mine

eldre søsken husket Langesund svært godt, men jeg var efter hva jeg ble fortalt

omkring syv uker gammel da vi forlot Langesund og reiste til Voss. Så Voss er det

første sted jeg kan huske. Vi ble der i ﬂere år. Vi dro fra Voss da jeg var cirka 5 år.

Enten litt før eller litt efter jeg ble 5 år. Jeg er ikke riktig sikker på det. Men, jeg

har ganske godt minne om særlig de senere årene. Begynnelsen av mitt opphold der

kan jeg selvfølgelig ikke huske noe av. Jeg var litt for ung for det. Vi bodde også på

forskjellige steder der, først et sted som jeg har veldig vage erindringer om, fordi

jeg tror jeg var ikke stort mer enn to år eller så da vi dro derfra. I mellomtiden

hadde min far bygget et hus, en villa, ikke så langt fra jernbanestasjonen faktisk på

Voss. Vi ﬂyttet inn der. Det huset står fremdeles. Jeg har selvfølgelig ingen ideer

om hvem som bor der nå. Jeg har ofte gått opp og sett på det når jeg har vært på

Voss, som jeg har besøkt en hel del i de senere år når jeg har vært i Norge. Mye

for det jeg har noe slekt der, og dessuten, mine foreldre ble begravet der. Og også

min første kone.

Er hun også begravet på Voss?

Ja, hun er begravet der. Jeg kommer også til å bli begravet på Voss.

Hvor ﬂyttet dere så fra Voss?

Det er som jeg sa da jeg var cirka fem år gammel. Det er en episode som jeg husker

ganske mye av fra like før ﬂyttingen, men jeg burde kanskje ikke fortelle den.

Vi prøver!

Min bror Ole som var litt over to år eldre enn meg hadde fått en gyngehest, jeg

tror cirka ett år før. Og det må jeg si, jeg hadde holdt dette imot ham at han hadde

den gyngehest og at jeg ikke hadde noen gyngehest. Så jeg, før vi ﬂyttet fra Voss,

så husker jeg sa til ham at jeg ville hugge bena av gyngehesten før vi skulle reise.

Det kan jo sees på som et forsøk på å gjøre ﬂyttingen noe lettere. I alle fall, han

trodde ikke noe på meg, men jeg fant en øks og hugget benene av gyngehesten. Så

han hadde ingen gyngehest lengre da han ﬂyttet fra Voss.

Og da var det til Bergen dere ﬂyttet fra Voss?

Vi ﬂyttet ikke til Bergen, men min far hadde da opptatt en stilling i Bergen ved

Syneshaugen skole. Han var lærer i gymnaset der. Vi ﬂyttet først til et sted noe

utenfor Bergen, på den såkalte Bergensbanen, et sted som het Hop, der bodde vi

nesten ett år, og så ﬂyttet vi til Nesttun, hvor vi ble boende ganske lenge. Jeg ﬂyttet

vel fra Nesttun i enten ’32 eller ’33. Jeg var i tredje middelskoleklasse da vi ﬂyttet

på høsten. Min far hadde allerede reist dit. Men så tok det en tid å skaﬀe hus for

familien der, så vi ble værende på Nesttun en tid. Vi skulle også selvfølgelig selge

huset vi hadde på Nesttun og arrangere ﬂytningen, så jeg ble gående litt på skolen

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 7

i Bergen på høsten ’32 eller ’33, Min bror Ole gikk fremdeles på skole i Bergen, han

var begynt i gymnaset der. Men vi syntes efterhvert at det var ikke i grunnen så

nøye. Huset var allerede solgt, så vi bodde ikke med noen andre av familien, men

bodde noe annet sted de to av oss. Så efterhvert, vi bestemte oss til at vi ville ikke

gå på skolen lengre men vente til vi kom til Gjøvik og begynne der. Så vi sluttet å

gå på skolen. De folkene vi bodde hos trodde at vi gikk på skolen, men vi, får jeg

si, drev omkring på forskjellige steder og det kunne være ganske interessant også,

for så vidt. Men ble jo slutt på det selvfølgelig. Når vi kom til Gjøvik begynte vi

på skolen igjen.

Så det var på Gjøvik du gikk på gymnasiet?

Ja, der gikk jeg også ut 3. middelskoleklasse, og tok Middelskoleeksamen, og så

begynte jeg på gymnaset. På gymnaset gikk jeg bare to år. Jeg bestemte meg efter

å ha gått første klasse av gymnaset at det ble litt lenge igjen, så jeg bestemte meg

til å hoppe over en klasse og begynte i 3. gymnasklasse efter den første. Jeg måtte

ta en spesiell eksamen i tysk for å kunne gjøre det, men det gikk jo nokså lettvint.

Min tysk var ganske god, for jeg hadde lest ganske mye tysk litteratur. Vi sluttet

skolen, altså gymnasiet, samtidig, min bror Ole og jeg på tross av aldersforskjellen.

Han var litt over to år eldre.

Dere var ni søsken og derav fem gutter. Og du var den yngste?

Jeg var den yngste, ja.

Dere fem gutter ble jo alle professorer, og tre av dere i matematikk. Hadde dine

eldre brødre noen innﬂytelse på ditt valg av matematikk som felt?

Jeg må si, hva som gjorde at jeg valgte matematikk var til dels hva jeg hadde lest

på egenhånd i min fars bibliotek, og det drev meg i aller tidligste år også. Før jeg

ble interessert i å se på de matematiske bøkene, så må jeg tilstå jeg leste mest i

en del leksikoner i huset. Ett norsk, som ikke var så veldig stort, men også et stort

tysk ett, som jeg selvfølgelig ikke riktig kunne forstå ordene i. Men det var ganske

mange interessante illustrasjoner i det, så jeg bladde mye i det og så. Men i det

norske leste jeg en hel del. Ganske tidlig. Jeg tilbrakte ofte en hel del av tiden efter

skolen med å sitte med forskjellige bind av dette norske leksikonet og se på artikkel

efter artikkel. Men jeg må si på den tiden interesserte jeg meg litt mer for kjemi

enn for matematikk, og mer spesielt, jeg var interessert i ting som eksploderte!

Men da du begynte å studere, vurderte du ikke å studere kjemi, sammen med

matematikk?

Nei, jeg tenkte at kjemi var ikke noe fag for meg, for der må man ta ganske mye

laboratorieforsøk. Jeg bestemte meg til, for sikkerhets skyld å ta fysikk som jo har

noe laboratorium, men ikke på langt nær så mye som kjemien. Ellers hadde jeg,

som bifag, ved siden av fysikken, så hadde jeg mekanikk og astronomi.

Dine to eldre brødre, Henrik og Sigmund, hadde de noen innﬂytelse på ditt valg

av felt, innenfor matematikk?

Jeg må si, den som hadde en innﬂytelse var min bror Sigmund som jeg snakket

mer med. Han hadde også begynte å lese matematikk på egenhånd. Og han gjorde

meg oppmerksom på - for eksempel - en bok i min fars bibliotek, som jeg nok vel

8 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

ikke hadde åpnet hvis han ikke hadde vist den til meg. Det var en algebra bok av en

franskmann, Serret. Men den var oversatt til tysk, så jeg kunne lese den, efter jeg

hadde begynt å lære noe tysk. Og det hadde noe i seg som fanget min interesse, og

som han viste meg. Det var noe av Chebyshevs arbeider om primtallenes fordeling,

og dette syntes jeg var uhyre interessant, så det leste jeg gjennom. Jeg må si at

resten av boken var ikke verdt å lese, så jeg lærte ingen algebra egentlig. Min far

subskriberte på Norsk Matematisk Tidskrift, og av og til så jeg på artikler der. Og

det kom en artikkel av Carl Størmer

om Ramanujan. Den syntes jeg var uhyre

interessant. Men, selvfølgelig, det var ikke noe mer. Min far hadde ingen bøker

om Ramanujan, selvfølgelig. Men min bror Sigmund hadde vel lest samme ting, og

hadde tatt ut fra universitets bibliotek Ramanujans samlede verker, eller hva det nu

heter, kanskje ”selected” verker, som var publisert av G. H. Hardy. Han tok dette

med hjem i en eller annen ferie så jeg ﬁkk se den, og det gjorde et stort inntrykk

på meg. Og jeg må si, disse to ting kom nok til å bestemme mye mine framtidige

interesser i matematikk. Jeg mener primtall, og selvfølgelig, når man er interessert i

primtall så følger det at man blir interessert i zeta-funksjonen, for eksempel. Og av

Ramanujan kom interessen for modulformer og den slags, og det leder selvfølgelig

også til en interesse for mer generelle automorfe funksjoner og former. Så disse

ble hovedinteresser. Jeg ble senere også interessert i såld-metoden. Den kom ikke

i grunnen av noen ytre innﬂytelse, men fordi jeg i forbindelse i mitt arbeide med

zeta-funksjonen så ﬁkk jeg noen ideer som ledet meg inn til den. Først til den annen

måte å betrakte såld-metoder på, og til et mylder av arbeider på dette området

også. Men selvfølgelig dette var jo forbundet med spørsmål om primtall så det var

jo egentlig ikke ut av det generelle området som Sigmund hadde introdusert meg

til. Jeg kan ikke si at min bror Henrik hadde noen innﬂytelse på meg, men han var

hjelpsom. Han maskinskrev min første avhandling som jeg ﬁkk framlagt i høsten

35, da jeg begynte ved universitetet. Størmer fremla den i videnskapsakademiet og

han [Henrik] ikke bare maskinskrev den men han også førte inn formlene med sin

håndskrift fordi min håndskrift ikke var så vakker, og den var også noe stor. Hans

var mer delikat, får jeg si. Og så det passet bedre. Så hvis man ser på manuskriptet

der ligner det ikke mye på mine senere manuskripter. Da jeg begynte å føre inn

formlene selv. Det ser mye penere ut dette første.

I de tidlige formative årene, mens du ennå var i gymnasiet, var det enkelte

matematikere som stod for deg som forbilder, og som ﬁkk innﬂytelse på hva du

valgte senere som forskning i matematikk?

Vel, da jeg var i gymnasiet hadde jeg allerede lest ganske mye matematikk, så

jeg var jo kjent med navnene til en hel del. Men jeg kan ikke egentlig si at de var

forbilder for meg. Fordi jeg tenkte jo ikke på . . . jeg mener for eksempel et navn

som Abel eller Riemann eller for ikke å snakke om Gauss. Det falt meg ikke inn å

bruke de som forbilder, for jeg tenkte jo at de lå jo langt foran hva jeg kunne regne

med å prestere noen gang. Så jeg kan ikke si å ha hatt noe forbilde i den forstand.

Det fantes en del matematikere som jeg beundret, men de var ikke forbilder. Jeg

mener, i mitt valg av hva jeg ville lese og ville beskjeftige meg med så hadde jeg

aldri noen tanker på å følge efter noen bestemt. Det var mer hva som appellerte til

min fantasi.

Carl Størmer (1874-1957), norsk matematiker, professor i matematikk ved Universitetet i

Oslo, 1903-1946

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 9

Men når ble du kjent med disse navnene slik som Abel, Gauss og Riemann? I

hvilken alder?

Jeg mener, vi hadde jo disse bøkene i min fars bibliotek. Så jeg så på disse bøkene

til dels før jeg kom i gymnaset, selv om jeg ikke forstod noe særlig av det på den

tiden. Jeg måtte jo først lærer meg litt av grunnlaget, som jeg gjorde på en noe

ubalansert måte, får jeg si. Den første store lærebok jeg tok fatt på var da jeg var

12-13 år gammel, jeg begynte å lese Størmers bifagsforelesninger i matematikk. Min

far hadde en nokså gammel utgave, en tidlig utgave som var håndskrevet. Grunnen

til det var at da jeg bladde i denne boken kom jeg over en formel som jeg syntes

var veldig merkverdig. Nemlig en rekke som var først oppdaget av Leibniz:

= 1 −

−

+ · · ·

Det syntes jeg var veldig merkverdig, for jeg visste allerede hva π var i forbindelse

med sirkelen. Så jeg bestemte meg til å ﬁnne ut hvordan dette hang sammen, jeg

begynte å lese boken. Det var et under at jeg ikke ga opp fordi den begynner med

å innføre de reelle tall og bruker Dedekind-snitt. Jeg leste igjennom og kunne ikke

begripe hva det skulle være godt for. Jeg syntes jeg hadde et ganske klart begrep

om reelle tall som jeg tenkte på som desimaltall, desimaler, muligens uendelige

desimaler.Jeg må si at jeg anser at Euler hadde utvilsomt et helt klart begrep om

hva et reelt tall var, ingen grunn til å tro at det først kom med Dedekind. De

kan like godt deﬁneres på den måten: vi skriver ting opp i desimalsystemet og

tenker oss at vi har uendelige desimaler. Denne innføringen av reelle tall i Störmers

bifagsforelesninger kunne jeg ikke forstå hensikten eller nytten av, men jeg leste

gjennom det, og etter at jeg var ferdig med det avsnittet, så begynte stoﬀet å bli

interessant fra mitt synspunkt. Jeg synes fremdeles at Störmers bifagsforelesninger

var meget gode, og det var en stor ulykke synes jeg at man i Norge innførte Tambs

Lyches lærebøker. På mange måter, av alt det jeg har lest var det kanskje den bok

som betydde mest for min utvikling som matematiker.

I Störmers bifagsforelesninger der møtte du også kjedebrøk for første gang?

Kjedebrøk syntes jeg var interessant. Jeg fant jo ut at de blant annet hadde

sammenheng med dette som av noen grunn kalles for Pells ligning. Den har jo i

virkeligheten ingenting med Pell å gjøre. André Weil sa engang at hvis noe har fått

navnet etter noen person, så hadde vedkommende som regel veldig lite med det å

gjøre.

Du hadde vel ikke noe utbytte av matematikkundervisningen i skolen?

Jeg leste ingen geometri. De trigonometriske funksjoner møtte jeg først som po-

tensrekker, og Eulers formler for sinus og cosinus ved e

og e

−ix

møtte jeg først

på den måten.

Men senere ble du mer interessert i geometri?

Bare når jeg kunne ha nytte av det, så og si. I hva jeg har gjort senere, har jeg

til dels måttet bruke en del geometriske betraktninger. Jeg syntes det av og til

var lettere å håndtere symboler, og å bruke analyse og sånt, selv om jeg var mer

interessert i anvendelse på diskrete problemer. Jeg var aldri så særlig interessert i

generell funksjonsteori. Jeg likte de spesielle funksjonene, elliptiske og automorfe

10 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

funksjoner, for eksempel, og særlig modulfunksjoner og modulformer og lignende.

Den generelle analytiske funksjonen syntes jeg var omtrent så interessant som det

generelle reelle tall. Man er i grunnen ikke så særlig interessert i det. Proletariatet

av alle reelle tall er ikke så interessant på en måte, selv om det kan være vanskelig

å ﬁnne ut av deres natur, om de er irrasjonelle eller algebraiske eller hva de nå kan

være. For eksempel Eulers konstant, det er enda ingen som vet noe om dens natur.

Hva med Riemannske ﬂater?

Selvfølgelig, da jeg leste funksjonsteori kom jeg bort i Riemannske ﬂater, men jeg

var mer interessert i algebraiske Riemannske ﬂater enn det helt generelle begrepet,

og i uniformiseringsteori og automorfe funksjoner.

Hang din interesse for automorfe former sammen med din oppdagelse av Rama-

nujans arbeider?

Jo, jo, dette startet med Ramanujan. Det var min første kontakt med det, og det

var ikke generelle automorfe funksjoner eller generelle grupper, men til å begynne

med var det modulgruppen, og den klassiske modulfunksjonen som knytter seg til

den, og til undergrupper av endelig indeks, som jeg studerte.

La oss vende tilbake til skolen: fulgte du den vanlige undervisningen der?

Jeg leste noe språk på egen hånd. Jeg begynte å lære litt engelsk mens jeg alt var i

folkeskolen. Jeg hadde funnet en kopi i min fars bibliotek − ikke den matematiske

del av det − av ”Alice in Wonderland”, så jeg ble interessert i illustrasjonene, og

skulle gjerne kunne lese den. Jeg begynte med å sitte med en ordbok og oversette

ord for ord. Det var veldig besværlig selvfølgelig, men jeg ﬁkk av og til en eldre

søster til å lese og oversette for meg. Det var min eldste søster Anna som gjorde

det, og det var jo svært snilt av henne å gjøre det. Jeg vet ikke om hun var noe

særlig interessert i boken.

Kan du fortelle om din første oppdagelse i matematikk som resulterte i et arbei-

de?

Den første oppdagelse var jo dette med diﬀeransen av kvadrattallene! Jeg leste

jo en hel del i de forskjellige bøker, og gjorde ikke noen oppdagelse som er noe å

snakke om. Det var enkelte ting, jeg fant en forbindelse mellom integralet

og rekken

∞

n=1

Det er jo et forholdsvis enkelt bevis hvis man har lært hva gammafunksjonen er og

Eulers integral for gammafunksjonen. Da er det en enkel formel å vise.

Hvor gammel var du da?

Det var en del senere. Jeg var 15 år gammel, kanskje.

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 11

Den oppgaven sto i Norsk Matematisk Tidsskrift i 1932, så du var 15 år gam-

mel.

I 1932? På hvilken tid av året? Jeg vet ikke presis hvor lang tid det tok før den

kom der. Det var ikke jeg som sendte den inn, det må ha vært min far som sendte

den. Den kan jo også generaliseres til en mer generell form.

Kan du fortelle oss litt om din studietid i Oslo? Hva du arbeidet mest med da?

Som sagt, jeg kom til Oslo høsten 1935. På den tid var det ganske mange av

familien som var i Oslo, så vi hadde leiet en leilighet oppi Ullevål Hageby, i en

villa med to leiligheter i. Vi hadde toppleiligheten, og det var en skipskaptein som

hadde leiligheten under oss. Jeg kan ikke huske hans navn. I alle fall, det var, skal

vi se, ved siden av meg selv, så begynte min bror Ole også sine studier den høsten

i ﬁlologi, for hans vedkommende. Mine brødre Arne og Henrik var også begge i

leiligheten. Henrik var dosent ved universitetet, og min bror Arne var ingeniør ved

brokontoret i vegvesenet. Dessuten var min eldste søster Anna der. Hun tok noen

studier der. Hun var lærer egentlig. Min bror Sigmund ble værende på Gjøvik. Han

hadde fått pleuritt, så han hadde ligget til sengs over hele sommeren, og ble også

liggende hele høsten. Det var sent på høsten da han kom ned til Oslo. Han hadde

lagt på seg en hel del mens han lå til sengs, kan jeg huske. Så, det var for så vidt så

mange av oss at det var en god ide å leie en leilighet. Vi hadde også en housekeeper,

eller en husholder, som det heter. En dame som kom fra Hardanger. Så jeg levde

nokså forskjellig fra de ﬂeste andre studenter som kom utenfra til universitetet. Jeg

var således på den tid fremdeles i familien. Det første faget jeg tok var astronomi.

Eller, det fantes jo også dette de kalte forberedende prøver. Latin hadde vært gitt

opp på den tiden, men det var fremdeles noe i ﬁlosoﬁ og psykologi, som de kalte

det. Jeg gikk selvfølgelig ikke på noen forelesninger i dette, jeg bare så litt på disse

bøkene. Jeg fulgte forelesningene i astronomi, som var til dels astrofysikk og til

dels hva man kaller himmelmekanikk. Ved siden av det så drev jeg da med min

matematikk ved siden av. Jeg ﬁkk mitt første arbeide framlagt av Carl Størmer

efter at det var blitt maskinskrevet av min bror Henrik. Også formlene ble innført

av ham.

Hva var emnet i dette arbeidet?

Det var inspirert av Ramanujan, får jeg si. Det var skrevet på tysk på den tiden, for

det var mitt beste språk, "Über einige arithmetische Identitäten". Og jeg hadde en

del formler av forskjellig art der. Det ble send til England, til en matematiker G. N.

Watson, som hadde arbeidet en hel del med Ramanujans ting, for hans bedømmelse.

Det tok ganske lang tid før han sendte det tilbake med en uttalelse. Jeg skal egentlig

ikke klage, for senere var jeg heller ikke så særlig kvikk hvis jeg ﬁkk tilsendt noe

jeg skulle se på. Så jeg må si at Watson var nok ikke på noen måte langsommere

enn hva jeg har vært. Men jeg synes det tok lang tid, og Størmer sendte efterhvert,

tror jeg, ett purrebrev på ham, så da kom det tilbake. Han hadde ett par forslag

på endringer i notasjonen og sånn. Det gikk jo greit altså. Så det kom da ut, og

jeg ﬁkk dette publisert. I mellomtiden var jeg begynt å arbeide med noe annet som

også hadde å gjøre med Ramanujans saker. Det var om hans såkalte mock theta

funksjoner. Watson hadde skrevet om noen av dem. Ramanujan hadde nevnt tre

Nypublicerat i detta nummer under titeln ’Løste opgaver’

12 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

klasser av funksjoner: mock theta funksjoner av orden 3, 5 og 7, som han kalte

dem. Og mellom de første hadde han gitt visse relasjoner. Mellom disse av orden 7

hadde han ikke gitt noen relasjoner. Mitt arbeide gikk i det vesentlige ut på å vise

at de hadde den opptreden i nærheten av singularitetene på enhetssirkelen, nær de

rasjonale punkter på enhetssirkelen som de skulle ha ifølge hans deﬁnisjon. Og jeg

kunne bruke en del av det jeg hadde funnet i mitt første arbeide, noen av disse

formlene, til dels, for å kunne gjøre disse oppskatningene som var nødvendige. Så

jeg kunne vise at de oppførte seg som Ramanujan sa de skulle. De var mock theta

funksjoner i den forstand at de oppførte seg som en riktig theta funksjon opp til

en feil som var begrenset eller liten når man nærmet seg singularitetene. Så dette

arbeidet gjorde jeg ferdig også under det første året, og gav det til Størmer. Det

ble trykt året efter. Ja, jeg tok selvfølgelig også noen eksamener på universitetet,

men det er ikke så mye å snakke om. Jeg mener efter astronomi tok jeg mekanikk

som fag, og så til slutt fysikken, som jeg hadde utsatt på grunn av at laboratiorie-

tingen tok sin tid, selvfølgelig. Jeg gikk på forelesninger i mekanikk også. Det var

Edgar Schieldrop han var på mange måter en god foreleser, men han hadde den

feil, må jeg si, at han ofte gikk nokså lett hen over ting som i virkeligheten var

nokså vanskelige, mens han spanderte lang tid over det som var egentlig ikke så

vanskelig. Men han fremstilte det som om det var vanskelig. I fysikk gikk jeg litt på

Lars Vegards forelesninger. Men Sem Sæland som foreleste også, han var gått av

som rektor og kommet tilbake til fysikken. Jeg hørte på en forelesning av ham og

den synes jeg var så dårlig. Det var ikke verdt å høre på ham lenger, tenkte jeg. Så

jeg leste fysikk utenom. Men selvfølgelig, jeg gikk på laboratoriet og jeg ble satt...

vi var jo to og to som arbeidet sammen. Da vi gjorde vårt første eksperiment... jeg

så at denne som jeg var sammen med, jeg kunne ikke riktig ha tillit til ham når det

gjaldt å håndtere de elektriske ting. Jeg så han var begynt å sette opp det første

eksperimentet og det ville ha ledet til en kortslutning hvis jeg ikke hadde stoppet

ham i tide. Så jeg ﬁkk den avtalen at jeg skulle gjøre eksperimentet, så kunne han

skrive det opp. Så det holdt vi oss til senere, og det gikk bra på den måten.

I astronomi, var det Rosseland som foreleste der?

Det var Rosseland som foreleste, ja. Vel, det var også en annen, men denne obser-

vatoren, han var det ikke noe særlig å høre på, får jeg si.

Hva med matematikkforelesninger, gikk du på dem?

Vel, jeg gikk på Heegaards forelesninger fordi jeg hadde ikke lest noe større geome-

tri. Jeg mener, jeg var ikke interessert i disse tingene. Men jeg måtte jo lære meg

noe av det fordi det var jo eksamen i det. Så jeg gikk og hørte på Heegaard, som var

forresten en ganske god foreleser. Heegaard var en veldig mangesidig mann, han

kunne veldig mange språk. Han kunne blant annet gresk for eksempel, og oversatte

en del fra... han skrev en del ting om mer arkeologiske ting, om egyptisk medisin

og magi tildels, og oversatte papyrus som var skrevet på gresk i den senere tid, i

den hellinistiske tid i Egypt og sånn. Jeg tror ikke han kunne oversette de riktig

gamle ting som var skrevet på egentlig egyptisk. Men han var kunnskapsrik i det

henseendet også utenom. En noe merkverdig mann på forskjellige måter, men hans

forelesninger var i grunn ganske gode. Størmer gikk jeg på, tildels ut av høﬂighet,

får jeg si. Jeg satt alltid langt bak, sånn at jeg kunne, om jeg ville, tenke på noe

annet. Men Størmer var svært hjelpsom mot meg når det gjaldt å få mine ting

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 13

publisert. Han spilte jo antagelig en rolle når jeg søkte om bidrag fra Nansenfon-

det. For det fantes en særskilt avdeling av Nansenfondet som kaltes for Abelfondet.

Det hadde vært ﬁnansiert av en som het Hanevik, på en tid da han hadde penger.

Han var en meget velstående mann under krigen og like efter den første verdens-

krig, men så kom det en tid da det gikk veldig ned. Så han mistet det meste av

det, de pengene han hadde. Hans tanke hadde vært egentlig å gjøre et mye større

bidrag. Det skulle ha vært større dette Abelfondet. Det var ikke så stort, men det

rakk i alle fall for mine behov. Og han hadde jo også lovet å skaﬀe Oslo en opera.

Christopher Hanevik var hans navn. Men det ble det aldri noe av. Han førte en

del saker for å få tilbake en del av de ting han hadde mistet. Han døde antagelig

før disse tingene ble riktig avgjort. Det dro ut og ut... men vi skal ikke snakke

mer om Hanevik i alle fall. Jeg må si jeg tror i grunn Størmer var også en god

foreleser. Og han foreleste bare bifag på den tid. Før jeg kom til Oslo hadde han

holdt noen forelesninger om gammafunksjonen for hovedfagsstuderende, men de

var over da jeg kom. Han gav bare bifagsforelesninger mens jeg var der. Heegaard

foreleste hovedfag. Da jeg senere tok matematikk som hovedfag, så hørte jeg på

min bror Henrik som foreleste funksjonsteori, i det vesentlige. Og på den tid var

Skolem kommet til Oslo fra Bergen, og han foreleste algebra. Nokså gammeldags

algebra. Han brukte en bok av Dedekind og en annen, jeg kan ikke huske det andre

navnet. Det var absolutt ikke moderne algebra, som man sier.

Hva slags geometri foreleste Heegaard på den tiden?

Han foreleste om algebraiske kurver for eksempel, og algebraisk geometri. Han fore-

leste om topologi, Riemannske ﬂater, og sådan. Om diﬀerentialgeometri. Det var en

hel del, ikke alle ting i samme semester. Dette her var hans hovedfagsforelesninger.

Bifagsforelesningene var jo noe enklere stoﬀ da.

Når fullførte du din hovedoppgave i matematikk?

Jeg fullførte den i

39.

Hvilket emne var det du behandlet?

Det dreide seg noe om modulformer. Framstillinger av modulformer ved Poinca-

réske rekker. En litt annen type enn de Poincaré hadde betraktet, og som ledet til

visse formler for koeﬃsientene i disse modulformene, og en del konsekvenser som

kunne dras fra dette.

Hvilken karakter ﬁkk du på hovedoppgaven din?

Såvidt jeg husker ﬁkk jeg 1 på hovedoppgaven hos Skolem. Han sa at den var

egentlig for stor for en hovedoppgave. Den var på ganske mange sider. At det

var mer en doktoravhandling, men jeg ville jo ha hovedfagseksamen så jeg hadde

ingen tanker på å bruke det som doktoravhandling. Den skrev jeg først en del år

senere. Efter våren ’39, da jeg tok min hovedfagseksamen, så gjorde jeg min første

”instalment”, eller første del av min militærtjeneste. Jeg hadde fått den utsatt

et år på grunn av at jeg arbeidet med hovedfaget, og at jeg ville delta på denne

kongressen i Helsinki.

14 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

Men så ble det universitetsstipendiat?

Ikke med en gang, nei. Det tok et par år før jeg ble universitetsstipendiat. Det

var en del andre folk som ventet på å bli universitetsstipendiater, og sånn. Det var

ikke så lett å gå forbi, får en si, de som hadde mer ansiennitet.

Kan du fortelle om den oppdagelsen du gjorde da du leste om Ramanujans og

Hardys arbeid med partisjonfunksjonen?

Jeg så på denne avhandlingen om ”partitions”, og jeg fant den eksakte formelen,

men det var en skuﬀelse. Poenget var at jeg så etter i Zentralblatt og leste anmel-

delsen som sto om min første avhandling:’Über einige arithmetische Identitäten’.

Jeg hadde gjort ferdig dette om partisjonsfunksjonen sommeren i 1937. Da jeg kom

til Oslo og så i Zentralblatt der, fant jeg dette referatet om min første avhandling,

men på samme side sto Rademachers arbeide om partisjonsfunksjonen referert. Nå

hadde jeg en ting som Rademacher ikke hadde, og det var at jeg hadde et mye

enklere uttrykk for disse koeﬃsientene som opptrer i denne rekken. Det var også

noe Ramanujan ville ha gjort hvis han hadde vært ved sine fulle krefter da det-

te pågikk, fordi den inverse av denne funksjonen som genererer partisjonene, er

jo i virkeligheten bare en thetafunksjon, og den enhetsrot som oppstår i transfor-

masjonsformelen foran thetafunksjonen kan alltid uttrykkes som en slags gaussisk

sum. Hvis man gjør det, er det klart at rekken for partisjonsfunksjonen transfor-

meres ved den inverse enhetsrot og konjugering. Hvis man gjør det, og setter det

inn i denne deﬁnisjonen for disse koeﬃsientene, som betegnes A

(n) for ledd nr. q

i rekken for partisjonsfunksjonen P (n), så får man en ganske enkel rekke som viser

størrelsesordenen for disse koeﬃsientene. Konvergensen av rekken er åpenbar, men

altså dette er noe som på en måte burde vært gjort av Hardy og Ramanujan, men

jeg tror at Hardy hindret det endelige resultat, for Ramanujan hadde allerede vært

inne på den riktige formelen tidligere i disse brev han skrev fra India til Hardy før

han kom til England. Men på den tid avhandlingen ble skrevet, var det ingen tvil

om at Ramanujan ikke var frisk. Han led antagelig av vitaminmangel, han ernærte

seg bare på ting han ﬁkk sendt fra India. Han hadde ikke frukt eller grønnsaker

eller slike friske ting, bare slike ting som kunne tørkes. Han led åpenbart av ganske

alvorlige ernæringsmangler.

Kan du fortelle om denne skuﬀelsen da du oppdaget at Rademacher hadde gjort

dette?

Jeg bestemte meg til å ikke publisere dette med koeﬃsientene. Jeg syntes det var

for lite til å skrive noe om. Men jeg bestemte meg til å gjøre noe annet, og hva jeg

så bestemte meg til, var dette som jeg snakket om på den Skandinaviske Kongress

i Helsingfors i 1938 (de sa Helsingfors på den tiden). Det var et kort foredrag på vel

20 minutter. Det var den første forelesning jeg noen gang har holdt. Og den gikk

forholdsvis bra. Den ble trykt i kongressberetningen, et forholdsvis kort referat av

den. Jeg møtte jo en del matematikere der, for eksempel møtte jeg Lindelöf den

gang, og Carleman var der. Carleman presiderte da jeg holdt mitt foredrag og var

meget velvillig, får jeg si, og Harald Bohr var også svært vennlig mot meg. Det som

ellers gjorde mest inntrykk på meg på den kongressen, var et foredrag som Arne

Beurling ga, det gjorde et stort inntrykk på meg. Det hadde i seg ganske mange

ting, blant annet snakket han en del om sine generaliserte primtall og generalise-

ringen av primtallsatsen i den forbindelsen. Dette gjorde et stort inntrykk på meg.

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 15

Jeg hadde i 1939 fått et stipendium, et reisestipendium, som jeg hadde tenkt å reise

til Hamburg for. Et foredrag som Erich Hecke hadde holdt i Oslo i 1936 under ver-

denskongressen, gjorde et stort inntrykk på meg. Jeg gikk ikke på det foredraget,

jeg hadde ikke vett nok til det, men så det senere da kongressberetningen kom ut.

Det var det som gjorde størst inntrykk på meg av alt i hele kongressberetningen

må jeg si. Så jeg ville ha reist til Hecke. Jeg gjorde meg ferdig med hovedfag våren

1939, og jeg hadde gjort meg ferdig med første del av militærtjenesten sommeren

1939. Jeg var i feltartilleriet, regiment nr.2.Jeg hadde jo avsluttet mine studier, så

det var rimelig å prøve å reise ut noe sted, men den andre verdenskrigen brøt ut

akkurat som jeg hadde sluppet ut av militærtjenesten denne sommeren, og jeg ville

ikke dra til Hamburg. Så jeg tenkte at jeg ville dra til Uppsala. Jeg hadde hørt at

de hadde et veldig bra matematisk bibliotek i selve Matematiska Institutionen.

I Oslo var det jo på den tiden svært besværlig. De hadde ikke mye bøker på Blin-

dern. Tidsskrifter og sånt, det var svært lite, man måtte ned på universitetsbiblio-

teket på Drammensveien, og ﬁkk ikke lov til å gå inn og lete etter ting selv, men

vi måtte se i katalogen og bestille, så det var mye bedre i Sverige. Universitets-

biblioteket lå veldig ubekvemt til for de på Blindern, det var ganske mye besvær

å komme dit. Så jeg dro til Uppsala da istedet og tenkte at Beurling ville være

der, men det viste seg at han var blitt innkalt til militærtjeneste for å tjene ved

kryptograﬁavdelingen, eller chiﬀeravdelingen som de sa der, og hvor han under

krigen gjorde et stort arbeid faktisk. Han var en stor begavelse i den retning. Jeg

traﬀ Beurling bare en gang mens jeg var der. Det var en søndag da jeg var alene

i biblioteket på Matematiska Institutionen og satt og arbeidet, så kom Beurling.

Jeg kjente han fra kongressen i Helsingfors året før, og jeg snakket med han da,

men ellers hadde jeg ingen nytte av han. Han var der simpelthen ikke. Nagell var

der. Han holdt noen forelesninger som jeg gikk på, men for det meste satt jeg i

biblioteket, og det var et meget godt bibliotek. De hadde masse tidsskrifter der, så

jeg hadde mye mer tilgang til litteratur enn jeg ville hatt i Oslo − jeg mener lett

tilgang til litteraturen. I Oslo var det som sagt mer komplisert den gangen å få fatt

på tingene.

Uppsala var et godt sted å arbeide. Jeg hadde ikke mye bruk for professorene

der, men på den annen side, jeg skaﬀet meg en del venner. Det var en del yngre folk

der. Vi brukte å gå ut sammen på eftermiddagen til et konditori som var i nærheten

og sitte der en stund og ha kaﬀe og litt kaker kanskje. Snakke sammen om litt løst

og fast, som det heter. Det var en dosent der som het Harald Bergström som ble

en venn av meg. Det var en annen mann, han var en tallteoretiker på den tiden, en

elev av Trygve Nagell. Det var en annen elev av Trygve Nagell, jeg kan ikke huske

hans første navn. Det var Billing til efternavn. Han var også en elev av Nagell. Han

levde ikke så lenge. Han døde et par år efter faktisk. Han var også en ganske.... han

var sønn av en biskop husker jeg. Bo Kjellberg var der. Han var vel den yngste av

de andre. Og så var det en kjemiker. Han hadde noe interesse i matematikk. Han

het Claesson til etternavn. Jeg kan ikke komme på hans fornavn, han ble senere

professor i kjemi der og var formann for denne komiteen for Nobelprisen i kjemi

i mange år. Jeg traﬀ ham en del par ganger senere også, men dessverre, han ﬁkk

Alzheimer allerede i 60-årene. Han var ikke så svært gammel litt over 60, tror jeg,

da han ﬁkk Alzheimer.

16 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

Hvor lenge var du i Uppsala totalt da?

Jeg må si jeg var der til ut i desember en del. Men jeg synes det ble så ufyselig

vær der. Det var så ille når vinteren begynte å komme. Ikke at det var så veldig

kaldt, men det var så surt og så mye vind. Og når det kom snø, det kom noe, så

ble [det] bare snøslaps i Uppsala. Det var vanskelig å holde sine føtter tørre, får

jeg si. Jeg hadde likt Uppsala ganske bra tidligere, men jeg syns det var ille. Så jeg

bestemte meg da i desember, jeg reiste hjem til jul i midten av desember tror jeg,

at jeg ikke ville dra tilbake til Uppsala. Jeg ville like godt være om våren i Oslo og

arbeide der. Riktignok, det var mer besværlig å få tak i bøker i Oslo.

Jeg hadde gjort ferdig en del manuskripter mens jeg var i Uppsala. Og da jeg

kom tilbake til Oslo litt ut i januar, så gav jeg disse manuskriptene til Størmer og

sa han kunne fremlegge dem. Det var to manuskripter, såvidt jeg husker. Ett som

hadde noe av et utdrag av min hovedoppgave som ikke hadde vært nevnt i det jeg

sa i Helsingfors i

38, og en annen avhandling som jeg hadde skrevet, som handlet

om dette som idag kalles Rankin-Selberg konvolusjon som jeg hadde fått ideen til

og kompletterte på ett par dager. Mine kunnskaper var jo veldig sporadiske på

mange felter. Saken er den at i disse arbeider jeg hadde sett på, som alle var på

engelsk... Ramanujan, Hardy og disse andre. De var ikke så særlig interessert i den

mer diﬀerensialgeometriske naturen av det hyperbolske plan. Det forekom ikke noe

sted i deres arbeide.

Da jeg kom til Uppsala, så jeg et arbeide der hvor jeg lærte noe som jeg ikke

hadde visst om. Jeg hadde nemlig ikke hatt noe kjennskap til hyperbolsk geometri,

og spesielt hadde jeg ikke hørt om målet

dxdy

som er det invariante mål i den hyperbolske geometrien i det øvre halvplan, og

det fant jeg ut ved å se på et av de tyske tidsskrifter som kom. Så gikk det et lys

opp for meg at jeg kunne gjøre noe som jeg hadde gjort på en dårligere måte for

modulgruppen i min hovedoppgave, og jeg satte meg ned og jeg skrev et arbeide,

et manuskript om det som jeg nevnte ovenfor, og som kalles for Rankin-Selberg

konvolusjonen. Hvis du har to modulformer kan du danne en Dirichlet-rekke hvis

koeﬃsienter er produktet av de tilsvarende koeﬃsienter av de to modulformer, og

den har da en viss funksjonalligning. Jeg ga beviset for funksjonalligningen og trakk

en del konsekvenser som jeg ikke ga hele beviset for, men bare skisserte.

Det var ut i mars at jeg så i Zentralblatt, at det var et arbeide av en skotte,

Rankin, som var referert. Han hadde egentlig ikke deﬁnert en konvolusjon av to

funksjoner. Han opererte bare med en funksjon og kvadratene av koeﬃsienten til

den, så det var mer spesielt. Han hadde trukket noen konsekvenser av dette. Det

som han hadde gjort hadde bare anvendelser på modulformer av samme vekt eller

automorﬁ-faktor, mens det som jeg hadde deﬁnert kunne også brukes til to former

av forskjellig vekt. Min idé der var noe mer generell enn hans, men han var utvil-

somt først ute. Selv om jeg hadde levert inn min avhandling til Störmer, sendt fra

Uppsala, så ville det allikevel være så at prioriteten var Rankins. Han hadde, som

jeg kunne se av hans manuskript, gjort det ferdig om våren, mens jeg gjorde det

ferdig om høsten.

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 17

Så det var en skuﬀelse igjen?

Det var en skuﬀelse må jeg si. På den tid kom Siegel på gjennomreise til Oslo, og

ga et foredrag som jeg hørte på, det gjorde en del inntrykk på meg

. Jeg hadde

ikke hørt på ham på kongressen i Oslo. Jeg hadde manglende kunnskap om hva jeg

burde høre på. Jeg hadde hørt på en del andre, Mordell og Polya blant annet. Det

var de to foredrag jeg likte best av de jeg hørte. Jeg må si at min bror Henrik hadde

også noen ganger fått meg inn for å hjelpe å fylle auditoriet, når det syntes å være

for få tilhørere. Så jeg hadde hørt på en del ting som jeg absolutt ikke hadde noen

interesse av å høre på, men han hadde vært hjelpsom på så mange andre måter, så

jeg skal ikke klage.

Kan du fortelle oss litt om hvordan du ble involvert i krigen, i starten av den

tyske okkupasjonen? Hva skjedde den 9. april 1940?

Alt ble avbrutt da krigen kom den 9. april. Vi ble vekket om natten. Det var allerede

nokså forstyrrende nyheter om kvelden, får jeg si. Men om natten, selvfølgelig, gikk

ﬂyalarmen, så vi var oppe tidlig den morgenen, og jeg fant ut hva som foregikk.

Så jeg pakket mine ting som jeg skulle ha med meg og dro opp til Gardermoen.

Egentlig, mitt direktiv var at jeg skulle melde meg på tredje mobiliseringsdag.

Men det stod klart for meg at dette var en situasjon der man ikke kunne følge

reglene. Hvis jeg ville ut av Oslo og komme til min avdeling, så måtte jeg gjøre det

med en gang for, jeg mener, da jeg dro ned til jernbanestasjonen så var tyskerne

allerede kommet inn i Oslo. Jeg ﬁkk et tog opp til Gardermoen, og der var en

del folk og en hel del forvirring, får jeg også si. Det ble oppsatt en bataljon, en

artilleribataljon som jeg da ble med i som såkalt peileskivefører. Det var egentlig

ikke det jeg var trent for. Heldigvis ﬁkk jeg ikke bruk for den spesielle trening som

en peilerskivefører skal ha fordi vi stort sett når vi brukte våre kanoner, så hadde

vi nokså direkte sikte. Det var en noe annen type krig enn hva man egentlig hadde

planert for. I hvert fall da jeg gjorde militærtjenesten. Vi planerte for noe ganske

annet, med mer nøyaktige observasjoner. Dette her var mer improvisert får vi si,

alt sammen. Men vi ﬁkk ferdig denne artilleribataljonen som var ledet av en Roar

Hegstad, en major, og med en løytnant som hans stabssjef, Zeiner Gundersen, han

ble senere sjef for generalstaben i Norge. Det vesentlige jeg kan huske om ham var,

jeg hørte han hadde en veldig god eksamen fra krigsskolen, men han var forbannet

hissig. Derimot, major Hegstad, må jeg si jeg ﬁkk stor respekt for. Fordi det var

ingenting som kunne oppsette hans temperament.

Så Zeiner Gundersens eksamen hjalp ham ikke så godt?

Vel, ikke der presis. Vel, i alle fall, jeg husker navnene på et par andre fra den

avdelingen også, men det tjener ikke til mye å gjenta dem. Det var bare noen få

av dem jeg kjente fra før av. De ﬂeste folk jeg hadde gjort militærtjeneste med var

ikke der.

Dro dere så oppover Gudbrandsdalen?

Vel, vi dro ikke til Gudbrandsdalen med en gang. Vi gikk på østsiden av Mjøsa.

Fra der hvor vi var og fulgte oppover. Vi hadde en del trefninger. En ting som

særlig sitter i min hukommelse det var på ett sted, jeg kan ikke huske navnet på

Siegel dro fra Norge med båt til USA bare dager før den tyske invasjonen av Norge den 9nde

april, 1940.

18 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

det. Og jeg var da faktisk ved staben hvor Hegstad var, major Hegstad. Og det var

en nokså stor åpen mark derifra, og senere var det skog nedenfor. Og vårt artilleri

skjøt noe nedover der, og det foregikk en del øyensynlig. Men våre tropper trakk

seg tilbake efterhvert. Men de første som trakk seg tilbake var elgene i skogen. Jeg

så 11 elger komme ut av skogen og over marken der. De dro hen noe annet sted.

Jeg håper de fant ett mer fredelig sted. I alle fall, senere stoppet vi på en gård

som het Bergseng, husker jeg. Og som lå litt syd for Hamar. Og efterhvert kom vi

opp igjennom Gudbrandsdalen. Og da ble vi jo noe avløst. Det kom noen tropper

utenfra. Britiske og noen kanadiske. Jeg må si, da jeg snakket med noen av dem, de

sa de hadde ventet på å bli sendt til Finland, men ble sendt til Norge i stedet. Og jeg

tror ikke de ville gjort noe større nytte for seg i Finland, heller selvfølgelig. Men jeg

husker den gang jeg stod vakt ved vår bilpark. Vi transporterte folk med lastebiler

mest, og kanonene med hester. Og det var ganske imponerende hva hestene kunne

gjøre. Jeg mener, vi gikk over 200 kilometer på tre dager en gang. Men det var

stadig å trekke seg tilbake efterhvert. Jeg mener, vi holdt stillinger for en tid, men

så måtte vi gi dem opp. Så ble det til at disse fremmede tropper som kom inn skulle

holde stillingene da, med noe artilleristøtte fra oss, ved siden av hva de måtte ha

selv. Men det nyttet ikke så mye. Jeg husker, som sagt, jeg stod vakt ved denne

bilparken, og jeg så to ﬁgurer som lusket i kanten av skogen der. Når de kom ut

efterhvert, det var to britiske soldater som hadde kastet alt sitt våpen og utstyr, for

å kunne løpe så fort de kunne, antar jeg. De hadde vært noe sted hvor de øyensynlig

ble oppmerksomme på at tysk artilleri var begynt å skyte seg inn, som det heter, på

deres posisjon. Så hadde de, i stedet for å trekke seg tilbake på en mer disiplinert

måte, hadde de da rett og slett gått over i vill ﬂukt. De hadde ingenting med seg

annet enn sine uniformer, i det vesentlige. Vel, det var ikke alle som gjorde det

selvfølgelig, men noen gjorde det.

Ble du selv noen gang beskutt direkte?

Å ja, men jeg ble ikke så mange ganger beskutt, men det var med maskingevær,

tildels. Det var mer bombing. Vi reiste som regel langs veiene når vi transporterte

oss. Det var jo mange ganger man måtte gå av veien. Og kaste seg ned og prøve

å beskytte hodet. Vi hadde jo ikke hjelmer som beskyttelse. Vi hadde ingen stål-

hjelmer. Vi prøvde å dekke vårt hode så vel vi kunne, og så hørte vi efter disse

bomber. De gjør jo en sånn pipende lyd når de kommer... på deres måte. Men hvis

man hører at de eksploderer så vet man at man er klar av dem. Som regel må jeg

si at bombingen var ikke noe særlig presisjonsbombing. For eksempel da jeg kom

til Åndalsnes, som var hvor vi endte opp da de fremmede tropper ble trukket ut.

Så vi endte opp der nede ved Åndalsnes. Og tyskerne hadde prøvd å bombardere

jernbanestasjonen der, men de hadde ikke greid å treﬀe verken sporene eller selve

stasjonen. Men det var en hel del ting omkring som var truﬀet. Og vi hadde et

par dager da vi gikk og inspiserte en del hva som fantes der. Det fantes en del

tekstilfabrikker, eller hva man skal kalle det, i en del hus. Og jeg husker, det var

en del hus der som var skadet av eksplosjoner fra bomber. Blant annet ett som lå

litt på skakke ved siden av. Jeg husker jeg var inne i ett rom hvor hele gulvet var

dekket av knapper, som hadde kommet ut av noen ting. De lå nok ikke vanligvis

spredt utover gulvet i et tykt lag. Det var et sted hvor det eneste som stod igjen

uskadd, det var bensinstasjonen. Den var ikke truﬀet.

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 19

Du nevnte en episode en gang hvor du hadde beskutt et tysk ﬂy?

Å, ja. Det var oppe i Gudbrandsdalen. Det hendte en morgen. Jeg gikk til en sånn

vanrenne av tre, for jeg ville børste mine tenner, så jeg gikk dit hvor det var. Det

var en åpning i skogen. Da jeg stod og børstet mine tenner om morgenen så kom

det et ﬂy over. Jamen begynte han ikke å skyte med sine maskingevær ned. Da ble

jeg forbannet, så jeg tok denne karabinen som jeg hadde. Vi hadde i artilleriet, vi

hadde et litt kortere gevær som ble referert sånn, men det var ellers konstruert som

den vanlige Krag-Jørgensen riﬂen. Og jeg skjøt efter ﬂyet, men prøvde å skyte litt

foran det for at det skulle være en sjanse for å treﬀe det, men jeg vet ikke. Men i

alle fall, det gav meg i alle fall litt utløp for raseriet. Jeg mente han kunne i alle

fall latt meg børste tennene i fred.

Men så etter Åndalsnes, da gikk det liksom i oppløsning?

Da reiste jeg nedover til vår avdeling. Vi endte til slutt opp på Trandum som

krigsfanger. Oﬃserene endte opp noe annet sted. Men soldater og korporaler, jeg

skal ikke si om vi hadde noen sersjanter hvor vi var, mulig vi hadde også det. Og jeg

var der en tid. Tyskerne var da begynt å ville lage en ﬂyplass på Gardermoen. Så

de begynte å sende en del av disse krigsfangene ut til å arbeide der på forskjellige

måter. Blant annet ble det tatt opp en hel del stubber her og der som stod igjen av

trær som hadde vært felt. Jeg husker vi var ute en dag og skulle arbeide med dette.

Jeg må si, jeg syns det riktige var å prøve å gjøre så lite som mulig. Så jeg fant

en stor haug av røtter og sånne stubber som hadde vært tatt opp som var pakket

sammen, hvor de fremdeles drev og brakte inn. Jeg fant ett sted som lå bak den

hvor jeg var vel ute av syne av alle de andre, og jeg satte meg ned der for å gjøre

ingenting uten å bli sett. Men plutselig ﬁkk jeg et veldig dunk i hodet. Det var noen

idioter, og jeg så dem efterpå. Den ene av dem kjente jeg faktisk. Han var en gutt

fra Gjøvik som liksom ville vise kreftene sine ved å kaste disse stubbene så langt

de kunne. Så disse hadde kastet den over denne haugen. Og det kom ned i presis

i hodet mitt. Heldigvis holdt hodet. Jeg mener, jeg må ha en ganske solid skalle,

for den har vært utsatt for en del andre kollisjoner gjennom tiden og har alltid

holdt. Jeg har aldri brukket noenting. Jeg må ha nokså solide ben tror jeg. Men

i alle fall, jeg hadde hodeverk i ﬂere dager etter det. Og jeg skjelte dem grundig

ut, disse fyrene. Særlig han fra Gjøvik. Jeg må si han, senere gikk han inn i denne

såkalte norske avdeling av Waﬀen SS, han ble nazist. Antageligvis ikke så særlig

intelligent, nei.

Etter at krigshandlingene i 1940 i Norge var slutt så begynte du på din doktor-

grad. Kan du så fortelle oss litt om hvorfor du valgte Riemanns zeta funksjon som

tema for den?

Jeg må si, da jeg ble løslatt fra denne fangeleiren på Trandum kom jeg til Oslo. Si-

den reiste jeg hjem for sommeren, og da arbeidet jeg egentlig ikke med matematikk

for en tid. Jeg tenkte at jeg ville slå meg over på noe nytt. Det første jeg tok fatt på

var noe som var inspirert av en avhandling av Polya, som jeg så, om "Über ganze

ganzwertige Funktionen", hvor han hadde forbedret litegrann et gammelt resultat

av Hardy. Jeg så at jeg kunne forbedre det en hel del mer. Så jeg skrev et arbeid

om det, og også et annet arbeide hvor jeg behandlet samme problem for funksjoner

som tar heltallsverdier både for positive og negative hele tall. Og siden et tredje

arbeide om funksjoner som antar helltallsverdier, ikke bare på de hele tall, men

20 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

også de deriverte opp til en viss orden tar heltallsverdier. Og jeg kunne vise en del

nye resultater i denne retningen. Mitt fokus skiftet nå mot Riemann’s zeta-funksjon

ζ(s). Dersom s er reell og større enn 1, så viste Euler produktformelen

ζ(s) =

∞

n=1

−s

pP

(1 − p

−s

)

−1

der P betegner primtallene. Riemann viste at ζ(s), s = σ + it, kunne utvides til en

meromorf funksjon i det komplekse plan C, med en enkel pol i s = 1, og med såkalte

trivielle nullpunkter i −2, −4, −6, · · · . De ikke-trivielle nullpunktene ligger i den

kritiske stripen 0 < Res < 1, og Riemann’s formodning − også kalt for Riemann-

hypotesen − sier at alle ikke-trivielle nullpunkter ligger på den kritiske linjen Res

. Jeg begynte da å tenke på en idé jeg hadde om å prøve å vise eksistensen av

nullpunkter til Riemanns zetafunksjon på den kritiske linjen ved å betrakte visse

momenter; ikke momenter av zetafunksjonen, men ved å betrakte integraler av

denne reelle funksjonen som man kan få når man bruker den symmetriske form av

funksjonalligningen

−s/2

Γ(

)ζ(s) = π

−(1−s)/2

Γ(

1 − s

)ζ(1 − s)

der Γ betegner gammafunksjonen. Da får man en funksjon som er reell på den

kritiske linjen. Ved å ha en viss funksjon og potenser av den ved siden av, og så

se på tegnvekslingen av disse momentene, kan man si noe om nullpunktene på

linjen. Jeg kunne få noen resultater på denne måten, men de var ikke så særlig

gode sammenlignet med hva som var allerede kjent på annen måte. Så jeg kom til

at dette var ikke hva jeg burde fortsette med. Så jeg så nærmere på de arbeider som

hadde vært gjort, og fremfor alt det arbeid som hadde nådd de skarpeste resultater,

et arbeide av Hardy og Littlewood fra omkring 1920. Som vanlig, jeg leste ikke alle

detaljene. Jeg har alltid hatt vanskeligheter med å lese andre folks matematikk,

men jeg prøvde å se hva som var hovedtrekkene i det, og særlig hva som gjorde at

de ikke ﬁkk et skarpere resultat. På slutten av sin avhandling hadde de et avsnitt

som behandlet nettopp det, og prøvde å forklare hvorfor de ikke kunne få skarpere

resultater med sin metode. Jeg leste særlig dette avsnittet. Jeg tenkte over det, så

innså jeg at det var rivende galt hva de hadde skrevet der. Jeg oppdaget, får jeg

si, det som var grunnfeilen i deres arbeide, og hva de hadde misforstått. De hadde

noen betraktninger hvor de viser at N

(T ) > konstant · T, der N

(T ) er antall

nullpunkter på den kritiske linjen mellom 0 og T . Men de hadde påpekt ting om

variasjoner av zeta-funksjonens argument, men jeg kom til at det var i virkeligheten

variasjonen i amplituden. Jeg mener, det er jo en oscillerende funksjon, og det er

så at disse oscillasjoner varierer ganske mye i størrelse fra tid til annen. Som deres

metode var, når de brukte disse intervaller som de betraktet, så ble det så at deres

metode bare registrerte hva som hendte i de intervaller som hadde eksepsjonelt

store oscillasjoner, det ville dominere det hele. Og de ville bare kunne fått noe

om... så den kunne ikke virke denne metode. Så jeg ﬁkk den idé å prøve å sette

en dempningsfaktor som skulle minske oscillasjonene, men uten selvfølgelig å endre

fortegnet på funksjonen noe sted. Så det måtte være et kvadrat selvfølgelig, tenkte

jeg, som jeg satte inn der. Hva jeg tenkte først, var å ta en seksjon av Euler

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 21

produktet, og å se på kvadratroten av det, og å bruke en del av de første faktorer,

og det viste seg at det allerede ledet til en forbedring. Riktignok ikke så langt som

man ville ha det, ikke til den riktige størrelsesorden, men til en som var markert

større enn det Hardy og Littlewood hadde funnet. Og efter det eksperimenterte jeg

med forbedrede dempningsfunksjoner og efterhvert fant jeg frem til at jeg skulle

bruke en seksjon av rekkeutviklingen for zeta-funksjonens inverse kvadratrot, og

putte inn en dempningsfaktor på koeﬃsientene der som trappet dem ned, så de ble

null efter de nådde en viss potens av, la oss si T, hvis jeg betraktet intervallet fra 0

opp til T , eller fra T til 2T . Det siste er på en måte lettere, for da arbeider du hele

tiden med samme størrelsesorden av T . I alle fall, jeg fant frem til hva som syntes

å være den beste dempningsfaktor nemlig å multiplisere med faktoren (1 −

log n

log z

)

for n < z, altså

n≤z

µ(n)

log z/n

log z

der µ er Möbius-funksjonen. Da ﬁkk jeg den korrekte størrelsesorden for N

(T )

forholdsvis fort. Det medførte at det var ganske mye komplikasjoner i selve be-

regningen av disse integraler som svarte til de som Hardy og Littlewood hadde

brukt, men med denne dempningsfaktor i tillegg. Det opptrådte en del kompliserte

summer som måtte oppskattes. Og det tok en del tid, så mitt arbeide var atskil-

ling lengre enn Hardy og Littlewoods arbeide, selvfølgelig. Men det oppnådde et

resultat, som i en retning kan ansees for optimalt, man ﬁkk den riktige størrelsesor-

den. Det viste at en positiv brøkdel av nullpunktene alltid ville ligge på linjen. Jeg

prøvde ikke å oppskatte denne brøkdelen numerisk. Jeg tror om jeg hadde brukt

mer energi på å prøve å få god numerisk verdi, så ville det ligget noe sted mellom

1/20 og 1/10, jeg skal ikke si presis hvor, for jeg utførte aldri disse regningene. Men

jeg var fornøyd med dette resultatet uten å bevise noen konstant. Det var senere

en kineser - en elev av Titchmarsh i England - som prøvde å få en konstant, men

den var... han kom opp med en veldig liten konstant. Han hadde ikke brukt den

metode som jeg ville valgt. Jeg brukte ofte å si i spøk når jeg nevnte dette for noen

at Titchmarsh hadde gjort et uheldig valg i denne elev han valgte. Hans kinesiske

elev het Min. Og jeg sa at hadde han hatt en tysk elev som het Max, så ville han

fått en større verdi. I alle fall, jeg ﬁkk dette resultat, og det tok meg en del tid å

skrive det opp og å gi det til, som vanlig, Størmer. Han ﬁkk alle mine arbeider til

å fremlegge. Jeg hadde holdt foredrag om dette faktisk i Norsk Matematisk For-

ening i Oslo, ved universitetet. Og jeg hadde inkludert i dette første arbeidet som

jeg skrev, som oppnådde bare en liten forbedring, en fotnote at under trykkingen

hadde jeg oppnådd dette resultat at antall nullpunkter opp til T var større enn

konstant · T log T. Så selve resultatet var publisert noe tidligere, det kom i disse

Trondheimsforhandlingene hvor publikasjonen var nokså kvikk på den tiden.

Dette ble din doktoravhandling?

Det var det jeg valgte som doktoravhandling. Jeg hadde jo publisert en god del

arbeider på den tiden, men jeg hadde den idé at en doktoravhandling burde være en

mer vektig ting, ikke så veldig kort, men noe som hadde en hel del sider, og denne

hadde bortimot 70 sider. Så jeg skrev det opp, og ga det inn som doktoravhandling.

22 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 1/2008

Du disputerte høsten 1943?

Ja, det er riktig, disputasen var i høsten

Dette var under krigen, under okkupasjonen av Norge. Ble det kommunisert til

Harald Bohr i Danmark? Det var jo et sensasjonelt resultat!

Det var Störmer som fremla det i Videnskapsakademiet, selvfølgelig. Som oppo-

nent var Harald Bohr selvskreven, for det var jo ingen i Norge som var noe særlig

kompetent på dette området. Andre opponent var Skolem, som hadde strevet med

dette her, selvfølgelig. Det var jo ikke riktig i hans felt får man si. Harald Bohr

ville naturlig nok ikke komme til Norge på den tid. Norge var jo okkupert, og Bohr

hadde ﬂyktet fra København allerede.

Var han i Sverige?

Han var i Sverige. Niels Bohr var selvfølgelig allerede i USA på den tiden.

Hvordan foregikk da disputasen?

Störmer leste Harald Bohrs rapport. Jeg husker ikke presis noe om ordleggingen.

Men han hadde en hel del rosende ord om disse presise oppskatninger som foregikk.

Skolem hadde forbedret min engelsk. Det hadde han for så vidt rett i, jeg hadde

forholdsvis nylig skiftet over til engelsk. Jeg syntes ikke jeg ville fortsette å skrive

tysk. Tysk var mitt beste språk på den tiden, men jeg begynte å lese mer engelsk

litteratur, særlig Hardy og Littlewood.

Senere så kom jo noen forbedrede resultater av Norman Levinson, bygde han

essensielt sett på dine metoder og teknikker?

Han brukte jo den dempningsfaktor som jeg hadde introdusert, men på en annen

funksjon. Hans bevis gir jo en forholdsvis bra konstant, men problemet var at det

fungerer bare for zetafunksjonen og for de såkalte Dirichlets L-funksjoner der man

har en funksjonalligning som er veldig enkel. Hvis man går til kvadratiske kropper,

eller til de L-funksjoner som man kan få fra modulformer som har Eulerprodukt, så

kan man også bevise resultater ved min metode som ikke fås ved Levinsons metode.

Dette fordi du ved Levinsons metode får resultat som er en diﬀerans mellom to ting,

og spørsmålet er om det som du trekker fra er lite nok til at det blir noe igjen. Du

må ha en svært god oppskatning på det, og det får du bare når funksjonalligningen

er svært enkel. Det nytter ikke for de kvadratiske tallkropper, for eksempel. For

høyere tallkropper kan en ikke bevise noen ting, for funksjonalligningen er for

komplisert til at man kan betrakte disse integralene som skal beregnes.

Du ble som universitets-stipendiat i Oslo arrestert av tyskerne høsten 1943, like

etter din disputas, men så slapp du jo fri. Ble da din arbeidssituasjon vanskeligere?

Særlig etter at universitetet var stengt. Jeg ble løslatt etter at jeg hadde vært ar-

restert, og sikkerhetspolitiet sa at jeg skulle ikke dra tilbake til Oslo, men til mitt

hjemsted Gjøvik hvor mine foreldre bodde. Så jeg tilbrakte resten av krigen der og

arbeidet der, bortsett fra noen ganger jeg reiste vekk i ferien, men ikke til Oslo. Et

par ganger reiste jeg ned til Oslo for å konsultere litteratur på universitetsbiblio-

teket, som ble holdt åpen, men for å gjøre det måtte jeg ha polititillatelse.

Disputasen fant sted 22. oktober, 1943. Universitetet i Oslo ble stengt av tyskerne 30. novem-

ber, 1943.

Normat 1/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 23

I den tiden arbeidet du da videre med Riemann-hypotesen, eller skiftet du tema?

Jeg arbeidet en del med zetafunksjonen og visse andre problemer. Jeg skrev to

større arbeider som var omtrent så store som min doktoravhandling. Et om zeta-

funksjonen, og det handlet om mulige nullpunkter utenom linjen, og et som behand-

let tilsvarende problemer for Dirichlets L-funksjoner, men ikke presist det analoge

problemet, for det synes jeg var for trivielt, men man kunne gjøre analogier. Det

var en engelsk matematiker, Paley, som hadde begynt å betrakte noe som han kalte

”k-analogues”. Men hvis man betrakter alle L-funksjoner som hører til modulen k,

så er det en viss analogi med hva man har for en enkelt funksjon, når man betrakter

dens oppførsel når den imaginære delen varierer på linjen. Så jeg skrev ned en del

av disse analogier, jeg forbedret noen av resultatene til Paley, og brukte disse for-

bedringene. De var skarpe nok til at jeg kunne gjøre analogier til andre resultater,

til de som jeg hadde oppnådd i min doktoravhandling. Om h = ϕ(k)/ log k, hvor

ϕ(k) er en funksjon av k som går mot ∞, når k går mot ∞, og |T | < k

, hvor

a er en viss positiv konstant, så har ”nesten alle” L-funksjoner for modulen k et

nullpunkt på linjen s =

+ it i intervallet T < t < T + h. Det fører videre til en

del resultater om verdifordelingen av L-funksjonene som jeg ﬁkk senere, og også

for verdifordelingen for zetafunksjonen både på og i nærheten av linjen.

Men du publiserte det meste av dine ting da i norske tidskrifter, ikke i uten-

landske?

Vel, jeg hadde noe i kongressberetninger. Kongressberetningen av den Skandina-

viske kongress i ’38, og også i København. Når var det? I ’49? Nuvel, kongressen i

København var sommeren i ’46, tror jeg.

Men da du oppnådde dette resultatet med den korrekte størrelsesorden på null-

punktene langs den kritiske linje, det vakte vel en veldig oppsikt?

Vel, blant de som kjente til problemet selvfølgelig. Jeg vet ikke om det hadde så

mye eﬀekt på folk som ikke var interessert i dette bevis, de hadde jo ingen grunn

til å bli særlig opphisset over det.

Men kan vi bare følge opp litt. Vi har hørt at Harald Bohr etter krigen, da det ble

åpne linjer mellom USA og Europa, at han ble spurt om hva har skjedd i Europa i

matematikk? Hvor han sier at Atle Selberg har skjedd.

Vel, han var ikke så spesiﬁkk, tror jeg. Jeg har hørt historien, og den er mer detaljert

på noen punkter. Det var da Siegel kom gjennom Europa først etter krigen, det

var i

46. Han hadde kontakt med Harald Bohr og spurte hva som var skjedd, og

Harald Bohr sa ikke Atle Selberg, han sa Selberg bare. Men det er vel trolig at han

refererte til meg og ikke mine brødre, i den forstand.

Artikeln fortsätter i Normat 2/2008