24 Normat 56:1, 24–33 (2008)
Formler for π fra femtenhundretallets Kerala
Paul Papatzacos
Institutt for matematikk og naturvitenskap, UiS
NO–4036 Stavanger
paul.papatzacos@uis.no
1 Introduksjon
I 1915 skrev G. R. Kaye [8] at “after the time of Bhaskara (born 1114) no Indian
mathematical work of historical value or interest is known”, og påstanden har ført
til en del historiske arbeider fra indiske forskere. Se Thrivikraman [15] for en kart-
legging av mulige indiske bidrag fra middelalderen, for eksempel innen tallteori og
logikk, og en beskrivelse av vanskelighetene som er forbundet med autentifiserings-
og dateringsarbeidet.
Vi skal her se på et bidrag fra femtenhundretallets Kerala (Sørvestindia) innen
rekkerepresentasjon av π, der det er alminnelig enighet om dokumentenes opphav
og datering [7, 9].
Åtti år før publikasjonen av Kayes bok, altså i 1835, skrev Charles W. Whish
en artikkel der tittelen begynner med “On the Hindu Quadrature of the Circle”
[16], hvor han omtaler fire verk, skrevet i sanskrit og i malayalam (keralesisk). Han
daterte to av de fire verk til senere enn 1730, men han mente at de to andre var
betydelig eldre, noe som har blitt bekreftet siden [9, 11, 12, 14]. Det fremgår av
artikkelen at rekkene for sinus, cosinus og arctangens, samt Leibnizrekken for π
ble utledet av keralesiske matematikere et par hundre år før Gregory, Newton, og
Leibniz gjorde disse rekkene kjent i Europa. Det later også til at de kjente til en
form for konvergensakselerasjon lenge før Euler brukte den i 1755, noe som Whish
dokumenterte med flere hurtigkonvergerende rekker for π.
Tittel, omtrentlig dato, og forfatter, for de to eldste verkene er som følger:
• Tantrasangraha (1500) av Nilakantha (1445–1545),
• Yuktibhasa (1600) av Jyesthadeva (1530–1610).
Lite er kjent om Whish, bortsett fra at han var “of the Hon. East India Company’s
Civil Service in the Madras Establishment” [11]. Han døde trolig i 1836 [11] og
artikkelen hans (som åpenbart ikke ble lest av Kaye) blir ikke nevnt før i 1940-
årene da Rajakopal og medarbeidere begynte å skrive om keralesisk matematikk
fra middelalderen [11, 12, 13]. I 1977 [12] omtaler Rajagopal og Rangachari et verk
som Whish ikke hadde hatt kjennskap til,
• Tantrasangraha-vyakhya (1530) av ukjent forfatter.
Normat 1/2008 Paul Papatzacos 25
Nilakanthas Tantrasangraha (senere i denne artikkelen omtalt som T) er en katalog
av resultater som gis uten bevis. De to andre verkene, Yuktibhasa (nedenfor omtalt
som Y) og Tantrasangraha-vyakhya (nedenfor omtalt som TV) tar opp teoremene
i T og gir bevisene. Nilakantha, Jyesthadeva, og forfatteren av TV krediterer en
tidligere keralesisk matematiker ved navn Madhava (1340–1425) for resultatene
som siteres og diskuteres. Ingen matematiske verk av Medhava finnes, og det er
litt uklart om han krediteres for alt som står i T, Y, og TV eller bare for noen av
formlene: se for eksempel referanse [12].
Vi skal i seksjon 2 se på de første formlene for π som ble utledet i Europa,
spesielt på sekstenhundretallet. Så ser vi, i seksjon 3, på den tidlige oppdagelsen
av Leibnizrekken i Kerala, og på de arbeidene som ble gjort for å forbedre dens
konvergens. (Disse arbeidene er trolig, historisk sett, de første eksempler på kon-
vergensakselerasjon). Vi avslutter, i seksjon 4, med å se på noen andre bidrag fra
Kerala til historien om π.
2 De første europeiske formler for π
Disse er som følger.
• Viète (1593):
(1) π =
2
q
1
2
r
1
2
+
1
2
q
1
2
s
1
2
+
1
2
r
1
2
+
1
2
q
1
2
. . .
.
• Wallis (1656):
(2)
2
π
=
1 ·3
2 · 2
3 · 5
4 · 4
5 · 7
6 · 6
7 · 9
8 · 8
. . . .
• Brouncker (1656):
(3)
4
π
= 1 +
1
2
2+
3
2
2+
5
2
2+
. . . .
• Gregory (1671), Leibniz (1674):
(4)
π
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ . . . .
Denne siste rekken er en konsekvens av
(5) θ = tan θ −
tan
3
θ
3
+
tan
5
θ
5
−
tan
7
θ
7
+ . . . , (|x| ≤ 1),
26 Paul Papatzacos Normat 1/2008
som Gregory og Leibniz utledet uavhengig av hverandre. I dag kalles (4) Leibniz-
rekken og (5) Gregoryrekken.
Viète utledet formel (1) ved å bruke en variant av Arkimedesalgoritmen (se
artikkel 9 i [2]) og denne formelen står kanskje derfor i en klasse for seg, mens de
tre formlene som fulgte kronologisk er ekvivalente, som vi skal se.
Wallis utledet formel (2) like etter 1650 ved å anvende den nye analytiske meto-
den som integralregningen da var (se artiklene 10 og 11 i [2]). Euler [4] skriver at
Wallis viste formelen til Brouncker, som omformet den til kjedebrøken (3). Wallis
la frem utledningen av formel (2) i sin bok Arithmetica Infinitorum (1656) der han
også oppgir formel (3), men uten Brounckers utledning. Det finnes moderne bevis
på at formlene (2) og (3) er ekvivalente (se Dutka [3]), men Brounckers utledning
forblir et lite mysterium. Ekvivalensen av alle tre rekkene ble stadfestet da Euler
[5] utledet Brounckers kjedebrøk fra Leibnizrekken. (Se også seksjon 4 nedenfor.)
Gregoryrekken brukes fremdeles til å beregne π [2] ved en generalisering av en
ide som først ble anvendt av Sharp i 1699: Han satte tan θ = 1/
√
3 i Gregoryrekken
og fikk
(6)
π
6
=
1
√
3
1 −
1
3 · 3
+
1
3
2
· 5
−
1
3
3
· 7
+ . . .
.
Konvergensegenskapene til denne gjorde det mulig for Sharp å oppnå 71 riktige
desimaler for π.
Leibnizrekken er ubrukelig til å beregne π, men har gitt opphav til tallrike va-
rianter, altså formler for π med betydelig bedre konvergensegenskaper. En av de
første europeiske variantene skyldes Euler [6] som skrev formel (4) om til
π
2
= 1 +
1 −
1
3
−
1
3
−
1
5
+
1
5
−
1
7
+ . . .
som kan skrives
(7)
π − 2
4
=
1
2
2
− 1
−
1
4
2
− 1
+
1
6
2
− 1
− . . . .
3 Leibnizrekken i keralesisk matematikk
La oss nå se på formlene for π som ble utledet i Kerala rundt år 1500 (og kan-
skje av Madhava hundre år tidligere for noen av dem). Det er vist i referansene
[11, 12, 13] at Leibnizrekken og Sharprekken var kjente i Kerala et par hundre år
før de ble kjent i Europa. Det er også klart at mye ble satset på å forbedre den
dårlige konvergensen til Leibnizrekken, noe som resulterte i to typer formler: En-
delige og uendelige rekker. Spesielt de uendelige rekkene er et tidlig eksempel på
konvergensakselerasjon.
Innledningsvis kan det være nyttig å minne leseren om at formlene som følger er
omskrivninger i moderne form, siden: (i) symbolet π ble innført i Europa like etter
1700, mens man, i Kerala, skrev om “forholdet mellom omkretsen og diameteren
til en sirkel”; (ii) formlene i tidlig indisk matematikk er beskrivelser i versform,
Normat 1/2008 Paul Papatzacos 27
eksempelvis er en omtrentlig oversettelse av versene som beskriver Leibnizrekken:
“Multipliser diameteren med fire; trekk fra det og legg til det, på alternerende vis,
kvosientene som fås ved å dele fire ganger diameteren med tallene 3, 5, 7, og så
videre” [11].
Nilakanthas verk (T) ser ut til å være en samling av praktiske formler til å
beregne π med en viss akseptabel nøyaktighet. Han oppgir ikke selve Leibnizrekken,
men han oppgir approksimasjoner til π, der hver approksimasjon er i form av en
delsum av Leibnizrekken med en korreksjon. I T og Y finnes tre korreksjoner,
betegnet nedenfor f
r
(r = 1, 2, 3). De tilhørende π-approksimasjonene er betegnet
med π
r
(m):
π
r
(m)
4
= 1 −
1
3
+ . . . + (−1)
m−1
1
2m − 1
+ (−1)
m
f
r
(2m)(8)
f
1
(n) =
1
2n
, f
2
(n) =
n
2(n
2
+ 1)
, f
3
(n) =
n
2
+ 4
2n(n
2
+ 5)
.(9)
Korreksjonen f
r
blir bedre ettersom indeksen r øker. Tabellen nedenfor viser hva
som kan oppnås med formlene (8) og (9).
m π
1
(m) π
2
(m) π
3
(m)
4 3.14. . . 3.141. . . 3.141. . .
8 3.14. . . 3.1415. . . 3.141592. . .
12 3.141. . . 3.14159. . . 3.1415926. . .
16 3.141. . . 3.141592. . . 3.14159265. . .
Bare de korrekte desimalene er tatt med. Den minst effektive korreksjonen, f
1
, er
ikke tatt med i T. Den er med i Y “men bare som et steg i argumentet som fører
til f
2
” [12].
Utledningen av det vi kaller Leibnizrekken finnes i Y, og går ut på å bereg-
ne buelengden til en åttedels omkrets ved å tilnærme buen med en sum av små
rette linjesegmenter: se referansene [9, 11, 14] for detaljene. Utledningen kan lett
gjennomføres på buelengden av en tolvtedels omkrets og resulterer i Sharps rekke
(6), som også er med i T. En videre generalisering som fører til Gregoryrekken
finnes i TV og i Y [12, 13], slik at Leibniz-, Sharp- og Gregory-rekkene var kjent
i Kerala omtrent 150 år før de ble kjent i Europa. At Nilakantha selv kjente til
Gregoryrekken er mindre sikkert. I følge referanse [11] er ikke denne rekken med
i T. At Sharps rekke er det, kan forklares med at Nilakantha eller en forgjenger
utledet Leibnizrekken og Sharprekken hver for seg.
La oss nå komme tilbake til korreksjonene f
1
, f
2
, f
3
. En har ikke funnet noe,
i de originale verkene, som forklarer hvordan disse korreksjonene ble oppdaget.
Følgende kan oppfattes som en elegant spekulasjon.
3.1 Nilakanthas korreksjoner
I 1944 foreslo Mukunda Marar og Rajagopal [11] at f
1
, f
2
, f
3
er suksessive kon-
vergente av en og samme kjedebrøk, uten at de oppga selve kjedebrøkens uttrykk.
Dette ble gitt av Rajagopal og Rangachari trettitre år senere [12], uten utledning,
men med takk til D. T. Whiteside (redaktøren av Newtons matematiske arbeider
fra 1967 til 1981). Utledningen publiserte de ni år etter det igjen [13].
28 Paul Papatzacos Normat 1/2008
Bruken av kjedebrøk kan virke anakronistisk, siden kjedebrøkenes historie før
sekstenhundretallet er usikker, men kan ses på som en kortfattet uttrykksmåte som
bevarer hovedpoenget.
Detaljene i Mukunda Marars og Rajagopals forslag er som følger. Leibnizrekken
kan skrives
(10)
π
4
= 1 −
1
3
+ . . . + (−1)
m−1
1
2m − 1
+ (−1)
m
f(2m),
der, ved å sette 2m = n (og dermed anta at n er jamn),
(11) f(n) =
1
n + 1
−
1
n + 3
+ . . . + (−1)
k−1
1
n + 2k − 1
+ . . . .
Det som kunne kalles Whitesides teorem er påstanden om at
(12) f(n) =
1
2
1
n+
1
2
n+
2
2
n+
3
2
n+
. . . .
Nilakanthas korreksjon f
r
er nå ganske enkelt den r’te konvergenten til denne
kjedebrøken:
f
1
(n) =
1
2
1
n
, f
2
(n) =
1
2
1
n+
1
2
n
, f
3
(n) =
1
2
1
n+
1
2
n+
2
2
n
.
Kjedebrøken (12) finnes ikke i de kjente originale tekstene, og Rajagopal et al. [11]
antyder at teksten i Y leder en til å tro at konvergentene ble funnet ved hjelp av
en prøve-og-feile metode. Roy [14] på sin side skriver at Nilakantha brukte “some
procedure”. Vi ser nedenfor på et bevis for Whitesides teorem som inneholder en
mulig slik prosedyre.
Vi nevner først at likheten mellom rekken (11) og kjedebrøken (12) er et spe-
sialtilfelle av en likhet som ble bevist av Pigulla [10] (i 2004, se også Almkvist [1]).
Pigullas bevis er rimeligvis mer analytisk krevende enn beviset for det spesialtilfelle
som vi ovenfor har kalt “Whitesides teorem” behøver å være. Dette beviset (som
er direkte inspirert av diskusjonene i [11] og [13]) utføres nå ved induksjon.
Formel (11) gir
(13) f(n + 1) + f(n − 1) =
1
n
.
Vi ser nå på en løsning av denne likningen i form av en kjedebrøk som konvergerer
raskt for store n-verdier.
For n 1 viser likning (13) at f (n) ≈ 1/(2n) = f
1
(n). Vi har altså fått
Nilakanthas første korreksjon. Vi setter nå
(14) f(n) =
1
2φ
1
(n)
der φ
1
(n) ≈ n for n 1. Likningene (13) og (14) fører til
(15) 2φ
1
(n + 1)φ
1
(n − 1) − nφ
1
(n + 1) − nφ
1
(n − 1) = 0.
Normat 1/2008 Paul Papatzacos 29
Vi antar n 1, søker φ
1
av formen
φ
1
(n) = n + a + b/n + O(1/n
2
),
og bestemmer a og b ved innsetting i (15). Vi finner at
(16) φ
1
(n) = n +
1
n
+ . . . .
Antar vi nå at φ
1
er eksakt lik summen av de to første leddene, får vi fra (14)
f(n) ≈
1
2(n +
1
n
)
,
som er Nilakanthas f
2
. Hans f
3
er neste ledd i rekursjonen, som finnes ved å
sette φ
1
(n) = n + 1/φ
2
(n). Vi utelater detaljene som leder til f
3
og avslutter
induksjonsbeviset: Likning
(17) 2φ
k
(n+1)φ
k
(n−1)−(n+2k−2)φ
k
(n+1)−(n−2k+2)φ
k
(n−1)−2(k−1)
2
= 0,
reduseres til likning (15) for k = 1, og det kan sjekkes at
φ
k
(n) = n + k
2
/n + O(1/n
2
),
som reduseres til formel (16) for k = 1, er løsningen til likning (17) for n 1. Det
kan også sjekkes at
(18) φ
k
(n) = n +
k
2
φ
k+1
(n)
,
innsatt i likning (17), fører til den samme likningen, altså (17), men med k erstattet
med k + 1. Formlene (14) og (18) medfører da formel (12).
Som vi ser, er det ikke nødvendig å anta at Nilakantha kjente til formel (12), bare
at han kunne løse likning (13) med suksessive approksimasjoner for store n-verdier.
3.2 Keralesisk konvergensakselerasjon
I verkene T, Y, og TV, er hver endelig rekke av typen (8) forbundet med en ekvi-
valent uendelig rekke for π som konvergerer raskere enn Leibnizrekken. Altså til
f
1
, f
2
, f
3
korresponderer, henholdsvis
π
4
=
3
4
+
1
3
3
− 3
−
1
5
3
− 5
+ . . .(19)
π
4
=
4
1
5
+ 4 · 1
−
4
3
5
+ 4 · 3
+
4
5
5
+ 4 · 5
+ . . .(20)
π
4
=
7
9
+ 36
∞
X
m=1
(n=2m+1)
(−1)
m−1
1
(n
3
− n)[ (n − 1)
2
+ 5][( n + 1)
2
+ 5]
.(21)
30 Paul Papatzacos Normat 1/2008
(De to første er i T, ikke den tredje.) Overgangen fra endelig rekke med korreksjon
til uendelig akselerert rekke er presentert i [11] og beskrevet der som en generali-
sering av en utledning som finnes i Y. Det som følger er en mild generalisering av
utledningen i [11]. La S være summen til en konvergent alternerende rekke
(22) S = a
1
− a
3
+ . . . + (−1)
k−1
a
2k−1
+ . . .
(vi kaller den a-rekken) der a
n
har samme fortegn for alle n. La S(m) være en
delsum med m ledd og et korreksjonsledd:
(23) S(m) = a
1
− a
3
+ . . . + (−1)
m−1
a
2m−1
+ (−1)
m
F (2m).
Vi antar at det finnes en annen alternerende rekke med sum S
(24) S = u
1
− u
3
+ . . . + (−1)
k−1
u
2k−1
+ . . .
(vi kaller den u-rekken), som konvergerer raskere enn a-rekken. Gitt m vilkårlig
forlanger vi nå at en delsum med m ledd av u-rekken summerer til S(m):
u
1
− u
3
+ . . . + (−1)
m−1
u
2m−1
= a
1
− a
3
+ . . . + (−1)
m−1
a
2m−1
+ (−1)
m
F (2m).
Ved å skrive denne likheten først for m = 1 og så for to suksessive m-verdier, får vi
u
1
= a
1
− F (2),(25)
u
n
= a
n
− F (n + 1) − F (n − 1), (n = 2m − 1, m ≥ 2).(26)
Bruken av Nilakanthas f
1
i stedet for F i disse likningene gir
(27) u
1
=
3
4
, u
2m−1
=
−1
(2m − 1)
3
− (2m − 1)
,
som resulterer i formel (19). Det er lett å se at bruken av f
2
og f
3
i stedet for F
resulterer i formlene (20) og (21).
Det er interessant å konstatere at det finnes en alternativ følge med korreksjoner,
{g
r
}, som er (sett med våre øyne) lettere å beregne enn følgen {f
r
}. Formel (26)
viser at, for at u-rekken skal konvergere fortere enn a-rekken, er det tilstrekkelig å
velge F (n) = a
n
/2, siden høyresiden er tilnærmet lik a
n
− 2F (n) for n 1. Med
a
n
= 1/n får vi F = g
1
= 1/(2n) = f
1
. Vi skal snart se at g
i
6= f
i
for i > 1. Med
F = g
1
får vi (19) som den første akselererte rekken. Denne kan skrives
(28)
π − 7
4
= −1 +
∞
X
m=1
(n=2m+1)
(−1)
m−1
1
n
3
− n
som også er alternerende og kan akselereres med metoden ovenfor. Her får vi F =
−1/(2n
3
) og likningene (25) og (26) fører nå til
(29)
π
4
=
13
16
−
∞
X
m=1
(n=2m+1)
(−1)
m−1
5n
2
− 1
n(n
2
− 1)
3
.
Normat 1/2008 Paul Papatzacos 31
Denne rekken konvergerer som 1/n
5
, altså like raskt som Nilakanthas rekke (20),
men har neppe den samme estetiske appellen. Vi kan utføre akselerasjonen direkte
fra Leibnizrekken til rekken (29) ved å legge sammen de to F’ene og få
g
2
=
1
2n
−
1
2n
3
6= f
2
.
Vi kan nå fortsette å akselerere suksessivt, og vi finner at neste korreksjon er
g
3
=
1
2n
−
1
2n
3
+
5
2n
5
6= f
3
.
Som ellers i en historisk beretning er det ofte vanskelig å fastsette hva som faktisk
skjedde, men det er atskillig vanskeligere å forstå hvorfor noe ikke skjedde.
4 Noen relaterte fakta av interesse
Det er verdt å minne om at Euler [5], etter å ha vist hvordan en kan gå fra en rekke
til en kjedebrøk og omvendt, brukte rekken (11) som et eksempel, og utledet
f(n) =
1
n + 1+
(n + 1)
2
2+
(n + 3)
2
2+
(n + 5)
2
2+
. . . .
Det er lett å se at konvergent nummer r til denne kjedebrøken er delsummen med
r ledd til rekken (11).
Definisjonen (11) fører til at f(0) = π/4 slik at Eulers kjedebrøk leder umiddel-
bart til Brounckers formel. Whitesides f(n) er ikke definert for n = 0, men siden
π/4 = 1 − f(2) kan vi bruke (12) til å skrive en kjedebrøk som er en variant av
Brounckers [12], nemlig
4 − π
2
=
1
2+
1
2
2+
2
2
2+
. . . .
Både Sharps formel (6) og Eulers formel (7) oppgis i T.
La oss se nærmere på et bidrag som finnes i TV, nemlig Eulers formel med
korreksjonsledd [13]. Analogt med formel (8), skriver vi om formel (7) som følger:
(30)
π
r
(m) − 2
4
=
m
X
k=1
(`=2k)
(−1)
k−1
1
`
2
− 1
+ (−1)
m
h
r
(2m)
Forfatteren av TV har her bare oppgitt én korreksjon, nemlig 1/(2(n
2
+ 2)). Vi
viser nedenfor at dette er lik h
2
, ved å anvende den samme prosedyren som ledet
til f
2
.
Eulers formel (7) kan skrives
π − 2
4
=
m
X
k=1
(`=2k)
(−1)
k−1
1
`
2
− 1
+ (−1)
m
h(2m)
32 Paul Papatzacos Normat 1/2008
der
h(n) =
1
(n + 1)
2
− 1
−
1
(n + 3)
2
− 1
+ . . .
og vi ser at
(31) h(n + 1) + h(n − 1) =
1
n
2
− 1
.
For n 1 får vi h(n) ≈ 1/(2n
2
) = h
1
(n). Vi setter
(32) h(n) =
1
2nγ
1
(n)
i likning (31) og får
2γ
1
(n + 1)γ
1
(n − 1) − (n + 1)γ
1
(n + 1) − (n − 1)γ
1
(n − 1) = 0.
Funksjonen som tilfredsstiller denne likningen for n 1 er
γ
1
(n) = n +
2
n
+ . . . .
Vi antar nå at γ
1
er eksakt lik summen av de to første leddene, setter inn i formel
(32), og får h ≈ h
2
der
h
2
=
1
2(n
2
+ 2)
.
Dette er uttrykket som forfatteren til TV oppgir som eneste korreksjon i (30). En
uendelig kjedebrøk for h finnes også, se [13].
La oss nevne til slutt at Nilakantha var overbevist om at π er irrasjonal. I et
verk der tittelen er forkortet ti Aryabhatiya [11, 14] skriver han at forholdet mellom
omkretsen og diameteren aldri kan skrives som forholdet mellom to naturlige tall.
Referanser
[1] G. Almkvist: “Pigullas fantastiska formel för π”, Elementa.
[2] L. Berggren, J. Borwein, and P. Borwein: Pi: A Source Book, Third edition,
Springer, 2004.
[3] J. Dutka: “Wallis’s Product, Brouncker’s Continued Fraction, and Leibniz’s
Series”, Archive for History of Exact Sciences, 26, 115–126, 1982.
[4] L. Euler: “An Essay on continued fractions”, eller “De Fractionibus Continuis
Dissertatio (1737)” oversatt av M. F. Wyman and B. F. Wyman, Math. Systems
Theory, 18, 295–328, 1985.
[5] L. Euler: Introduction to Analysis of the Infinite, eller Introductio in Analysin
Infinitorum (1748) oversatt av J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1988.
[6] L. Euler: Institutiones Calculi Differentialis, 1755
Normat 1/2008 Paul Papatzacos 33
[7] A. P. Jushkevich: Geschichte der Matematik im Mittelalter, Leipzig, 1964.
[8] G. R. Kaye: Indian Mathematics, Calcutta, 1915.
[9] V. J. Katz: A History of Mathematics, An Introduction, Second Edition, Addison
Wesley Longman, 1998.
[10] W. Pigulla: “Konvergenzbeschleunigung mit Hilfe von Kettenbrüchen, Elem. Math.,
59, 58–64, 2004.
[11] K. Mukunda Marar and C. T. Rajagopal: “On the hindu Quadrature of the Circle”,
Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society, 20, 65–82, 1944.
[12] C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari: “On an Untapped Source of Medieval
Keralese Mathematics”, Archive for History of Exact Sciences, 18, 89–102, 1977.
[13] C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari: “On Medieval Kerala Mathematics”,
Archive for History of Exact Sciences, 35, 91–99, 1986.
[14] R. Roy: “The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and
Nilakantha”, Mathematics Magazine, 63, 291–306, 1990. Se også [2, artikkel 14].
[15] T: Thrivikraman: “On the contribution of Kerala Mathematics in the late medieval
and early modern periods”, The Mathematics Student, 53, 204–208, 1985.
[16] C. M. Whish: “On the Hindu Quadrature of the Circle, and the infinite series of the
proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four Sastras, the
Tantrasangraham, Yucti-Bhasa, Carana Padhati and Sadratnamala”, Transactions
of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, 3, 509–523, 1835.
