Normat 56:1, 41–47 (2008) 41

Böcker

Jöran Friberg

Amazing Traces of a Babylonian Origin

in Greek Mathematics.

World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.

New Jersey, London, Singapore, Beijing,

Shanghai, Hong Kong, Taipei, Chennai

2007

også denne boken ligger på det høye

kvalitetsnivå man forventer fra Jöran

Friberg. Som han bemerker i forordet

til Unexpected Links, representerer hans

forskningsresultater om at det består

klare forbindelser mellom egyptisk og

babylonsk matematikk nye tanker in-

nen forskningen i matematikkens histo-

rie. Ifølge Friberg selv finner en i tidli-

gere publiserte arbeider om dette tema

Man anser at den eldste bevarte be-

retning om tidlig gresk matematikk er

Proklos’ sammendrag, kalt det Eude-

miske sammendrag. Dette innleder Pro-

klos kommentarer til Euklids elemen-

ter I, El I. Sammendraget sies å være

fra en bok av Eudemos, en av Aristote-

les elever. Men det er ingen tvil om at

Proklos brukte nyere kilder, muligens er

hele sammendraget Proklos’ eget verk.

among the Egyptians, taking its ori-

gin from the measurement of areas. For

they found it necessary by reason of

the rising of the Nile, which wiped out

everybody’s property boundaries. Nor is

there anything surprising in that the dis-

covery both of this and of the other

sciences should have its origin in a prac-

tical need, since everything which is in

process of becoming progresses from the

tracts, even so geometry was discovered

among the Egyptians for the aforesaid

reason.

Nå var Proklos en av etterfølgerne

Der beretter han, etter manges mening

frem til idag meget fantasifullt, at Pyta-

goras mens han oppholdt seg i Egypt ble

tatt til fange av perserkongen Kambyses

i god kontakt med magikerne i templet,

te som det rene oppspinn, i hvert fall

inntil de mesopotamiske matematiske

leirtavlene etter hvert begynte å bli ty-

det. Men selv etter de nye innsikter

gjennom arbeidene til Otto Neugebauer

og hans medarbeidere som for eksempel

i [6], ble Jamblikos og hans beretninger

sett på med megen skepsis. Således om-

taler van der Waerden ham i [10] på side

91, som a fanciful and muddle-headed

42 Böcker Normat 1/2008

Dette er ikke stedet for å gå inn i hele

debatten knyttet til hvor vår nåværende

være nok å konstatere at mye har vært

kontroversielt, debatten ofte forbausen-

de spekulativ og opphetet, og gjerne

preget av nasjonale agenda og motset-

ninger.

I boken under anmeldelse bringer

Jöran Friberg et vell av ny og eksakt

dokumentasjon og informasjon om opp-

rinnelsen til gresk matematikk. Fribergs

arbeide er et vesentlig skritt videre i de

cient mathematics. En slik karakteris-

tikk må man med samme berettigelse

kunne bruke om Fribergs bok under an-

meldelse her.

Boken representerer en fortsettelse

av [1], og er basert på forfatterens

banebrytende forskning i babylonsk, el-

ler mesopotamisk, matematikk. Mate-

matikken i dette området hadde etter

det en vet sin blomstringstid fra det fjer-

ninger som en finner på de gamle mate-

matiske leirtavlene fra Mesopotamia.

Friberg gjengir tallrike diagrammer,

etter beskrivelser og figurer innrisset på

babylonske leirtavler som dokumente-

res, der lengder og arealer er angitt ved

tall, i stedet for mer abstrakt ved bok-

staver slik vi finner i gresk geometri,

som hos Euklid. Slike metrisk algebra

diagrammer er viktige for å forstå set-

a continuation and more or less defini-

te conclusion of the debate of what has

been known as the “geometric algebra”

of Euclid’s Elements II. Hans formål i

dette kapitlet er å påvise at setningene

i El II ikke er greske reformuleringer i

geometriske termer av babylonsk (ikke-

geometrisk) algebra, men at de er abs-

trakte, ikke-metriske reformuleringer av

et vel definert system av ligninger fra

lonske versjonene av det såkalte stige-

problemet, som for en tid siden ble be-

handlet i sine nyere versjoner i NOR-

MAT.

iske teorem, El I setning 47, som sier

at i en rettvinklet trekant er summen

av arealene til kvadratene på katetene

lik arealet til kvadratet på hypotenusen.

pos’ meget vakre og forbløffende enkle

peser eller rektangler. At man her finner

i det minste en forløper for det Pytago-

reiske teorem, synes udiskutabelt. Man

kunne fristes til sterkere ord.

Kapittel 3 begynner med et lemma

fra Euklids elementer Bok X, Lemma 1

på side 63 i Vol 3 av Heaths oversettel-

se [3]: To find two square numbers such

that their sum is also a square. Friberg

argumenterer for at Euklids geometris-

Normat 1/2008 Böcker 43

ve hele tall a, b og d slik at a

2

2

2

som svarer til de tre sidene i korre-

lede trekanter. I [2] bind I har Heath

behandlet to genererende regler for sli-

ke tripler, som begge er spesialtilfeller

av regelen fra Euklid. Heath tilskriver

disse reglene til Pytagoras og Platon,

henholdsvis. Friberg påviser at alle dis-

se reglene kan avledes av visse geome-

triske diagrammer, som kan finnes på

en meget interessant gammelbabylonsk

leirtavle, MS 3971. Dette er de såkalte

lemma som i [3] står på side 74 i Vol. 3:

Det er gitt 4ABC der ∠A er rett. Fot-

punktet til normalen fra A til BC er D.

Da her rektanglet med sider CB og BD

samme areal som kvadratet på BA, det

med sider BC og CD som kvadratet på

CA og det med sider BD og DC som

kvadratet på AD og det med sider BC

og AD som rektanglet med sider BA og

AC.

Heaths oversettelse fra [3]:

El I 43 In any parallellogram the com-

for at formuleringen av disse to setnin-

gene på en måte tilslører de matematis-

ke realitetene:

ne måten:

lonerne kunne regne ut arealer av figu-

tangler og parallellogrammer, og der-

med sammenligne disse arealene. Det

babylonske motstykke til application of

area i El I 44, er den metriske divisjon:

En har gitt et areal A, gitt som et tall,

og en lengde `, likeledes gitt som et tall.

En skal så finne lengden d slik at et rek-

tangel med sider ` og d har areal A.

44 Böcker Normat 1/2008

Tallene er, åpenbart med hensikt, valgt

slik at beregningene blir kompliserte, og

eksempler, som i avskrift fra leirtavlene

ser slik ut:

området.

Kapittel 7 tar opp det gylne snitt, og

metrisk analyse av det regulære penta-

gon. Regulære polygoner av mange ulike

typer ble studert av babylonerne, men

Friberg peker på at de ikke kan ha kjent

til at to nabodiagonaler i en regulær

pentagon høydeler hverandre. Dette re-

sultatet hos Euklid bruker vesentlig El

kule, ved metrisk algebra. Dette er te-

taeder), 15 (kube), 16 (ikosaeder), 17

(dodekaeder) og 18, der sidene i de fem

regulære polyederne finnes uttrykt ved

den omskrevne kulens diameter, og dis-

se sammenlignes med hverandre. I kon-

17 gjør Euklid bruk av en teknikk som

er en tre-dimensjonal versjon av den

bylonske epoken (kassittisk), behandlet

gen av et kolossal kobber-ikosaeder, som

beskrives på en leirtavle fra samme epo-

ke. Denne figuren blir kalt en horn-figur

på leirtavlen. Den settes sammen av 20

likesidede trekanter, der de tre sidene er

3 kubit lange, omtrent 1.5 meter, og ut-

ført av kobberplater som er omtrent 2.5

cm tykke.

Friberg har en fascinerende tankerek-

ke i en kommentar på side 172:

the edges of a regular icosahedron and

dodecahedron are shown to be inexpres-

sible in terms of the diameters of the cir-

cumscribed spheres. A possible explana-

tion for this lack of consistency may be

Elements the diameters of the circums-

cribed spheres for all the five regular po-

lyhedrons had been expressed in terms

of the edges of the figures, following the

Den siste henvisningen til den baby-

kan uttrykkes, må vi ta i bruk moder-

ne symboler, og lar d betegne diame-

teren til den omskrevne kulen, og lar

s

, s

, s

og s

betegne lengdene

til sidekantene i tetraederet, oktaederet,

kuben, ikosaederet og dodekaederet. Vi

får da følgende uttrykk, som essensielt

bevises i El XIII:

d

d

Normat 1/2008 Böcker 45

s

Ordet «expressible» ovenfor uttryk-

ker at to størrelser a og b er kommen-

surable, altså at med moderne sprog er

a = rb der r ∈ Q. Der vi bare har at

a

for et passende rasjonalt tall

r ville man si at a og b er «expressible

in square». Vi ser da at ingen av de fem

sidekantene er «expressible» ved d, men

at de tre første er «expressible in squa-

re» ved d. De to siste er ikke «expres-

ne viser at de gammelbabylonske mate-

matikerne kunne regne ut volumene til

en lang rekke hele og trunkerte pyrami-

der og kjegler, samt beslektede figurer.

En slik figur som lenge virket gåtefull,

ble beskrevet som en «kornbinge », a

granary. Fasongen er imidlertid nær opp

til et valmetak, hos Friberg kalles den a

ridge pyramid. Også trunkerte versjoner

studeres og beregnes. Friberg konklude-

for the volumes of a large variety of py-

of the various figures appearing in Ele-

ments XII, only the sphere seems to

have been totally outside the scope of

Babylonian mathematics.

Euklids Elementer har hatt en enorm

innflytelse fra antikken og opp til vår

egen tid. Det er blitt sagt at nest etter

Bibelen er Elementene historiens mest

så sentral plass i Fribergs behandling

rens motivasjon for å gi en såvidt detal-

jert gjennomgang av denne første halv-

parten av boken, altså de første ni ka-

pitlene. For de siste ni kapitlene vil det

bli gitt en mer kortfattet behandling.

Euklid skrev også andre bøker om

matematikk som har overlevd i en eller

annen form.Av disse tar nå Friberg opp

to, nemlig Data, som med sine 94 set-

ninger studerer hvilke egenskaper ved

Friberg forbindelsene til babylonsk ma-

tematikk i det 75 sider lange kapittel

11. Hos Euklid dreier det seg om opp-

deling av triangler, trapeser, parallello-

grammer, en sirkel og et sirkelsegment.

deling av triangler og trapeser ved ulike

familier av linjer. Her står dette stof-

fet i nær sammenheng med ubestem-

te kvadratiske ligninger. I kapittel 12

raturer med babylonske beregninger av

byggåker, lyrevindu (et konkavt trian-

gel av sirkelsegmenter).

Kapittel 13 utforsker spor av baby-

lonsk metrisk algebra i Diofantos’ Arith-

metica, I-VI. Her finnes det et stort

antall eksempler, og Friberg peker på

at Arithmetica (Ar) I er organisert på

samme måte som en gammelbabylonsk

tema-tekst med ligninger eller systemer

av ligninger i en eller to ukjente. Et ord

46 Böcker Normat 1/2008

som er representerbart, nemlig ved et

metrisk algebra diagram. I Ar II be-

tall som en sum av to andre kvadrat-

tall, i denne formen: La det være krevet

å dele 16 i to kvadrater. Friberg minner

her om at Diofantos, som sine babylons-

ke forgjengere, ofte angir tilfeldige nu-

meriske verdier i den matematiske drøf-

telse av et problem, på samme måte som

vi idag ville benytte bokstaver k, l, m.

Derfor er ofte det som ser ut som ett

spesialtilfelle, i virkeligheten ment å be-

nom punktet P = (0, −r) med vinkel-

koeffisient t skjære sirkelen i punktet

2t

+1

t = 2 får man da b =

og a =

3

5

slik at

br =

16

5

, ar =

12

5

anmelderen selv gjenga nokså ukritisk i

Friberg refererer først den eldre tolk-

ningen av Diofantos, men går så vi-

dere til å diskutere nyere alternativer,

som støtter seg helt avgjørende på baby-

lonsk metrisk algebra. Videre drøftes

Ar II i samme ånd.

Behandlingen av Ar III starter med:

sjonen involvert i dette karakteriserer

rer tilbake til tidlige indiske matematis-

ke tekster fra Bhâskara, Brahmagupta

og Mâhavîra, og til forsøk på å forklare

en babylonsk bakgrunn for disse. Det er

spennende og fascinerende lesning, der

firkanter innskrevet i en sirkel står sen-

tralt.

I kapittel 14 drøftes hvorledes baby-

lonsk metrisk algebra kan lede til Her-

ons, Ptolemaios’ og Brahmaguptas re-

Alexandrias metode til å regne ut kvad-

ratrøtter, for Ptolemaios’ kordebereg-

ninger og for Arkimedes’ estimat for

I kapittel 17 får vi så en babylonsk bak-

grunn for Teodoros fra Kyrenes irrasjo-

nalitetsbevis, og hans uendelig nedsti-

gende kjede av birektangler. Dette med

utgangspunkt i Platons dialog Teaite-

tos. I siste kapittel, 18 i rekken, be-

handles Herons Metrica, og den pseudo-

Boken har en fyldig litteraturliste, to

tidsdiagram bakerst i boken.

Det er en glede å kunne gi denne bo-

ken min varmeste anbefaling. Anmelde-

ren kan ikke forstå det annerledes enn

at den vil representere et tidsskille i

og at den må anspore til nye fremstøt

fra kommende generasjoner av matema-

Normat 1/2008 Böcker 47

[1] J. Friberg. Unexpected Links

World Scientific Publishing Co.

Pte. Ltd. 2005.

New York 2002.