Normat 56:2, 49–67 (2008) 49
Selbergintervjuet del 2 – Såldmetoden, Prim-
tallsatsen og Erdös
Nils A. Baas og Christian F. Skau
Matematiske Institutt
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
baas@math.ntnu.no, csk@math.ntnu.no
Såldmetoder det er jo også noe som har stått ditt hjerte nær i lang tid.
Jo, det er så. Det kom først ut som et biprodukt av mitt arbeid med zeta-
funksjonen.
Etter doktorgraden?
Etter doktorgraden, ja. Jeg innså at jeg kunne bruke noe av det som jeg hadde
brukt der, og det kunne jeg bruke til å finne øvre grenser, og at det virket i en
mer generell sammenheng enn hva jeg hadde tidligere. Det var da jeg først begrep
i grunnen hva såldmetoden egentlig handlet om. Jeg så på Viggo Bruns arbei-
der, men jeg kunne aldri forstå dem riktig. Han brukte mye en slags geometrisk
fremstilling. Han var avhengig av å se tingene geometrisk med visse figurer og dia-
grammer og sånn. Jeg så på dem, men de hadde aldri noen mening for meg, så jeg
fikk ingenting ut av det. Det fantes jo andre fremstillinger som unngikk dette. Det
var Rademacher, som egentlig hadde oversatt Bruns arbeide til et annet språk, så
å si, som var mer tilgjengelig for andre matematikere. Så det ble mer sånn som
Rademacher hadde fremstilt såldmetoden som ble brukt og gjort tilgjengelig for en
større gruppe av matematikere. Jeg så også litt på Landaus trebinds forelesnings-
serie om tallteori, som hadde et avsnitt om Bruns arbeider, men han fulgte jo mye
Rademachers fremstilling. Jeg syntes det heller ikke var så bra. For å finne øvre
grenser så fant jeg ut at jeg kunne bruke kvadrater av
P
d|n,d<z
λ
d
, og det virket
veldig bra. Faktisk på alle problemer som kunne angripes med Bruns såld-metode,
kunne jeg finne øvre oppskatninger med min egen metode, og de ble konsekvent
bedre. Ikke bare det, men også mye enklere å finne. Konstantene ble mer naturlige
og enkle for jeg endte alltid opp med noe som var et heltallig multiplum av det
som var den antagelige korrekte verdi. For eksempel hvis jeg hadde et irredusibelt
polynom uten noen fast primfaktor, så ville jeg ende opp med noe som var ganske
mye bedre enn de resultater som kunne oppnås med Bruns resultat. Hvis det var
noe som dreide seg om flere irredusible polynomer så ble konstanten øket en del.
Jeg mener, hvis man betraktet antall primtall, for å ta noe enkelt, hvis man da tok
og betraktet antall primtall i et intervall så endte jeg opp med en konstant som var
to ganger så stort som det vi mente var det korrekte resultat. Hvis jeg betraktet et
binært problem, så endte jeg derimot opp med noe som hadde en faktor som var
50 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
4 ganger så stor. Og tilsvarende for flere. Altså Goldbachs problem, eller primtall
tvilling problemet, førte til konstanter som var 4 ganger for store. Jeg prøvde så å
adoptere dette så jeg også kunne finne nedre grenser. For det er alltid et vanskeli-
gere problem, fordi at en nedre grense har ingen verdi unntagen når den kommer
ut positivt. Øvre grenser kommer alltid ut positive. Nedre grense sier bare noe når
den kommer ut positivt. Og jeg fant jo selvfølgelig at avhengig av hva problemet
var, så kunne jeg få positive resultat bare så lenge jeg gjorde min såldning opp til
en viss potens. Jeg kunne for mer kompliserte problemer bare bruke såld-metoden
min over en seksjon av primtallene som var opp til en potens med lavere eksponent
enn den jeg kunne gjøre for et enklere problem.
La oss snakke om såldmetoder. Den såkalte Selbergs såldmetode, det var det
første hovedresultatet ditt?
Jeg publiserte en note sommeren 1946, og jeg begynte å arbeide en del med det.
Da jeg kom til Princeton i 1947 gjorde jeg en oppdagelse som satte meg på sporet
av det som jeg kaller paritet, og som er ganske viktig for hva man kan gjøre og
ikke gjøre med såldmetoder. Jeg prøvde å vise eksistensen av primtall i intervaller,
forholdsvis små intervaller, ved å betrakte et forhold mellom to kvadratiske former.
Jeg prøvde å betrakte
X
x<n<x(1+)
d(n)
X
d|n
λ
d
2
X
x<n<x(1+)
X
d|n
λ
d
2
; d ≤ z, λ
1
= 1 (1)
der d(n) er antall divisorer til n, og vanligvis velges z ≤
√
x. Jeg betraktet forhol-
det i (1). Det er åpenbart at hvis du kan gjøre dette forholdet − man kan godt
utstrekke dette bare over kvadratfrie tall, det blir det samme − hvis du kan gjøre
dette forholdet mindre enn 4 så vil det i det vesentlige vise at det finnes primtall i
intervallet fra x til x(1 + ), hvor er en liten konstant. Man har forholdet mellom
to kvadratiske former i λ-ene, og det gjelder å minimalisere dette forholdet, selv-
følgelig. Du kan ikke riktig diagonalisere hele den kvadratiske formen ved å innføre
nye variable. Jeg fant at hvis jeg bare prøvde å gjøre den dominerende delen i
telleren så liten som den kan være, hvis λ-ene er frie og λ
1
= 1, så kan jeg gjøre
forholdet så nær til 4 som jeg vil, nemlig som 4 + 0(
1
log x
). Det syntes meg som
det ikke var noen grunn til å tro at jeg hadde funnet det riktige minimum ved å
bare ta minimum av den dominerende delen av dette, og sette inn disse verdiene
av det som jeg fant. For den andre delen av det som jeg fant ovenfor er av samme
orden i virkeligheten, og det syntes meg klart at siden jeg ikke var ved det riktige
minimum, så skulle jeg kunne gjøre det litt mindre enn 4 hvis jeg jenket på det.
Men det viste seg at det ikke var tilfelle. Jeg prøvde også med andre uttrykk, og
etter hvert ble det klart for meg at de tall som har like antall primfaktorer og de
som har et ulike antall primfaktorer vil bidra omtrent det samme, så at forholdet
ikke kan bli gjort mindre enn 4, faktisk. At det kan bli gjort så nært til 4 som man
vil viser at man i virkeligheten da har at de med bare to primfaktorer vil komme
til å bidra ulike mye mer enn alle de andre som har et like antall primfaktorer. De
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 51
som har et like antall primfaktorer, men flere enn to, vil altså gi bidrag av mindre
størrelsesorden. Dette viste seg i en del andre sammenhenger også, så jeg innså
at øyensynlig hva jeg så gjorde med disse metoder så fikk jeg asymptotisk samme
bidrag av de med like antall primtall og de med ulike primtall. Det kom da for
meg at det skulle være mulig å konstruere uttrykk hvor jeg fikk omtrent samme
bidrag av primtallene og produkter av to primtall, og det var det som ledet meg til
denne formelen som ligger til grunn for det elementære beviset for primtallsatsen.
Jeg refererer til dette problemet som paritet, og som såldmetoden ikke kan skille
mellom. Jeg nevnte det allerede i Trondheim i 1949, hvor jeg holdt et foredrag,
og noe mer detaljert i mitt foredrag på verdenskongressen til IMU i Cambridge,
Massachusetts, ved Harvard i 1950, at man har denne begrensning. Begrensningen
gir også en idé om hva man kan gjøre, og faktum er at man kan finne en uendelig
rekke av formler hvor det er bare bidrag fra primtall og produkter av to primtall.
De har samme vekt disse to deler, og det er noen forskjellige funksjoner av de to
som inngår i disse formlene. Den formelen som jeg ga i min avhandling om det
elementære beviset for primtallsatsen er i grunnen den enkleste. Denne formelen
fremkommer om man først betrakter formelen
X
n<x
X
d|n
µ(d) log
2
x
d
= x
X
d<x
µ(d)
d
log
2
x
d
+ 0
X
d<x
log
2
x
d
!
(2)
(µ er Möbius-funksjonen.)
Her sees lett at den indre sum på venstre side alltid er null om n har mer enn to
forskjellige primfaktorer. Ved å se på verdien for n = 1 og n = p
a
, med a > 0, og
n = p
a
q
b
, med p 6= q og a > 0, b > 0, blir venstre side av (2).
log
2
x +
X
p
a
<x
log
2
p + 2 log p log
x
p
+
X
p
a
q
b
<x
p6=q
2 log p log q
=
X
p<x
log
2
p +
X
pq<x
log p log q + 0(x)
(3)
På høyre side av (2) kan man oppskatte summene som inngår, og man får at høyre
side er
2x log x + 0(x)
Tilsammen gir dette
X
p<x
log
2
p +
X
pq<x
log p log q = 2x log x + 0(x) (4)
Det er formelen (4) som er nøkkelen til å bevise primtallsatsen?
Ja, det er så.
Det er veldig viktig for oss å få etablert dette. Det var altså faktisk såldmetoden,
og i en viss forstand den enkleste applikasjon av såldmetoden, som ledet til denne
fundamentale asymptotiske formelen (4)?
52 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
Vel, ja. Det er også en slags såldmetode. Dette er en lokal såldmetode. Dere
skjønner, at når man generelt bruker disse metodene så finner en alltid at de λ-ene
som man ender opp med, avhengig av hva slags koeffisienter som forekommer, alltid
er av formen
λ
d
= µ(d)
log
k
z
d
log
k
z
(5)
hvor z er en skranke for hvor langt d kan gå, og eksponenten k avhenger av det
problem man betrakter.
Er det en form for Lagrange multiplikatormetode du bruker for å minimalisere
disse tingene?
Vel, jeg har en måte å innføre nye variable som diagonaliserer, så at det er veldig lett
etter at du har innført de nye variable å finne minimum i en sånn formel, i hvertfall
av den dominerende del av formelen. Det er faktisk litt mer komplisert. De optimale
λ
d
, når vi kan bestemme dem eksakt, kommer ut som µ(d) multiplisert med en
kvotient av to summer. Hvis man oppskatter disse summene får man asymptotisk
formen (5). Vanligvis må man nøye seg med en approksimasjon.
Så dette er en stor oppdagelse, faktisk?
Vel, det tar en tid før du kan trekke noen mere slutninger ut fra det, men jeg
syntes jo at det var en ganske interessant relasjon, slik at det skulle være mulig
å trekke mere ut av dette. Det tok meg en tid å få det slik som jeg ville ha det,
og det gikk gjennom flere faser. Den ene av dem hadde jeg egentlig ikke planlagt:
for å si det slik, så kom det en ’interloper in the way’. Saken er nemlig den, jeg
brukte noe lignende i forbindelse med noe jeg hadde gjort ferdig for publikasjon.
Det var et bevis for Dirichlets setning om primtallene i aritmetiske rekker, og jeg
benyttet ikke (4), men noe som kan utledes av analogien for (4) for en aritmetrisk
progresjon kn + l, hvor (k, l) = 1, nemlig
X
p<x
p≡l(modk)
log
2
p
p
+
X
pq<x
pq≡l(modk)
log p log q
pq
=
1
ϕ(k)
log
2
x + 0(log x) (6)
hvor ϕ(k) er Eulers tallteoretiske funksjon.
Det er da ikke så vanskelig å få en selvmotsigelse hvis du antar at det ikke er
uendelig mange primtall i progresjoner. Jeg gikk gjennom dette beviset med Turán
som var her i Princeton da, sommeren 1948. Han hadde kommet med noen spørsmål
i den forbindelse, og jeg hadde kommet til å nevne formelen (4) − i selve beviset
inngikk bare (6). Jeg tror foranledningen til at jeg nevnte formelen (4) var at han
hadde spurt om hvor skarp man kunne gjøre noen oppskatninger. Han hadde vært
her for vår-terminen og han skulle reise tilbake til Ungarn. Jeg skulle reise opp til
Canada for å få et permanent visum, for jeg ville ta en jobb i Syracuse for ett år.
Jeg hadde blitt tilbudt et annet år ved instituttet her, men jeg syntes det kunne
være interessant å prøve ut hvordan det var ved et annet amerikansk universitet.
Jeg må si at jeg angret ikke på det. Så jeg var oppe i Canada nære på to uker før
jeg endelig fikk overtalt konsulatet til å gi meg visum.
Måtte du dra til Canada for å få visum?
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 53
Du kunne ikke gjøre det innenfra landet, du måtte reise ut et sted, og Canada
var det nærmeste stedet. Jeg reiste da opp til Montreal og returnerte til Princeton
først ni dager senere. Jeg hadde vært der før og holdt noen foredrag ved McGill
University etter at jeg kom til Amerika. Det var om vinteren. Det var veldig kaldt
der kan jeg huske, men hotellværelset var så varmt at vi måtte ha vinduene åpne
hele tiden, ellers kunne vi ikke leve der. Det var umulig å regulere radiatoren.
Oljeprisen var noe lavere den gangen åpenbart! Men tilbake til visumsaken: jeg
snakket ikke med selve konsulen, men med visekonsulen. Jeg hadde fått idéen å
reise opp der av Hua, en kineser som hadde vært her og som jeg ble kjent med.
Han hadde dradd til Canada for å endre sitt visum for å ta en stilling i Urbana,
Illinois. Så jeg nevnte hans tilfelle for å oppmuntre denne visekonsulen å gjøre det
samme for meg. Han sa til meg etter at han hadde sett ’the files’ til Hua at det
syntes ham åpenbart at Hua ikke burde fått visum. Men så en dag jeg var inne
på konsulatet så gjorde han ferdig visum for oss, men før vi fikk visumene våre så
fikk han ’second thoughts’ og trakk dem tilbake. Så det tok en del dager mer, og vi
måtte ha en del dokumenter oversatt. Det var særlig komplisert med dokumenter
som min kone Hedi hadde på rumensk, men vi fant en oversetter som var i stand til
å gi offisiell bevitnelse om at disse dokumenter var korrekt oversatt. Hedi fortalte
meg senere at denne oversetteren i grunnen ikke kunne så mye rumensk. Vi fikk
da endelig våre visum, og vi reiste så ned med toget og fikk innreise til USA ved
St. Albans i Vermont. Da jeg kom til instituttet neste dag viste det seg at Turán
fremdeles var der. Han hadde gått igjennom mitt bevis for aritmetiske progresjoner,
som jeg hadde fortalt ham om, og han hadde også nevnt formelen (4). I mellomtiden
mens jeg var i Montreal var også Erdös kommet til Princeton, og han sa at han
var interessert i denne formelen (4), som han kalte en ulikhet. Jeg kalte den alltid
en likhet, det var en asymptotisk formel. Vel, man kan si at det er en ulikhet ved
at det er større enn et utrykk hvis du setter minus en konstant ganger dette, eller
mindre hvis du setter pluss. Men jeg har alltid kalt en slik formel en asymptotisk
ligning, ikke en ulikhet. Men han kalte den en ulikhet. Han ville prøve om han
kunne vise at det fantes primtall mellom x og x(1 + ), der er vilkårlig liten,
dersom x var tilstrekkelig stor. Vel, jeg sa at jeg hadde ingenting imot det. Jeg
holdt ikke på med å arbeide med noe sånt den gangen. Jeg hadde i grunnen forlatt
det problemet da jeg hadde funnet ut om dette med paritet, og innsett at dette
forsøket som jeg gjorde med det forholdet (1), som jeg skrev opp først, ikke ville
føre frem, altså at jeg ikke kunne gjøre det mindre enn 4.
Så du hadde ikke primtallsetningen i tankene akkurat da?
Jo, jeg hadde primtallsetningen i tankene, det var mitt mål ut fra denne formelen
(4) jeg hadde. Jeg sa at jeg ikke hadde noe imot at han prøvde å gjøre dette, og
jeg gjorde noen bemerkninger som ville ’discourage’ ham. Jeg sa at han skulle ikke
være så alt for optimistisk at det var så mye annet som kunne sluttes ut fra dette.
Men så etter et par dager så nevnte Erdös at han hadde et bevis for at mellom x og
x(1+) var det primtall, og han ga meg noen av detaljene hvordan beviset gikk. Jeg
hadde tidligere oppnådd en del resultater. For eksempel, hvis man tar funksjonen
ψ(x), som er summen av logaritmene til primtallene mindre enn x, altså
ψ(x) =
X
p<x
log p (7)
54 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
og betrakter lim sup og lim inf av
ψ(x)
x
, og kaller det henholdsvis A og a, så hadde
jeg sluttet at A + a = 2. Det passer jo veldig bra at begge av dem skulle være
1, selvfølgelig, og det ville gi et bevis for primtallsatsen. Man finner lett at det er
veldig usannsynlig at de er forkjellige fra hverandre, siden det vil føre til en veldig
merkverdig fordeling av tallene med like antall primtallfaktorer og tallene med et
ulike antall primtallfaktorer, og også en veldig merkverdig fordeling av primtallene.
Vel, jeg oppdaget at jeg kunne inkorporere hans resultat, som faktisk sa mer enn
at det fantes primtall mellom x og x(a + ) − det resultatet i seg selv ville ikke ha
vært tilstrekkelig for meg − i det som jeg hadde holdt på med, og at det kunne
lede meg til et bevis for at A og a er like, slik at de må være 1, selvfølgelig, og
det er jo ekvivalent med primtallsatsen at
ψ(x)
x
går mot 1 når x går mot uendelig.
Så jeg nevnte til Erdös neste dag at jeg kunne bruke hans resultat for å fullføre et
bevis for primtallsatsen − et elementært bevis. Vi snakket noe mer om dette, og
det viste seg at man kunne på en måte unngå å bruke hans resultat, men å bruke
noen av de idéene han hadde brukt, for å få et noe mer direkte og kortere bevis.
Jeg hadde egentlig ikke tenkt å innlede noe samarbeid med han . Han spurte meg
om vi skulle gå gjennom dette beviset, og jeg tenkte at han da mente at vi skulle
gjennom det med et par folk her ved instituttet som var interessert i tallteori. Det
var Chowla fra India, og en som het Ernst Straus, som var Einsteins assistent.
Straus var noe interessert i tallteori. Turán var reist på fredagen. Jeg sa ok, og
kom over om kvelden for å gå gjennom disse tingene. Men det viste seg at Erdös
hadde annonsert dette på universitetet, og istedenfor en liten uformell gruppe som
jeg trodde det skulle være, så var det et fullt auditorium. Jeg gikk igjennom de
første delene som jeg hadde hatt tidligere, og så gikk Erdös gjennom sin del, og
til slutt så fullførte jeg beviset ved å kombinere hans resultat med mitt. Etter
noen dager så reiste jeg opp til Syracuse for å se etter en leilighet, og dessuten
jeg hadde lovet dem at jeg ville komme opp å undervise på sommerskolen og ta
meg av ingeniører i hva de kalte ’advanced calculus’. Dette var i 1948. Jeg kom til
instituttet i 1947, og jeg var altså ferdig med mitt første år her i Princeton. Jeg
var tilbudt å være i Princeton ett år til, men jeg syntes det kunne være interessant
å prøve en jobb i Syracuse. De ville betale noe mer, og dessuten kunne det være
interessant å undervise ved et amerikansk universitet. De lovet at de skulle skaffe
Hedi en jobb der også, noe som hun ville sette pris på. Så vi dro opp dit. Det tok
en tid før jeg fikk skaffet en leilighet, så jeg bodde hos en kollega i mellomtiden.
Jeg begynte å høre fra forskjellige kanter at de jo bare nevnte Erdös sitt navn i
forbindelse med det elementære beviset for primtallsetningen, så jeg skrev et brev
til Erdös og fortalte ham hvordan jeg ville gå fram. Han hadde i mellomtiden
holdt noen foredrag om dette her i USA, men selv må jeg si at jeg ikke snakket
mer om dette siden i Princeton. Jeg hadde undervisningen, og så var det dette
med å skaffe leilighet som tok mye tid. Etter en tid så begynte jeg å maskinskrive
mitt bevis om den aritmetiske progresjonen, og jeg forsøkte å forenkle beviset for
primtallsetningen. Jeg fant jo snart et bevis som jeg foretrakk som ikke brukte
øvre og nedre limes, og som var mer direkte. Det var konstruktivt, og det var dette
beviset jeg da begynte å skrive opp, samtidig som jeg også skrev opp dette med
den aritmetiske progresjonen.
1
Jeg skrev til Erdös at vi kunne publisere hver for
1
Atle Selberg skrev et åtte-siders brev fra Syracuse, datert 26 september, 1948, til sin bror
Sigmund i Norge, der han skisserer det elementære beviset for primtallsetningen. Brevet bifogas
denna artikel.
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 55
oss, slik at jeg kunne la hans arbeide komme først, hvis han ville publisere det
resultatet som jeg hadde brukt opprinnelig. Så ville jeg publisere et arbeide hvor
jeg først skisserte det bevis som brukte hans resultat, og etterpå gi det bevis som
jeg var mer fornøyd med og som ikke brukte noen av hans ting. Men han insisterte
på å bli involvert mer direkte i dette.
Hva svarte Erdös ellers på det brevet du sendte han?
Han svarte bare at han anså at vi skulle gjøre som Hardy og Littlewood. Men vi
hadde jo aldri inngått noen avtale. Vi hadde egentlig ikke hatt noe samarbeid. Det
var helt tilfeldig at han kom inn i dette her, det var ikke min mening at han skulle
hatt tilgang til dette.
Det er øyensynlig så at Hardy og Littlewood hadde en avtale om at når de
arbeidet sammen om noen ting så skulle de begge ha lik anerkjennelse for resultatet.
Det er vel og bra de hadde en avtale, og de arbeidet sammen. Erdös og jeg hadde
aldri samarbeidet om noe egentlig. Det var den diskusjonen vi hadde holdt etter at
jeg hadde funnet det første bevis på primtallssetningen ved å bruke hans resultat.
Det var i grunnen kanskje det eneste som kunne kalles litt samarbeid, men vi hadde
aldri noen avtale om at vi ville ’share alike everything’. Jeg må si jeg hadde aldri
noen tanke om å samarbeide med noen. Jeg har et felles arbeide, og det var med
Chowla, men jeg må si det at det var Chowla som først kom til meg med et spørsmål.
Han var interessert i å beregne L-funksjonen som hører til den største diskriminant
av en imaginær kvadratisk tallkropp − den største diskriminant som har klassetall
1. Diskriminanten er 163, og han ville gjerne finne en måte å evaluere den L-
funksjonen som hører til den kvadratiske karakteren for denne modul i punktet
1/2, og se om det var en positiv eller negativ verdi. Hvis det kom ut negativt så
ville det være et nullpunkt som ikke var på linjen 1/2, men mellom 1/2 og 1 noe
sted. Det var så at jeg tilfeldigvis hadde en formel som skulle gjøre det ganske enkelt
å gjøre en numerisk beregning, der kunne brukes til hvilken som helst zetafunksjon
av en positiv definit kvadratisk form i to variable. Jeg ga den formelen til Chowla,
og han kom tilbake etter ikke så lang tid og hadde funnet at det ga negativ verdi i
punktet 1/2, så det måtte være nullpunkt som ikke var på linjen 1/2. Jeg funderte
litt på dette og så gjennom detaljene.
Saken er den at det fra gammelt av eksisterer to teorier for kvadratiske former,
altså binære former. Det er en hvor du har midtkoeffisienten med 2 foran seg, altså
Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
, og det er en annen hvor du betrakter formen Ax
2
+ Bxy + Cy
2
,
og hva du kaller diskriminanten er noe forskjellig avhengende av hvilken av dis-
se to du bruker. I det ene tilfellet er det AC − B
2
, og i det andre tilfellet er det
4AC−B
2
. Min formel hadde vært utviklet egentlig med den mindre diskriminanten,
men Chowla hadde satt inn en diskriminant som egentlig var for stor i formelen, og
det viste seg da han skiftet til den andre så kom det ut en svært liten, men positiv
verdi. Så det var ikke noe nullpunkt. Ved å se på disse tingene så kom vi på en
del annet. Jeg mener, ved ikke å betrakte punktet 1/2, men punktet 1, og se på
residuet der når man tar vekk denne zeta-funksjonen som inngår i den Epsteinske.
Epsteins zeta-funksjon er i virkeligheten zeta-funksjonen av den kvadratiske krop-
pen når klassetallet er 1, så den har et Euler-produkt som har zeta-funksjonen og
en L-funksjon med kvadratisk karakter. Hvis du tar ut zeta-funksjonen så sitter
du igjen med verdien av L-funksjonen i punktet 1. Vi hadde da et uttrykk for
det ut fra denne formelen, og det viste seg at det var i virkeligheten tilgangen til
56 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
et ganske interessant resultat om periodene av elliptiske funksjoner med kompleks
multiplikasjon, i den klassiske formen, altså.
Man betrakter periodene. Hvis du bruker den gamle Jacobi-formen − som også
ble brukt av Abel − så får du at periodene alltid kan uttrykkes ved et algebraisk
tall multiplisert med et produkt av gammafunksjoner. Dette var bare kjent i to
spesialtilfeller før, nemlig hvis du tar elliptiske integraler av formen
R
dx
√
1−x
4
, det
svarer til lemniskatebuer, og det forefinnes her kompleks multiplikasjon. Det andre
tilfellet, der det også er kompleks multiplikasjon, er hvis du har integralet
R
dx
√
1−x
3
.
Begge disse var klassisk kjent. Integralene fra 0 til 1, for eksempel, kunne uttryk-
kes ved gammafunksjonen for visse rasjonale verdier. Men dette var altså et mer
generelt resultat. Dersom klassetallet var 1 fikk vi et ganske enkelt uttrykk. Men
jeg generaliserte resultatet noe så at det gjaldt også hvis klassetallet var større enn
1. Da ble formelen litt mer komplisert, men fremdeles hadde formelen et algebraisk
tall ganger et produkt av gammafunksjoner med et rasjonalt argument i seg. Det
var et ganske interessant resultat. Jeg ville at Chowla skulle sette sitt navn på det
først, men det ville han absolutt ikke, så det ble publisert med navnerekkefølge Sel-
berg og Chowla. Det er jo helt ulogisk, istedenfor å ha det i alfabetisk orden. Jeg
fikk ham til å skrive det opp, dvs. jeg skrev opp den delen som behandlet tilfellet
hvor klassetallet var større enn 1, han var ikke riktig vant med en del av det som
inngikk der. Men han regnet ut noen eksempler hvor klassetallet var 1 i eksplisitt
form, hvor han også bestemte den algebraiske faktoren eksplisitt. Generelt vet man
at det er et algebraisk tall. Det lar seg uttrykke ved rottegn, men det kan være
ganske komplisert.
Det er det eneste arbeidet du har publisert felles sammen med noen?
Ja, men den første impuls kom fra Chowla. Hvis ikke han hadde kommet og sagt
hva han forsøkte å gjøre, og jeg hadde husket på denne formelen som jeg hadde
funnet i noen annen forbindelse, så ville det egentlig ikke kommet noe ut av det.
Det kan vel også være at hvis det viste seg at vi virkelig hadde fått en negativ verdi
først, så hadde vi kanskje nøyd oss med det og ikke gjort noe mer med det, bare
konstatert at vi hadde motbevist Riemanns hypotese for denne L-funksjonen.
Tilbake til Erdös. Er det riktig å si at det var et arbeidsuhell at han så din
fundamentale formel?
Vel, ja. Dere skjønner, Turán var blitt en god venn av meg mens han var i USA, og
jeg visste at han skulle reise tilbake til Ungarn. Jeg trodde at han ville ha vært reist
når jeg kom tilbake fra Montreal, men det viste seg at han fremdeles var her. Erdös
var også kommet her i mellomtiden, og han var kommet inn i dette via Turán. Jeg
hadde gått gjennom mitt bevis for den aritmetiske progresjon for Turán, og han
hadde stilt et spørsmål, og jeg hadde nevnt denne formelen (4) jeg hadde.
Du sa ikke til Turán at han ikke skulle fortelle om denne formelen videre?
Nei, jeg sa ikke det. For det første, Erdös var ikke der når jeg snakket med Turán, og
dessuten trodde jeg Turán ville være reist tilbake til Ungarn innen jeg returnerte
fra Montreal. Jeg visste heller ikke at Erdös ville komme til Princeton da på et
besøk av flere ukers varighet. Men disse to var jo kjent fra Ungarn, mest fra før
krigen. Erdös var ikke i Ungarn under krigen, men Turán var der under krigen.
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 57
Beklaget Turán i ettertid det som hendte siden?
Nei, dere skjønner Erdös var hans venn så han ville nødig støte ham. Jeg holdt
gode relasjoner med Turán etterpå, men vi unngikk å snakke om dette punkt senere.
Erdös svarte som sagt på mitt brev og henviste til Hardy og Littlewood, noe jeg
syntes var irrelevant i dette tilfellet - vi var ikke Hardy og Littlewood. Jeg vet ikke
hvem han tenkte av oss som var Hardy og hvem som var Littlewood?
Du sa tidligere at da Erdös snakket med deg, så prøvde du å ’discourage’ ham
littegrann, kan du spesifisere det litt mer?
Jeg sa den gang at man kunne gi et moteksempel, nemlig at en analog formel
skulle implisere ett eller annet. La oss se på den kontinuerlige analogi. La oss si at
man har en formel som
Z
x
0
log tdf(t) +
Z
x
0
f(
x
t
)df(t) = 2x log x + 0(x) (8)
Om man har noe sånt som dette, så er det ikke nødvendigvis så at f(x) er asym-
ptotisk til x. Jeg kan konstruere moteksempler til det, men funksjonene f(x) jeg
da benytter er ikke helt monotone. Derimot er funksjonen ψ(x) =
P
p≤x
log p en
monoton funksjon, og det er monotone funksjoner som er relevante for tallteoretiske
anvendelser. Jeg prøvde liksom å skremme ham litt vekk fra selve primtallsatsen.
Det var jo, kan man si, litt uhederlig at jeg ikke sa at mitt moteksempel ikke var
riktig monotont.
Vi skjønner psykologien særledes godt. Du vet at du er nær et bevis for primtall-
setningen, og vil ikke ha noe innblanding.
Jeg ville ikke ha noen innblanding der. Jeg foreslo for Erdös at vi kunne hver for oss
publisere hva vi hadde gjort. Han kunne ha førsteretten på å publisere sitt resultat,
så det kunne kommet ut før mitt resultat, som egentlig ikke trengte hans, men jeg
ville gi en full skissering av hvordan jeg først hadde brukt hans resultat. Det var
også det jeg gjorde. Hermann Weyl ble en slags mellommann. Da Hermann Weyl
tok avskjed her i Princeron ga han meg noen relevante dokumenter.
2
Det er bare to
andre personer, tror jeg,som har fått se dem [dokumentene til Weyl]. Jeg har ikke
snakket noe større om dette her til folk, fordi jeg synes det er en ubehagelig affære
å snakke om. Weyl hadde hørt hvordan saken hang sammen, og han tok stort sett
mitt parti, men han mente at jeg kunne være generøs og la Erdös publisere sitt
arbeide. Det hadde jeg heller ingenting imot at han kunne gjøre. Men saken er den
at Erdös hadde på den tiden på en måte allerede publisert. Han hadde først holdt
noen foredrag i Boston, ved MIT tror jeg, og senere hadde han reist til Europa og
holdt noen foredrag i Holland hvor van der Corput var. Og van der Corput skrev
opp et referat av hans foredrag. Det var i grunnen den første publikasjonen. Det
kom allerede høsten 1948, og mitt arbeide kom først om våren 1949. Jeg sendte
mitt til Annals of Mathematics. Min opprinnelige idé var at begge kunne publisere
i Annals of Mathematics, men det ble til at Erdös ville publisere i Bulletin of the
2
Selberg tillot oss å ta kopier av to av Weyl’s brev til Nathan Jacobson, redaktør av Bulletin
of the AMS − et av disse var referee-rapporten av Erdös arbeide. Vi fikk Selberg’s tillatelse til å
gjøre med disse brevene som vi ønsket. Siden disse har stor historisk interesse, og siden deler av
disse er allerede lekket ut og finnes i bøker som omtaler denne kontroversen, så gjengir vi brevene
her.
58 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
American Mathematical Society, som var redigert av Nathan Jacobson ved Yale
University på den tiden. Jacobson sendte Erdös avhandling til Hermann Weyl for
at han skulle se på den. Weyl skrev en uttalelse til Jacobson hvor han uttalte at
han syntes at Erdös nok ikke riktig var helt ærlig. Han ga krav på litt for mye
ifølge Weyl. Det er sannsynlig at dette har noe å gjøre med det jeg senere hørte
av Siegel. Han hadde snakket med Erdös før Erdös hadde reist tilbake til Europa.
Siegel hadde kommet til Princeton − dette var mens jeg var i Syracuse. Siegel hadde
snakket med Erdös og sagt at det måtte være en mulighet å komme til en enighet
om dette her på noen måte. Men Erdös hadde sagt: ’What I want is immortality’.
Det er jo en helt idiotisk ting, det finnes ingen egentlig udødelighet, ikke engang
i matematikken. Jeg mener, hvis navnene bevares så skriver man dem etterhvert
ikke med stor bokstav, men med liten, slik som i ’abelian’. Vel, det er ikke mange
som vet noe mer om navnene.
Hvorfor ville ikke Erdös sende denne artikkelen til Annals, han også?
Vel, det passet jo ikke lenger med den idé som jeg hadde fremsatt. Jeg mente vi
skulle presentere det vi hadde gjort, men han ville ha en del mer involvering enn
det. Hermann Weyl skrev senere til Nathan Jacobson at det var uriktig av Erdös
å presentere så mye av det som egentlig var gjort av meg. Så Jacobson sa han ville
ikke ha dette inkludert i denne publikasjonen til Erdös. Så han avslo å publisere
det i Bulletin. Erdös henvendte seg da til en han kjente ved Colombia University
som var medlem av National Accademy of Science i Washington, og som hadde rett
til å fremlegge det der. Så det kom i deres Proceedings. Dette er ikke et særlig bra
sted å publisere matematikk, siden det er et sted som inneholder alle slags artikler
innen vitenskap. Det er ikke ofte matematikere leser dette tidsskriftet. Men det ble
jo publisert da, og forholdsvis fort. Jeg vet ikke hva som kom ut først, mitt eller
hans. Men den aller første publikasjonen var den som van der Corput fikk i stand
og som kom om høsten 1948. Jeg har en kopi av det. Jeg har liggende en filenoe
sted som har mye av dette her i seg, men jeg tror at papirene er noe blandet opp.
Ja, det er denne her. Jeg tror van der Corput har omgjort stoffet en del, at det
ikke var slik Erdös presenterte det. Han har gitt det sin egen form, men det var i
alle fall den første publikasjonen. Det er kanskje ikke så mange som vet om denne
publikasjonen?
Den ble bare sirkulert slik?
Ja, han sendte meg en kopi av den. Han nevner mitt navn først, han tar det ikke
i alfabetisk orden. Jeg har forøvrig aldri truffet van der Corput.
Selberg-Erdös, Selberg-Erdös. Han, dvs. van der Corput, nevner deg konsekvent
først!
Han forsto, og han har øyensynlig endret noe på den fremstillingsformen som Erdös
gir. Jeg må si, jeg har aldri lest detaljene − det er besværlig å lese andres arbeider.
Hardy trodde jo ikke det var mulig å gi et elementært bevis for primtallsetningen.
Ja, det var ikke så merkverdig i grunnen. Men det ble vel en hel det folk som
skapte stort oppstuss om dette. Erdös skapte jo en hel del propaganda for seg selv.
Jeg var i Syracuse, og jeg foreleste ikke om dette på noe sted. Faktum er at jeg har
egentlig aldri holdt et foredrag om det elementære beviset for primtallsatsen. Jeg
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 59
har holdt et foredrag et par ganger om et elementært bevis for det vesentlige av det
Beurling oppnådde av resultater om såkalte generaliserte primtall. Det elementære
beviset gir et noe svakere resultat enn Beurlings. Jeg er ikke klar over om det er
mulig å gi − men man skulle tro at det er mulig − et elementært bevis som skulle
gi en skarpere form lik den Beurling hadde.
Kan du foreklare hva et generalisert primtall er?
Beurling foreleste om dette på den Skandinaviske Kongress i Helsingfors i 1938, og
jeg så senere på hans arbeid. Så du har et sett av reelle tall 1 < p
1
< p
2
< p
3
< ···
osv., og du danner alle mulige produkter {n
k
}
k
av disse, og ordner dem etter
størrelsen, så du får 1 ≤ n
1
≤ n
2
≤ n
3
≤ ···. Du kaller antallet av p’ene opp
til x for π(x), og antallet av n’ene som du kan danne opp til x kaller du N(x).
Spørsmålet er så, hvis du antar at N (x) forholder seg asymptotisk som en konstant
ganger x, pluss et restledd av formen 0(
x
log
α
x
), altså
N(x) = Ax + 0(
x
log
α
) (9)
hva kan du slutte om π(x)? Beurling viste at for α > 3/2, så var π(x) asymptotisk
lik
x
log x
, altså svarende til primtallsatsen. Han viste også mer. Hvis dette, det vil si
(9), holder for alle α, så kan du gjøre tilsvarende skarpere ting. Da har du at π(x)
er lik integrallogaritmen av x pluss o(
x
log
β
x
) for alle β, altså
π(x) = li(x) + o(
x
log
β
x
) (10)
Integrallogaritmen kan defineres på mange måter, men la oss si at li(x) =
R
x
2
dt
log t
.
Men er det slik at Beurlings bevis bruker primtallsatsen?
Nei, det bruker ikke primtallsatsen. Beurlings bevis er et analytisk bevis. Jeg kunne
lage et elementært bevis, men jeg må anta at restleddet her er o(
x
log
2
x
), da kan jeg
få det til.
Jeg har ofte fundert på om det var mulig å forbedre mitt bevis så at det gjaldt for
α > 3/2 , men jeg har ikke hatt tålmodigheten til å utarbeide det. Jeg kan ikke
innse hvorfor det ikke skulle være mulig.
Intervjun fortsätter i Normat 3/2008. (Red).
60 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 61
62 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 63
64 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 65
66 Nils A. Baas og Christian F. Skau Normat 2/2008
Normat 2/2008 Nils A. Baas og Christian F. Skau 67
