80 Normat 56:2, 80–95 (2008)
Om bingospil
Frank Bengtson
Nygårdterrasserne 295 B
DK-3520 Farum
frank.bengtson@get2net.dk
Indledning
Bingospil er et tallotteri, der afsluttes med en eller flere vindere. Hver spiller har
en eller flere plader med forskellige tal i felter. Tallene udtrækkes et ad gangen,
og spillerne markerer de udtrukne tal på pladerne. Den der først får udtrukket en
plades tal, eller et specielt mønster, har vundet, men det kan ske, at flere mangler
det samme tal. Vinderen er så den, der først råber BANKO!, hvis der spilles lokalt,
ellers er der flere vindere. Ofte spilles flere spil i serie.
En nærmere undersøgelse af spil og plader kan byde på en del interessante og
underholdende mærkværdigheder, hvis man er til den slags. I artiklen søges følgende
spørgsmål besvaret ved beregninger og ved en computermodel:
• Hvordan afhænger antal træk til banko af antal plader i spillet?
• Hvor mange plader er der i alt?
• Kan pladerne laves, så antal træk til banko ændres?
• Hvor mange plader har de samme tal?
• Hvor ofte udtrækkes mere end en plade?
Danske Spil vurderer, at der i Danmark hver uge spilles bingo for 25 mill. kroner af
250.000 spillere. Man kunne observere lokale spil med op til nogle tusinde plader,
for at få et indtryk af sammenhængen mellem antal plader og antal træk til bingo.
Der afholdes også TV-bingoshows med over ti millioner plader, der kun kan afvikles
ved hjælp af computere, hvor pladerne er lagret.
1 RBINGO rektangulære plader
En plade har tre rækker og ni søjler, der skal være fem tal i hver række, mindst et
tal i hver søjle, og søjletallene er i rækkefølge. Tal i
søjler: 1: 1-9, 2: 10-19, 3: 20-29, 4: 30-39, 5: 40-49,
6: 50-59, 7: 60-69, 8: 70-79 og 9: 80-90. Søjletallene
kan så vælges ud af: 9,10,10,10,10,10,10,10,11 tal.
Pladen her har søjletype 111322122.
10 28 31 47 55
34 49 58 71 83
6 36 63 73 85
Normat 2/2008 Frank Bengtson 81
Observation 1 Ses bort fra ordningen af søjlerne, har plader fire mulige søjlety-
per 1,1,1,2,2,2,2,2,2; 1,1,1,1,2,2,2,2,3; 1,1,1,1,1,2,2,3,3 og 1,1,1,1,1,1,3,3,3. Plader
har forskellige tal for forskellige søjletyper og søjleplaceringer. Der er tale om et
plademønster og et antal mulige taludfyldninger for hvert mønster.
1.1 Antal plader med forskellige tal
Der kan laves op til seks plader uden fælles tal. Tallene må bruges igen, når flere
end seks plader skal laves. Har blot to plader et tal fælles, kan begge være udfyldt,
når det fælles tal trækkes. 15 tal kan vælges ud af 90 på
90
15
≈ 4.6 × 10
16
måder,
når der ikke stilles specielle krav til de valgte tal. I det følgende regnes med ti tal
i hver søjle, ønskes mere præcise beregninger, skal der regnes med ni tal i første
søjle og elleve tal i sidste. Niels Andersen: Hvor mange bankoplader er der? [A] s.3
har beregnet tallet til 6080.082602.343750.
Antal tal i søjler og tilsvarende antal plader er ca.
111222222 : 10
3
10
2
6
9
6
≈ 6.98 10
14
111122223 : 10
4
10
2
4
10
3

9
4

5
4
≈ 3.10 10
15
111112233 : 10
5
10
2
2
10
3
2
9
5

4
2
≈ 2.20 10
15
111111333 : 10
6
10
3
3
9
6
≈ 1.45 10
14
sum : ≈ 6.1 10
15
Dvs. ca. 13% af antal talsæt med 15 tal uden restriktioner kan optræde som plader.
Antallet er så stort, at selv om pladerne laves af et program en efter en, er det meget
lidt sandsynligt med to ens plader. Man kommer ikke i nærheden af det største antal
plader, heller ikke i det virkelige spil. Man kunne have flere ens plader i et spil,
men det ville nok være vanskeligt at finde vinderen, hvis alle plader var ens.
1.2 Seks plader med alle tal liniebingo eller Generalized Line Bingo
Liniebingo er et rektangulært skema f.eks. 15 × 6 med alle tal, det svarer til seks
plader med alle tal. Det er ligegyldigt, hvordan tallene er fordelt, alle skal bare
være med. Antal træk til en plade er udtrukket kan ikke blive mere end 85, idet
der kan mangle et tal fra hver plade, og når det 85.tal trækkes, vil en plade være
udfyldt.
Hos D.M. Bloom & K. Suman: Generalized Line Bingo, American Mathematical
Monthly [BS] , findes et ret enkelt udtryk for beregning af middel antal træk, til
en eller flere søjler er udtrukket. Middel antal træk til j søjler
E
j
= mn
n−1
Y
i=j
mi/(mi + 1)
n søjler
1 16 31 46 61 76
2 17 32 47 62 77
m rækker . . . . . .
14 29 44 59 74 89
15 30 45 60 75 90
82 Frank Bengtson Normat 2/2008
Middel antal træk til første fem
tal, en række ud af 18
E
1
= (18 × 5)
5
6
10
11
· · ·
85
86
= 46.7
Middel antal træk til første 15
tal, en plade ud af seks
E
1
= (6 × 15)
15
16
30
31
45
46
60
61
75
76
= 77.5
1 21 33 61 80
11 40 50 71 85
12 22 46 69 74
4 17 30 41 62
19 20 51 72 89
29 49 55 65 77
14 23 31 63 81
2 35 45 52 73
3 15 58 67 79
24 32 64 76 82
7 16 34 53 86
27 42 66 78 87
5 25 36 75 83
26 38 43 54 88
6 10 47 56 68
8 13 28 60 84
9 37 44 57 70
18 39 48 59 90
I en computermodel giver seks plader med alle tal 77.5, og seks vilkårlige plader
giver 78.3.
1.3 Plader med forskellige tal og mønstre
Hvis plader regnes for forskellige, når de samme tal rykkes op eller ned, skal der
regnes med mønstre. Her laves en optælling, en programmeringsløsning kan også
laves, og hos [A] findes en beregning med flere elegante anvendelser af frembringende
funktioner.
1. For plader med tre søjler med tre tal skal der i seks søjler være mindst et tal.
Man har
6
2

4
2
= 15 × 6 = 90 , men for at bruge princippet i tælleformlen
1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
,
6
2
3
−
6
5

5
2
3
+
6
4

4
2
3
−
6
3

3
2
3
+
6
2

2
2
3
= 90.
De tre søjler kan vælges på
9
3
= 84 måder, dvs. 90 × 84 = 7560 i alt.
2. Med to søjler med tre tal har man
1 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1
1 1 1 1
,
7
3
3
−
7
6

6
3
3
+
7
5

5
3
3
−
7
4

4
3
3
+
7
3

3
3
3
= 5670,
men syv gange vil der være en søjle med tre, som sammen med de to til højre
giver tre søjler med tre. Der er så 5670 − 7 × 90 = 5040 med to søjler med
tre til højre, og de to søjler kan vælges ud af ni søjler, dvs. 5040 ×
9
2
=
5040 × 36 = 181440 i alt.
3. Med en søjle med tre
1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1 1
,
Normat 2/2008 Frank Bengtson 83
8
4
3
−
8
7

7
4
3
+
8
6

6
4
3
−
8
5

5
4
3
+
8
4

4
4
3
= 87570,
men der vil være en og to søjler ud af otte, som sammen med søjlen til
højre giver to og tre søjler med tre. Der må være 87570 −
8
1
5040 −
8
2
90 =
87570 − 8 × 5040 − 28 × 90 = 87570 − 40320 − 2520 = 44730. Søjlen med tre
kan vælges ud af ni, så der er
9
1
× 44730 = 402570.
4. Af tælleformlen får man det samlede antal med mindst et tal i hver søjle
1 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
,
9
5
3
−
9
8

8
5
3
+
9
7

7
5
3
−
9
6

6
5
3
+
9
5

5
5
3
= 735210
Antal 111222222 er så 735210-(7560+181440+402570)=143640.
Tabel 1: Antal plademønstre for søjletyper
søjle typer antal mønstre antal søjleplac. antal mønstre pr. søjleplac.
111222222 143640
9
3
= 84 143640/84=1710
111122223 402570
9
1

8
4
= 630 402570/630=639
111112233 181440
9
2

7
2
= 756 181440/756=240
111111333 7560
9
3
= 84 7560/84=90
i alt 735210
Femten kan vælges ud af syvogtyve på
27
15
= 17383860 måder, dvs.
735210/17383860 = 4.2% kan optræde som plademønstre.
Antal plademønstre med tal og antal plader med samme tal middel
111222222 : 143640 × 10
3
10
2
6
≈ 1.19 10
18
111122223 : 402570 × 10
4
10
2
4
10
3
≈ 1.98 10
18
111112233 : 181440 × 10
5
10
2
2
10
3
2
≈ 5.29 10
17
111111333 : 7560 × 10
6
10
3
3
≈ 1.31 10
16
sum : ≈ 3.7 10
18
middel med samme tal : 3.7 10
18
/6.1 10
15
≈ 604
For helt præcise tal skal regnes med . . . , hos [A] s.6 er ...antallet af lovlige banko-
plader... beregnet til 3.669688.706217.187500.
1.4 Plader med samme tal
To rækker kan ikke have fælles tal. Det er oplagt med en eller flere søjler med tre tal.
To af 90 RBINGO pla-
der med samme tal, 15
øverste rækker, 45 for-
skellige rækker, 15 øver-
ste rækkepar og 45 ræk-
kepar i alt.
12 34 65 70 81
1 58 68 75 87
27 42 69 77 90
1 34 65 70 81
12 58 68 75 87
27 42 69 77 90
84 Frank Bengtson Normat 2/2008
For søjletype 112222221 er 126 rækker øverst og nederst. Der er 1452 mulige
rækker
6
5
2
5
+
6
4

3
1
2
4
+
6
3

3
2
2
3
+
6
2

3
3
2
2
= 192 + 720 + 480 + 60 = 1452 og
dermed 1200 i midten. F.eks. kan rækken 4,21,33,61,82 som er på pladerne nedenfor
kun være foroven.
4 − 21 33 − − 61 − 82
− 11 22 − 40 50 − 71 −
− − − 37 46 53 69 74 −
− 11 − − 40 50 − 71 −
4 − 21 33 − − 61 − 82
− − 22 37 46 53 69 74? −
,
Tallet 74 kan ikke placeres. Der er 1452 forskellige rækker til 1710 plader med tre
på hver, dvs. hver række skal i middel bruges 1710 × 3/1452 = 5130/1452 ≈ 3.5
gang.
Seks af 1710 RBINGO plader med samme tal, 1452 forskellige rækker, 126 øverst
og nederst og 1200 i midten. 126 øverste rækkepar og 1452 rækkepar i alt.
Rækker foroven og forneden
bruges to gange (15 pla-
der), seks gange (60 plader),
tyve gange (45 plader) og
halvfjerds gange (6 plader).
Rækker i midten en gang (810
plader) to gange (270 plader)
og tre gange (120 plader).
Spil med disse 1710 plader vil
være som spil med en plade,
126 øverste rækker og 1452
rækker og rækkepar.
4 21 33 61 82
11 22 40 50 71
37 46 53 69 74
4 21 33 61 82
11 37 40 50 71
22 46 53 69 74
4 21 33 61 82
11 40 50 69 71
22 37 46 53 74
4 21 33 61 82
22 40 50 69 71
11 37 46 53 74
4 21 33 61 82
22 37 40 50 71
11 46 53 69 74
4 21 33 61 82
37 40 50 69 71
11 22 46 53 74
1.5 Antal rækker, rækkepar og plader
I forbindelse med antal træk til banko er det kun tal på pladen, der har betydning,
og det aktuelle antal plader er 6.1 10
15
. Det kan nu overvejes, hvordan pladerne
kan laves i modellen. Laves plader en ad gangen, vælges en ud af 3.71 10
18
, og der
er i middel 604 med ens tal. Der vil derfor næppe være to plader med samme tal
for de pladeantal, der kan køres i modellen eller for virkelige spil.
Der er fem tal i hver række og de vælges ud af ni søjler med ca. ti i hver. Antal
rækker vil så være ca.
9
5
10
5
= 126 × 10
5
≈ 1.3 10
7
= 13000000, præcist 12565000.
Der kan højst være
90
5
= 43949268 ≈ 4.4 10
7
, dvs. ca. 30% vil optræde som
rækker.
Man kunne lave et globalt spil, hvor beboerne på jorden har plader med for-
skellige tal. Regnes med syv milliarder beboere skal bruges 7 10
9
× 3 = 2.1 10
10
rækker, dvs. rækker skal i middel bruges 1671 gange.
Hvis man ville lave et spil, hvor alle plader var med, skulle hver jordbo admi-
nistrere 6.1 10
15
/7 10
9
≈ 871000 plader. Rækker skulle i middel bruges 485 mill.
gange, og sandsynligheden ville være 13% for første plade på 15 taltræk. Med alle
3.7 10
18
plader skulle man klare 3.7 10
18
/7 10
9
≈ 530 mill plader. I middel skal
hver række bruges ca. 880 mia. gange, så spørgsmålet er, om spillerne ser pladerne
som forskellige. Sandsynligheden vil være 13% for 90, 240, 639 eller 1710 plader på
første femten træk.
Normat 2/2008 Frank Bengtson 85
1.6 Antal plader med bingo i samme spil
Øverst er antal plader med bingo i samme spil optalt i en computermodel, og
nederst er tal fra et TV-bingospil konsulentfirma http://www.tv-bingo.com.
egen computermodel antal plader
antal plader med bingo 10 1.000 10.000 100.000
1 0.89 0.86 0.83 0.81
2 0.10 0.13 0.16 0.17
3 eller flere 0.01 0.01 0.01 0.02
antal plader
ant. pl.med bingo 500.000 1.000.000 3.000.000 5.000.000 10.000.000
1 0.79 0.77 0.73 0.76 0.75
2 0.16 0.17 0.19 0.15 0.17
3 eller flere 0.05 0.06 0.08 0.09 0.08
1.7 Valg af tal til plader
Tal til plader var ca. 13% af mulige talsæt med 15 tal. I både computer- og sand-
synlighedsmodel kan det overvejes, om man kan se bort fra det specielle valg af
tal til plader. Kan man blot vælge 15 forskellige tal? Kan man endnu enklere blot
vælge 16 eller 17 tal med tilbagelægning?
Fordeling for antal plader kraftig graf og
antal gange 15 vilkårlige tal med tilbage-
lægning skal vælges tynd graf, for at alle
tal fra 1 til 90 er med, er ens. Vælges 27
plader, er sandsynligheden ca. 50% for, at
alle tal er med. Vælges 41 plader, er sand-
synligheden ca. 95% for, at alle tal er med.
Pladetallene er kun lidt specielle.
0
0.25
0.5
0.75
1.0
15 20 25 30 35 40 45 50 55
Højre graf svarer til, at der vælges seks tal fra et til ni og ni tal fra ti til 90. Ligner
udvidet coupon collector problem.
1.8 Computermodel
LAV PLADER
1,2,3,4,5,...,r
TRÆK NUMMER
LAV SPIL MED PLADER
EN
PLADE
UDFYLDT
?
JA
BANKO!
NEJ
1
TRÆK NÆSTE TAL
TÆL ANTAL TRÆK EN OP
TAL
MED
?
TÆL ANTAL OK EN OP
ANTAL OK
< 15 ?
2
NEJ
JA
JA
NEJ
Figur 1: Rutediagrammer for hele spillet
og spil med en plade. Herudfra kan ret
let laves programmer.
I det virkelige spil behandles pladerne
samtidigt eller parallelt. Med mange
plader er samtidigheden besværlig at
programmere. Laver man f.eks. et spil
med ti plader kan man i stedet lave ti
spil med en plade ad gangen og sam-
me træknummerliste. Antal træk til
banko er så det mindste af de ti antal
træk til banko. Det er langt enklere
at programmere en seriel behandling
af pladerne.
86 Frank Bengtson Normat 2/2008
For spil med en plade kan en bestemt plade vælges og taltræklisterne varieres, eller
en fast taltrækliste vælges og pladen varieres. Både plader og taltræklister kan
selvfølgelig også varieres. For at bestemme middelværdi og evt. (model)fordeling,
beregnes middelværdien for mange spil.
For at lave et spil med r plader laves r spil med forskellige plader og en fast
taltrækliste, det mindste antal træk for r spil findes ved at sammenligne den ak-
tuelle værdi med den hidtil mindste. Hvis der er r plader og antal træk til ban-
ko på hver plade betegnes med X
1
, . . . , X
r
, er antal træk til banko for r plader
min{X
1
, . . . , X
r
}, og middelværdien for en plade x = (X
1
+ · · · + X
r
)/r. Med en
plade og r forskellige taltræklister får man samme udtryk. I det første tilfælde
vælges r gange q tal til plader, i det andet vælges r taltræklister (r gange n tal),
hvilket er mere besværligt.
1.9 Stor og lille model med fast taltrækliste og minmax
Med en fast plade vil forskellige træklister i middel
give samme ventetid. Vælges i stedet en fast trækli-
ste, f.eks. den særlig pæne 1, 2, 3, . . . , n, kan pladetal-
lene vælges tilfældigt. Her forsvinder plademønsteret
afsn. 1 s. 80, idet ordningen af tallene kan give søjler
uden tal.
FIND MAX TAL PA PLADE
1
2
o
Sætning 1.1 Ses bort fra plademønsteret, vil pladens q tal vælges tilfældigt ud af
n tal. Antal træk for spil med en plade og r plader kan bestemmes som
antal træk for spil med en plade = max{T }
antal træk for spil med r plader = min{max{T
1
}, . . . , max{T
r
}}
Lille model kan let programmeres, stor model er lidt mere besværlig. Der ser ikke
ud til at være forskel på stor og lille model op til 10
6
plader. Med pladeantal over
10
6
bliver tidsforbruget stort. Da der kun er 12565000 rækker kan hele området
køres igennem. Middelantaltræk for r plader kan ca. beregnes som
m = 85.3 r
−0.056
≈ 85 r
−0.05
, middelantal træk plader,
og er lidt mindre end medianerne, da venstre hale er længst for de mindre plade-
antal.
1.10 Observerede fordelinger for plader og rækker fra computermodel
1.11 Sandsynlighedsfunktion og fordeling
Ethvert spil vil have et antal træk mellem q og n, og sandsynligheden for et antal
træk P (X = m), q ≤ m ≤ n kan beregnes. Det er en stokastisk variabel med
Normat 2/2008 Frank Bengtson 87
0
0.25
0.5
0.75
1.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
antal øverste rœkker/antal plader
1/-3/15/210/330/1060/20100/33300/1001000/33310000/1E5/1E6/1E7/
en ventetid eller livslængde, hvor sandsynligheden for udtrækning vokser stærkt
med antal træk. Antallet af delmængder med q tal valgt ud af m tal er
m
q
, og i
forhold til det samlede antal delmængder
n
q
med q tal ud af n, er det den klassiske
definition med antal gunstige/antal mulige. Man får så umiddelbart fordelingen
1
F (m) =
m
q
.
n
q
=
m − q + 1
m + 1
F (m + 1) =
m(m − 1) · · · (m − q + 1)
n(n − 1) · · · (n − q + 1)
(1)
F (n) =
n
q
.
n
q
= 1; F (q) = 1
.
n
q
og sandsynlighedsfunktionen
P (X = n) = f(n) =
n − 1
q − 1
.
n
q
=
q
n
P (X = n − 1) = f(n − 1) =
n − 2
q − 1
.
n
q
= P (X = n)
n − q
n − 1
P (X = q) = f (q) = 1
.
n
q
Man har
P (X = m) =
q
m
P (X ≤ m)(2)
1
Kendte fordelinger for max for 15 ud af 90, giver straks sandsynlighedsfunktion, middelværdi
og varians.
88 Frank Bengtson Normat 2/2008
1.12 Middelværdi og varians for en plade
E(X) = q P (X = q) + (q + 1)P (X = q + 1) + · · · + n P (X = n)
= q P (X ≤ q) + · · · + q P (X ≤ n) , af (2)
= q

q
q
+ · · · +
n
q

.
n
q
, af (1)
= q
n + 1
q + 1
.
n
q
, af sumformel
= q
n+1
q+1
(3)
Med n = 90 og q = 15 er E(X) = 15
90+1
15+1
= 85.31 og medianen eller 50% fraktilen
er 86. For øverste (eller en række) er q = 5 og E(X) = 5
90+1
5+1
= 75.83, medianen
78. Ved at regne løs får man
V ar(X) =
q(n + 1)(n − q)
(q + 1)
2
(q + 2)
= E(X)
n − q
(q + 1)(q + 2)
Med n = 90 og q = 15 er σ(X) =
p
V ar(X) = 4.85.
1.13 Spil med flere plader
Med r plader stopper spillet, når en eller flere pladers tal er udtrukket. Dette sker
med et antal træk fra antal tal på plade q til antal tal i alt n.
Y
r
= (Y
r
)
serie
= (Y
r
)
(1)
= min{X
1
, . . . , X
r
}
Det forudsættes, at X
k
’erne er uafhængige identisk fordelte. Forudsættes X
k
’erne
uafhængige, vil det svare til r spil med en plade, hvor pladerne vælges med tilbage-
lægning. En forudsætningen er, at pladerne ikke har et mønster, dvs. der udtrækkes
femten forskellige tal.
P (Y
r
≥ m) = {P (X
1
≥ m), . . . , P (X
r
≥ m)} =
r
Y
k=1
P (X
k
≥ m) = (P (X ≥ m))
r
P (Y
r
= m) = P (Y ≥ m) − P (Y ≥ m + 1), m + 1 ≤ n
P (Y
r
= q) = 1 −
1 − 1
.
n
q

r
, P (Y
r
= n) =
1 −
n−1
q
n
q
!
r
=
q
n
r
F
Y
r
(m) = P (Y
r
≤ m) = 1 − (1 − F
X
(m))
r
= 1 −
1 −
m
q
n
q
!
r
(4)
Ved beregning af middelværdien for Y har man
E(Y ) = q +
1 −
q
q
n
q
!
r
+ · · · +
1 −
n−2
q
n
q
!
r
+
1 −
n−1
q
n
q
!
r
(5)
Alle parenteser er mindre end 1, så middelværdien nærmer sig q. Man skal op på
ret store r-værdier, før første parentes begynder at blive mindre end 1.
Normat 2/2008 Frank Bengtson 89
1.14 Approksimation med potensfunktion
For at finde en enklere beregning af middelværdien forsøges med simple approksi-
mationer.
Svarende til (2) må findes en differentiabel ud-
gave af fordelingen, som skal opfylde G
0
(x) =
g(x) = (q/x)G(x), q ≤ x ≤ n, G(n) = 1, dvs.
G(x) = (x/n)
q
. Modellen svarer til, at 15 tal
vælges et ad gangen med tilbagelægning ud af
90. For at få 15 forskellige ud af 90 skal i middel
vælges (coupon collector problem) n ln
n+0.5
n−q +0.5
,
med de aktuelle værdier 90 ln
90+0.5
75+0.5
≈ 16.3.
0
0.25
0.5
0.75
1.0
60 65 70 75 80 85 90
(x/90)
15
(x/90)
16.3
(x/90)
17
1.15 Middelværdi og varians for approksimation med potensfunktion
G(x) = 1 −
1 −
x
n
q
r
og g(x) =
rq
n
1 −
x
n
q
r−1
x
n
q−1
,
E(Y ) =
Z
n
q
x
rq
n
1 −
x
n
q
r−1
x
n
q−1
dx
≈ · · ·
= r n B(r, 1 + 1/q), hvor B er Betafunktionen
= r n
Γ(r)Γ(1 + 1/q)
Γ(r + 1 + 1/q)
, (Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, Γ(x + 1) = xΓ(x), x ∈ R
+
)
= n
q
q + 1
2q
2q + 1
· · ·
(r − 1)q
(r − 1)q + 1
rq
rq + 1
= n
1
1 +
1
q
1
1 +
1
2q
· · ·
1
1 +
1
(r−1)q
1
1 +
1
rq
Middelværdien er udtrykt ved ret enkle regneudtryk med parametrene q (antal tal på plade), n
(antal tal i alt) og r (antal plader). Der er approksimationer undervejs.
Justeres eksponenten q til q + 2 får man
E(Y ) = 90
17
18
34
35
× · · · ×
17(r − 1)
17(r − 1) + 1
17r
17r + 1
Fra generaliseret liniebingo afsn. 1.2 s. 81 havde man for seks plader med alle tal (et eksakt
resultat), og med de sidste udtryk
fra liniebingo : 90
15
16
30
31
45
46
60
61
75
76
= 77.5
ikke justeret eksponent : 90
15
16
30
31
45
46
60
61
75
76
90
91
= 76.7
justeret eksponent : 90
17
18
34
35
51
52
68
69
85
86
102
103
= 78.1
Seks plader med alle tal giver i stor model 77.5 og kan selvfølgelig ikke laves i lille model. Med
seks vilkårlige plader giver både lille og stor model 78.3. Med approksimationer har man næsten
samme approksimation som fra computermodellen.
2
E(Y
r
) ≈ 90 Γ (1 + 1/17) r
−
1
17
≈ 90 × 0.9693 r
−0.059
= 87.2 r
−0.059
≈ 87 r
−0.06
2
E(Y
r
) ≈ n r
−
1
q
Γ (1 + 1/q) , 1 < q < n, (n + 1)/n < 1 + 1/q < 2,
90 Frank Bengtson Normat 2/2008
Variansen kan beregnes til
V ar(Y
r
) = 90
2
r
−
2
17
Γ (1 + 2/17) − (Γ (1 + 1/17))
2
≈ 40 r
−0.1176
, 5 < r
Sammenlignes middelværdi og varians med Weibull fordelingens middelværdi og varians
E(W ) = n r
−
1
q
Γ (1 + 1/q) = a + b Γ (1 + 1/c)
V ar(W ) = n
2
r
−
2
q
Γ (1 + 2/q) − (Γ (1 + 1/q))
2
= b
2
Γ (1 + 2/c) − Γ
2
(1 + 1/c)
får man a = 0, b = n r
−
1
q
og c = q. Med de aktuelle værdier b = 90 r
−
1
15
og c = 15, eller
justeret b = 90 r
−
1
17
og c = 17 (b ∼ β er scale og c ∼ α er shape). Sandsynlighedsmodellen Y
r
∼
W eibull(α, β) passer rimeligt op til r = 100000. Det er en af de klassiske livslængdefordelinger med
overlevelses funktionen S(y) = exp(−(y/β)
α
) og fordeling F (y) = 1 − S(y) = 1 − exp(−(y/β)
α
).
For større pladeantal er Y
r
∼ extremvalue(a, c) med fordeling 1 − exp(− exp((x − a)/c)) og
overlevelses funktion S(y) = exp(− exp((y − a)/c)). Hvis X ∼ extremvalue(0, 1) er E(X) =
−γ = −0.5772 ≈ −0.6 og V ar(X) = π
2
/6 ≈ 5/3. Er Y = a + bX er Y ∼ extremvalue(a, b) og
E(Y ) = a + b E(X) = a − 0.6 b og V ar(Y ) = (5/3)b
2
Medianen er a + b ln(ln(2)), se f.eks. [D],
[S].
1.16 RBINGO plader med søjletal valgt ud af tre (færrest muligt)
Når hver søjles tal vælges
ud af tre tal, er antal pla-
der ca. 7.6 10
6
.
Med 1000 plader er medi-
anen 67, medens den nor-
malt er 59. Minimumforde-
lig er nær venstre graf. Sta-
bil max 80 til 85.
0
0.25
0.5
0.75
1.0
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
kumulerede relative hyppighederberegnede for alle tal til plader
11010001E4
1E5
1E61E71E7 1E6 10001E4
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
2 KBINGO plader
ANDERS
BINGO
BANKO
8
4
6
5
9
25
18
30
28
24
43
40
45
39
50
58
60
51
56
75
73
65
72
62
Hver plade har forskellige lodrette L4 og L5, vandrette
V4 og V5, og diagonaler D4
• L5
1
, L5
2
, L5
3
, L5
4
ud af
15
5
= 3003
• L4 ud af
15
4
= 1365
• V 4, D4
1
, D4
2
ud af 15
4
= 50626
• V 5
1
, V 5
2
, V 5
3
, V 5
4
ud af 15
5
= 759375
ventetiden er min{L5
1
, . . . , V 5
4
}. En plade er som spil med 12 plader L5
1
, . . . , V 5
4
,
hvor pladetallene er valgt ud af 24 tal, bruges fra to til tre gange og er sammenvævet
i et mønster, dvs. der er ret stor afhængighed.
fire-bingo:
række og diagonaler V4,D4: 15
4
= 50625
søjle L4 :
15
4
= 1365
i alt = 51990 ≈ 5.2 10
4
højst
75
4
= 1 215 450 ≈ 1.2 10
6
, 4.3%
Normat 2/2008 Frank Bengtson 91
Jo flere plader i et spil, jo flere med bingo på samme antal træk. I tabellen er de
optalte relative hyppigheder.
ant plader antal plader med bingo
r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¯x
100 0.84 0.13 0.02 0 1.2
1000 0.67 0.20 0.08 0.03 0.01 0.01 1.6
10000 0.18 0.17 0.14 0.10 0.08 0.07 0.05 0.05 0.03 0.02 5.3
100000 0.0 0.0 0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 47.7
Den øverste tynde trappekurve er fordeling for
antal gange 24 tal skal vælges for at alle er med.
Den nederste kraftige trappekurve er antal pla-
der, der skal vælges, for at alle tal er med. Der
er nogen afhængighed mellem tal til K-
BINGO plader.
0
0.25
0.5
0.75
1.0
5 10 15 20 25 30
2.1 Beregning
Er P (B
m
) sandsynligheden for bingo med færre eller m taltræk, og klassedeles efter
antal hit, som her kan være fra fire til 24, har man med k og m valgt passende
P (B
m
) = P (B
4
|4 hit)P (4 hit) + · · · + P (B
m
|k hit)P (k hit),
Der er fire mulige fire-bingoer med fire hit T
4
= 4, dvs.
P (B
m
|4 hit) =
4
24
4
, P (4 hit) =
24
4

51
m−4
75
m
, 4 ≤ m ≤ 55
Med fem eller flere hit kan der være fire fire-bingoer og otte fem-bingoer. Med fem
hit er der T
5
= 4
20
1
+ 8
19
0
= 88 muligheder for bingo
P (B
m
|5 hit) =
88
24
5
=
T
5
24
5
, P (5 hit) =
24
5

51
m−5
75
m
, 5 ≤ m ≤ 56
92 Frank Bengtson Normat 2/2008
Tabellen er lavet
af et program, der
tæller antal bingo i
forhold til antal hit.
Med f.eks. fire hit
køres alle mønstre
igennem, men det
ses umiddelbart, at
der kun er fire mu-
lige.
Med 20 hit er der
mindst en bingo.
antal hit T
n
ant bingo antal mulige sand
0, . . . , 3 0 . . . 0
4 4 K(24, 4) = 10626 0.0004
5 88 K(24, 5) = 42504 0.0021
6 912 K(24, 6) = 134596 0.0068
7 5928 K(24, 7) = 346104 0.0171
8 27102 K(24, 8) = 735471 0.0369
9 92520 K(24, 9) = 1307504 0.0715
10 244092 K(24, 10) = 1961256 0.1245
11 507696 K(24, 11) = 2496144 0.2034
12 841100 K(24, 12) = 2704156 0.3110
13 1113360 K(24, 13) = 2496144 0.4460
14 1174620 K(24, 14) = 1961256 0.5989
15 981424 K(24, 15) = 1307504 0.7506
16 644445 K(24, 16) = 735471 0.8762
17 331056 K(24, 17) = 346104 0.9595
18 133428 K(24, 18) = 134596 0.9913
19 42480 K(24, 19) = 42504 0.9994
20 10626 K(24, 20) = 10626 1
21 2024 K(24, 21) = 2024 1
22 276 K(24, 22) = 276 1
23 24 K(24, 23) = 24 1
24 1 K(24, 24) = 1 1
For m udtrukne numre, hvor 4 ≤ m ≤ 24 kræves for mindst en bingo, at der er fra
4 til m hit.
P (B
m
) =
24
4

51
m−4
75
m
T
4
24
4
+ · · · +
24
m

51
0
75
m
T
m
24
m
=
51
m−4
T
4
+ · · · +
51
0
T
m
.
75
m
og for 25 ≤ m ≤ 71 kræver mindst en bingo fra 4 til 24 hit,
51
k
= 0 for k > 51.
P (B
m
) =
24
4

51
m−4
75
m
T
4
24
4
+ · · · +
24
24

51
m−24
75
m
T
24
24
24
=
51
m−4
T
4
+ · · · +
51
m−24
T
24
.
75
m
0
0.01
0.02
0.03
0.04
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Figur 2: I fig. er kraftig graf beregnet
sandsynlighed, stolper er relativ hyppig-
hed fra computermodel.
Alle bingospil må have en mindste
fordeling, når alle plader er med.
Den optæder næppe i praksis, den
må begynde i antal tal på plade, og
have værdien (antal muligheder for
bingo)/(antal mulige talsæt). Hvis al-
le talsæt er med, dvs. der er intet pla-
demønster, er det en lodret linie. I R-
BINGO er så mange plader, at com-
putermodellen ikke kan køres med al-
le plader, men for KBINGO kan de ca. 800000 bingomuligheder køres igennem. Her
beregnes fordelingen for flere plader, som om de var uafhængige, se evt. afsn. 1.13
s.88. Afhængigheden viser sig som en spredning mellem beregnet og målt fordeling,
de udgår fra samme punkt på 1.aksen. Med 10
6
plader er medianen for beregnet
fordeling 5 og for computermodellen 8.
Normat 2/2008 Frank Bengtson 93
4
max
0
0.25
0.5
0.75
1.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
kumulerede relative hyppigheder , beregnede
antal plader 15105010050010001000000
151050100500100013400100000
Figur 3: På fig. er beregnede fordelinger lys
grå (forudsat uafhængige), og målte forde-
linger mørkere grå (kumulerede relative hyp-
pigheder).
Middelværdier og fordelinger for
op til 1000 plader kan beregnes ud
fra sandsynlighederne for en plade
som i afsn. 1.13 s.88, hvor der for-
udsattes uafhængighed. Det gøres
lettest i samme program, som be-
regner T
i
. For større pladeantal er
afvigelserne ret store.
David B. Agard & Michael W.
Shackleford: A New Look at Pro-
babilities in Bingo [AS] beregner
sandsynlighederne lidt anderledes
og hyppighederne tælles op i com-
putermodel for spil med 1, 10 og
50 plader og ligner resultaterne
her.
2.2 Netbrevkassespørgsmål KBINGO, netbingospil
Eksempel 2.1 Fra wizardofodds.com/askthewizard/numbered/askthewizard109.html:
At bingogala.com they offer a $500 prize for a coverall within 54 calls. You told
me earlier that the probability of that at least 1 card in 600 will get a coverall in 54
calls is 3.21%. So in 380 days (to date) at 8 sessions per day they should have 97.58
$500 winners, right? However I counted only 76 winners on their home page. When
I brought up my question about this in chat my husband and I were both banned
from the site which really sent my antenna up? Sorry to be a pest but if they are
running an unscrupulous site I want to know how to figure it out so that I can shout
it far and wide with facts. Thank you for any help you can give me in this matter.
Se evt. svar samme sted fra Sept.24 2002.
Relativ hyppighed for coverall har været 76/(380 × 8) = 0.025, og der er udbetalt $12.5 pr.
spil. Middelantal træk for coverall for en plade er 24(75 + 1)/(24 + 1) = 72.96 ≈ 73 (3) s.88. Af
(4) s.88 har man
P (Y ≤ 54) = 1 −
1 −
54
24
75
24
!
600
≈ 0.03212
for hvert spil. Gentages 8 gange pr. dag i 380 dage, og vælges den oplagte binomialmodel, er det
en binomialfordeling med sandsynlighed p=0.0321 og antal n=3040.
P (X ≤ 76) =
76
X
k=0
3040
k
0.0321
k
(1 − 0.0321)
3040−k
= 0.0127
Hændelsen vil observeres færre end eller 13 gange ud af 1000 tilsvarende spil (1000 gange 3040),
så det er rimeligt, at spørgeren undrer sig. Computermodellen giver 0.0319 for 50000 spil, som
kun ændrer lidt ved sandsynligheden.
Som det nævnes i svaret, er det ikke sikkert, om der har været 600 plader i hvert spil. I nogle
spil kan have været færre plader f.eks. 560, hvilket giver
P (Y ≤ 54) = 1 −
1 −
54
24
75
24
!
560
≈ 0.0300
Pladerne kan have været valgt specielt, hvilket giver lidt længere venstre hale og mindre hældning,
dvs. større middelværdi og større spredning. Sandsynligheden bliver mindre for et bestemt udfald.
94 Frank Bengtson Normat 2/2008
Er P (Y ≤ 54) = 0.03, har man
P (X ≤ 76) =
76
X
k=0
3040
k
0.03
k
(1 − 0.03)
3040−k
= 0.056
som er 5.6% af tilfældene. Det er derfor vanskeligt, at udtale sig om rimeligheden af antal gange
coverall er forekommet uden at vide, hvor mange plader der mindst har været i hvert spil, og
hvordan pladerne er lavet.
Ved netspil laves pladerne formentlig af et program eller vælges fra et lager. Spørgsmålet er,
om tallene på pladerne er jævnt fordelt. For coverall vælges 24 tal ud af 75, så afhængigheden
er lille og uden betyning. Mange forhold påvirker antal træk. Det er nok rimeligt at antage, at
spilentreprenøren er klar over, at specielle pladevalg giver flere træk til coverall. Til gengæld øges
antal plader udtrukket på samme antal træk, men pladerne skal være meget specielle, før dette
område nås.
2.3 Plader med færre tal
Med en computermodel kan man let undersøge, hvordan specielle pladevalg påvir-
ker antal træk. Vælges tallene til hver søjle ud af seks tal er der ca. 9000 bingomu-
ligheder.
Fordelingerne bliver min-
dre stejle og middelværdi-
erne større, de ligner nor-
malfordelinger. Højre gren
ser ud til at ligge fast i
intervallet [35,40], medens
venstre gren bevæger sig
mod mindsteværdien 4.
0
0.25
0.5
0.75
1.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 655 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
kumulerede relative hyppigheder, normal
100000 10000 1000 100 10 1alle tal 1000
2.4 SKBINGO
Kvadratiske plader uden slettet center kaldes ofte s-
vensk bingo. For det meste er 12 muligheder for bingo,
L
1
, . . . , L
5
, V
1
, . . . , V
5
, D
1
, D
2
, hvor pladetallene er valgt
ud af 25 tal, bruges fra to til tre gange og er sammenvæ-
vet i et mønster.
• L
1
, L
2
, L
3
, L
4
, L
5
ud af
15
5
= 3003
• V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, D
1
, D
2
ud af 15
5
= 759375
14
9
2
8
6
26
30
29
22
27
34
36
39
43
31
59
60
56
57
50
70
61
66
65
72
BINGO
Antal muligheder for bingo er 774390, og det samlede antal talsæt med fem tal
er
75
5
≈ 1.7 10
7
, dvs.
ca. 4.5% kan optræde som
bingomuligheder. Observe-
rede hyppigheder fra com-
putermodel er tegnet som
trappekurver. Spillet ligner
KBINGO, men fordelinger-
ne er rykket lidt til højre,
hvilket passer med,
0
0.25
0.5
0.75
1.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
antal plader
123456102050100500100010000100000
5
max
Normat 2/2008 Frank Bengtson 95
at muligheden for bingo på fire træk ikke er med. Antal plader udtrukket på samme
antal træk, er en del mindre.
ant plader antal plader med bingo
r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¯x
100 0.84 0.13 0.02 0.01 1.2
1000 0.74 0.18 0.05 0.02 0.01 0.00 1.4
10000 0.41 0.23 0.12 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01 0.01 0.00 2.7
100000 0.07 0.05 0.06 0.07 0.03 0.03 0.04 0.03 0.03 0.01 21.2
3 Konklusion
Computermodeller og beregninger passer pænt sammen, når der ikke er for stor
afhængighed mellem plader og pladetal. Resultater fra computermodeller for spil
med plader med færre tal regnes derfor for troværdige. Det er praktisk taget umuligt
at afgøre, om pladerne i et spil er lavet specielt. Der kan laves millioner af plader,
hvor et eller flere tal mangler.
Litteratur
[AS] David B. Agard & Michael W. Shackleford 2002. A New Look at Probabilities in
Bingo in College Mathematics Journal, Volume 33, Number 4, 301-305.
[A] Nils Andersen, 2003. Hvor mange bankoplader er der? Normat nummer 3, 2003,
side 102, http://www.diku.dk/ nils/Notes/bankoplader.pdf
[BS] D. M. Bloom, Kenneth Suman, GCHQ Problems Group 1999. Generalized Line
Bingo: 10565[1997,68], American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1 (Jan.,
1999), p. 72.
[D] H.A.David 1970. Order Statistics, John Wiley & Sons, Inc, 1970.
[S] Peter J. Smith 2002. Analysis of failure and survival data. Chapman & Hall/CRC.