Normat 56:3, 111–119 (2008) 111
Pythagoreiska tripplar på sex olika sätt
Patrik Lundström
Institutionen för ingenjörsvetenskap
Högskolan Väst, Trollhättan
patrik.lundstrom@hv.se
Inledning
I den matematiska diskursen fyller beviset många funktioner varav den viktigaste
naturligtvis är att säkerställa korrektheten hos matematiska påståenden. En annan
funktion som inte alltid är lika uttalad, åtminstone inte hos ickematematiker, är
bevisets roll som didaktiskt verktyg. När matematiker talar om att ett bevis är
bra så menar de att resonemanget har en kvalitet som utifrån ett visst perspektiv
tydligt belyser varför påståendet är sant. Matematikern Paul Erdös hävdade till och
med att det finns perfekta bevis av alla satser (se t.ex. (11)). En något försiktigare
och troligen vanligare hållning är att varierande infallsvinklar i bevis, till exempel
användning av olika matematiska teorier, klargör olika aspekter på samma sats.
Det kanske mest kända exemplet på detta är Pythagoras sats som kan bevi-
sas på flera hundra olikartade sätt med geometriska, algebraiska och analytiska
metoder (se (16) för 378 bevis eller (3) för 78 bevis). Baserat på det arkeologiska
fyndet Plimpton 322 har det konstaterats att man redan i det antika Babylonien
kände till Pythagoras sats, även om den då naturligtvis inte kallades just så. Detta
arkeologiska fynd består av en lertavla där man i kilskrift ristat in fyra kolumner
med numerisk information. Kolumn två och tre innehåller bara naturliga tal och
är överst namngivna med bredd respektive diagonal. Kontroll av tabellen ger vid
handen att i varje rad är skillnaden mellan kvadraten på diagonalen och kvadra-
ten på bredden lika med kvadraten på ett heltal. Detta innebär att Babylonierna
konstruerade ett stort antal pythagoreiska tripplar, det vill säga tripplar (a, b, c)
av heltal som uppfyller a
2
+ b
2
= c
2
. Ingen vet säkert varför Babylonierna var
intresserade av sådan information, men utifrån det faktum att förhållandet mellan
bredden och diagonalen minskar då man rör sig nedåt i tabellen har det formule-
rats en hypotes (13) om att det rör sig om en tidig trigonometrisk tabell. Denna
och liknande hypoteser är dock starkt ifrågasatta (19). Det råder inte heller någon
konsensus kring huruvida Babylonierna hittade sina tripplar genom någon form av
parametrisering. Pythagoreiska tripplar har också studerats i andra kulturer, t.ex.
i Kina och i Indien (14).
Syftet med denna artikel är att visa hur metoder som utvecklats i olika matema-
tiska teorier kan användas för att hitta parametriseringar av pythagoreiska tripplar.
112 Patrik Lundström Normat 3/2008
Den första metoden baseras på ett mycket elementärt talteoretiskt argument som
leder fram till en parametrisering som Pythagoras och Platon kände till. Den andra
metoden är hämtad från Euklides Elementa och grundar sig på elementär talteori.
Den tredje metoden är ett algebraisk-geometriskt argument som är en utvidgning
av en idé hämtad från Diophantos verk Arithmetica. Den fjärde metoden är ett re-
sonemang som bygger på samband mellan trigonometriska funktioner. Den femte
metoden är ett talteoretiskt argument som använder aritmetik för Gaussiska heltal.
Den sjätte metoden är ett Galoisteoretiskt bevis som använder ett specialfall av
Hilberts 90:e sats.
1 Pythagoras och Platon
Proclus påstår, i en kommentar till den första boken av Euklides Elementa, att både
Pythagoras och Platon kände till varianter av pythagoreiska tripplar på formen
(a, b, c) = (2m
2
+ 2m, 2m + 1, 2m
2
+ 2m + 1)
där m är ett positivt heltal (8). Däremot vet vi ingenting om hur de hittade dessa
tripplar. Ett folkloristiskt argument av okänt ursprung är följande. En geometrisk
tolkning av likheten c
2
− a
2
= b
2
är att vi ska ta bort en mindre kvadrat från
en större och sedan på något sätt stuva om det som är kvar till en kvadrat. Låt
oss analysera det fall då vi får så lite kvar som möjligt att stuva om, det vill säga
c = n + 1 och a = n för något positivt heltal n. Då får vi att b
2
= c
2
− a
2
=
(n + 1)
2
− n
2
= 2n + 1 vilket i sin tur implicerar att b måste vara lika med ett
udda positivt heltal, säg 2m + 1 för ett annat positivt heltal m. Då får vi att
(2m +1)
2
= 2n + 1 vilket efter omskrivning ger att n = 2m
2
+ 2m och vi har hittat
de eftersökta pythagoreiska tripplarna. Notera att inte alla pythagoreiska tripplar
har denna form, t.ex. (8, 15, 17). För att hitta de resterande krävs därför ett annat
angreppssätt.
2 Euklides
Beviset av Lemma 1 till Proposition 29 i den tionde boken av Euklides elementa
(7) ger oss den äldsta kända metoden som genererar alla pythagoreiska tripplar. I
nedanstående resonemang antar vi hela tiden att sådana tripplar består av olika
naturliga tal.
Euklides använder i sitt resonemang flitigt begreppet plana tal vilket helt en-
kelt är areor av rektanglar med sidlängd i naturliga tal. Två plana tal kallar han
likformiga om motsvarande rektanglar är likformiga med ett rationellt förhållande
mellan sidorna. Han visar att två plana tal är likformiga om och endast om deras
produkt är en kvadrat.
Euklides metod går till på följande sätt. Notera först att om vi har två naturliga
tal u och v, u > v, av samma paritet, så gäller alltid likheten
uv =
u + v
2
2
−
u −v
2
2
Normat 3/2008 Patrik Lundström 113
och alla termer är naturliga tal. Om nu u och v också är likformiga, så är uv lika
med en kvadrat, säg w
2
, och därmed är
(a, b, c) =
u −v
2
, w,
u + v
2
en pythagoreisk trippel. Omvänt, givet en pythagoreisk trippel (a, b, c), så är u =
c + a och v = c − a två naturliga tal av samma paritet med u > v. Betraktat
som plana tal är de också likformiga eftersom uv = (c + a)(c − a) = c
2
− a
2
= b
2
är en kvadrat. Euklides har därmed skapat en bijektion mellan mängden av alla
pythagoreiska tripplar (a, b, c) och mängden av alla par (u, v), u > v, av likformiga
plana tal av samma paritet.
Nu tittar vi på specialfallet då den pythagoreiska trippeln är primitiv, det vill
säga då talen a, b och c är relativt prima. Genom att utnyttja Euklides resonemang
ovan så kan vi faktiskt parametrisera alla sådana tripplar. Först konstaterar vi att
a eller b är udda (annars är bägge jämna och då är c jämnt vilket strider mot
antagandet att trippeln är primitiv). Kan både a och b vara udda? Nej, eftersom c
då är jämnt vilket ger oss motsägelsen
2 = 1 + 1 ≡ udda
2
+ udda
2
= jämnt
2
≡ 0 mod 4.
Av symmetriskäl kan vi nu anta att a och c är udda och att b är jämnt. Euklides
metod ger oss nu två likformiga plana tal u och v, u > v, av samma paritet som
uppfyller c = (u + v)/2, a = (u − v)/2 och uv = b
2
. Av likformigheten följer det
att u = ds
2
och v = dt
2
för några naturliga tal d, s och t där d är kvadratfri och
s > t. Den största gemensamma delaren till u och v delar också u + v = 2c och
u −v = 2a. Men eftersom a och c inte har någon gemensam primfaktor, så betyder
det att största gemensamma delaren till u och v är 1 eller 2. Eftersom u och v har
samma paritet och uv = b
2
är jämnt, så är både u och v jämna. Alltså kan vi dra
slutsatsen att d = 2 och att s och t är relativt prima. Eftersom a är udda så kan
inte heller både s och t vara udda. Detta ger oss den välkända parametriseringen
(a, b, c) = (s
2
− t
2
, 2st, s
2
+ t
2
)
av primitiva pythagoreiska tripplar där s och t, s > t, är relativt prima naturliga
tal av olika paritet.
3 Diofantos
I lösningen till problem 8 i den andra boken av Diofantos verk Arithmetika redogörs
för en metod att dela upp en kvadrat i två mindre kvadrater som med en modern
tolkning (1) går ut på att göra en linjär ansats. Jag beskriver nu denna metod med
hjälp av analytisk geometri.
Om vi i ekvationen a
2
+b
2
= c
2
dividerar med c, så kan den skrivas om på formen
x
2
+ y
2
= 1 där x = a/c och y = b/c. För att lösa den ursprungliga ekvationen
inser vi nu att det räcker att hitta alla rationella punkter på cirkeln x
2
+ y
2
= 1.
114 Patrik Lundström Normat 3/2008
Innan vi beskriver Diofantos metod gör vi en kort analys av problemet att hitta
alla rationella punkter på allmänna kägelsnitt dvs kurvor av typen
Ax
2
+ Bxy + Cy
2
+ Dx + Ey + F = 0 (1)
där A, B, C, D, E och F är rationella tal valda så att kurvan blir av andra
graden, det vill säga så att någon av A, B och C är skild ifrån noll. Det är lätt att
se att man genom en rationell koordinattransformation alltid kan få A 6= 0 (om
A = 0 och C 6= 0, så använder vi (x, y) 7→ (y, x); om A = C = 0, så använder
vi (x, y) 7→ (x, y + x)). För att analysera (1) börjar vi med att skriva om den på
formen
(2Ax + By + D)
2
− ∆
1
y
2
− 2∆
3
y = ∆
2
(2)
där ∆
1
= B
2
−4AC, ∆
2
= D
2
−4AF och ∆
3
= BD −2AE. Nu finns ett antal fall
att beakta.
Fall 1: ∆
1
= ∆
3
= 0. Om ∆
2
ej är en rationell kvadrat, så har (2) inga rationella
lösningar; Om ∆
2
= q
2
, q ∈ Q, så blir (2) unionen av de två räta linjerna 2Ax +
By + D = ±q.
Fall 2: ∆
1
= 0 och ∆
3
6= 0. Då blir (2) en parabel.
Fall 3: ∆
1
6= 0. Då kan vi skriva om (2) på formen
∆
1
(2Ax + By + D)
2
− (∆
1
y + ∆
3
)
2
= ∆
1
∆
2
− ∆
2
3
(3)
Om ∆
1
< 0 och ∆
1
∆
2
− ∆
2
3
> 0, så har (3) inga lösningar; Om ∆
1
< 0 och
∆
1
∆
2
−∆
2
3
= 0, så har (3) en lösning; Om ∆
1
< 0 och ∆
1
∆
2
−∆
2
3
< 0, så är (3) de
rationella punkterna på en ellips; Om ∆
1
= q
2
, q ∈ Q\{0} och ∆
1
∆
2
−∆
2
3
= 0, så är
(3) unionen av två räta linjer. Om ∆
1
ej är en rationell kvadrat och ∆
1
∆
2
−∆
2
3
= 0,
så har (3) inga rationella lösningar. Om ∆
1
> 0 och ∆
1
∆
2
− ∆
2
3
6= 0, så är (3) de
rationella punkterna på en hyperbel.
Av ovanstående analys framgår det att det är trivialt att hitta alla rationella
punkter på kägelsnitt förutom i följande två fall: (i) ∆
1
< 0 och ∆
1
∆
2
< ∆
2
3
då
vi måste hitta alla rationella punkter på en ellips; (ii) ∆
1
är ett positivt rationellt
tal som ej är en rationell kvadrat och ∆
1
∆
2
6= ∆
2
3
då vi måste hitta alla rationella
punkter på en hyperbel som ej genom en rationell koordinattransformation kan
skrivas om på formen xy = 1.
Nu beskriver vi Diofantos metod för kurvorna av typen (i) eller (ii). Antag
först att vi har hittat en rationell punkt (x
0
, y
0
) på kurvan. Om nu (x
1
, y
1
) är en
annan rationell punkt på kurvan, så ligger den på linjen L
r
: y − y
0
= r(x − x
0
)
där r är det rationella talet (y
1
− y
0
)/(x
1
− x
0
). Omvänt, så skär alla linjer L
r
,
där r är ett rationellt tal, kurvan i två rationella punkter. Varför? Jo, eftersom
insättning av y = y
0
+ r(x − x
0
) i kurvans ekvation ger oss en andragradsekvation
i x med rationella koefficienter. Eftersom vi vet att en av rötterna, nämligen x
0
,
är rationell, så måste även den andra roten vara rationell. Varför? Jo, rötternas
summa är ju lika med förstagradskoefficienten som är rationell. Detta resonemang
ger oss faktiskt en bijektion mellan alla rationella tal r (samt ∞) och de rationella
punkterna på kurvan (se t.ex. (12)).
Nu genomför vi den ovan beskrivna kalkylen explicit. Om vi låter L
r
skära
kurvan, så får vi ekvationen
Ax
2
+ Bx(y
0
+ r(x −x
0
)) + C(y
0
+ r(x −x
0
))
2
+ Dx + E(y
0
+ r(x −x
0
)) + F = 0
Normat 3/2008 Patrik Lundström 115
som, efter omskrivning, får utseendet
(x − x
0
)
(A + Br + Cr
2
)(x − x
0
) + 2Ax
0
+ By
0
+ Brx
0
+ 2Cry
0
+ D + Er
= 0
Detta ger oss den andra skärningspunktens koordinater
x = x
0
−
2Ax
0
+ By
0
+ Brx
0
+ 2Cry
0
+ D + Er
A + Br + Cr
2
y = y
0
−
r(2Ax
0
+ By
0
+ Brx
0
+ 2Cry
0
+ D + Er)
A + Br + Cr
2
Nu bör man notera två saker. För det första är nämnaren nollskild i kvoterna
ovan för alla r tack vare antagandet att ∆
1
ej är en rationell kvadrat. För det
andra är täljaren noll precis då linjen L
r
tangerar kurvan i punkten (x
0
, y
0
) (bilda
skalärprodukten mellan gradienten till vänsterledet i (1) och vektorn (1, r)). Detta
innebär att x
0
6= x
1
för alla andra r.
I fallet med cirkeln är A = C = 1, F = −1 och B = D = E = 0. Vidare så kan
vi t.ex. välja x
0
= −1 och y
0
= 0. Därför får vi följande parametrisering av cirkelns
rationella punkter
a
c
= x = −1 +
2
1 + r
2
=
1 − r
2
1 + r
2
=
t
2
− s
2
t
2
+ s
2
b
c
= y =
2r
1 + r
2
=
2st
t
2
+ s
2
där r = s/t för heltal s och t där t 6= 0. Om vi nu, precis som tidigare, antar att
a, b och c är relativt prima heltal med a och c udda och b jämnt, så kan vi dra
slutsatsen att a = t
2
−s
2
, b = 2st och c = t
2
+ s
2
för några relativt prima heltal s
och t av olika paritet.
Den vetgirige läsaren undrar nu förstås om man kan avgöra om det till ett givet
kägelsnitt finns minst en rationell punkt. Redan Legendre (se t.ex. (17)) hittade
ett elegant sådant kriterium. Genom en rationell linjär transformation så kan varje
kägelsnitt på homogen form beskrivas med en ekvation på formen
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
= 0
där koefficienterna är kvadratfria nollskilda heltal som är parvis relativt prima.
Då finns det en icketrivial heltalspunkt på detta kägelsnitt om och endast om
följande tre villkor är uppfyllda (i) −AB är en kvadratisk rest till C; (ii) −AC
är en kvadratisk rest till B; (iii) −BC är en kvadratisk rest till A. Beviset i (17)
ger också en algoritm för att hitta en sådan lösning. Det finns naturligtvis andra,
modernare algoritmer, se t.ex. (2).
4 Trigonometriska funktioner
Ända sedan trigonometrins barndom i det antika Grekland har det varit känt att
alla reella lösningar till ekvationen x
2
+ y
2
= 1 kan parametriseras med de trigo-
nometriska funktionerna x = cos θ och y = sin θ. Detta kan användas för att hitta
116 Patrik Lundström Normat 3/2008
alla rationella lösningar till x
2
+ y
2
= 1 genom att utnyttja tre välkända samband
mellan sinus, cosinus och tangens halva vinkeln, nämligen:
cos θ =
1 − tan
2
(θ/2)
1 + tan
2
(θ/2)
(4)
sin θ =
2 tan(θ/2)
1 + tan
2
(θ/2)
(5)
tan(θ/2) =
sin θ
1 + cos θ
(6)
Ifrån (4) och (5) kan vi dra slutsatsen att
(x, y) =
1 − r
2
1 + r
2
,
2r
1 + r
2
(7)
är en rationell lösning till x
2
+y
2
= 1 om vinkeln θ är vald så att r = tan(θ/2) är ett
rationellt tal. Omvänt, ifrån (6) kan vi dra slutsatsen att r måste vara rationellt,
givet att både sin θ och cos θ är rationella. Därför kan alla rationella lösningar till
x
2
+ y
2
= 1 parametriseras genom (7) där r löper över de rationella talen.
I det här sammanhanget är det värt att notera att en viktig ingrediens i det
bevis av Fermats sista sats (FSS) till vilket Wiles lade den sista pusselbiten för en
tid sedan också innehåller funktionsteori på ett analogt men samtidigt mycket mera
komplicerat sätt. Beviset för FSS använder teorin för rationella elliptiska kurvor,
dvs kurvor definierade av likheter på formen y
2
= Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D där A, B,
C och D är rationella tal och polynomet i högerledet har distinkta rötter. Enligt
en förmodan av Taniyama och Shimura (TS) så kan varje sådan elliptisk kurva
parametriseras f(z)
2
= Ag(z)
3
+ Bg(z)
2
+ Cg(z) + D av s.k. modulära funktioner
f(z) och g(z) båda i samma nivå N (se nedan). De modulära funktionerna är, precis
som de trigonometriska funktionerna, invarianta med avseende på gruppverkan fast
på ett mer komplicerat sätt. I fallet med sinus och cosinus så är det den additiva
gruppen av alla heltal som verkar genom translation på argumentet. Funktionerna
f(z) och g(z) är modulära i nivå N om de är invarianta med avseende på verkan
av den multiplikativa matrisgruppen
a b
c d
a, b, c och d heltal med ad − bc = 1 och N|c
på argumenten, dvs så att
f
az + b
cz + d
= f(z) och g
az + b
cz + d
= g(z)
för a, b, c och d valda enligt ovan. Utöver denna invarians tillkommer ytterligare
några villkor på funktionerna för att de ska vara modulära, men vi utelämnar här de
tekniska detaljerna kring detta. Vad Wiles bevisade var att TS gäller för en speciell
klass av elliptiska kurvor, de semistabila (ännu ett tekniskt villkor som vi väljer att
Normat 3/2008 Patrik Lundström 117
utelämna). Men vad har detta med FSS att göra? Jo, tidigare hade Ribet visat att
om a
p
+ b
p
= c
p
för positiva heltal a, b och c och primtal p större än 3, så har den
semistabila elliptiska kurvan y
2
= x(x −a
p
)(x + b
p
) så speciella egenskaper att den
inte kan parametriseras av modulära funktioner vilket motsäger TS och beviset
av FSS är klart. Efter Wiles har Breuil, Conrad, Diamond, och Taylor bevisat TS
för alla elliptiska kurvor. Detta resultat har använts av flera matematiker för att
visa att andra diofantiska ekvationer saknar icketriviala heltalslösningar. Som ett
exempel på detta nämner vi här Darmon och Merel som med denna teknik bevisat
att ekvationen a
n
+ b
n
= c
3
, n > 2, saknar heltalslösningar med a, b och c alla
nollskilda. För mer detaljer kring detta och den allmänna TS, se t.ex. (4).
5 Gaussiska heltal
Nu ska vi använda ringen av de gaussiska heltalen Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} som
introducerades av Gauss (9) under perioden 1829-1831 då han sökte efter kubiska
och bikvadratiska reciprocitetssatser. Denna ring har unik primfaktoruppdelning.
Notera att de gaussiska primtalen inte är desamma som primtalen i Z. Till exempel
är 2 = (1+i)(1−i) en äkta primfaktoruppdelning i Z[i]. För detaljer kring gaussiska
heltal, se t.ex. (20).
Antag att heltalen a, b och c i likheten a
2
+ b
2
= c
2
inte har några gemensamma
primfaktorer i Z[i] samt att a och c är udda men b är jämnt. Om vi skriver likheten
som (a + bi)(a −bi) = c
2
, så kan vi konstatera att faktorerna a + bi och a −bi inte
har några gemensamma primfaktorer. Varför? Jo, om vi antar att z är ett gaussiskt
primtal som delar båda dessa faktorer, så skulle z dela både deras summa 2a och
deras differens 2bi. Men eftersom c är udda så kan inte z vara en delare till 2.
Därför delar z både a och b vilket är en motsägelse. Därför kan vi konstatera att
a + bi är en kvadrat gånger en enhet, det vill säga en delare till 1 i Z[i]; Det är lätt
att kolla att dessa är ±1 och ±i. Därför får vi nu
a + bi = (s + ti)
2
= (s
2
− t
2
+ 2sti)
där = ±1 eller = ±i och s, t ∈ Z. Möjligheterna = ±i är uteslutna på grund
av att att a är udda. Alltså är = ±1. Fallet = 1 ger oss att
a = s
2
− t
2
b = 2st
för några relativt prima heltal s och t av olika paritet. Fallet = −1 kan återföras
på det förra fallet genom transformationen (s, t) 7→ (−t, s).
6 Hilberts 90:e sats
Den 90:e satsen i Hilberts talteoretiska verk Zahlbericht från 1897 (se (10) för
en engelsk översättning) säger att givet en ändlig cyklisk Galoisutvidgning K/k
118 Patrik Lundström Normat 3/2008
av kroppar av grad n, med Galoigrupp genererad av automorphismen σ, så har
alla lösningar i K till ekvationen
Q
n−1
i=0
σ
i
(z) = 1 formen z = u/σ(u) för något
u ∈ K \ {0}.
Nu redogör vi för ett folkloristiskt argument som visar att ett specialfall av
Hilberts 90:e sats direkt ger oss en parametrisering av alla rationella lösningar till
ekvationen x
2
+ y
2
= 1. Argumentet kan hittas på flera ställen i litteraturen, se
t.ex. (5), (6), (18) och (21). Om vi låter K = Q(i) och k = Q, så är K/k en cyklisk
Galoisutvidgning av grad två och σ är komplex konjugering. Av Hilberts 90:e sats
följer nu att om det finns x, y ∈ k som löser ekvationen x
2
+y
2
= (x+yi)(x−yi) = 1
så måste det finnas u = s + ti, s, t ∈ k, sådant att
x + yi = u/u =
s + ti
s − ti
=
s
2
− t
2
s
2
+ t
2
+
2st
s
2
+ t
2
i
En jämförelse av real- och imaginärdelar i likheten ovan ger oss samma parametri-
sering som vi fann med hjälp av de förra metoderna.
Varför gäller då Hilberts 90:e sats? Bevis för denna sats kan man hitta i många
böcker i talteori eller algebra, se t.ex. (15). Vi nöjer oss med att bevisa satsen i det
specialfall vi behöver, dvs då K = Q(i) och k = Q. Låt z ∈ K uppfylla zz = 1. Då
finns w ∈ K sådant att u = w + zw 6= 0. Varför? Jo, om z = −1 så väljer vi t.ex.
w = i och om z 6= −1 så väljer vi t.ex. w = z. Nu kontrollerar vi att elementet u
duger för våra syften
u/u =
w + zw
w + zw
= z ·
zw + w
w + zw
= z
och beviset är klart
Elkies (6) har noterat att Hilberts 90:e sats på detta sätt kan användas för att
parametrisera heltalslösningarna till alla ekvationer på formen
x
2
+ Axy + By
2
= z
2
,
där A
2
−4B ej är en rationell kvadrat, genom att studera den kvadratiska utvidg-
ningen Q(
√
A
2
− 4B)/Q.
Avslutningsvis... vill författaren uttrycka sin djupa tacksamhet gentemot refe-
reen för dennes otaliga korrigeringar och förbättringsförslag på tidigare versioner
av denna artikel.
Referenser
[1] I. G. Bashmakova, Diophantus and Diophantine Equations, MAA: Dolciani
Math Expositions no 20 (1997).
[2] J. W. S. Cassels, Rational Quadratic Forms, Academic Press, London–New
York–San Francisco (1978).
Normat 3/2008 Patrik Lundström 119
[3] Web page: Cut the Knot <http://www.cut-the-knot.org>
[4] H. Darmon, A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is An-
nounced, Notices of the AMS, December 1999 46 issue 11.
[5] D. S. Dummit och R. M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (2003).
[6] N. D. Elkies, Pythagorean triples and Hilbert’s Theorem 90, available at
<http://www.math.harvard.edu/∼elkies/>.
[7] Euclid, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, T.L. Heath, Dover, New
York (1956).
[8] J. Fauvel och J. Gray, The History of Mathematics: A Reader, MacMillan
Press, London (1987).
[9] C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.,
Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7, 1-34 (1832); reprinted in Werke, Georg
Olms Verlag, Hildesheim,93-148 (1973).
[10] D. Hilbert, The theory of algebraic number fields, Springer-Verlag, Berlin
(1998).
[11] P. Hoffman, The man who loved only numbers: the story of Paul Erdös and
the search for mathematical truth, Hyperion (1999).
[12] D. Husemöller, Elliptic Curves, Springer (2004).
[13] D. E. Joyce, Plimpton 322 (1995), available at
<http://aleph0. clarku.edu/∼djoyce/mathhist/plimpnote.html>.
[14] V. Katz, A History of Mathematics, Harper Collins, New York (1993).
[15] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley (1993).
[16] E. S. Loomis, The Pythagorean Proposition, NCTM (1972).
[17] T. Nagell, Introduction to Number Theory, Almqvist & Wiksell, Uppsala
(1951).
[18] T. Ono, Variations on a Theme of Euler: Quadratic Forms, Elliptic Curves
and Hopf Maps, Springer (1994).
[19] E. Robson, Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton
322, Historia Mathematica 28, 167-206 (2001).
[20] I. N. Stewart och D. O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman and Hall
(1987).
[21] O. Taussky, Sums of Squares, Amer. Math. Monthly, Vol. 77, 805-830 (1970).
