120 Normat 56:3, 120–121 (2008)
Skruelinjer frem fra en skyggetilværelse
Hans Georg Killingbergtrø
NO-7120 Leksvik
Fagbøker i beskrivende geometri som omhandler vindelflaten, nevner gjerne flatens
koaksiale skruelinjer (uten å kalle dem så) med samme akse og gjenghøyde som fla-
ten. Deres hp (horisontalprojeksjon) er konsentriske sirkler. Men jeg har ennå ikke
sett flatens parallellaksiale skruelinjer nevnt. De har halvparten så stor gjenghøyde,
og deres hp er eksentriske sirkler.
Det viste seg at en vindelflate, belyst med parallelle stråler, ga en interessant
egenskyggegrense ved at den blottla disse ikke-trivielle skruelinjene, som altså synes
å ha gått geometriens aktører hus forbi opp til vår tid.
For lesere som måtte behøve det, nevner jeg at vindelflaten beskrives ved en be-
vegelig horisontal rett linje som krysser en ubevegelig vertikal akse og roterer med
jevn fart rundt den, og løfter seg samtidig med jevn fart. Med gjenghøyden menes
høydeforskjellen per omdreining. En skruelinje er en romkurve med konstant stig-
ning og i konstant avstand fra en vertikal akse. Vindelflatens koaksiale skruelinjer
er skjæringskurvene mellom vindelflaten og sirkulære sylinderflater som har felles
akse med vindelflaten.
En overflate som blir belyst fra ett punkt, gjerne uendelig fjernt, har egenskygge
der stråleretningen peker ut fra flaten, og er enten belyst eller har slagskygge der
stråleretningen peker inn mot flaten. Egenskyggens grense omfatter ordinært de og
bare de punktene som en eller annen tenkt stråle tangerer flaten i. En vindelflate
som blir belyst med parallelle stråler, bare ikke vannrette eller loddrette, får en
høyst interessant egenskyggegrense. Figuren viser hp av en vindelflate med akse
loddrett opp fra S. Vannrette plan skjærer flaten i rette linjer med hp gjennom
S, så flaten blir stadig brattere på vei inn mot aksen. Velg en lysstråle med hp
lik LT og helling som den koaksiale skruelinjen gjennom T . A
0
er hp av punkt A
på denne skruelinjen. Strålen gjennom A er for bratt til å tangere flaten, for med
samme vertikalkomponent ved A som ved T går strålens horisontalkomponent i
retning A
0
C, men har lengde |T U | = |A
0
B| < |A
0
C|, som er vindelflatens tilsvarende
horisontalkomponent. Så vi må søke et punkt E på A
0
S, og så langt inn mot S at
|EF | = |A
0
B|. Da er
|SE| : |SA
0
| = |EF | : |A
0
C|
Her setter vi inn ST for SA
0
, og A
0
B for EF , og får
|SE| : |ST | = |A
0
B| : |A
0
C|
Normat 3/2008 Hans Georg Killingbergtrø 121
Da A
0
B dessuten står normalt på SE, og A
0
C står normalt på ST , er 4SET
likedannet med 4A
0
BC , så ∠SET er 90
◦
, og egenskyggegrensens hp er sirkelen
med [ST ] som diameter. En periferivinkelbetraktning viser at egenskyggegrensen
stiger jevnt på en sirkulær sylinderflate med vindelflatens akse som generatrise. Så
en slik solskinnsgrense er en helix. Ved en skjebnens vittighet stammer det navnet
fra solguden Helios, ut fra at visse stengler i den botaniske vindelfamilien gjerne
skrur seg etter solens gang på himmelen.
