122 Normat 56:3, 122–132 (2008)
Tangerende sirkler og sirkelvektorer
Morten Eide
Matematisk Institutt , UIO
morteid@math.uio.no
I et tidligere nummer av tidsskriftet ser Bengt Ulin[1] på arbelosteoremer for tan-
gerende sirkler. Han nevner flere slike, og konsentrerer seg om å vise Pappos teorem
fra en historisk synsvinkel. Det andre teoremene Ulin peker på blir senere behandlet
i tidskriftet av Karen Sofie Ronæss [2], og hun finner formler for relasjoner mellom
radius til sirklene i ulike tilfeller.
Slike sammenhenger med tangerende sirkler er blitt behandlet av mange i ti-
dens løp, både av amatører og yrkesmatematikere. Fenomenene er tiltalende på
den måten at problemstillingene er enkle å overskue, men ofte viser det seg over-
raskende dypere strukturer når man går inn på disse. Det finnes rent geometriske
problemstillinger, blant disse det berømte appoloniosproblemet. Her er oppgaven
å konstruere de sirklene som tangerer tre gitte sirkler. Så har vi problemstillinger
som innebærer tallforhold slik som i tilfellene nevnt ovenfor.
Vi vil her se hvordan fenomenene så og si danner et eget område ved at de slutter
seg sammen på rent syntetisk vis. Vi vil så begrunne dette med en svært anvendelig
algebra som kan knyttes til fenomenene. Denne algebraen går tilbake til Herman
Grassman og William K. Clifford.
Noen sirkelteoremer
Det viser seg at setninger knyttet til tangerende sirkler ofte blir svært enkle når de
utrykkes ved de inverse radiene til sirklene. Arbelossetningen får da en enkel form.
Setning 1 Arbelossetning
Gitt to sirkler s
1
og s
2
som tangerer hverandre utvendig, og en sirkel s
3
med senter
på samme linje som omlutter dem og tangerer dem. En fjerde sirkel t ligger mellom
disse og tangerer alle tre. Da er den inverse radien til t gitt ved den inverse radien
til de andre sirklene ved
(1)
1
r
s
=
1
r
s
1
+
1
r
s
2
−
1
r
s
3
Normat 3/2008 Morten Eide 123
s2
s1
s
s3
s2
s1
s
n
Arkimedes teorem har et enda enklere utrykk
Setning 2 Arkimedes sirkel
Gitt to sirkler s
1
og s
2
som tangerer hverandre utvendig, og en sirkel med senter
på samme linje som disse som omlutter dem og tangerer dem. Mellom s
1
og s
2
er
en normal n til linjen mellom sentrene. En sirkel s ligger mellom s
1
, s
3
og n, og
radien til denne er gitt ved radiene til s
1
og s
2
ved
(2)
1
r
s
=
1
r
s
1
+
1
r
s
2
At vi den inverse radien utrykker noe vesentlig ser vi videre ved at teoremene lar
seg generalisere på ulike vis. Vi finner en syntese av setningene over ved det vi vil
kalle Dobbel arbelos setningen.
Setning 3 Dobbel arbelos
Gitt tre sirkler s
1
, s
2
og s
3
med senter på samme linje som ligger på rad slik at
to tangerer den midterste utvendig. En sirkel t
1
omslutter s
1
og s
2
, og en sirkel t
2
omslutter s
1
og s
2
. Mellom t
1
, t
2
og s
2
ligger en sirkel s som tangerer de tre.
t2
s2
s3
s
t1
s1
Da er radien til s gitt ved radiene til s
1
, s
2
og s
3
ved
(3)
1
r
s
=
1
r
s
1
+
1
r
s
2
+
1
r
s
3
Når t
1
blir en linje oppstår arkimedes setning , og når den faller sammen med s
3
får vi arbelossetningen.
Et annen setning av samme karakter har vi ved relasjonen mellom radiene til de fire
innskrevne sirklene i en trekant. Her er summen av de inverse radiene til yttersirk-
lene lik den inverse radien til innersirkelen. En generalisering av den geometriske
strukturen her får vi om vi i stedet for linjer har gitt tre sirkler. Som nevnt over
får vi her åtte appoloniussirkler som tangerer de tre sirklene, og det viser seg at vi
også her har en slående enkel sammenheng mellom de inverse radiene.
124 Morten Eide Normat 3/2008
Setning 4 Vi har gitt tre sirkler, og de åtte Appolloniussirklene som tangerer disse
tre.
a
b
c
f
e
d
g
h
Da finnes en lineær relasjon mellom de inverse radiene til disse, gitt en regel for
fortegnene. Vi sier da at to sirkler har negativ tangering om de berører hverandre
utvendig, og positiv om de omslutter hverandre. Produktet av de tre tangeringene
en appoloniussirkel har med de tre opprinnelige sirklene gir fortegnet til radien.
Sammenhengen mellom radiene i bildet over er da gitt ved
(4)
1
r
a
−
1
r
b
+
1
r
c
−
1
r
d
+
1
r
e
−
1
r
f
+
1
r
g
+
1
r
h
= 0
Denne sammenhengen går over til setningen med de fire innskrevne sirklene når
de tre utgangsirklene blir linjer. Nå de tre utgangsirklene har sentrene på samme
linje får vi to grupper som er speilinger av hverandre over linjen. Dermed redu-
seres sammenhengen mellom radiene til et utrykk med fire ledd, og ved å variere
plasseringen til utgangssirklene får vi arbelossetningene. Også flere andre setninger
oppstår ved å legge utgangssirklene på bestemte vis.
Ved rene geometriske bevegelser slutter altså de ulike teoremene seg sammen
til et helt område. Spørsmålet som reiser seg nå er hvorfra de inverse radier og de
enkle sammenhengene kommer. Vel kan man bevise de ulike teoremene på mange
vis, men for de mest generelle teorem er ikke dette likefrem, og det fornemmes at
det må være en grunn til at utrykkene blir så enkle. Det viser seg at en slik grunn
finnes i det som vi her vil kalle sirkelvektorer.
Tetrasykliske koordinater
Sirkelvektorer fremkommer ved å se på sirkler ut fra tetrasykliske koordinater. De
tetrasykliske koordinatene ble innført av Gaston Darboux i 1873, men en variant av
disse kan imidlertid også føres tilbake til William Kingdom Clifford til oppsatsen
Power-koordiantes fra 1866.
Grunnlaget for koordinatsystemet er en bestemt avstand mellom to sirkler, og
Normat 3/2008 Morten Eide 125
denne er gitt ved cosinus til vinkelen mellom de to sirklene når de skjærer hverandre.
Sirklene danner to vinkler ved skjæring så for at målet skal være entydig, og for
å dekke tilfeller der sirklene ikke skjærer hverandre, utrykker vi denne avstanden
ved cosinussetningen
(5) v(s
1
, s
2
) =
r
2
1
+ r
2
2
− d
2
2r
1
r
2
der d er ordinær avstand mellom sentrene, eller ved
(6) v(s
1
, s
2
) ==
r
2
1
+ r
2
2
− (x
1
− x
2
)
2
− (y
1
− y
2
)
2
2r
1
r
2
når sentrene er gitt ved koordinater. Vi kaller dette vinkelavstand mellom to sirkler,
eller kort v-avstand. V-avstanden mellom to linjer i denne sammenheng blir også
cosinus til vinkelen mellom disse. V-avstanden mellom en linje og en sirkel gies
likedan, men her kan forholdet skrives enkelt som
(7) v(s, l) =
d
r
der r er radien til sirkelen, og d er avstanden fra sirkelens senter til linjen. Dette
er cosinus til vinkelen mellom den i det tilfelle de skjærer hverandre. Ved kontinu-
erlige grensebetraktninger kan det vises at de spesielle v-avstandene fremkommer
av v-avstanden mellom to sirkler.
Disse avstandsbestemmelsene ligger til grunn for det tetrasykliske koordinatsyste-
met. I alle koordinatsystem ligger en metrikk til grunn. I det kartesiske koordinat-
system blir et punkt bestemt av dens avstander til de to aksene, og ved homogene
koordinater bestemmes hvert punkt av tre størrelser. En sirkel i det tetrasykliske
koordinatsystem blir bestemt ved dens v-avstander til fire andre sirkler. Dette er
grunnen til betegnelsen tetrasyklisk.
1
De fire koordinatsirklene står ortogonalt på hverandre, noe som også vil si at v-
avstandene mellom sirkelene er 0. Vi innser fort at tre sirkler alle kan være orto-
gonale til hverandre. Når vi har funnet tre slike finnes det enda en sirkel som er
ortogoal til disse tre.
x
y
e1
s1
s2
s3
s4
e2
Fire ortogonale sirkler
Standard koordinater
1
Ofte blir punkter bestemt først også i det tetrasykliske koordinatsystemet, slik som vi finner
hos Felix Klein[5]. Sirklene blir så bestemt indirekte ved at konstantene i sirkelligninger sees på
som koordinater. Vi bestemmer her sirklene direkte ut fra v-avstandene, og sirkler er dermed
grunnobjekter i denne geometrien.
126 Morten Eide Normat 3/2008
Denne har senter i potenssenteret til de tre sirklene. Sirkelen er imidlertid ikke reelt
ortogonalt til de andre sirklene, radien er imaginær, og denne er gitt ut fra radien
til de andre sirklene ved relasjonen
(8)
1
r
2
1
+
1
r
2
2
+
1
r
2
3
+
1
r
2
4
= 0
Dette medfører at en av koordinatene i dette systemet blir imaginær.
Vi velger ikke fire vilkærlige sirkler som basis, men setter et standard koordinat-
system. Basiselementene her er x-aksen, y-aksen, enhetssirkelen x
2
+ y
2
−1 = 0, og
den imaginære enhetssirkelen x
2
+ y
2
+ 1 = 0. Vi ser lett at linjene er ortogonale
til hverandre fordi v-avstanden for en rett vinkel er 0. Linjene er også ortogonale
til enhetsirkelen og den imaginære enhetsirkelen fordi linjene går gjennom sentrene
til disse, og dermed blir v-avstanden lik 0. V-avstanden mellom den reelle og den
imaginære enhetsirkelen er gitt ved v =
1
2
+i
2
−0
2
2·1·i
= 0.
Vi bestemmer nå en sirkel (x, y, r) ved denne sirkelens v-avstander til de fire basis-
elementene. V-avstanden til henholdsvis x- og y-aksen er gitt ved α =
y
r
og β =
x
r
.
V-avstanden til enhetssirkelen er gitt fra definisjonen ved γ =
r
2
+1−x
2
−y
2
2r
, og v-
avstanden til den imaginære enhetssirkelen blir δ =
r
2
−1−x
2
−y
2
2i r
. Vektoren til en
sirkel s skriver vi med uthevet skrift s, og denne er da gitt ved
s = s(x, y, r) = (α, β, γ, δ) = (
y
r
,
x
r
,
r
2
+ 1 − x
2
− y
2
2r
,
r
2
− 1 − x
2
− y
2
2i r
)
Vektoren til en linje som skjærer aksene i a og b finnes på lignende vis og er gitt
ved
l = l(a, b) = (
a
√
a
2
+ b
2
,
b
√
a
2
+ b
2
,
ab
√
a
2
+ b
2
,
ab i
√
a
2
+ b
2
)
Det eiendommelige er nå at skalarproduktet mellom to sirkelvektorer gir akkurat
v-avstanden mellom de to elementene disse representerer.
Setning 5 Gitt to sirkler s
1
og s
2
ved sirkelvektorer s
1
og s
2
. Da er v-avstanden
v(s
1
, s
2
) mellom dem gitt ved skalarproduktet mellom sirkelvektorene.
v(s
1
, s
2
) = s
1
· s
2
Bevis. Sirkelvekorene er gitt ved
s
1
= (
x
1
r
1
,
y
1
r
1
,
r
2
1
+ 1 − x
2
1
− y
2
1
2r
1
,
r
2
1
− 1 − x
2
1
− y
2
1
2i r
1
)
s
2
= (
x
2
r
2
,
y
2
r
2
,
r
2
2
+ 1 − x
2
2
− y
2
2
2r
2
,
r
2
2
− 1 − x
2
2
− y
2
2
2i r
2
)
Normat 3/2008 Morten Eide 127
Dette gir
s
1
· s
2
=
x
1
r
1
x
2
r
2
+
y
1
r
1
y
2
r
2
+
(r
2
1
+ 1 − x
2
1
− y
2
1
)
2r
1
(r
2
2
+ 1 − x
2
2
− y
2
2
)
2r
2
+
(r
2
1
− 1 − x
2
1
− y
2
1
)
2i r
1
(r
2
2
− 1 − x
2
2
− y
2
2
)
2i r
2
=
r
2
1
+ r
2
2
− (x
1
− x
2
)
2
− (y
1
− y
2
)
2
2r
1
r
2
som er utrykket for v-avstanden mellom to sirkler.
Skalarproduktet mellom en sirkel og en linje, eller mellom to linjer gir også v-
standene mellom disse elementene.
Vi ser at dette koordinatsystemet for sirkler er enhetlig ved at avstandene mellom
sirkler er av samme art som avstandene til koordinataksene, noe som for eksem-
pel ikke gjelder det kartesiske system. Mange egenskaper til sirkler kan finnes ved
å gå inn på det tetrasykliske koordinatsystemet, men vi vil i det følgende se på
vektorene og deres anvendelser på sirkelteoremer.
Sirkelvektorer
Før vi går inn på konkrete problemstillinger ser vi på de grunnleggende relasjonene
mellom sirkelvektorer som svarer til de geometriske situasjonene som oppstår. Disse
vil gi seg ut fra skalarproduktet mellom to vektorer, eller direkte ut fra v-avstanden
mellom to sirkler.
Når to sirkler tangerer hverandre vil skalarproduktet mellom sirkelvektorene være
±1. Vi finner dette ut fra definisjonene når vi setter inn summen av radiene som
avstand mellom sentrene.
s
1
· s
2
= v(s
1
, s
2
) =
r
2
1
+ r
2
2
− d
2
2r
1
r
2
=
r
2
1
+ r
2
2
− (r
1
± r
2
)
2
2r
1
r
2
= ∓1
Spesielt har vi av dette at en sirkel har skalarprodukt 1 til seg selv, som også vil
si at vektorene er normerte. Når to sirkler er ortogonale til hverandre finner vi at
v-avstanden blir 0.
Det spesielle som kommer i tillegg er at det finnes en vektor Ω = (0, 0, 1, −i). Denne
representerer det såkalte konforme punktet i uendelig, eller grensen for en sirkel
som vokser uendelig ut fra et gitt senter. En sirkel s med senter i origo og radius r
er representert ved vektoren s = (0, 0,
r
2
+1
2r
,
r
2
−1
2ri
). Lar vi radien til denne direkte
vokse mot uendelig vil koordinatene vokse mot uendelig. Deler vi derimot vektoren
med r/2 først, og lar så radien vokse mot uendelig fremkommer vektoren Ω. Vi skal
siden se at vektoren kan oppfattes homogent slik at vi kan gjøre dette (s.129).
Det betydningsfulle i vår sammenheng er at skalarproduktet mellom Ω og en vil-
kårlig sirkelvektor gir den inverse radius til sirkelen.
s · Ω = (
x
r
,
y
r
,
r
2
+ 1 − x
2
− y
2
2r
,
r
2
− 1 − x
2
− y
2
2i r
) · (0, 0, 1, −i) =
1
r
128 Morten Eide Normat 3/2008
Dermed er den inverse radius som så ofte opptrer å oppfatte som et relativt mål på
v-avstanden til sirkelen i uendelig. Forholdet mellom sirklers v-avstander til dette
elementet er gitt ved forholdet mellom de inverse radiene. Dette blir på et vis polart
til avstand ut fra senteret som er gitt ved ordinær radius. Skalarproduktet mellom
en linje og Ω blir da som vi skulle forvente lik 0. Ω skalert med seg selv blir 0 ut
fra definisjonen.
De vesentlige relasjonene kan vi sette opp oversiktlig.
s
1
· s
2
= cos v
12
Cosinus vinkel
s
1
· s
2
= 1 Omsluttende tangering
s
1
· s
2
= −1 Y tre tangering
s
1
· s
2
= 0 Ortogonalitet
s
1
· Ω =
1
r
1
Skalarprodukt med Ω
l
1
· Ω = 0 Linje skalert med Ω
Ω · Ω = 0 Ω skalert med Ω
Det siste vi må gjøre oss bevisst før vi kan anvende denne algebraen er en funda-
mental egenskap fra lineæralgebraen. Denne sier at i et firdimensjonalt vektorrom
kan fire lineært uavhengige vektorer danne basis. Det vil si at en femte vektor alltid
kan bestemmes som en lineærkombinasjon av fire slike ved
t = as
1
+ bs
2
+ cs
3
+ ds
4
I betraktningene videre vil denne fundamentale sammenhengen ligge til grunn, og
ved å finne skalarproduktet mellom denne ligningen og bestemte sirkelvektorer, vil
sirkelteoremene over kunne bestemmes av lineære ligningssystemer. Metoden finnes
hos Daniel Pedoe[4] som behandler Descartes teorem på denne måten. Han viser
videre hen på Grassman.
Arbelosteoremet
Vi ser nå på arbelosteoremet (1) med denne metode. Vi har her to sirkler s
1
og s
2
som tangerer hverandre, og en omsluttedende sirkel s
3
som tangerer begge, og som
har senter på samme linje som den andre. Linjen gjennem sentrene kaller vi l, og
til slutt har vi sirkelen t mellom som tangerer de tre sirklene.
s1
s3
s2
t
l
Vi har dermed fem geometriske elementer, og kan danne relasjon mellom disse
vektorene.
(9) a s
1
+ b s
2
+ c s
3
+ d l = t
Normat 3/2008 Morten Eide 129
Vi skalerer med s
1
a s
1
· s
1
+ b s
2
· s
1
+ c s
3
· s
1
+ d l · s
1
= t · s
1
a − b + c = −1
som gir seg av de ulike relasjonene mellom elementene. Skalering med s
2
og s
3
gir
ligningene −a + b + c = −1 og a + b + c = 1. Fra disse tre ligningene finner vi
at a = 1, b = 1 og c = −1. Vi skalerer til slutt ligningen (9) med l. Linjen er
ortogonal til tre av sirklene, og har v-avstand v = v(l, t) = l · t med t. Dette gir
d = v. Ligningen mellom vektorene blir.
(10) s
1
+ s
2
− s
3
+ vl = t
Skalerer vi denne vektorligningen med Ω vil hver av vektorene bli til den tilsva-
rende inverse radien til den enkelte sirkelen. Skalarproduktet med linjen blir 0, og
vi får utrykket
1
r
1
+
1
r
2
−
1
r
3
=
1
r
t
som er arbelosformelen (2). Her ser vi også grunnen til at Ω kan oppfattes homo-
gent. Vektorlingningen vi er kommet frem til er homogen, og om hele ligningen
multipliseres med en faktor endrer ikke det ligningsutrykket.
Pappos teorem
Pappos teorem vises på en lignende måte, og her kommer variable v-avstander i
betraktning. Vi går ikke i detalj når det gjelder hva som ligger i Pappos teorem,
men henviser til Bengt Ulin[1] og viser bare setningen som ligger til grunn.
Setning 6 Gitt to sirkler s
1
og s
2
som tangerer hverandre, og linjen l mellom deres
sentre. I tillegg har vi to sirkler t
1
og t
2
som tangerer hverandre og begge sirklene.
s1
s2
t2
l
h1
h2
t1
Differansen mellom v-avstandene v
1
= v(t
1
, l) og v
2
= v(t
2
, l) mellom sirklene og
linjen vil da være v
1
− v
2
= ± 2. Dette kan også utrykkes
h
1
r
t1
−
h
2
r
t2
= ±2
130 Morten Eide Normat 3/2008
Bevis: Vi danner en relasjon mellom de fem elementene i dette bildet.
as
1
+ bs
2
+ ct
1
+ dt
2
= l
Vi skalerer med hver av sirklelvektorene og får en liste av ligninger.
I a + b − c − d = 0 .s
1
II a + b + c + d = 0 .s
2
III −a + b + c − d = v
1
.t
1
IV −a + b − c + d = v
2
.t
2
V c v
1
+ d v
2
= 1 .l
Ligningene I og II gir b = −a og d = −c. Av ligningene III og IV får vi videre
a =
v
1
+v
2
4
, b = −
v
1
+v
2
4
, c =
v
1
−v
2
4
og d = −
v
1
−v
2
4
. Vi har også fra ligning V
c =
1
v
1
−v
2
. Sammen med det andre utrykket for c gir dette v
1
− v
2
= ±2 som var
var det vi skulle vise. Fortegnene utrykker symmetrien mellom sirklene t
1
og t
2
, og
velger vi v
1
− v
2
= 2 er vektorligningen mellom sirklene gitt ved
(v
1
+ v
2
)s
1
− (v
1
+ v
2
)s
2
+ t
1
− t
2
= 2l
Skalerer vi denne mot l finner vi nettopp at v
1
− v
2
= 2.
Åttesirkel teoremet
Vi kan vise de andre teoremene på lignende måter. Vi vil imidlertid vise en noe
mer generell form fordi da kommer symmetrien klarere frem. Å gi det en generell
form gjør også at vi enkelt kan utvide til åttesirkelteoremet.
Setning 7 Gitt tre sirkler t
1
, t
2
og t
3
hvor sentrene ligger på samme linje l. Vi
lar i dette tilfellet den midterste sirkelen være størst. Vi finner fire sirkler s
1
til s
4
som tangerer de tre utgangssirklene hvorav ingen par er symmetriske, det vil si at
de ikke speiler hverandre over linjen.
t1
t2
t3
s1
s2
s3
s4
l
Relasjonen mellom vektorene er da gitt ved
(11) s
1
− s
2
− s
3
+ s
4
= (v
1
− v
2
− v
3
+ v
4
)l
der v
1
til v
4
er cosinus til vinklene mellom sirklene og linjen.
Relasjonen mellom de inverse radiene til sirklene blir
(12)
1
r
1
−
1
r
2
−
1
r
3
+
1
r
4
= 0
Normat 3/2008 Morten Eide 131
Bevis: I denne strukturen har vi å gjøre med åtte geometriske elementer, de tre
utgangssirklene, fire appolloniussirkler og linjen. Det spesielle nå er at vi danner
en vektorligning av fem av disse, men vi vil også skalere med de andre. Vi danner
da en vektorligning med de fire appoloniussirklene og linjen
as
1
+ bs
2
+ cs
3
+ ds
4
= l
Vi skalerer med de tre utgangsirklene som gir ligningene
a + b − c − d = 0 /.t
1
a + b + c + d = 0 /.t
2
a − b + c − d = 0 /.t
3
Disse ligningene gir d = −c = −b = a som fører til
s
1
− s
2
− s
3
+ s
4
=
1
a
l
Når denne skaleres med l finner vi utrykk for
1
a
s
1
· l − s
2
· l − s
3
· l + s
4
· l =
1
a
l · l
⇒ v
1
− v
2
− v
3
+ v
4
=
1
a
og vi får ligningen vi skulle vise. Spesielt får vi en sammenheng mellom de inverse
radiene når vi skalerer med Ω.
Vi kan nå legge merke med at vi i stedet for linjen kunne hatt en sirkel orto-
gonal til de tre utgangssirklene, og vi ville fått akkurat samme resultat. Vi kan
skrive
s
1
− s
2
− s
3
+ s
4
= (v
1
− v
2
− v
3
+ v
4
)s
o
der ortogonalsirkelen er gitt ved fire av appoloniussirklene. Tar vi utgangspunkt i de
fire andre appoloniussirklene får vi samme utrykk, men da skifter de fire avstandene
fortegn
s
5
− s
6
− s
7
+ s
8
= (−v
1
+ v
2
+ v
3
− v
4
)s
o
Sammenholder vi de to utrykkene får vi
s
1
− s
2
− s
3
+ s
4
+ s
5
− s
6
− s
7
+ s
8
= 0
Summen av vektorene til de åtte appoloniussirklene blir dermed null når vi tar
hensyn til fortegnene. Skalert med Ω får vi relasjonen mellom radiene.
For å komplettere sammenhengen må vi til slutt vise at symmetriske appolonius-
sirkler skjærer ortogonalsirkelen med samme vinkel med motsatt fortegn.
132 Morten Eide Normat 3/2008
Setning 8 Gitt tre sirkler s
1
, s
2
og s
3
ortogonalsirkelen s
o
til disse, og to sym-
metriske appoloniussirkler t
1
og t
2
.
Da vil avstanden eller vinkelen mellom ortogonalsirkelen og appoloniussirklene være
den samme, men med motsatt fortegn.
Bevis: Gitt de tre utgangssirklene, og to appoloniussirkler. Vi danner vektorlignin-
gen
as
1
+ bs
2
+ cs
3
+ dt
1
= t
2
Vi skalerer med de to appolonniussirklen og får vi ligningene −a + b − c + d = v
og −a + b − c + dv = 1. Disse ligningene gir d = −1 og vi kan sette
as
1
+ bs
2
+ cs
3
= t
1
+ t
2
Vi skalerer så denne ligningen med ortogonalsirkelen o, som gir 0 = v
os
1
+ v
os
2
og
vi ser at vinklene mellom appoloniussirklene og ortogonalsirkelen er like store med
motsatt fortegn.
Referanser
[1] Bengt Ulin, Pappus - en proportionernas jonglör , Normat No. 1 2006
[2] Karen Sofie Ronæss, Arkimedes’ arbelos , Normat No. 4 2007
[3] Chris Doran, Antony Lasenby, Joan Lasenbye, Conformal geometry, Euclidean
space and geometric algebra, Cambridge University, Mars 2002
[4] Daniel Pedoe, On a Theorem in Geometry,The Amer. Math. Monthly, Vol. 74, No.
6 (Jun. - Jul., 1967), s. 627-640
[5] Felix Klein, Vorlesungen ¨uber h¨ohere Geometrie, Berlin, Verlag von Julius Springer
1926 (Første utgave 1893)
[6] William Kingdon Clifford, On the power of spheres, 1868
[7] R. Lachlan, On Systems of Circles and Spheres, Proceedings of the Royal Society of
London, Vol. 40.(1886),s.242-245
[8] Morten Eide, Sirklers metriske relasjoner, Masteroppgave Uio 2007