Normat 56:3, 133–135 (2008) 133
Periodiska decimalbråksutvecklingar
Ulf Persson
Matematiska vetenskaper
Chalmers
ulfp@math.chalmers.se
Betrakta decimalbråksutvecklingen av ett rationellt tal p/q. Som alla vet är denna
utveckling periodisk, ty i divisionen med q kan endast ett ändligt antal rester
1, 2, 3 . . . q − 1 förekomma, och så fort en rest återkommer, börjar processen om
igen. Av detta sluter vi att periodens längd är högst q − 1. Bråk med maximal
periodlängd förekommer, det enklaste fallet är 1/7 = 0.142857..... med perioden
sex. Huruvida det finns oändligt många sådana bråk är en subtil fråga. Vi noterar
att den periodiska decimalbråksutvecklingen kan antingen vara ’ren’ som exemplet
ovan eller ännu elementärare 1/3 = 0.333... eller ’sammansatt’ som 1/6 = 0.16666.
Det är lätt att inse att rena utvecklingar endast förekommer om (q, 10) = 1 och
0 < p < q (vi begränsar oss till positiva tal), vilket vi från och med nu kommer att
underförstå. För de rena utvecklingarna är det naturligt att skriva utvecklingen i
cykelform, d.v.s. utan specific början. Notera att
1/7=0,142857.. 2/7=0,285714.. 3/7=0,428571..
4/7=0,571428.. 5/7=0,714285.. 6/7=0,857142..
ur vilket vi ser att utvecklingarna utgör cykliska permutationer av varandra. Kän-
ner vi det för ett bråk, sluter vi det för alla de andra med samma nämnare, förutsatt
att perioden är maximal
1
. Detta blir något tydligare med följande bild som illu-
strerar fallen q = 7, 17
1
1
4
3
2
2
8
6
5
4
7
5
0
1
5
10
8
15
8
14
2
4
3
6
5
9
2
5
9
16
4
7
1
2
1
3
7
13
6
11
4
8
7
12
Figur 1: De yttre siffrorna skall läsas medsols, och för p/q skall vi börja vid den
angivna inre (feta) siffran p. T.ex. 13/17 ger således 0, 7647058823526411...
1
I det allmänna fallet partitioneras resterna i disjunkta delmängder var och en hörande till en
period vars längd är lika med antalet rester i delmängden.
134 Ulf Persson Normat 3/2008
Hur får vi fram de feta siffrorna? Dessa är helt enkelt potenserna 1, 10, 10
2
, . . . av 10
modulo q, d.v.s. element av den multiplikativa gruppen
2
Z
∗
q
av inverterbara element
i Z
q
. Denna grupp har högst q − 1 element, och likhet om och endast om q är ett
primtal. Maximal period kan således endast förekomma för q primtal, och i detta
fall är gruppen cyklisk. Vi kan omformulera maximaliteten i termer av ordningen av
10 i gruppen, nämligen denna inträffar om och endast om 10 har maximal ordning,
d.v.s. genererar gruppen. Sådana element brukar benämnas primitiva. Det är lätt
att göra en tabell över primtal för vilka 10 är ett primitivt element, och man
förväntar sig att dessa skall utgöra en positiv bråkdel av alla primtal. Vi har redan
träffat på p = 7, 17 andra exempel är 19, 23, 29, . . . 61, . . . 257, . . . 65537. Det finns
467 sådana primtal under 10
0
000. Vi skall återkomma till dessa.
Följden av siffror i decimalutvecklingarna synes helt slumpartad fastän proces-
sen är helt deterministisk, och även om utvecklingen av 1/65537 har 65536 = 2
16
siffror i sin period, är informationsmängden inte större än i talet 65537 självt. Dock
det visar sig att decimalutvecklingen har dolda strukturer. Skriver vi upp följden
av sekvensen av potenser kommer den mittersta att vara −1 (Under förutsättning-
en att ordningen av 10 är jämn) motsvarande talet q − 1 som således kommer att
befinna sig antipodalt och dess utveckling (q − 1)/q kommer att vara förskjuten
precis en halv periodlängd m.a.p. utvecklingen av 1/q. Summan av de bägge talen
1/q och (q − 1)q är givetvis 1 = 0.99999 . . . , d.v.s. om periodlängden är 2P och s
n
betecknar den n : te siffran i utvecklingen gäller s
n
+ s
P +n
= 9. Känner man en
sammanhängande halva av perioden, kan vi således beräkna den andra halvan. Up-
penbara generaliseringar av detta kan formuleras och bevisas analogt och överlåtes
åt läsaren.
Om vi nu återgår till primtalen med maximal period observerar man alla tal före-
kommer lika många gånger. Detta är en sanning med modifikation, ty om q 6= 1(10)
är detta uppenbarligen omöjligt. Det precisa påståendet är att varje tal förekommer
åtminstone b
q −1
10
c gånger och högst d
q −1
10
e (där bxc är det största heltal n sådant
att n ≤ x och analogt för dxe(= −b−xc)). Läsaren kan lätt verifiera detta antingen
för hand eller med dator för större tal. Eller göra ett mer eller mindre kort uppehåll
i läsandet nu, och bevisa det.
Hur får vi dessa siffror s
n
och hur är de relaterade till de konsekutiva resterna
r
n
? Relationen är helt enkelt s
n
= b(10 × r
n
)/qc vilket följer direkt ur divisions-
algoritmen. Om nu perioden är av maximal längd, kommer alla möjliga rester
förekomma en och endast en gång, och i det öppna intervallet (0, 1) kommer de
att vara likformigt placerade via r 7→ r/q, speciellt kommer de att hamna i tio
olika boxar motsvarande de tio olika siffrorna 0, 1, 2 . . . 9, där siffran s korrespon-
derar mot det öppna intervallet (s/10, s/10 + 0.1). Antalet rester i en viss box
motsvarar precis antalet gånger siffran s dyker upp i utvecklingen. Hur räknar vi
antalet rester i en box? Om boxen motsvarar s vill vi finna antalet heltal r så-
dana att sq < 10r < (s + 1)q eller ekvivalent sq + 1 ≤ 10r ≤ (s + 1)q − 1 or
s(q/10) + 0.1 ≤ r ≤ (s + 1)(q/10) − 0.1. Intervallets längd x är ett icke-heltal
q −2
10
och antalet heltal i det är följaktligen begränsat nedåt och uppåt av bxc och dxe
respektive. (Eftersom d
q −2
10
e ≥ d
q −1
10
e och ifall q 6= 1(10) b
q −2
10
c ≥ b
q −1
1
0c följer
det hela.)
2
Vi antar ju (q, 1) = 1
Normat 3/2008 Ulf Persson 135
Vi kan illustrera detta med q = 7, de relevanta intervallen är således
0 1 2 3 4
(0,0.7) (0.7,1.4) (1.4,2.1) (2.1,2.8) (2.8,3.5)
5 6 7 8 9
(3.5,4.2) (4.2,4.9) (4.9,5.6) (5.6,6.3) (6.3,7)
Vi ser att de enda intervallen som innehåller heltal är 1, 2, 4, 5, 7, 8 precis de sex tal
som förekommer i decimalutvecklingen. Vi kan kalla dessa intervall för de ’abun-
danta’. Ett ögonblicks eftertanke bör övertyga läsaren om att vi skulle få exakt
samma abundanta intervall för varje primtal med maximalperiod och som slutar
på 7. Således bör varje siffra i utvecklingen av 1/17 uppkomma minst en gång,
och siffrorna 1, 2, 4, 5, 7, 8 är precis de siffror som förekommer två gånger. Och inte
nog med detta, i utvecklingen av 1/65537 förekommer 65536 siffror i utvecklingen,
varje siffra förekommer åtminstone 6553 gånger, och sex siffror (de ovan nämnda)
förekommer 6554 gånger.
Men argumenten ovan är tillämpbara inte bara till enstaka siffror utan godtyck-
liga sifferkombinationer. Speciellt bör varje kombination av två siffror förekomma
antingen 655 gånger eller 656 gånger, av de hundra möjligheterna tillhör 64 den
första och 36 den andra. Hur kan vi finna de abundanta siffrorna? Betrakta de
hundra öppna intervallen
(0, 0.37), (0.37, 0.74), (0.74, 1.11) . . . (36.63, 37)
vilka (36) av dessa innehåller heltal? Vi ser att kombinationen 02 korresponderar till
en sådan, och förekommer således 656 gånger. Vad kan vi säga om kombinationen
27? Den korresponderar till intervallet som begränsas underifrån av 27×0.37 = 9.99
således kommer det att innehålla ett heltal och vara abundant. Vi inser också att
två konsekutiva kombinationer kan inte båda vara abundanta, ty 2 × 0.37 < 1
medan av tre konsekutiva kombinationer är åtminstone en abundant, och det kan
förekomma att både den första och sista kan vara abundanta. Läsaren kan leka
vidare. Med andra ord dessa tillsynes slumpartade följder av siffror är underställda
ett otal regler som vi knappast skulle kunna vara förmögna att tillfredställa finge
vi uppgiften att skriva ner en räcka med siffror och pröva oss fram.
Nu är det givetvis ingenting heligt med basen tio, varje bas kan utnyttjas, med
de erforderliga modifikationerna. Speciellt basen två är intressant. Följden av ettor
och nollor kan liknas med en slantsingling, dock med den ovan anförda symmetrin
vilket gör andra halvan av perioden en negativbild av den första. Men är sekvensen
riktigt slumpartad, förekommer långa följder av ettor och nollor? Tag exemplet
q = 491 = 111101011, dess binära utveckling har 9 siffror, detta motsvarar 2
9
= 512
kombinationer, av vilka vi förväntar oss en majoritet (491) att förekomma, dock
ej av uppenbara skäl den första 000000000 och sista 111111111. Däremot bör det
finnas exakt en 00000000 och en 11111111 med åtta siffror. Detta kan givetvis
generaliseras om 2 är en primitiv rot till q kommer vi att förvänta oss precis en
följd av k ettor (och nollor) där k = blog
2
qc. Detta är även storleksordningen vi
kan förvänta oss rent statistiskt för en slumpvis följd av ettor och nollor.
