166 Normat 56:4, 166–176 (2008)
Generalisering av det gylne rektangel til
høyere dimensjoner
Olav B. Skaar
Fakultet for teknologi og realfag
Univeritetet i Agder
Servicebox 422, N-4604 Kristiansand
Norge
olav.b.skaar@uia.no
1 Innledning
Det gylne snitt og det gylne rektangel er velkjente begreper innen matematikk, arki-
tektur og kunst. Men hvordan kan disse begrepene utvides og generaliseres? Eller
mer spesifikt: Hvilken tredimensjonal figur tilsvarer best det gylne rektangel? Et
alternativ kunne være den figuren som Huntley i 1962 [2], [3] introduserte som den
gylne kuboide (eng. golden cuboid). Han brukte betegnelsen om et rettvinklet pa-
rallellepiped hvor fire av sideflatene var gylne rektangler. Men som vi skal se senere
synes denne kuboiden i liten grad å ha de egenskapene som naturlig generaliseres
fra det gylne rektangel. Den betegnes derfor i fortsettelsen for Huntley-kuboiden.
Vi ser først på det gylne snitt og en utvidelse av dette til å gjelde deling av et
linjestykke i mer enn to deler. Forholdet mellom dets lengder defineres analogt til
det gylne snitt, men dets størrelse vil endre seg og ha relasjon til de generaliserte
Fibonacci-konstanter. Det gylne rektangel generaliseres til høyere dimensjoner. Vi
ser spesielt på hvordan egenskapen - at fjerning av største kvadrat gir et nytt gyllent
rektangel - kommer til uttrykk i høyere dimensjoner.
2 Det gylne snitt med generalisering
Vi bruker en vanlig definisjon:
Definisjon 2.1 (Det gylne snitt) Når et linjestykke deles i to slik at lengden av
hele linjestykket forholder seg til den største delen som den største del forholder seg
til den minste, kalles dette forholdet det gylne snitt.
En sier også at linjestykket er delt i det gylne snitts forhold, eller er høydelt.
I figur 1 er delenes lengder a
1
og a
2
, og definisjon 2.1 gir:
a
1
+a
2
a
1
=
a
1
a
2
= φ
2
. Dette
gir følgende likning for kvotienten φ
2
: φ
2
2
− φ
2
− 1 = 0, med positiv rot
φ
2
=
1 +
√
5
2
= 1.61803 . . .
Normat 4/2008 Olav B. Skaar 167
Figur 1: Deling av et linjestykke med det gylne (mono)snitt.
Om en deler et linjestykke i tre deler analogt med todelingen i det gylne snitt, bør
det være slik at:
Definisjon 2.2 (Det gylne dobbeltsnitt) Når et linjestykke deles i tre slik at
lengden av hele linjestykket forholder seg til den største del, som denne forholder seg
til den mellomste del, som denne igjen forholder seg til den minste, kalles forholdet
det gylne dobbeltsnitt og betegnes φ
3
.
Figur 2: Deling av et linjestykke med et gyllent dobbeltsnitt.
Om delenes lengder er a
1
, a
2
og a
3
får en:
a
1
+a
2
+a
3
a
1
=
a
1
a
2
=
a
2
a
3
= φ
3
. Dette gir
følgende likning for kvotienten φ
3
: φ
3
3
− φ
2
3
− φ
3
− 1 = 0, med eneste reelle rot
φ
3
=
1
3
1 +
3
q
19 − 3
√
33 +
3
q
19 + 3
√
33
= 1.83928 . . .
En naturlig generalisering av det gylne snitt ville være å dele et linjestykke i n ulike
stykker og bestemme deres relative lengder med tilsvarende proporsjoner som for
det gylne snitt:
(1)
a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
a
1
=
a
1
a
2
=
a
2
a
3
= . . . =
a
(n−1)
a
n
= φ
n
Figur 3: Deling av et linjestykke med et gyllent (n-1)-snitt.
Her er n et naturlig tall > 1, og linjestykkene er nummerert fra en kant.
Siden det er forholdstall som skal bestemmes, kan vi velge:
168 Olav B. Skaar Normat 4/2008
(2) a
n
= 1
Av (1) og (2) finner vi:
(3) a
n−1
= φ
1
n
, a
n−2
= φ
2
n
, . . . , a
n−(n−1)
= a
1
= φ
n−1
n
og (a
1
+a
2
+. . .+a
n
) = φ
n
n
Av (2) og (3) får vi likningen:
(4) φ
n
n
− φ
n−1
n
− φ
n−2
n
− . . . − φ
n
− 1 = 0
hvor φ
n
er den eneste reelle positive roten. For å vise dette kan vi omforme (4)
ved å bruke formelen for summen av en geometrisk rekke forutsatt at φ
n
6= 1,
multiplisere med nevneren φ
n
- 1 og får likningen: φ
n
n
(φ
n
−2) + 1 = 0. Funksjonen
f(x) = x
n
(x−2)+1 vil ha sitt minimum mellom 1 og 2, nemlig for x
0
= 2n/(n + 1)
der f(x
0
) < 0. For x > x
0
vil funksjonen være monotont voksende, og blir raskt
positiv, for eksempel er f(2) > 0. Vi ser dermed at (4) har nøyaktig én positiv
rot som er i området < 1, 2].
Mustonen presenterer i [5]: Extension of Golden Section to multiple-partite divi-
sion of a line segment denne enkle generaliseringen av det gylne snitt. Han antyder
også at en tidligere betegnelse (eng.): division in continuous proportion, indikerer
at en også tidligere har tenkt slik, og føyer til:
However, a bigger surprise is that our simple geometric generalization
of the Golden Section seems to be neglected in earlier literature.
Jeg har her som Mustonen [5] brukt notasjonen φ
2
for det gylne snitt. φ
3
bør kunne
kalles det gylne dobbeltsnitt, og φ
4
for det gylne trippelsnitt. I det hele bør φ
n
kunne
kalles det gylne forhold for sine respektive (n-1)-snitt.
3 Det gylne snitt anvendt på det gylne rektangel
Adjektivet ”gylne” er blitt knyttet til flere plane figurer [1],[4]. Det gjelder rek-
tangel, trekant, ellipse med flere. Felles for dem er at forholdet mellom to sentrale
avstander er lik det gylne snitts forhold. Det gylne rektangel er klart mest omtalt
og kan defineres slik:
Definisjon 3.1 (Det gylne rektangel) I et gyllent rektangel forholder summen
av lengdene til de to ulike sidekantene seg til den lengste som den lengste til den
korteste.
I figur 4 illustreres den velkjente egenskapen at når en høydeler et gyllent rek-
tangel, vinkelrett på lengste side, dannes et kvadrat og et nytt gyllent rektangel.
Normat 4/2008 Olav B. Skaar 169
Figur 4: Et gyllent rektangel med gjentatte fradelinger av kvadrater.
Fjerner vi det størst mulige kvadrat fra et gyllent rektangel vil resten også være
et gyllent rektangel. Ved gjentatte høydelinger av de nydannede gylne rektanglene
framkommer en figur med kvadrater og omriss av gylne rektangler som blir mindre
og mindre. Arealforholdet mellom et kvadrat og det neste, og mellom et rektangel
og det neste er φ
2
2
= 2, 61803 . . .
4 Det gylne dobbeltsnitt anvendt på en gyllen kuboide
En kuboide [10] er et rektangulært parallellepiped, en kompakt, konveks figur av-
grenset av seks rektangulære sideflater. Den vil være den tredimensjonale analoge
figur til et rektangel siden den kan genereres av et rektangel som sveiper over en
del av rommet ved å parallellforskyves et stykke vinkelrett på det plan det ligger i.
Definisjon 4.1 (Den gylne kuboide) I en gyllen kuboide forholder summen av
lengdene til de tre ulike sidekantene seg til den lengste som den lengste til den
mellomste, som den mellomste til den korteste.
1
Relasjonene mellom forholdene kan uttrykkes som i (5) hvor kantlengdene refererer
til figur 5.
Vi vil dele en gyllen kuboide med to parallelle plan vinkelrette på den lengste
sidekanten (høyde a i figur 5) i kuboiden. Ved det gylne dobbeltsnitt av a blir det
da dannet tre kuboider med samme grunnflater bc men med gradvis mindre høyder
a
1
, a
2
og a
3
. Den gylne kuboide er nå delt slik at en med hensyn til volum kan si:
Hele kuboiden forholder seg til den største delen, som den største til den mellomste,
som den mellomste til den minste.
1
Denne definisjonen samsvarer ikke med Huntleys kuboide.
170 Olav B. Skaar Normat 4/2008
Figur 5: En gyllen kuboide delt i tre ved et gyllent dobbeltsnitt av lengste sidekant.
Vi vil vise at den minste kuboiden i figur 5 også er en gyllen kuboide og bruker
følgende:
(5)
a + b + c
a
=
a
b
=
b
c
= φ
3
(Gyllen kuboide, definisjon 4.1)
(6)
a
1
+ a
2
+ a
3
a
1
=
a
1
a
2
=
a
2
a
3
= φ
3
(Gyllent dobbeltsnitt av lengste sidekant)
(7) a
1
+ a
2
+ a
3
= a
Av (5), (6) og (7) får vi
(8) a
1
= b, a
2
= c og a
3
= c/φ
3
Setter vi inn fra (8) i (6) får vi
(9)
b + c + a
3
b
=
b
c
=
c
a
3
= φ
3
Dette viser at den minste kuboiden bca
3
er en gyllen kuboide i følge definisjon 4.1.
Vi kan uttrykke dette i:
Setning 4.1 Om en gyllen kuboide deles med et gyllent dobbeltsnitt vinkelrett på
lengste kant, vil den minste delen være en ny gyllen kuboide. Den største og mel-
lomste delen vil inneholde kvadratiske flater og være kvadratiske kuboider (kvadra-
tiske rettvinklede parallellepiped).
Kort uttrykt:
Om en fra en gyllen kuboide fjerner den største, og så igjen den størst mulige kvad-
ratiske kuboide med kvadrater fra ulike sideflater, vil resten være en gyllen kuboide.
Normat 4/2008 Olav B. Skaar 171
Alle kuboidene her har samme grunnflate, bc. Siden forholdet mellom høydene
(6) er φ
3
vil volumforholdet mellom en kuboide og den påfølgende mindre også
være φ
3
= 1, 83928 . . . Vi lar: GK betegne Gyllen Kuboide, SKK betegne Stor
Kvadratisk Kuboide og LKK betegne Liten Kvadratisk Kuboide. Ved stadig å bruke
det gylne dobbeltsnitt på de framkomne GK vil en kunne få en sekvens av kuboider
hvor volumforholdet mellom en kuboide og den neste er
φ
3
: GK
1
, SKK
1
, LKK
1
, GK
2
, SKK
2
, LKK
2
, GK
3
, SKK
3
, LKK
3
, GK
4
, . . .
Volumforholdet mellom en GK og den neste GK er φ
3
3
= 6, 22226 . . .. Det samme
forholdet er det også mellom en SKK og neste SKK og mellom en LKK og den
neste LKK i sekvensen. Men det lineære forholdstallet mellom GK og den neste
er φ
3
= 1, 83928 . . . (c/a
3
på figur 5).
5 Den gylne hyperkuboide og dens oppdeling
En hyperkuboide [10], [11] er en n-dimensjonal analog til et rektangel (n = 2) og
en kuboide (n = 3). Det er en lukket, kompakt, konveks figur bestående av grup-
per av motstående parallelle linjestykker, kanter, pekende i hver av rommenes n
dimensjoner, vinkelrett på hverandre.
For n > 3 mister vi den visuelle forestillingen av rom, men kan like fullt gi mate-
matiske beskrivelser. Verktøyet blir vektorrom.
Vi vil beskrive n-kuboiden i et n-dimensjonalt euklidsk rom R
n
[8], [12]. Det er
et n-dimensjonalt vektorrom over skalarkroppen R, som består av alle n-tupler
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) hvor x
i
er et reelt tall. Det kalles også for reelt koordinatrom og har
en standard basis
e
1
= (1, 0, . . . , 0), e
2
= (0, 1, . . . , 0), . . . , e
n
= (0, 0, . . . , 1) som bestemmer aksene.
Rommet er utstyrt med et standard indre produkt som mellom to vektorer x og y
er definert ved
x · y =
P
n
i=1
x
i
y
i
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
n
y
n
Skalarproduktet brukes til å definere lengden av en vektor
kxk =
√
x · x =
p
P
n
i=1
(x
i
)
2
og også til å definere vinkelen mellom to vektorer.
Spesielt er to vektorer x og y ortogonale når x · y = 0.
Vi tenker oss en n-kuboide plassert med ett av hjørnene i koordinatsystemets origo
og med kuboidens sidekanter i akseretningene. En n-kuboide i et Euklidsk n-rom
med sidekanter a
1
, a
2
, . . . , a
n
vil består av punktene
{(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
| 0 ≤ x
i
≤ a
i
}
Definisjon 5.1 (Den gylne hyperkuboide) Vi kaller en n-dimensjonal hyper-
kuboide med sidekanter a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
for en gyllen hyperkuboide hvis følgende
forhold gjelder:
(10)
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ··· + a
n
a
1
=
a
1
a
2
=
a
2
a
3
= . . . =
a
(n−1)
a
n
= φ
n
172 Olav B. Skaar Normat 4/2008
Siden uttrykkene (10) og (1) er like, får vi her samme løsning for φ
n
som ved
generaliseringen av det gylne snitt i kapittel 2, og vi bruker derfor samme symbol
φ
n
. Analogt til oppdelingen av det gylne rektangel (figur 4) og den gylne kuboide
(figur 5) vil vi nå dele den gylne n-kuboiden med et gyllent (n-1)-snitt vinkelrett
på lengste kant a
1
slik at denne sidekanten da blir delt i n stykker av lengde
a
2
, a
3
, a
4
, . . . , a
n
og a
n
/φ
n
. (Dette kan vises analogt til oppdelingen av den gylne
kuboide i kapittel 4.)
Kvadratisk kuboide nummer k, hvor 2 ≤ k ≤ n, består av punktene:
{(x
k
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
) ∈ R
n
| 0 ≤ x
i
≤ a
i
}
Vi ser av det generelle n-tupleruttrykket for koordinatene at kuboiden for de ak-
tuelle verdier av k vil få to like sidekanter. Disse danner et kvadrat siden de peker
i hver sine akseretninger og følgelig står vinkelrett på hverandre.
Den siste avdelte kuboiden er en gyllen kuboide som består av disse punktene:
{(x
n
/φ
n
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
) ∈ R
n
| 0 ≤ x
i
≤ a
i
}
Figur 4 (n = 2) Figur 5 (n = 3) (n)
Geometrisk Gyllent rektangel Gyllen kuboide Gyllen n−kuboide
figur Areal: ab Volum: abc Innhold: a
1
a
2
· · · a
n
Ortogonale 2 3 n
sidekanter (a og b) (a, b og c) (a
1
, a
2
, . . . a
n−1
og a
n
)
Rand 2 par like linjestykker 3 par like rektangler n par like
Lengdene: a og b Areal: ab, ac og bc (n-1)-kuboider
Antall snitt 1 snitt ( vinkelrett 2 snitt ( vinkelrett (n-1) snitt (vinkelrett
på lengste kant ) på lengste kant ) på lengste kant)
Snittene er Minste side i Minste side i Minste (n-1)-kuboide i
like store rektangelet. kuboiden. n-kuboiden.
som Lengde: b Areal: bc Innhold: a
2
a
3
· · · a
n
Avskårne 1 kvadrat 2 kvadratiske n-1 kvadratiske
deler kuboider. n-kuboider. Innhold:
Areal: bb Volum:bbc ogccb a
2
a
2
· · · a
n
, a
3
a
2
· · · a
n
,
. . . , a
n
a
2
· · · a
n
Randa 4 like linjestykker 4 like rektangelflater 4 like (n-1)-kuboider
omkring lik snittet lik snittet lik snittet
kvadratene Lengde: b Areal: bc Innhold: a
2
a
3
· · · a
n
Resten Et gyllent rektangel En gyllen kuboide En gyllen n-kuboide
Areal: bb/φ
2
Volum: bcc/φ
3
Innh.: a
2
a
3
· · · a
n
a
n
/φ
n
Tabell 1: Sammenlikning av antall analoge deler i et gyllent rektangel, en gyllen
kuboide og en gyllen hyperkuboide.
En oppsummerende sammenlikning av analoge elementer ved oppdeling av de gylne
figurene: rektangel, kuboide og hyperkuboide finnes i tabell 1. Det framgår her at når
vi går fra et gyllent rektangel til en gyllen figur av en høyere dimensjon så vil antall
deler som øker, øke med en for hver dimensjon vi går opp. Det er spesielt interessant
å merke seg at ved å anvende det gylne (n-1)-snitt på en gyllen n-kuboide vil en i
alle de n-1 n-kuboidene som fradeles være kvadratiske n-kuboider. For n > 1 går
derfor kvadratformen igjen i alle figurer som fradeles i alle n dimensjoner. Resten
inneholder ikke kvadrat(er) men er en ny gyllen figur i dimensjon n som er φ
n
n
-delen
av innholdet i utgangsfiguren, og det lineære forholdstall er φ
n
. Vi har ikke definert
det gylne snitt for n = 1 siden vi da har null snitt. Hadde vi gjort det ville etter
(1) a
1
/a
1
= φ
1
= 1 som ville innebære at alle rette linjestykker da ville være gylne.
Normat 4/2008 Olav B. Skaar 173
6 Gradvis tilnærming til gylne figurer
Det er en velkjent sammenheng mellom Fibonacci-tallene (F): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21,. . . og det gylne snitt, for: Fibonacci-konstant = lim
n→∞
(F
n
/F
n−1
) = φ
2
=
1, 61803 . . .
Tribonacci-tallene (T): 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, . . . genereres ved at
T
k
= T
k−1
+ T
k−2
+ T
k−3
for k = 4, 5, 6, . . .
Det er også kjent at: : Tribonacci-konstant = lim
n→∞
(T
n
/T
n−1
) = φ
3
=
1, 83928 . . .
Vi tenker oss nå en rekke med kuboider med Tribonacci-tall som kanter med
generell formel for volumet K
n
= T
n
T
n+1
T
n+2
for n = 1, 2, 3, . . .
Forholdet mellom kantene i K
n
går mot φ
3
når n går mot uendelig, og formen
på K
n
nærmer seg mer og mer en gyllen kuboide.
I kapittel 4 gikk vi fra en gyllen kuboide til en mindre ved å fjerne to kvadratiske
kuboider. Nå kan vi gjøre det motsatte. Vi starter med K
n
og føyer til to kvadratiske
kuboider på samme side for å få K
n+1
.
K
n
+ LKK
n
+ SKK
n
= T
n
T
n+1
T
n+2
+ T
n+1
T
n+1
T
n+2
+ T
n+1
T
n+2
T
n+2
=
= (T
n
+ T
n+1
+ T
n+2
)T
n+1
T
n+2
= T
n+1
T
n+2
T
n+3
= K
n+1
Figur 6: Figuren viser en gradvis oppbygging av kuboiden K
n
fra n = 1 til n = 5.
Kees van Prooijen [7] har fotografert en gitterformet gjennomsiktig kuboide som
gradvis er bygd opp av mindre kuboider med trespiler som sidekanter. Kantleng-
dene er hentet fra Tribonacci-serien med oddetall: 1, 1, 1, 3, 5, 9, . . . . Men her er
LKK og SKK ikke føyd til på samme side. Han har valgt å gjengi noen fotografier
av originalbilder ved å bruke pikseltall på 5000 x 2718 og 1250 x 680 hvor forholds-
tallet blir meget nær φ
3
= 1, 83928 . . .. Ved å følge lenken: ”function movements”
i artikkelen kan en få studere de fargerike og musikkinspirerte bildene som jo har
form av φ
3
-rektangler.
Generelt definerer vi en n-stegs Fibonacci-rekke
n
F
(n)
k
o
∞
k=1
hvor F
(n)
k
= 0 for
k ≤ 0 , F
(n)
1
= F
(n)
2
= 1, hvor det generelle ledd er: F
(n)
k
=
P
n
i=1
F
(n)
k−i
for k > 2.
F
(n)
k
= F
(n)
k−1
+ F
(n)
k−2
+ . . . + F
(n)
k−(n−1)
+ F
(n)
k−n
. Divisjon med F
(n)
k−n
gir
174 Olav B. Skaar Normat 4/2008
F
(n)
k
F
(n)
k−1
·
F
(n)
k−1
F
(n)
k−2
· . . . ·
F
(n)
k−(n−1)
F
(n)
k−n
=
F
(n)
k−1
F
(n)
k−2
·
F
(n)
k−2
F
(n)
k−3
· . . . ·
F
(n)
k−(n−1)
F
(n)
k−n
+
F
(n)
k−2
F
(n)
k−3
·
F
(n)
k−3
F
(n)
k−4
· . . . ·
F
(n)
k−(n−1
F
(n)
k−n
+ . . . +
F
(n)
k−n
F
(n)
k−n
.
Setter inn grenseverdiene lim
k→∞
(F
(n)
k
/F
(n)
k−1
) = φ
n
for brøkene og ordner til
φ
n
n
− φ
n−1
n
− φ
n−2
n
− . . . − φ
n
− 1 = 0
Dette er samme likning som (4), og har derfor som rot samme positive reelle tall.
Konstanten for det gylne n-snitt er derfor lik tilsvarende (n+1)-anacci-konstant =
φ
n+1
. Tabell 2 gir oversikt.
n navn Fibonacci n−stegs rekker n-anacci-konstant= Snittnavn
det gylne (n-1)-sntt Det gylne -
1 (degenerert) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,. . . φ
1
= 1 (ikke snitt)
2 Fibonacci-tall 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. . . φ
2
= 1, 61803 . . . (mono)snitt
3 tribonacci-tall 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,. . . φ
3
= 1, 83928 . . . dobbeltsnitt
4 tetranacci-tall 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108,. . . φ
4
= 1, 92756 . . . trippelsnitt
5 pentanacci-tall 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120,. . . φ
5
= 1, 96594 . . . tetrasnitt
6 heksanacci-tall 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125,. . . φ
6
= 1, 98358 . . . pentasnitt
7 heptanacci-tall 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127,. . . φ
7
= 1, 99196 . . . heptasnitt
. . .
n
∞
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,. . . φ
∞
= 2
Tabell 2: Fibonacci n-stegs tall, n-anacci-konstanter og gylne n-snitt.
7 Beslektede figurer
Figur 7 : Huntley-kuboiden fra [3].
Normat 4/2008 Olav B. Skaar 175
Kuboiden som Huntley presenterte i en artikkel i 1962 [2] og senere i sin bok [3] er
vist i figur 7. Den hadde sidekanter på φ, 1 og 1/φ (φ = φ
2
) med et volum på 1 og
en diagonal på 2. Den oppfyller ikke kravene i definisjon 4.1 til en gyllen kuboide.
Den kan betegnes som en φ
2
-kuboide siden forholdet mellom par av kanter er φ
2
.
Om den deles opp som på figur 7, og det fjernes to like store kvadratiske kuboider
fra den, vil resten også være en φ
2
-kuboide. Det er også vist [9] at en ved gjentatte
sammenføyninger av kuboider kan lage en sekvens hvor det veksler mellom to typer
kvadratiske kuboider, A (lav form) og B (høy form). Når en kube føyes til A-typen
får en B-typen, og føyes en φ
2
-kuboide til B får en neste A.
Som vi i denne artikkelen har generalisert det gylne rektangel, kan vi også ge-
neralisere den gylne ellipse [4] til høyere dimensjoner. For å få den tredimensjonale
analoge figur til en gyllen ellipse, bytter vi ut sidekanter med akser i defini-
sjonen 4.1 og får definert en gyllen ellipsoide hvor forholdet mellom aksene er φ
3
som i (5). Den gylne ellipsoiden, en kompakt, konveks figur, vil når halvaksene er
a
1
= a/2, a
2
= b/2 og a
3
= c/2 bestå av punktene:
{(x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
|
x
2
1
a
2
1
+
x
2
2
a
2
2
+
x
2
3
a
2
3
≤ 1}
8 Avrunding og konklusjon
Utgangspunktet for denne artikkelen var en undring over at Huntley-kuboiden [2]
var betegnet som en gyllen kuboide. For å belyse problemstillingen er en del begreper
beskrevet og definisjoner gitt. Mustonen har kort beskrevet den enkle utvidelse en
kan gjøre av det gylne snitt ved å dele linjestykket opp i flere, f. eks. n gradvis
mindre stykker slik at forholdet mellom nabostykker er φ
n
, og lik forholdet mellom
hele linjestykket og den største delen.
Vi har altså ikke bare ett gyllent snitt φ
2
, men mange! φ
n
vil være det gylne (n-
1)-snitt når et linjestykke er delt i n deler slik at relasjonene i (1) er oppfylt. Den
karakteristiske egenskapen for et rektangel er jo som navnet betyr ”rett vinkel”.
Her står 2 ulike kanter vinkelrett på hverandre. I den analoge 3-dimensjonale figur,
kuboiden, står 3 ulike kanter vinkelrett på hverandre. Og generelt vil n ulike kanter
stå vinkelrett på hverandre i n-kuboiden. De tilsvarende gylne figurer for rektangel,
kuboide og n-kuboide er gitt ved definisjon 3.1, 4.1 og 5.1.
Den egenskapen ved et gyllent rektangel at det ved fradeling av størst mulig
kvadrat dannes et nytt gyllent rektangel, er viet spesiell oppmerksomhet. Vil en
finne en parallell til denne egenskapen igjen i de høyere dimensjonene? I tabell 1
har vi vist at vi får en fullgod analogi for denne egenskapen for den gylne kuboide
og generelt for den gylne n-kuboide. Dette er en sterk indikasjon på at den valgte
generaliseringen er bærekraftig. Sammen med resonnementene tidligere må vi derfor
konkludere med at φ
3
-kuboiden bør betegnes den gylne kuboide.
Ved utgangspunkt i Fibonacci-tallene og Tribonacci-tallene kan en gradvis bygge
opp figurer som nærmer seg formen til et gyllent rektangel og en gyllen kuboide.
For å kunne nærme seg formen på en n-kuboide må en bruke tallene fra tilsvarende
n-stegs rekker [6] hvor forholdet nærmer seg rekkens n-anacci-konstant.
Til slutt vil jeg rette en stor takk til høgskoledosent Trygve Breiteig ved Uni-
versitetet i Agder, som har vært vennlig å lese gjennom denne artikkelen og gitt
nyttige kommentarer.
176 Olav B. Skaar Normat 4/2008
Referanser
[1] M. Bicknell and V.E Hoggatt, Golden triangles, rectangles, and cuboids.
Fibonacci Quaterly 7 (1969) 73–91.
[2] H.E. Huntley, The golden cuboid. Fibonacci Quaterly 2 (1964) 184,240.
[3] H.E. Huntley, The divine proportion. Dover Publications, Mineola, N.Y., 1970.
[4] H. E. Huntley, The golden ellipse. Fibonacci Quarterly 12 (1974), 38-40.
[5] S. Mustonen, Extension of golden section to multiple-partite division of a line
segment. http://www.survo.fi/papers/nsection.pdf .
[6] T. Noe, T. I. Piezas og E. W. Weisstein, Fibonacci n-step number.
MathWorld - A Wolfram Web Resource.
(http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html)
[7] K. van Prooijen, The odd golden section. http://www.kees.cc/gldsec.html .
[8] S. Shirali og H. L. Vasudeva, Metric space. Springer-Verlag, London, 2006.
[9] M. Walker, Golden cuboid sequences. Fibonacci Quarterly 23 (1985), 153-154
[10] E. W. Weisstein, Cuboid. MathWorld - A Wolfram Web Resource.
(http://mathworld.wolfram.com/Cuboid.html)
[11] E. W. Weisstein, Hypercube. MathWorld - A Wolfram Web Resource.
(http://mathworld.wolfram.com/Hypercube.html)
[12] Wikipedia, Euclidian space. http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space.
