Normat 57:1, 1–9 (2009) 1
Abel, de elliptiske funksjoner,
og lemniskaten
Morten Eide
morteid@math.uio.no
1 Innledning
Det er flere momenter i Abels korte liv som er bemerkelsesverdige. Mest kjent for
allmennheten er historien om femtegradsligningen. Det mest epokegjørende verket
er kanskje Parisavhandlingen knyttet til de Abelske funksjoner, og historien rundt
dette er også dramatisk. Det som imidlertid gjorde Abel kjent i samtiden var det
berømte kappløpet med Jacobi om prioriteten til de elliptiske funksjonene. Vi skal
her se litt på det første bidraget fra Abels hånd i denne henseende slik det kom til
utrykk i hans ”Recherches sur les Functions Elliptique” i ”Crelles Journal’ i 1827
1
.
Her legges frem noe av materialet til det som får Abel til å uttrykke et entusiastisk
brev til Holmboe.
2
Du skal ses hvor det er pent. Jeg har funnet at man kan dele ved hjelp av passer og
linjal lemniskaten i 2
n
+ 1 deler når dette tall er primtall. Delingen avhenger av
en ligning hvis grad er (2n + 1)
2
− 1. Men jeg har funnet dens fullstendige løsning
ved kvadratrottegn. Jeg har ved samme anledning kommet etter det mysteriet som
har hvilet over Gauss teori av sirkelens deling.
Vi skal forsøke å peke på noen av hovedideene som kommer til utrykk her. Disse er
ikke knyttet til de elliptiske funksjonene alene, men av flere emner som går sammen
slik Abel utrykker det i et annet brev.
Jeg har kommet frem til disse resultatene angående lemniskaten ved å kombine-
re funksjonslære, ligningsteori og tallteori.
Abels undersøkelser er svært vidtrekkende så vi vil av naturlige årsaker begrense
oss til å se på de grunnleggende egenskapene han legger frem angående de elliptiske
funksjonene, og i tillegg se på anvendelsen i forhold til lemniskaten slik at vi får et
blikk for den sammenheng de elliptiske funksjonene står inne i.
De elliptiske funksjonene har sitt opphav i studiet av buelengder til kurver. Opprin-
nelsen ligner dermed på opprinnelsen til de trigonometriske funksjonene, ettersom
1
Engelsk oversettelse: Studies on Elliptic Functions, oversatt av M. E. Barnes
2
Skrift i kursiv er sitater fra Abel.
2 Morten Eide Normat 1/2009
Figur 1: Lemniskaten
disse startet med studiet av korders forhold til buelengder. Det skiller seg imidlertid
ved at mens man tidligere brukte geometriske metoder til å utlede forhold, må man
nå ta i bruk analytiske metoder. Etter at infinitesimalregningen var utviklet fikk
man et verktøy til å gå utover studiet av sirkelbuer. Det ble mulig å regne ut flater
under krumme kurver, og det ble gjort forsøk på å regne ut buelengden av slike
kurver. En av de første kurvene som ble gjenstand for slikt studie var lemniskaten
fordi denne gir relativt enkel integraler som minner om sirkelbuens integral.
2 Lemniskatens buelengde
Lemniskaten er gitt som det geometriske stedet for alle punkter der produktet av
avstandene fra to punkt er konstant.
Ut fra dette forhold kan vi finne andre egenskaper for lemniskaten. Det finnes
mange egenskaper, og ulike linninger for kurven. Ligningen gitt ved polarkoordi-
nater har vi således ved
(1) r =
√
2a
√
cos 2θ
Fra denne ligningen kan vi finne et utrykk for buelengden utrykket ved radien.
Vi vil gå inn på dette for å vise hvordan de elliptiske integralene oppstod.
For å finne buelengdeutrykket tar vi utgangspunkt i ligningen over, og i buelengde-
differensialet. Vi velger spesielt a =
1
2
√
2, og utrykket blir da r =
√
cos 2θ Det
generelle utrykket for buelengden er gitt ved
ds
2
= dr
2
+ dθ
2
r
2
Vi har ligningen ovenfor
r
2
= cos 2θ
og ved differensiering av denne får vi
r dr = −sin 2θ dθ
Normat 1/2009 Morten Eide 3
som gir
dθ
2
=
r
2
dr
2
sin
2
2θ
Innsetting fører til
ds
2
= dr
2
+
r
4
dr
2
sin
2
2θ
=
sin
2
2θ + r
4
sin
2
2θ
dr
2
=
1 − cos
2
2θ + r
4
1 − cos
2
2θ
dr
2
=
1
1 − r
4
dr
2
,
som gir
ds =
1
√
1 − r
4
dr
Vi får da et utrykk for buelengden utrykt ved radius vektor
(2) s(x) =
Z
x
0
1
√
1 − r
4
dr
Dette integralet fikk man problemer med å regne ut. Det var ikke mulig å finne
en antiderivert med vanlige midler. Gauss fant ved et lykketreff en måte å beregne
det fullstendige integralet fra 0 til 1 ved hjelp av det såkalte aritmetrisk geometriske
middel, men det var ikke mulig å finne integralet for alle verdiene. Selv om det ikke
ble funnet en metode til å finne buelengden for alle verdiene av x, ble det imidlertid
funnet en formel for fordobling av bueintegralet av Fagnano. Dette er gitt ved
(3) 2
Z
x
0
1
√
1 − x
4
=
Z
2x
√
1−x
4
1+x
4
0
1
√
1 − x
4
dx
Har man gitt et punkt på en lemniskatebue, kan man altså ved konstruksjon finne
et punkt der buelengden fra origo er dobbelt så lang. Euler gikk videre med dette
og kunne også finne en addisjonsformel for lemniskateintegralet: altså gitt to bue-
lengder ut fra origo som vi kjenner radien til. Da ble det mulig å finne den radien
som gir en buelengde lik summen av buelengdene. Imidlertid var det ikke noen klar
metode til å finne disse addisjonsformelene. Legendre arbeidet iherdig med disse
spørsmålene, men kom ikke til noe avgjørende resultat.
Her er det så Abel og Jacobi kommer inn, og det utvikles et kappløp mellom
dem for å bringe frem alle resultatene de sitter inne med. Det som er det nye i disse
betraktningene er at de omvender funksjonene. I stedet for å betrakte buelengdene
som funksjon av radius vektor snur de problemstillingen rundt, de betrakter radi-
en som en funksjon av buelengden. Dermed oppstår en type funksjoner som er en
utvidelse av de trigonometriske der det nettopp er tilfelle at lengden er funksjoner
av buer.
4 Morten Eide Normat 1/2009
3 Abels første bidrag til elliptiske funksjoner
Abel innleder betraktningene i Rechershes ved kort å nevne forhistorien ved Le-
gendre. Han definerer deretter de elliptiske funksjonene.
Vi har gitt funksjonen ϕα = x ved ligningen
(4) α =
Z
d x
p
(1 − c
2
x
2
)(1 + e
2
x
2
)
eller
ϕ
0
α = d α
p
(1 − c
2
x
2
)(1 + e
2
x
2
),
Jeg introduserer også to andre funksjoner av α, nemlig:
fα =
p
(1 − c
2
ϕ
2
α); F α =
p
(1 + e
2
ϕ
2
α)
Det Abel stiller frem her er en generalisering av både de trigonometriske funksjone-
ne og lemniskateintegralet. Setter vi c = 1 og e = 0 får vi ϕα = sin α der fα = cos α
og F α = 1. Setter vi både c og e lik 1 går 4 over til lemniskateintegralet, og de
andre funksjonene knyttet til lemniskaten har vi ved
fα =
p
1 − ϕ
2
α; F α =
p
1 + ϕ
2
α
Vi skal senere komme tilbake til disse, men ser først litt på hvordan Abel går videre.
Han forklarer først hensikten med skriftet.
Man kan vise at funksjonene ϕα = 0, f α = 0 og F α = 0 har uendelige man-
ge røtter som kan finnes. En bemerkelsesverdig egenskap er at funksjonene ϕ(mα)
o.s.v der m er et helt tall kan skrives som rasjonale funksjoner av ϕα, fα, F α. Det
er således ikke vanskelig å finne ϕ(mα) når verdiene av elementærfunksjonene er
gitt. Det omvendte problemet er imidlertid svært vanskelig og er avhengig av en
ligning av grad m
2
. Løsningen av disse ligninger er skriftets hovedhensikt.
Det er interessant å bemerke at Abel selv la større vekt på ligningsteorien enn
de nye funksjonene han hadde funnet.
Abel bestemmer så noen fundamentale egenskaper til funksjonene, blant annet de
deriverte av de ulike funksjonene. Definisjonen av funksjonene viser direkte at
ϕ
0
α = f αF α
og ut fra dette finner han den deriverte til de andre funksjonene. Han setter så opp
addisjonsformelene for disse funksjonene som på et vis danner grunnlaget for de
senere betraktningene.
ϕ(α + β) =
ϕα · f β · F β + ϕβ · fα · F α
1 + e
2
c
2
ϕ
2
α · ϕ
2
β
(5)
f(α + β) =
fα · fβ − c
2
ϕα · ϕβ · F α · F β
1 + e
2
c
2
ϕ
2
α · ϕ
2
β
(6)
F (α + β) =
F α · F β + e
2
ϕα · ϕβ · f α · fβ
1 + e
2
c
2
ϕ
2
α · ϕ
2
β
(7)
Normat 1/2009 Morten Eide 5
Disse formlene bevises ved å differensiere utrykkene.
På grunnlag av disse addisjonsutrykkene viser Abel at funksjonene er periodiske.
Disse ligningene viser at ϕα, fα og F α er periodiske funksjoner. Formlene kan
også skrives som:
ϕ(mω + n$i ± α) = ±(−1)
m+n
· ϕα
f(mω + n$i ± α) = (−1)
m
· fα
F (mω + n$i ± α) = (−1)
n
· F α
Vi ser ut fra utrykkene at funksjonene er dobbelperiodiske der den ene perioden er
imaginær i forhold til den andre.
Abel går videre og finner generelle utrykk for funksjonene når argumentene blir
flerdoblet som nevnt innledningsvis. Man finner jo enkelt utrykket for ϕ(2α) ved
å sette α = β i addisjonsformelen. Dette kan imidlertid videreføres ved å gjenta
prosessen. Man finner for eksempel videre ϕ(3α) ved å anvende utrykket man har
funnet for ϕ(2α). Abel studerer slik de helt generelle funskjonene
ϕ(nα) =
P (ϕα)
Q(ϕα)
Her finner han en rekke måter å fremstille funskjonene P og Q på, både som summer
av elementære utrykk, og som produkter. Det han finner av utviklinger benytter
han etterhvert på delingsproblemene.
4 Utrykk for deling av argumentene
De førtste delingsproblemene Abel ser på er delingen av hele perioder, og deretter
på delingen av generelle argumenter. Det første som behandles er halvering, og
denne er en slags omvending av fordoblingsfunksjoner.
Verdiene av ϕ(
α
2
), f(
α
2
) og F (
α
2
) kan finnes lett på følgende måte. Anta at β =
α
2
,
sett
x = ϕ(
α
2
), y = f(
α
2
), z = F (
α
2
)
dette gir:
f(α) =
y
2
− c
2
x
2
z
2
1 + e
2
c
2
x
4
, F (α) =
y
2
+ e
2
x
2
z
2
1 + e
2
c
2
x
4
eller ved å substituere y
2
og z
2
med x
2 3
f(α) =
1 − c
2
x
2
− c
2
e
2
x
2
1 + c
2
e
2
x
4
, F (α) =
1 + e
2
x
2
− e
2
c
2
x
2
1 + c
2
e
2
x
4
3
Sammenhengen mellom funksjonene er gitt ved definisjonene innledningsvis
6 Morten Eide Normat 1/2009
Disse ligningene gir
1 + f α =
2(1 − c
2
x
2
)
1 + c
2
e
2
x
4
, 1 − f α =
2c
2
x
2
(1 + e
2
x
2
)
1 + c
2
e
2
x
4
F α − 1 =
2e
2
x
2
(1 − c
2
x
2
)
1 + c
2
e
2
x
4
, F α + 1 =
2(1 + e
2
x
2
)
1 + c
2
e
2
x
4
som gir
F α − 1
1 + f α
= e
2
x
2
‘;
1 − f α
F α + 1
= c
2
x
2
og ved å kvadrere finner vi
(8) ϕ(
α
2
) = x =
1
c
r
1 − f α
F α + 1
=
1
e
s
F α − 1
fα + 1
Videre finner han halveringsutrykk for de andre funksjonene. Vi skal ikke følge
Abel direkte her, men se hvordan denne halveringsformelen kan anvendes på lem-
niskateintegralet.
Lemniskateintegralet får vi som sett ved å sette c = 1 og e = 1, altså f α =
√
1 − x
2
og F α =
√
1 + x
2
når x = ϕα. Dette ser vi ut fra definissjonene til funksjonene,
og ved å bemerke at
√
1 − x
2
√
1 + x
2
=
√
1 − x
4
som er nevneren i lemniskatein-
tegralet. Halveringsformelen til lemniskaten blir dermed
ϕ
α
2
=
s
√
x
2
+ 1 − 1
√
1 − x
2
+ 1
der x = ϕα
Denne halveringsformelen kan anvendes på alle buer, men vi ser på hva som
skjer med kvartbuen. Når buelengden blir en kvart bue er radien 1. Ved halverings-
formelen får vi da utrykk for radien når buen er halvparten av denne kvartbuen.
Den er da gitt ved
r =
s
√
1
2
+ 1 − 1
√
1 − 1
2
+ 1
=
q
√
2 − 1
Størrelsen kan konstrueres, og en løsning er gitt i figur 2.
Etter at Abel har funnet halveringsformlene går han videre og finner generelle
formler for deling av argumentet. Herfra blir imidlertid utledningene vidløftige,
slik at vi begrenser oss til å peke på retningen ved å se på ϕ(
α
3
). Vi gjør ikke det
generelt, men for lemniskaten.
Normat 1/2009 Morten Eide 7
Figur 2: Halvering av lemniskatebuen
5 Tredeling av lemniskatebuen
Vi finner først et utrykk for ϕ(3α). Dette gjør vi ved å bruke addisjonsformelen
to ganger. Vi finner først ϕ(2α). Vi setter ϕα = u slik at f α =
√
1 − u
2
og F α =
√
1 + u
2
. Addisjonsformelen gir
ϕ(2α) =
2ϕα · f α · F α
1 + ϕ
4
α
=
2u
√
1 − u
2
√
1 + u
2
1 + u
4
=
2u
√
1 − u
4
1 + u
4
Vi setter
v = ϕ(2α) =
2u
√
1 − u
4
1 + u
4
og får av dette
ϕ(3α) = ϕ(α + 2α)
=
u
√
1 − v
2
√
1 + v
2
+ v
√
1 − u
2
√
1 + u
2
1 + u
2
v
2
=
u
r
1 − (
2u
√
1−u
4
1+u
4
)
2
r
1 + (
2u
√
1−u
4
1+u
4
)
2
+ (
2u
√
1−u
4
1+u
4
)
√
1 − u
2
√
1 + u
2
1 + u
2
(
2u
√
1−u
4
1+u
4
)
2
Vi får et stort utrykk, men det lar seg redusere til et rasjonalt utrykk uten røtter
ϕ(3α) =
u(u
8
+ 6u
4
− 3)
3u
8
− 6u
4
− 1
8 Morten Eide Normat 1/2009
Med u = ϕα har vi
(9) ϕ(3α) =
ϕα(ϕ
8
α + 6ϕ
4
α − 3)
3ϕ
8
α − 6ϕ
4
α − 1
Har vi altså gitt en radius vektor ϕα av en buelengde α, finner vi ved dette
utrykket en radius vektor som gir den tredobbelte buelengden. Omvendt kan vi
finne tredelingsradien hvis ϕ(3α) er kjent, og ϕ(α) er ukjent. Det lar seg ikke gjøre
når buen er vilkårlig, men for den halve lemniskatebuen blir radien lik 0. Ved å
sette ligningen over 9 lik 0 og løse ligningen med hensyn på ϕα vil vi finne verdien
som gir radien til en tredel av den hele sløyfen. Vi trenger bare sette nevneren lik
0, og vi kan dele med det trivielle ϕα = 0. Vi får å løse
ϕ
8
α + 6ϕ
4
α − 3 = 0
Dette er en åttendegradsligning, og graden er gitt ved 3
2
− 1 som uttalt i sitatet
innlednignsvis. Ligningen er likevel lett å løse, fordi det er en annengradsligning av
ϕ
4
α. Vi får bare en løsning som er reell og denne er gitt ved
ϕα =
4
q
2
√
3 − 3
Størrelsen her lar seg også konstruere, og en vei er gitt i Figur 3.
Det vi har gjort her i et spesielt tilfelle er det Abel fortsetter med og gir helt
generelle svar på. Han ser som sagt på utrykket ϕ(nα) =
P (ϕα)
Q(ϕα)
der P og Q er poly-
nomfunkjoner. Han betrakter formen til funskjonen P, og finner at denne er løsbar
ved konstruksjon når n = 2
n
+ 1 er primtall. Dette er det samme som Gauss hadde
funnet for sirkelens vedkommende. Ut fra dette gir også tredelingen seg, fordi 3 er
et primtall av formen n = 2
n
+ 1.
Med dette skriftet innledet Abel sammen med Jacobi et helt nytt kapittel i funk-
sjonstorien. Undersøkelsene er utgangspunktet for det som siden er blitt teorien om
blandt annet elliptiske kurver som har vidrekkende betydning. Videre inneholder
de grunnleggende bidrag til ligningsteorien, og mye av det som ligger i Galois teori
kan gjenfinnes her.
6 Sluttbemerkning
I Abels skriftlige arbeider er lemniskaten den eneste figuren som forekommer, og
dette leder oss til å gjøre noen avsluttende bemerkninger.
Geometriske figurer har spilt en stor rolle som symboler i ulike sammenhenger
blandt annet hos Platon. Sirkelen er således symbolet for helhet, den sluttede or-
den. Lemniskaten har i slike sammenhenger en særskilt betydning. Tegner vi lem-
niskatekurven dobbelt med en farge på innsiden og en på utsiden vil vi se at det
Normat 1/2009 Morten Eide 9
Figur 3: Tredeling av lemniskatebuen
som er utsiden i den ene halvdelen blir innsiden i den andre halvdelen. Lemniska-
ten har da i flere tradisjoner vært symbolet på omvending, at det ytre blir det
indre og omvendt. Den forener på den måte det som vender utover og det som
går innover. Ser man på Abels gjennomgripende betraktningsmåte er det nettopp
omvendingen man ser hele tiden. Når han ikke kan løse femtegradsligningen, snur
han på problemstillingen, og ser om det i det hele tatt er mulig å finne løsninger,
og hva som er kriterier for løsbarhet. En lignende omvending skjer ved overgangen
fra de elliptiske integralene til de elliptiske funksjonene, og ligger også til grunn for
hans store verk om de Abelske funksjonene. Også en annen polaritet var forenet i
Abel. På den ene siden ser vi en nesten grenseløs fantasi, og på den andre siden
den største logiske strenghet. Fra denne synsvinkel er lemniskaten et symbol for
mye av Abels åndsart.
Referanser
[1] N. H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptique, Journal für die reine und
angewandte Mathematik, Vol. 2, 1827. pp. 101-181
