10 Normat 57:1, 10–21 (2009)

Modulirum för trianglar (och tetrahedra)

Ulf Persson

Matematiska Institutionen

Chalmers Tekniska Högskola

ulfp@chalmers.se

1 Inledning

I en tidigare artikel i Normat (55:2) har Bengt Ulin behandlat frågan huruvida

två icke-kongruenta trianglar kan ha samma omkrets och area och visat att så

även ta upp andra naturliga 1-dimensionella familjer som sådana som har given

inskriven och omskriven radie.

I min första inledande artikel tänker jag i detalj beskriva vad jag skulle vilja

kalla ett modulirum för trianglar. Modulirum utgör centrala studieobjekt inom

algebraisk geometri och teorin för dem har haft viktiga tillämpningar inom sträng-

teori. De modulirum som då åsyftas rör ekvivalensklasser av komplexa variteter

och får naturliga strukturer som variteter själva. I vårt fall är situationen betydligt

elementärare, men trots detta tillräckligt intrikat anser jag för att inte vara helt

trivial och faktiskt ge en inblick i den mera sofistikerade teorin.

I den klassiska matematikundervisningen på relativt elementär nivå spelade geo-

metripensumet försvunnit utan att ersättas av något annat. I mångt och mycket

var detta synd, ty även om lekandet med trianglar kan vara ålderdomligt är det

inte desto mindre en rik källa till olika problem, och problemlösning utgör kärnan

i all matematisk verksamhet, oberoende av nivå. Det är min förhoppning att intro-

ducerandet av modulirum för trianglar skall ge ett naturlig sätt att såväl presentera

klassiska begrepp som att föreslå problem. Och varför begränsa oss till trianglar

Normat 1/2009 Ulf Persson 11

i det euklidiska planet, tetrahedrar utgör en uppenbar generalisering till en högre

dimension, och då visar det sig att även de mest elementärt ställda problem leder

till ganska intrikata frågor. Vinkelsumman i en euklidisk triangel är som bekant

konstant, men vad är motsvarigheten till detta för tetrahedrar? Vidare kan man

framträder tydligt i Euklides olika bevis, är att vi tänker oss trianglar utförda i

något stelt material, säg papp (även om detta inte var tillgängligt för grekerna),

och att vi har full frihet att vrida och vända på dessa, och att således två trianglar

är kongruenta om de kan så att säga precis täcka varandra. Med lite mera modern

matematisk terminologi kan vi tänka oss trianglar givna i rummet och flyttas vi

stela avbildningar, d.v.s. ortogonal-avbildningar och translationer. De senare utgör

translationer) och trianglar utgör ett 9-dimensionellt rum (T säg) genom att ge de

vi behöver göra är att på ett naturligt sätt parametrisera banorna, vilket utgöres

av kvoten T/G (Ett 3-dimensionellt rum ty 9 −6 = 3). Detta är ett typiskt moduli

problem, vi har ett parameterrum och en verkan på detta rum av en naturlig grupp

som definerar en ekvivalens. Nu är T ett stort rum, onödigt stort skulle man kunna

hävda, och G en onödigt komplicerad grupp, så vi kommer inte att fullfölja denna

konstruktion närmare, utan den är bara avsedd för att ge läsaren en indikation på

vad som är problemet.

I stället skall vi koncentera oss på den naturliga frågan, hur kan man avgöra

om två trianglar är kongruenta utan att behöva klippa ut dem ur någon papp

och försöka passa ihop dem, vilket knappast verkar vara en matematisk process,

icke-kongruenta fastän de har samma vinklar (de säges vara likformiga). Detta är

ett fenomen som inte förekommer i den icke-euklidiska världen, då bestämmer även

vinklarna en triangel upp till kongruens, och icke-kongruenta likformiga trianglar

existerar inte! I den euklidiska världen är likformighet fundamental, den utgör basen

för den euklidiska avståndsbestämningen, avsaknaden av en naturlig längdenhet

och därmed möjligheten för skalning. Pythagoras sats, urtypen för det euklidiska

12 Ulf Persson Normat 1/2009

rummet i dess moderna tappning, är helt enkelt en följd av att en rätvinklig triangel

kan delas upp i två likformiga deltrianglar var och en likformig dessutom med den

ursprungliga. Så knappast förvånande kan inte de tre vinklarna i en triangel vara

godtyckliga, de är underställda villkoret att dess summa är konstant (π eller 180

3 Modulirum för trianglar

3.1 Kvotering med grupp

Låt oss specifiera en triangel genom att ge dess längder a, b, c som en punkt (a, b, c)

i det 3-dimensionella rummet R

vetsvis a, b, c > 0 ty de utgöres ju av längder, sedan måste triangelolikheterna gälla,

d.v.s. en sidolängd är alltid mindre än summan av de två återstående längderna.

Om man tänker sig sidorna som käppar och vill sätta samman dem som en triangel

ty varje permutation av längderna (a, b, c) ger upphov till en kongruent triangel,

fastän var och en av dessa sex olika permutationer ger i allmänhet upphov till

skilda punkter i K. Vad vi har här är ett parameterrum K samt en verkan av en

grupp betecknad S

således intresserade av kvoten K/S

att förenkla problemet ytterligare. Istället för att vara intresserade av trianglar

upp till kongruens så försvagar vi ekvivalensrelationen genom att istället betrakta

den upp till likformighet. Vi är således bara intresserade av formen av trianglar

inte deras storlek. Den stråle vi tidigare har betraktat utgöres i själva verket av

skalningar av en viss fix triangel (a, b, c). Läsaren må vara bekant med begreppet

det plan som skär ut den sfäriska triangeln, d.v.s. det plan som bestämmes av sfä-

rens snitt med de tre ko-ordinat axlarna. Det är lätt att inse att detta plan är givet

av a + b + c = 1 och dess snitt med konen K är en liksidig triangel. Varje punkt på

denna liksidiga triangel gives då av (a, b, c) men nu betraktade som barycentriska

ko-ordinater. Och K självt kan ses som just konen över denna triangel utsträckt

mot oändligheten.

Normat 1/2009 Ulf Persson 13

Nu är det lätt att visualisera verkan av S

på denna triangel. Dess mitt, dess bary-

center, som givet av (a, a, a) motsvaras givetvis av den liksidiga triangeln. Genom

denna punkt har vi tre linjer givna av (a, a, c), (a, b, a) och (a, b, b) respektive. De

delar upp triangeln i sex små rätvinliga trianglar som permuteras av verkan av

S

Detta fundamentalområde (det skuggade) kan vi nu betrakta som ett moduli rum

för trianglar upp till likformighet. Rummet själv utgöres av en rätvinklig triangel.

triangelolikheterna. De tre hörnen kommer då att ligga på en linje och utgöra ett

segment med en punkt i. Skall man räkna dessa som trianglar? I själva verket visar

det sig lämpligt att göra så om vi vill skaffa oss kompakta modulirum. Detta är

ett återkommande tema i konstruktion av modulirum nämligen att kompaktifiera

dessa och identifiera objekten på randen som degenerade objekt av ett visst slag.

Till detta skall vi återkomma.

14 Ulf Persson Normat 1/2009

kommer då att bilda en bruten rät linje i modulirummet. Varför bruten? Den utgör

en rät linje i den stora triangeln, men reflekteras tillbaka in i fundamentalområdet.

3.2 Avstånd och mått på modulirummet

Genom att identifiera vårt modulirum med den skuggade triangeln får vi auto-

matiskt både ett avstånd och ett mått på detta rum. Två trianglar som är ’nära’

varandra kommer att motsvaras av punkter som är ’nära’ varandra, och det spe-

cifika avståndet är givet av det euklidiska. Det är dock ingenting ’kanoniskt’ med

just det avståndet, man kan tänka sig många olika avstånd. Ett exempel är om vi

istället representerar modulirummet som en motsvarande sfärisk triangel får vi ett

annat något annorlunda distans. Vi kan även försöka definera avståndet mera intui-

Eller vi skulle kunna ta Hausdorff distansen mellan de två trianglarna

max(sup

y∈B

d(x, y)), sup

y∈B

(inf

x∈A

d(x, y)))

Normat 1/2009 Ulf Persson 15

lan trianglar upp till likformighet, måste vi då skala dessa, vilket utgör ett problem

ty differensen hur vi än definerar den går mot noll om vi låter trianglarna bli mind-

re och mindre. Vi skulle kunna renormalisera genom att dividera med areor eller

omkrets, eller bara betrakta trianglar med fix area eller omkrets. Som synes finns

det ett otal olika sätt att bestämma avstånd i vårt rum, vitsen är att alla dessa

olika avståndsdefinitioner är ekvivalenta, de metriska rum vi erhåller kommer alla

att vara homeomorfa. Detta ger ett alternativt sätt att definera ett moduli rum,

helt enkelt genom att betrakta alla trianglar med en av dessa givna avståndsfunk-

tioner, och identifiera punkter med avstånd noll mellan varandra. (Sådana kommer

att utgöra disjunkta ekvivalensklasser). Problemet är att på detta sätt utan någon

alla trubbvinkliga (d.v.s. trianglar vars största vinkel är mindre, respektive större

än en rät). Vilken typ av trianglar är vanligast? Vad är sannolikheten för att en

triangel skall vara spetsvinklig? Denna fråga har uppenbarligen ingen mening så

länge vi inte specifierar ett mått, och det finns ju ett otal mått vi kan lägga på

rummet, men om vi håller oss till det vi får gratis genom vårt val av modulirum

som den skuggade fundamentalområdet kan vi roa oss med att räkna ut det.

16 Ulf Persson Normat 1/2009

3.3 Topologin hos modulirummet

Men nu kommer punkterna på kanten AO vara identiska med motsvarande punkter

på kanten BO och det är således inte bara naturligt utan även nödvändigt att

en cirkelskiva, så att dess mittpunkt motsvarar den liksidiga triangeln, och så att

vi har en distingerad diameter som motsvarar de likbenta trianglarna, halverad av

medelpunkten, en halva motsvarande ’spetsiga’ och en annan de ’trubbiga’. Det är

enkelt att skriva upp en explicit avbildning som avbildar vårt fundamentalområde

till en cirkel. Om P är en godtycklig punkt i området, r distansen till O och

θ vinkeln mellan P O och CO (d.v.s. om vi sätter origio i O och introducerar

Normat 1/2009 Ulf Persson 17

polära ko-ordinater) låter vi avbilda P på en punkt med motsvarande vinkel 3θ

och avstånd r

3/ cos θ.

Men inte nog med detta. Vi noterar även att punkterna på linjen AB bör iden-

tifieras med varandra symmetriskt runt C. På cirkelskive representationen betyder

Vi erhåller då en större triangel (punkterna i den mindre deltriangeln motsvarar de

trianglar för vilka vinklarna uppfyller triangelolikheterna, d.v.s. de är alla spetsiga),

motsvaras av den liksidiga triangeln, och medianerna av de likbenta. Vi erhåller

två olika fundamentalområden beroende på om vi betraktar orienterade eller icke-

tangenterna erhåller vi en triangel, som har den givna cirkeln som inskriven cirkel.

Vi får dock vara försiktiga, villkoret är att de tre punkterna aldrig får ligga på ena

sidan av en diameter, detta villkor är helt enkelt att triangelolikheten för central-

vinklarna skall hålla. (Om så inte är fallet kommer visserligen cirkeln att tangera

triangelns sidor, men bara när de är utsträckta som linjer. I själva verket givet tre

linjer finns det fyra cirklar som tangerar dem alla, men bara en av dem ligger inuti

18 Ulf Persson Normat 1/2009

den triangel de definerar.) Detta betyder att vi då endast utnyttjar den lilla tri-

angeln ovan. Relationen mellan centralvinklar och vinklarna hos den omskrivande

triangeln är givetvis θ 7→ π − θ (vilket förutsätter att ingen centralvinkel > π).

Relationen mellan de två modulikonstruktionerna ovan är givet i ena ledet av

etc. Signifikansen av detta uttryck kommer att avslöja sig nedan, men låt oss för

framtida bruk sätta H =