22 Normat 57:1, 22–31 (2009)
Tvillingcirklar
Christer Bergsten
Linköpings universitet
chber@mai.liu.se
En konfiguration av cirklar som fascinerat genom tiderna är den s.k. skomakar-
kniven, eller arbelos. I denna tidskrift har den tidigare tagits upp av Bengt Ulin
[1], Karen Sofie Ronaess [2] och Morten Eide [3], där bl.a. de arkimediska tvilling-
cirklarna diskuterats. Figuren nedan visar skomakarkniven med dessa två mindre
cirklar som är kongruenta oberoende av den relativa storleken mellan de två inre
tangerande halvcirklarna.
I denna artikel betraktas skomakarkniven då dess två mindre halvcirklar inte tan-
gerar varandra, dvs. skär varandra eller saknar gemensamma punkter. Denna figur
kallar jag en öppen arbelos (se Figur 1). Den gemensamma tangenten ersätts då
med de inre halvcirklarnas potenslinje. Jag kommer i det följande att visa att en
motsvarighet till de tvillingcirklar som Arkimedes introducerade då förblir tvilling-
cirklar, dvs. är kongruenta. Jag kommer att utgå från en geometrisk konstruktion
med vilken man kan konstruera dessa cirklar och ta fram formler för dessa cirklars
diameter och medelpunkter. Avslutningsvis pekar jag på ytterligare en intressant
cirkel som tangerar tvillingcirklarna. Endast grundläggande klassisk geometri kom-
mer att användas. För att förenkla notationen kommer en cirkel med medelpunkt
i A och med B som en punkt på cirkelns periferi att betecknas C
AB
1 Ett konstruktionsproblem
I Figur 2 är cirkeln C
AB
given med diametern BC. Cirkeln C
DB
har sin medelpunkt
D på BC. Normalen genom en punkt F på BC skär C
AB
i G. Uppgiften är att
konstruera en cirkel som tangerar C
AB
, C
DB
och sträckan FG (på dess vänstra
sida; FG kan även skära cirkeln C
AB
).
Normat 1/2009 Christer Bergsten 23
Figur 1: Två fall av en öppen arbelos.
Figur 2: Att konstruera en cirkel som tangerar cirkeln C
AB
, cirkeln C
DB
och sträckan
FG.
Konstruktion 1
Utgå från Figur 2. Dra sträckan BG som skär C
DB
i H. Dra normalen från H till
FG som skär FG i J. Bestäm mittpunkten K på sträckan HJ. Rita cirkeln C
HK
.
Förläng sträckan DH tills den skär cirkeln C
HK
i L. Medelpunkten M i den sökta
cirkeln fås nu som skärningen mellan cirkeln C
DL
och normalen till BC genom K.
Sträckan DM skär C
DB
i N. Cirkeln C
MN
är den sökta cirkeln.
Bevis för konstruktion 1. Cirkeln C
MN
har konstruerats så att den tangerar nor-
malen FG och cirkeln C
DB
. För att visa att den även tangerar cirkeln C
AB
inför
jag följande längdbeteckningar: BC = 1, BE = r och BF = a. Konstruktionen är
inte beroende av relationen mellan r och a. För beviset hänvisas till Figur 3.
Då vinklarna BHE och BGC båda är räta (periferivinklar i halvcirklar) är HE
och GC parallella och flera likformiga trianglar kan lätt identifieras. Man får då
direkt att FG =
p
a(1 − a) och att
BH’
BF
=
BH
BG
=
HE
GC
=
BE
BC
, som då ger BH’ = ar
och därmed HK =
1
2
(a − ar). Av detta fås BM’ = a −
1
2
(a − ar) =
1
2
(a + ar). Av
Pythagoras sats följer sedan att
MM’
2
= DM
2
− DM
02
=
r
2
+
1
2
(a − ar)
2
−
1
2
(a + ar) −
r
2
2
= ar(1 − a).
24 Christer Bergsten Normat 1/2009
Cirkeln C
MN
tangerar nu cirkeln C
AB
om AM =
1
2
−
1
2
(a − ar). Detta följer direkt
av Pythagoras sats eftersom
AM
2
= AM’
2
+ MM’
2
=
1
2
(a + ar) −
1
2
2
+ ar(1 − a) =
1
2
−
1
2
(a − ar)
2
.
Figur 3: Likformiga trianglar för bevis av konstruktionen.
2 Tvillingcirklarna
Den första generaliseringen av skomakarkniven är fallet när de två mindre halvcirk-
larna C
DB
och C
RC
i Figur 4 skär varandra i en punkt Q (i det klassiska fallet hos
Arkimedes är Q tangeringspunkt på BC mellan halvcirklarna). Genom punkten Q
dras nu normalen FG mellan BC och den stora halvcirkeln. Såväl till vänster som
till höger om FG kan en tangerande cirkel inskrivas med den metod som beskrivits
i Konstruktion 1. M och T är medelpunkt i respektive cirkel.
Figur 4: Tvillingcirklar och tangenten HS.
Normat 1/2009 Christer Bergsten 25
Lemma 1. De två inskrivna cirklarna i Figur 4 är tvillingcirklar, dvs har samma
diameter.
Bevis. Dra sträckorna HE och SU, där U är skärningen mellan cirkeln C
RC
och
BC (se Figur 4). Dessa sträckor skär varandra i V. Fyrhörningen GHVS är en
rektangel eftersom vinklarna BGC, BHE och USC är räta. Dra linjen genom H
och S. Triangeln GHS är då likformig med triangeln GCB. Om Q’ är den andra
skärningspunkten mellan FG:s förlängning och cirkeln C
DB
(och med C
RC
) är
nämligen enligt kordasatsen
(1) GS · GC = GQ · GQ’ = GH · GB,
som medför att
GS
GH
=
GB
GC
.
Eftersom det finns en gemensam vinkel vid G följer likformigheten. Punkten V
måste då ligga på FG då även trianglarna SVG och FCG är likformiga med GCB.
Diagonalen HS till rektangeln GHVS delas då av FG på mitten, vilket innebär att
punkterna H och S har samma vinkelräta avstånd till FG. Enligt ovan innebär
detta att cirklarna med medelpunkter i M respektive T har samma diametrar, dvs
är tvillingcirklar.
Då punkterna E och U sammanfaller fås som ett specialfall de klassiska Arkimedes
tvillingcirklar.
Lemma 2. Linjen genom H och S är gemensam tangent till de båda cirklarna
C
DB
och C
RC
.
Bevis. Vinkeln DHS är summan av vinklarna DHE och EHS. Men vinklarna DHE
och DEH är lika och då enligt ovan lika med vinkeln BCG. Eftersom också vinklarna
EHS och GBC är lika, så är vinkeln DHS lika stor som summan av vinklarna BCG
och GBC, dvs rät. Analogt ses att vinkeln RSH är rät.
Kordasatsen medför också utifrån (1) ovan att från punkten G (och från vilken
annan punkt som helst på linjen genom F och G) är det lika långa tangenter till
båda cirklarna C
DB
och C
RC
. Linjen genom skärningspunkterna Q och Q’ är po-
tenslinjen till C
DB
och C
RC
. Potenslinjen kan också enkelt konstrueras då cirklarna
inte överlappar, vilket utgör det andra fallet av den generaliserade arbelosfigur jag
kallar en öppen arbelos. Samma resultat för tvillingcirklarna gäller även i detta
fall, om FG är på denna potenslinje som i Figur 5. Detta följer också med samma
argument där mellanledet i (1) då ersätts med de gemensamma längderna av tan-
genterna. Eftersom diagonalen HS i rektangeln GHVS delas på mitten av FG kan
potenslinjens läge direkt konstrueras med hjälp av mittpunkten på HS (se fotnot
2 nedan).
Resultaten ovan kan sammanfattas i följande sats:
Sats 1. I en öppen arbelos, dvs. den generaliserade arbelosfigur som fås då de
mindre halvcirklarna inte tangerar varandra och deras gemensamma tangent ersätts
av deras potenslinje, är de inskrivna cirklarna tvillingcirklar (dvs cirklarna med
medelpunkter M respektive T i Figur 4 respektive 5).
26 Christer Bergsten Normat 1/2009
Figur 5: Tvillingcirklar vid potenslinjen.
För att bestämma potenslinjens läge BF och tvillingcirklarnas diameter använder
jag följande beteckningar: BC = 1 BB’ = r
1
, BF = a BC’ = r
2
, och tvillingcirklar-
nas respektive radie r
M
och r
T
. Här är r
1
och r
2
båda mellan 0 och 1 och oberoende
av varandra (dvs även fallet med de mindre cirklarna enligt Figur 4 är möjligt).
Sats 2. Tvillingcirklarnas diameter är halva harmoniska medelvärdet av 1 − r
1
och
r
2
(dvs. sträckorna B’C och BC’ i Figur 5), vilket kan uttryckas genom formeln
r
M
= r
T
=
r
2
(1 − r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
.
Bevis. Med egenskapen att tangenten från G till respektive cirkel C
DB
och C
RC
är
lika ger Pythagoras sats, efter förenklingar,
1
att
a =
r
2
r
2
+ 1 − r
1
, r
M
=
a(1 − r
1
)
2
och r
T
=
r
2
(1 − a)
2
.
Tillsammans ger detta även att
r
M
= r
T
=
r
2
(1 − r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
.
Med r
1
= r
2
= r fås fallet med arbelos (dvs. B’ och C’ sammanfaller med F i Figur
5) och formeln ovan visar att tvillingcirkelns diameter då är halva harmoniska
medelvärdet av de givna inre cirklarnas diametrar.
Konstruktionen ovan av tvillingcirklarna kan alltså genomföras även i arbelos. Jag
visar emellertid i Figur 6 en enklare konstruktion av dessa.
1
Se Appendix för detaljerna
Normat 1/2009 Christer Bergsten 27
Konstruktion 2
Genom att rita vad jag i [5] kallade den magiska cirkeln C
CG
får man direkt tange-
ringspunkten N som skärningen mellan C
CG
och C
DB
(se även [4]). Förlängningen
av BN skär FG i P och förlängningen av DN skär normalen till FG genom P i M,
tvillingcirkelns medelpunkt. Tvillingcirkeln kan ritas. Konstruktionen av den andra
tvillingcirkeln genomförs analogt med hjälp av den magiska cirkeln C
BG
. För ett
bevis av konstruktionens giltighet hänvisas till [5]
Figur 6: Konstruktion av en tvillingcirkel i arbelos.
3 Ett tangeringsproblem
Konstruktioner och observationer som de som presenteras i denna artikel kan med
fördel göras med hjälp av så kallade dynamiska geometriprogram som funnits på
marknaden sedan 1980-talet, dvs. dataprogram där man kan rita och ”dra” i geo-
metriska figurer för att undersöka deras egenskaper (se t.ex. [6]). En sådan obser-
vation är att om den gemensamma tangenten till cirklarna C
DB
och C
RC
i arbelos
skär BC:s förlängning i punkten X, så tangerar cirkeln med diameter AX de båda
tvillingcirklarna (se Figur 7). Vid en undersökning med ett dynamiskt geometripro-
Figur 7 : Cirkeln med diameter AX tangerar tvillingcirklarna i arbelos.
28 Christer Bergsten Normat 1/2009
gram upptäcker man att denna tangeringsegenskap även gäller i en öppen arbelos.
Jag formulerar detta som Sats 3.
Punkten X är den så kallade likställighetspunkten till cirklarna C
DB
och C
RC
.
Figur 8 illustrerar denna punkt i en öppen arbelos. För att bestämma likställig-
hetspunktens läge i detta fall är här r
1
och r
2
båda mellan 0 och 1 med r
1
+ r
2
> 1
men i övrigt oberoende av varandra. Detta innebär att båda fallen med de mindre
cirklarna enligt Figur 1 är möjliga och att punkten X ligger till höger om cirklarna.
Figur 8: Likställighetspunkten X till cirklarna i en öppen arbelos.
Lemma 3. För likställighetspunkten X i Figur 8 är BX =
r
1
r
2
r
1
+r
2
−1
där r
1
och r
2
båda är mellan 0 och 1 och r
1
+ r
2
> 1.
Bevis. Låt CX = x. Likformigheten av trianglarna RXS och DXH ger att
(1−r
2
)/2
r
1
/2
=
x+(1−r
2
)/2
x+1−r
1
/2
, som direkt ger resultatet då BX = 1 + x.
Då likställighetspunkten lätt kan konstrueras
2
kan den användas för att dra
den gemensamma tangenten till cirklarna C
DB
och C
RC
. Med hjälp av dessa tan-
geringspunkter kan potenslinjen konstrueras då den måste passera mittpunkten
mellan dessa tangeringspunkter (se Figur 5).
Sats 3. Den gemensamma tangenten till cirklarna C
DB
och C
RC
i en öppen arbelos
skär BC:s förlängning i punkten X. Cirkeln med diameter AX tangerar då båda
tvillingcirklarna (se Figur 9, där FG ligger på potenslinjen till C
DB
och C
RC
).
Bevis. I Appendix visas att följande formler ger tvillingcirklarnas medelpunkter
(x
M
, y
M
) och (x
T
, y
T
):
(x
M
, y
M
) =
r
2
(1 + r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
,
p
r
1
r
2
(1 − r
1
)
r
2
+ 1 − r
1
(x
T
, y
T
) =
r
2
(3 − r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
,
p
r
2
(1 − r
2
)(1 − r
1
)
r
2
+ 1 − r
1
2
Normalerna till BC genom D respektive R skär C
DB
i P
1
och C
RC
i P
2
(dvs på övre halv-
cirklarna). Linjen genom P
1
och P
2
skär då BC:s förlängning i X. Det finns också andra enkla
konstruktioner av potenslinjen.
Normat 1/2009 Christer Bergsten 29
Figur 9: Cirkeln C
YX
tangerar tvillingcirklarna vid potenslinjen i en öppen arbelos.
(Y är mittpunkten på sträckan AX.)
För tvillingcirklarnas radie visas även där att
r
M
= r
T
=
r
2
(1 − r
1
)
2(r
1
+ r
2
− 1)
.
Av Lemma 3 följer att cirkeln C
YX
har radien
r
Y
=
r
1
r
2
2(r
1
+ r
2
− 1)
−
1
4
och att punkten Y därmed har x-koordinaten
x
Y
=
1
4
+
r
1
r
2
2(r
1
+ r
2
− 1)
.
Med hjälp av Pythagoras sats på trianglarna MM’Y och TT’Y (se Figur 10) följer
nu Sats 3 om likheterna
y
2
M
+ (x
Y
− x
M
)
2
= (r
y
+ r
M
)
2
och
y
2
T
+ (x
Y
− x
T
)
2
= (r
y
− r
T
)
2
är uppfyllda, vilket enkelt verifieras genom en direkt algebraisk kalkyl.
Denna algebraiska kalkyl garanterar alltså resultatet att cirkeln C
YX
tangerar båda
tvillingcirklarna men ger inte, som Descartes kanske skulle ha uttryckt det, någon
insikt i varför det förhåller sig så. Kanske kan någon läsare hitta en rent geometrisk
förklaring till detta resultat, dvs ett argument som inte bygger på algebraisk kalkyl.
Att tangeringsegenskapen i Sats 3 även gäller i en arbelos följer direkt genom
att välja r
1
= r
2
= r med 0 < r < 1. Att bevisa denna egenskap direkt i detta
enklare fall med en arbelos kan vara en lämplig utmaning i en gymnasieklass.
30 Christer Bergsten Normat 1/2009
Figur 10: Rätvinkliga trianglar MM’Y och TT’Y för beviset av Sats 3.
Referenser
[1] Ulin, B. Pappus – en proportionernas jonglör. Normat, 53 (2005), 13-20.
[2] Ronaess, K. S. Arkimedes’ arbelos. Normat, 55 (2007), 181-185.
[3] Eide, M. Tangerende sirkler og sirkelvektorer. Normat, 56 (2008), 122-132.
[4] Danneels, E. & van Lamoen, F. Midcircles and the Arbelos. Forum Geometricorum,
7 (2007), 53-65.
[5] Bergsten, C. Magic circles in the arbelos. LiTH-MAT-R-2006-12, Department of
Mathematics, Linköpings universitet.
[6] Bergsten, C. Euklides i nya kläder – om dynamiska geometriprogram.
Medlemsutskicket, maj 2006, Svenska matematikersamfundet.
Appendix
För att bestämma potenslinjens läge i den generaliserade arbelosfiguren används
Pythagoras sats på de rätvinkliga trianglarna i Figur 11, där GZ = GZ’ = d är lika
långa tangenter från G till respektive cirkel. Då GD respektive GR är hypotenusa
i två olika trianglar fås ekvationssystemet nedan med BC = 1, BB’ = r
1
, BF = a,
BC’ = r
2
, och att FG =
p
a(1 − a). Potenslinjens läge a kan där enkelt lösas ut
till a =
r
2
r
2
+1−r
1
.
(
r
1
2
2
+ d
2
=
a −
r
1
2
2
+ a(1 − a)
1−r
2
2
2
+ d
2
=
1+r
2
2
− a
2
+ a(1 − a)
För att bestämma tvillingcirklarnas diameter använder jag Pythagoras sats på de
rätvinkliga trianglarna MM’D och MM’A respektive TT’R och TT’A i Figur 12.
Detta ger direkt följande två ekvationssystem (det vänstra för den vänstra tvilling-
cirkeln, det högra för den högra). Här är y
M
= MM’ och y
T
= TT’. Observera att
samma ekvationssystem fås även då de mindre halvcirklarna i den generaliserade
arbelosfiguren skär varandra (som i Figur 4).
(
r
1
2
+ r
M
2
=
a − r
M
−
r
1
2
2
+ y
2
M
1
2
− r
M
2
=
a − r
M
−
1
2
2
+ y
2
M
(
1−r
2
2
+ r
T
2
=
1+r
2
2
− (a + r
T
)
2
+ y
2
T
1
2
− r
T
2
=
a + r
T
−
1
2
2
+ y
2
T
Normat 1/2009 Christer Bergsten 31
Figur 11: Potenslinjens läge.
Det vänstra ekvationssystemet ger att r
M
=
a(1−r
1
)
2
och det högra att r
T
=
r
2
(1−a)
2
.
En insättning här av uttrycket för a ovan bekräftar att
r
M
= r
T
=
r
2
(1 − r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
.
Enligt ovan är MM’ = r
1
a(1− a), vilket av symmetriskäl ger TT’ = a(1− a)(1− r
2
).
Medelpunkten M för den vänstra tvillingcirkeln får därför koordinaterna
r
2
(1 + r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
,
p
r
1
r
2
(1 − r
1
)
r
2
+ 1 − r
1
och T i den högra
r
2
(3 − r
1
)
2(r
2
+ 1 − r
1
)
,
p
r
2
(1 − r
2
)(1 − r
1
)
r
2
+ 1 − r
1
.
Figur 12: Rätvinkliga trianglar för bestämning av tvillingcirklarnas radie.
