Normat 57:3, 141 (2009) 141
Uppgifter
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING
Svenska Matematikersamfundet
Finaltävling i Göteborg den 21 november 2009
1. Till en kvadratisk sal med sidan 6 m har man anskaffat fem kvadratiska
mattor, två med sidan 2 m, en med sidan 2,1 m och två med sidan 2,5
m. Är det möjligt att placera ut de fem mattorna så att de inte på något
ställe överlappar varandra? Mattornas kanter behöver inte vara parallella
med salens väggar.
2. Finn alla reella lösningar till ekvationen
(1 + x
2
)(1 + x
3
)(1 + x
5
) = 8x
5
.
3. En urna innehåller ett antal gula och gröna kulor. Man drar två kulor ur
urnan (utan att lägga tillbaka dem) och beräknar sannolikheten för att båda
kulorna är gröna. Kan man välja antalet gula och gröna kulor så att denna
sannolikhet är 1/4?
4. Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen x + x
3
= 5y
2
.
5. En halvcirkelbåge och en diameter AB med längden 2 är given. Låt O vara
diameterns mittpunkt. På radien vinkelrät mot diametern väljer vi en punkt
P på avståndet d från diameterns mittpunkt O, 0 < d < 1. En linje genom A
och P skär halvcirkeln i punkten C. Genom punkten P drar vi ytterligare en
linje vinkelrätt mot AC. Den skär halvcirkeln i punkten D. Genom punkten
C drar vi så en linje, l
1
, parallell med P D och därefter en linje, l
2
, genom
D parallell med P C. Linjerna l
1
och l
2
skär varandra i punkten E. Visa att
avståndet mellan O och E är lika med
√
2 − d
2
.
6. På ett bord ligger 289 enkronorsmynt och bildar ett kvadratiskt 17 × 17 -
mönster. Alla mynten är vända med krona upp. Vid ett drag får man vända
på fem mynt som ligger i rad: lodrätt, vågrätt eller diagonalt. Är det möjligt
att efter ett antal sådana drag få alla mynten vända med klave upp?
Skrivtid: 5 timmar
Formelsamling och miniräknare är inte tillåtna!
