Normat 57:3, 97–106 (2009) 97
Summer av to kvadrat
Marius Overholt
Institutt for Matematikk
Universitetet i Tromsø
9037 Tromsø
marius.overholt@uit.no
En sum av to kvadrat er et positivt heltall b som kan skrives på form b = k
2
+ m
2
hvor k og m er (ikke nødvendigvis positive) heltall. De første få av disse tallene er
1 = 0
2
+ 1
2
, 2 = 1
2
+ 1
2
, 4 = 0
2
+ 2
2
, 5 = 1
2
+ 2
2
, 8 = 2
2
+ 2
2
, 9 = 0
2
+ 3
2
, 10 =
1
2
+ 3
2
, 13 = 2
2
+ 3
2
. Umiddelbart fremtrer ikke noe klart mønster, men i 1625
publiserte den franske ingeniøren og matematikeren Albert Girard en beskrivelse
som er ekvivalent med følgende: Et tall er sum av to kvadrat hvis og bare hvis det
er produkt av potenser av tallene 2, primtall p ≡ 1 (mod 4) og kvadrater p
2
av
primtall p ≡ 3 (mod 4).
Girard har neppe hatt noe fullstendig bevis for sin karakterisering, men har
sikkert brukt polynomidentiteten
(x
2
+ y
2
)(u
2
+ v
2
) = (xu − yv)
2
+ (xv + yu)
2
som ble oppdaget av den indiske matematikeren Brahmagupta i det syvende år-
hundre. Fibonacci gjorde den kjent i Europa et halvt millennium senere. Ved hjelp
av komplekse tall z = x + iy og w = u + iv skrives den mer kompakt som
|z|
2
|w|
2
= |zw|
2
. Identiteten gjør det klart at et produkt av summer av to kvadrat
selv er sum av to kvadrat, og på grunnlag av dette og noe regning fremtrer Girards
beskrivelse som sannsynlig.
Etter dagens målestokk er bare ett genuint vanskelig resultat nødvendig for å
bevise den multiplikative karakteriseringen av summer av to kvadrat. Det er den
sats at ethvert primtall p ≡ 1 (mo d 4) er sum av to kvadrat. Dette resultatet fore-
kommer uten bevis i et brev fra Pierre de Fermat til Marin Mersenne datert første
juledag 1640, og derfor kalles satsen av og til på engelsk for Fermat’s Christmas
Theorem. Dette regnes ofte som det første dype resultatet i tallteorien.
Pierre de Fermat var juridisk embedsmann i Toulouse og den største av alle
amatørmatematikere. Han gjorde viktige oppdagelser i kalkulus, optikk og sann-
synlighetsteori, og fremfor alt var han en av de betydeligste tallteoretikere som
har levet. Marin Mersenne var en munk i Paris med vitenskapelige interesser. Han
brevvekslet med mange av de viktigste vitenskapsmennene i sin samtid, og holdt
sin krets av korrespondenter orientert om nye framskritt i en tid da det ikke fantes
vitenskapelige journaler.
Hvorfor er det rimelig å anta at Fermat hadde et bevis for sin sats, selv om han
aldri publiserte det? Fermat publiserte stort sett ikke beviser, og mye av hva vi vet
98 Marius Overholt Normat 3/2009
om hans forskning i tallteori har vi fra marginalia i hans eksemplar av Diofantus’
Arithmetica, publisert av hans sønn etter hans død. Men ett viktig bevis skrev han
ut i detalj, for at likningen
x
4
+ y
4
= z
2
ikke har løsninger i heltall med xyz 6= 0. Metoden han brukte var hans egen opp-
dagelse, og meget krevende. Den kalles uendelig nedstigning og er fremdeles svært
viktig i tallteorien.
Vi illustrerer uendelig nedstigning på et enkelt problem: Å bevise at hvis a er
et ikke-negativt og b et positivt heltall så finnes ikke-negative heltall q og r med
a = qb + r og 0 ≤ r < b. Dette er et grunnleggende resultat i elementær tallteori
og kalles divisjon med rest. La A
b
betegne de positive heltall a slik at divisjon av
a på b med rest svikter. Vårt mål er å vise at A
b
er den tomme mengde. Anta at
a ∈ A
b
; da må a ≥ b for ellers er a = 0·b + a med 0 ≤ a < b. Hvis a − b = qb + r
med 0 ≤ r < b så er a = (q + 1)b +r. Derfor vil a ∈ A
b
implisere at a −b ∈ A
b
, som
strider mot at A
b
består av ikke-negative heltall, hvis A
b
er ikketom. Altså er A
b
tom og divisjon med rest er gyldig. Åpenbart er uendelig nedstigning en variant av
matematisk induksjon. Vår illustrasjon av metoden var et lett tilfelle, men Fermat
anvendte den på problemer hvor konstruksjonen av en mindre løsning fra en antatt
løsning var meget vanskeligere. I slike tilfelle gjennomføres konstruksjonen ved en
blanding av algebra og tallteori, og kan kreve stor skarpsindighet.
I et brev har Fermat meddelt at han beviste resultatet om primtall som summer
av to kvadrat ved uendelig nedstigning. Leonard Euler lyktes etter hardt arbeid å
finne et bevis for satsen nesten ett århundre etter Fermats død. Beviset bygger på
uendelig nedstigning! Det er grunn til å tro at mange av de vanskelige resultate-
ne om likninger i heltall som Fermat annonserte, hadde han bevist ved uendelig
nedstigning. Blant annet framsatte han som oppgave å bevise at likningen
x
3
+ y
3
= z
3
ikke har løsninger i heltall med xyz 6= 0. Dette er vanskeligere enn de to andre av
hans resultater nevnt over; det første beviset ble offentliggjort av Euler og var også
basert på uendelig nedstigning.
Alle kjente bevis for Fermats sats om summer av to kvadrat bygger enten på
et meget skarpsindig resonnement, eller så gjør de bruk av resultat fra en mer
omfattende teori. Flere dusin bevis er publisert siden Euler fant det første i 1749;
her skal vi gjengi et slående bevis som ble oppdaget av den britiske tallteoretikeren
David Rodney Heath-Brown i nyere tid.
Sats 1. Ethvert primtall p kongruent til 1 modulo 4 er sum av to kvadrat.
Bevis. En involusjon på en ikketom mengde A er en bijektiv funksjon σ : A → A
med den egenskap at for hver a ∈ A så medfører σ(a) = b at σ(b) = a. Hvis b = a
så kalles a for et fikspunkt til σ.
Involusjonen (x, y, z)
f
7→ (−x, z, y) på den endelige mengden
S = {(x, y, z) ∈ Z
3
|x
2
+ 4yz = p , y > 0 , z > 0 }
har intet fikspunkt siden x = 0 er umulig. Spesielt gjelder f (T ) = S \ T hvor
T = {(x, y, z) ∈ S |x > 0 }.
Normat 3/2009 Marius Overholt 99
Videre er f (U) = S \ U hvor
U = {(x, y, z) ∈ S |x − y + z > 0 }.
For det finnes ingen elementer i S med x − y + z = 0 siden dette ville medføre at
p = x
2
+ 4yz = (y − z)
2
+ 4yz = (y + z)
2
. Men f er en bijeksjon så
f(T \ U) = f(T ) \ f(U) = (S \ T ) \ (S \ U ) = U \ T
viser at T \U og U \T har det samme antall elementer. Siden T = (T \U)∪(T ∩U )
og U = (U \ T ) ∪ (T ∩ U) følger at T og U har det samme antall elementer.
Avbildningen (x, y, z) 7→ (2y − x, y, x − y + z) er en involusjon på U , siden
(2y − x)
2
+ 4y(x − y + z) = 4y
2
− 4xy + x
2
+ 4xy − 4y
2
+ 4yz = x
2
+ 4yz = p
. Betingelsen for at (x, y, z) skal være et fikspunkt til denne involusjonen er at
x = y. Det medfører at x
2
+ 4xz = p, og siden p er primtall, er x = ±1, ±p de
eneste mulighetene. Men x = ±p er umulig fordi x
2
+ 4yz = p med y > 0 og
z > 0. Hvis x = −1 så er y = −1 og z = (1 − p)/4, som strider mot betingelsen
x−y +z > 0. Vi står igjen med (x, y, z) = (1, 1, (p−1)/4), som er et fikspunkt fordi
(p − 1)/4 er heltall. Så involusjonen har nøyaktig ett fikspunkt, og da må antall
elementer i U være oddetall, dermed er antall elementer i T også oddetall.
Avbildningen (x, y, z) 7→ (x, z, y) er en involusjon på T . Siden antall elementer i
T er oddetall har denne involusjonen et odde antall fikspunkt, dermed minst ett, så
det finnes et element (x, y, z) ∈ T med y = z. Men da er p = x
2
+ 4yz = x
2
+ (2z)
2
så p er sum av to kvadrat.
Ovenstående kombinatoriske bevis er ganske kort sett i lys av at det ikke bygger
på noen mer omfattende teori. Enda kortere beviser krever mer teoretisk bakgrunn.
Noen heltall har ingen representasjon som sum av to kvadrat; det gjelder alle
som er kongruente til 3 modulo 4 og i tillegg mange andre. Noen har bare få
representasjoner, som for eksempel 5, som har den ene representasjonen 5 = 1
2
+2
2
,
eller åtte representasjoner hvis vi teller alle varianter med forskjellige valg av fortegn
og rekkefølge til k og m i 5 = k
2
+m
2
. Men det viser seg også at noen heltall, som for
eksempel produkter av mange små primtall kongruente til 1 modulo 4, har mange
representasjoner. Definerer vi r(n) som antall representasjoner til n som sum av to
kvadrat, med fortegn og rekkefølge tatt hensyn til, så er for eksempel r(3) = 0 og
r(5) = 8. Overraskende nok finnes en formel
r(n) = 4
X
d|n
d≡1 mod 4
1
− 4
X
d|n
d≡3 mod 4
1
for antall representasjoner. Den ble oppdaget av Carl Gustav Jakob Jakobi i 1829
ved hjelp av teorien for elliptiske funksjoner. Det er en tidlig anvendelse av analyse
i tallteorien. Jakobis formel kan utformes som en regel: For å finne antall represen-
tasjoner til et heltall som sum av to kvadrat, tell opp antall divisorer til heltallet
som er kongruente til 1 modulo 4, trekk fra antall divisorer som er kongruente til 3
modulo 4, og multipliser med 4. Jakobis regel var foregrepet av en annen regel for
100 Marius Overholt Normat 3/2009
r(n) som Carl Friedrich Gauss utledet fra teorien for binære kvadratiske former og
nevnte i en fotnote i artikkel 182 i Disquisitiones Arithmeticae.
Jakobis bevis for hans formel bygger ikke på noen tallteoretiske forutsetninger i
det hele tatt; siden den viser at r(p) = 8 hvis p ≡ 1 (mod 4) er primtall så leverer
formelen et nytt bevis for Fermats resultat. Men den viser mer, for eksempel at
opp til fortegn og rekkefølge til k og m i p = k
2
+m
2
så har primtall p ≡ 1 (mod 4)
nøyaktig én representasjon som sum av to kvadrat. En lagniappe til formelen er at
ingen heltall kan ha flere divisorer kongruente til 3 modulo 4 enn til 1 modulo 4.
For antall representasjoner kan jo aldri bli negativt!
De uløste problemene som knytter seg til summer av to kvadrat vedrører deres
fordeling blant de positive heltallene. Slike spørsmål kan formuleres med eller uten
hensyntagen til antall representasjoner. For eksempel teller summen
R(x) =
X
n≤x
r(n)
det totale antall representasjoner som summer av to kvadrat til de positive heltal-
lene n ≤ x. I denne summen veier heltallene med mange representasjoner tyngre
enn de andre. Summen
B(x) =
X
b≤x
1
teller antall positive heltall n ≤ x som er sum av to kvadrat, uten å ta hensyn til
hvor mange representasjoner de har. (Bokstaven b betegner en sum av to kvadrat
ved konvensjon.)
Siden vi har Jakobis formel for r(n) til rådighet, skulle vi kunne oppskatte R(x)
ved innsetting. Men et geometrisk resonnement fra Gauss’ etterlatte papirer fører
lettere til målet. Vi observerer at n = k
2
+ m
2
utsier at avstanden fra origo til
punktet (k, m) er
√
n. Et punkt i planet med heltallskoordinater kalles et gitter-
punkt.
Sats 2. Ulikheten
|R(x) −πx| ≤ 6
√
x
gjelder for alle x ≥ 1.
Bevis. Summen er lik det totale antall representasjoner 1 ≤ k
2
+ m
2
= n ≤ x
med (k, m) ∈ Z
2
. Så den er lik antall gitterpunkter som ligger på eller innenfor
sirkelen u
2
+ v
2
= x, minus ett fordi origo ikke telles med. Unionen av de akse-
parallelle lukkede kvadratene med sentre i disse gitterpunktene og sidelengde lik 1 er
inneholdt i den lukkede sirkeldisken om origo med radius
√
x +
√
2/2 og inneholder
den lukkede sirkeldisken om origo med radius
√
x −
√
2/2, siden disse kvadratene
har diameter
√
2. Da er
π
√
x −
√
2
2
2
≤ 1 +
X
n≤x
r(n) ≤ π
√
x +
√
2
2
2
ved arealsammenlikning, siden kvadratene har areal lik 1. Ulikheten følger fordi
π
√
2 + π/2 − 1 ≤ 6.
Normat 3/2009 Marius Overholt 101
Siden
1
x
X
n≤x
r(n) − π
≤
6
√
x
impliserer Gauss’ resultat at det gjennomsnittlige antall representasjoner som sum
av to kvadrat til de positive heltallene n ≤ x går mot π når x → +∞. Spørsmålet
om hvor liten vi kan velge θ slik at en ulikhet
|R(x) −πx| ≤ C
x
θ+
holder for hver > 0 kalles Gauss’ sirkelproblem. Etter Gauss vet vi at θ = 1/2
er mulig her, men i 1914 beviste Godfrey Harold Hardy at θ ≥ 1/4. Den beste
verdien er enda ikke kjent; Wacław Sierpiński viste i 1904 at θ = 1/3 er mulig,
og i 2000 oppnådde Martin Neil Huxley θ = 131/416 som den siste av en lang
rekke forbedringer. Elementære bevis for eksponenten θ = 1/3 finnes, men de
bedre eksponentene krever mer avanserte teknikker i analytisk tallteori. Det er
gode grunner til å anta at den beste eksponenten er θ = 1/4, men dit er det langt
igjen.
Tellefunksjonen B(x) er vanskeligere å hanskes med enn R(x). Det grunnleggen-
de asymptotiske estimatet
B(x) ∼
β
0
x
p
log(x)
, β
0
=
1
√
2
Y
p≡3(4)
(1 − p
−2
)
−1/2
ble bevist av Edmund Landau i 1908. Dette resultatet er et hakk vanskeligere å
bevise enn den berømte Primtallssatsen
π(x) =
X
p≤x
1 ∼
x
log(x)
for tellefunksjonen til primtallene. (Bokstaven p betegner et primtall ved konven-
sjon.) Ennå i dag er ikke noe elementært bevis for estimatet for B(x) kjent. Merk at
det gjennomsnittlige antallet representasjoner som sum av to kvadrat til de positive
heltallene n ≤ x som er sum av to kvadrat er
R(x)
B(x)
∼
π
β
0
p
log(x).
For store x er dette forholdet adskillig større enn det gjennomsnittlige antall re-
presentasjoner
R(x)
x
∼ π
fordi alle heltallene som ingen representasjoner har, ikke trekker ned. Det er ikke
så få heltall som har mange forskjellige representasjoner som sum av to kvadrat.
Landaus sats kan forbedres til
B(x) ∼
x
p
log(x)
β
0
+ β
1
log(x)
−1
+ β
2
log(x)
−2
+ ···
102 Marius Overholt Normat 3/2009
hvor rekkeuttrykket på høyre side ikke er en konvergent uendelig rekke, men en
såkalt asymptotisk ekspansjon. Det vil si at om vi danner en approksimasjon, som
for eksempel
B(x) ≈
x
p
log(x)
β
0
+ β
1
log(x)
−1
+ β
2
log(x)
−2
,
ved å bryte av utviklingen etter et visst antall ledd, så er avbruddsfeilen dominert
av et konstant multippel av det første utelatte leddet når x → +∞. Altså i dette
eksemplet
B(x) −
β
0
x
log(x)
1/2
−
β
1
x
log(x)
3/2
−
β
2
x
log(x)
5/2
≤
Cx
log(x)
7/2
når x → +∞, med en passende positiv konstant C.
Vi har en tilsvarende asymptotisk utvikling
π(x) ∼
x
log(x)
1 + log(x)
−1
+ ··· + n! log(x)
−n
+ ···
for tellefunksjonen til primtallene. Det logaritmiske integralet
li(x) =
Z
x
2
du
log(u)
∼
x
log(x)
1 + log(x)
−1
+ ··· + n! log(x)
−n
+ ···
har den samme asymptotiske utviklingen, og tar vi differensen, ser vi at
π(x) = li(x) + E(x)
med et restledd E(x) som er dominert av et konstant multippel av x/ log(x)
n+1
for vilkårlig store n. Dette restleddet kan faktisk estimeres mye bedre enn som så.
Nikolai Mikhailovich Korobov og Ivan Matveevich Vinogradov beviste i 1958 at
|E(x)| ≤ C x e
−c log(x)
3/5
log log(x)
−1/5
for visse positive konstanter c og C.
Noe tilsvarende resultat er ikke kjent for B(x). Koeffisientene β
n
er gitt ved
kompliserte tallteoretiske uttrykk, og det er langt fra klart at det skulle finnes
noen rimelig beskrivbar funksjon som spiller samme rolle for B(x) som li(x) gjør
for π(x). Intet bedre estimat for B(x) enn den asymptotiske ekspansjonen ovenfor
er kjent.
Så langt ser det ut som åpne spørsmål vedrørende summer av to kvadrat bare
kan angripes med vanskelige teknikker fra analytisk tallteori. Men på det neste
problemet har alle disse teknikkene kommet til kort, og det beste resultatet som
er kjent vises med verktøy fra videregående skoles matematikk, og har stått urørt
i seksti år! Spørsmålet er hvor stor vi må ta h som funksjon av x for å garantere
at intervallet (x − h, x] inneholder en sum av to kvadrat. Det dreier seg altså om
eksistens av summer av to kvadrat i korte intervaller, i analogi med tilsvarende
problem for primtall som har vært undersøkt siden det nittende århundre.
Normat 3/2009 Marius Overholt 103
Gitt x velger vi k heltall slik at x −k
2
> 0 men ellers så stor som mulig. Det gir
en rest r
1
= x−k
2
av størrelsesorden x
1/2
. Så velger vi m heltall slik at r
1
−m
2
> 0
men ellers så stor som mulig. Det gir en rest r
2
av størrelsesorden
√
r
1
eller x
1/4
.
Nå er x = k
2
+ m
2
+ r
2
så x − r
2
< k
2
+ m
2
< x og vi ser dermed at vi kan ta
h av størrelsesorden x
1/4
. Går vi dette resonnementet etter i sømmene og regner
presist med ulikheter finner vi at intervallet (x −2
√
2 x
1/4
, x] inneholder en sum av
to kvadrat for alle x ≥ 1.
Ovenstående resonnement forekommer i et arbeide av Ram Prakash Bambah og
Sarvadaman Chowla fra 1947. Den første som undersøkte problemet var antakelig
Tirukkannapuram Vijayaraghavan, men han publiserte ikke sitt resultat. Det er
ønskelig å redusere eksponenten 1/4, men siden det ikke har vært noen fremskritt
siden 1947, er svakere resultater også av interesse. Den store britiske matematikeren
John Edensor Littlewood var interessert i summer av to kvadrat, og fremsatte som
et forskningsproblem å bevise at det finnes en positiv funksjon f(x) med f(x) → 0
når x → +∞ slik at alle intervallene (x − f (x)x
1/4
, x] inneholder en sum av to
kvadrat.
Å redusere konstanten 2
√
2, for eksempel med en faktor 1/2, kan synes overkom-
melig uten noen grunnleggende ny idé, men er av liten interesse. Om vi slakker på
kravet om at alle intervallene (x − h, x] skal inneholde en sum av to kvadrat, kan
vi ta h meget mindre. Problemet om eksistens av summer av to kvadrat i nesten
alle korte intervaller er løst fullstendig: En dobbeltsidig ulikhet
a h(x)
p
log(x)
≤
X
x−h(x)<b≤x
1 ≤
A h(x)
p
log(x)
, 0 < a < A,
holder for nesten alle x hvis h(x)/
p
log(x) → +∞ når x → +∞. Dette presise og
nesten best mulige resultatet ble vist av John Benjamin Friedlander (øvre skranke i
1982) og Christopher Hooley (nedre skranke i 1994). At ulikheten holder for nesten
alle intervaller betyr at om vi betegner lengden til mengden av de x med 1 ≤ x ≤ X
hvor ulikheten ikke holder med `(X) så vil `(X)/X → 0 når X → +∞. Ved den
nedre skranken ser vi at hvis
h(x)
p
log(x)
→ +∞
når x → +∞ så inneholder nesten alle intervallene (x − h(x), x] en sum av to
kvadrat.
Men å forbedre resultatet til Bambah og Chowla for alle korte intervaller er frem-
deles et åpent problem, og her er forbedringspotensialet formidabelt. En grovkornet
sannsynlighetsteoretisk heuristikk indikerer at det skal finnes en positiv konstant
C slik at intervallet (x−C log(x), x] inneholder en sum av to kvadrat for alle x ≥ 2.
Det siste åpne spørsmålet som vi skal se på kan spores tilbake til et problem
sendt inn til det britiske tidsskriftet The Educational Times i 1903: Å finne alle
konsekutive tripler av to kvadrat. Problemet har dessverre ikke en elegant løsning,
men vi kan ekstrahere en lettere oppgave med en elegant løsning: Vis at det finnes
uendelig mange konsekutive tripler av summer av to kvadrat. For å gi leseren noe
å bryne seg på, er løsningen skjøvet til slutten av artikkelen. Littlewood formulerte
104 Marius Overholt Normat 3/2009
en vanskeligere variant som forskningsproblem: Finnes det for vilkårlige positive
heltall h
1
< h
2
uendelig mange tripler n, n + h
1
, n + h
2
som er simultane summer
av to kvadrat? Problemet sto åpent noen år, men ble løst av Hooley i 1973. Svaret
viste seg å være ja, med et bevis som ikke er spesielt langt, men som bygger på
teorien for ternære kvadratiske former.
Det er klart at hvis vi ser på vilkårlige kvadrupler n, n + h
1
, n + h
2
, n + h
3
så er svaret på spørsmålet i analogi med Littlewoods spørsmål nei. For ethvert
konsekutivt kvadruppel n, n+1, n+2, n+3 inneholder et element som er kongruent
med 3 modulo 4, og dermed ikke en sum av to kvadrat. Men en kan spørre hvilke
betingelser de positive heltallene h
1
< h
2
< ··· < h
g
må oppfylle for at uendelig
mange av tuplene n, n +h
1
, ··· , n+h
g
skal være simultane summer av to kvadrat?
En pekepinn om dette problemets vanskelighetsgrad kan vi få ved å sammenlikne
med de tilsvarende problemene for primtallene eller de kvadratfrie tallene. Spør
vi for hvilke positive heltall h
1
< h
2
< ··· < h
g
tuplet n, n + h
1
, . . . , n + h
g
uendelig ofte bare inneholder primtall, så er svaret ukjent. Det formodes at en
kongruensbetingelse er tilstrekkelig; at polynomet n(n + h
1
) ···(n + h
g
) ikke har
noen fast primfaktor. For eksempel kan ikke n, n+2, n+4 alle være primtall uendelig
ofte siden 3 er en fast primfaktor. Ikke et eneste tilfelle av denne formodningen er
bevist; den kalles formodningen om primtallstupler (the prime tuplets conjecture).
Det best kjente tilfellet er den ubeviste formodningen om at det finnes uendelig
mange primtallstvillinger, altså at både n og n+2 uendelig ofte er primtall samtidig.
Vi slutter at spørsmålet om tupler av summer av to kvadrat bør være adskillig
lettere enn det tilsvarende for tupler av primtall, siden tilfellet n, n + h
1
, n + h
2
er
løst, og tilfellet hvor triplet er konsekutivt er en oppgave.
Et tall s kalles kvadratfritt hvis det ikke finnes noe kvadrat k
2
≥ 4 som går
opp i s. Det er det samme som å si at intet primtall forekommer med eksponent
større enn 1 i faktoriseringen av s som produkt av primtallspotenser. Problemer
vedrørende kvadratfrie tall bruker å falle lettere enn de tilsvarende for primtall eller
summer av to kvadrat. For eksempel har estimatet
Q(x) =
X
s≤x
1 ∼
6
π
2
x
for tellefunksjonen til de kvadratfrie tallene et lett bevis, mens de tilsvarende be-
visene for π(x) og B(x) er vanskelige. (Bokstaven s betegner et kvadratfritt tall
ved konvensjon.) Problemet om tupler av kvadratfrie tall ble løst av Leon Mir-
sky i 1947. Han fant at visse kongruensbetingelser, som trivielt er nødvendige, er
tilstrekkelige. Beviset er elementært.
Det kan virke som problemet vedrørende tupler av summer av to kvadrat ligger
mellom de tilsvarende problemene for primtall og for kvadratfrie tall i vanskelig-
hetsgrad, og antakelig nærmere de kvadratfrie tallene enn primtallene.
Til slutt skal vi gi løsningen på oppgaven. Triplet 8, 9, 10 består av summer av
to kvadrat. Forutsett at triplet n −1, n, n + 1 består av summer av to kvadrat. Da
består også triplet n
2
− 1, n
2
, n
2
+ 1 av summer av to kvadrat. For n
2
= 0
2
+ n
2
og n
2
+ 1 = 1
2
+ n
2
. Videre er n
2
− 1 = (n − 1)(n + 1) produkt av summer av
to kvadrat etter forutsetning, dermed selv sum av to kvadrat. Dette gir uendelig
mange konsekutive tripler av summer av to kvadrat ved gjentatt kvadrering.
Normat 3/2009 Marius Overholt 105
Referanser
[1] R. P. Bambah and S. Chowla, On numbers which can be expressed as sums
of two squares. Proc. Nat. Inst. Sci. India 13 (1947), no. 2, 101–103.
[2] L. Euler, Novi Comm. Acad. Petropolitensis 5 (1751), 3 et seq.
[3] P. de Fermat, Oeuvres. 3 vols., Gauthiers-Villars, Paris (1841,1894,1896), I
293, II 213, III 243–246.
[4] J. B. Friedlander, Sifting short intervals. Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc. 91 (1982), 9–15.
[5] J. B. Friedlander, Sifting short intervals, II. Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc. 92 (1982), 381–384.
[6] C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae. G. Fleischer, Leipzig (1801), §182.
[7] C. F. Gauss, Werke. 12 vols., Dieterichschen Universitätsdruckerei, Göttin-
gen (1863-1933), II 272–275.
[12] G. H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares.
Quart. J. Math. 46 (1915), 263–283.
[9] D. R. Heath-Brown, Fermat’s two squares theorem. Invariant 11 (1984), 3–5.
[10] C. Hooley, On the Intervals between Numbers that are Sums of Two Squares,
II. J. Number Theory 5 (1973), 215–217.
[11] C. Hooley, On the Intervals between Numbers that are Sums of Two Squares,
IV. J. Reine Angew. Math. 452 (1994), 79–109.
[12] M. N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta
function. Number theory for the millennium, II (Urbana, IL 2000) (Natick,
MA) (M. A. Bennett, B. C. Berndt, N. Boston, H. G. Diamond, A. J.
Hildebrand and W. Philipp eds.), A K Peters (2002), 275–290.
[13] C. G. J. Jakobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.
Bornträger, Königsberg (1829), 103, 106–107, 184.
106 Marius Overholt Normat 3/2009
[14] N. M. Korobov, Estimates of trigonometric sums and applications. Uspekhi
Mat. Nauk 13 (1958), no. 4, 185–192 (Russian).
[15] E. Landau, Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen
nach der Mindeszahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen
Quadrate. Arch. Math. Phys. 13 (1908), 305–312.
[16] Mathematical Questions, 14955. Educ. Times (2) 3 (1903), 41–43.
[17] L. Mirsky, Note on an asymptotic formula connected with r-free integers.
Quart. J. Math., Oxford Ser. 18 (1947), 178-182.
[18] L. Mirsky, Arithmetical pattern problems relating to divisibility by rth powers.
Proc. London Math. Soc. (2) 50 (1949), 497–508.
[19] W. Sierpiński, On a problem of the theory of asymptotic functions. Prace
mat.-fiz. 17 (1906), 77–118 (Polish).
[20] S. Stevin, L’Arithmétique. (Reueuë, corrigee & augmentee de plusieurs
traictez et annotations par A. Girard), Elzevier, Leide (1625), 622.
[21] I. M. Vinogradov, A new estimate of the function ζ(1 + it). Iz. Akad. Nauk.
SSSR Ser. Mat. 22 (1958), 161–164 (Russian).
