180 Normat 57:4, 180–182 (2009)
Oktahedergruppen och dess generaliseringar I
Ulf Persson.
Matematiska Institutionen
Chalmers Tekniska Högskola och
Göteborgs Universitet
ulfp@chalmers.se
Betrakta alla ortogonala 3 × 3 matriser med endast heltalselement. Dessa är slutna
under multiplikation, men även under invers, ty determinanten av en ortogonal ma-
tris är ju ±1. Således utgör de dessutom en grupp (G). Eftersom normen (summan
av kvadrater av elementen) av en rad eller kolonn är 1 för en ortogonal matris, är
de enda möjligheterna för elementen att vara ±1, 0 således har vi endast ett änd-
ligt antal möjligheter, och gruppen är följaktligen ändlig. Gör vi en mera ingående
betraktelse inser vi att varje rad och varje kolonn innehåller precis ett element av
formen ±1. Omvänt medför detta även att rader och kolonner kommer att vara
ortogonala och därmed matrisen automatiskt ortogonal. En matris med egenska-
pen att varje rad och kolonn innehåller exakt en etta och resten nollor, kallas som
bekant en permutationsmatris. En sådan uppkommer som basbytesmatris vid en
permutation av ordningen av givna baselement. Dessa utgör en delgrupp S till G
isomorf med den symmetriska gruppen S
3
av permutationer av tre element. Den
har som bekant sex element. Elementen i G fås genom att ge godtyckliga tecken till
ettorna i en permutationsmatris. Detta kan uppenbarligen göras på 2
3
= 8 olika
sätt. Således är ordningen |G| på gruppen lika med 8 × 6 = 48. Vi kan gå vidare. G
innehåller en annan naturlig delgrupp, nämligen diagonalmatriserna. Dessa utgör
en abelsk delgrupp D av formen Z
3
2
(som förväntat med åtta element). Vi inser
lätt att D och S är disjunkta i den meningen att snittet bara består av identi-
tetsmatrisen. Permutations matriser opererar på diagonalmatriser via konjugering.
Konjugatet med en permutationsmatris är helt enkelt motsvarande permutation av
diagonalelementen. Detta kan antigen lätt verifieras för hand, eller genom att inse
att konjugering med permutationsmatriser motsvaras av ett basbyte via omordning
av baselementen. Speciellt inser vi att D är en normal undergrupp, och att kvoten
G/D är isomorf med S. Man säger att G är en halv-direkt produkt av grupperna
D och S och gruppstrukturen är given av konjugatverkan av S på D.
I allmänhet låt A verka på gruppen B genom en homomorfism φ : A → Aut(B) där
Aut(B) utgöres av gruppautomorfismerna av B. Vi ’låtsas’ sedan att aba
−1
= φ(a)(b).
Detta tillåter oss att vända på ab via ab = φ(a)(b)a och som konsekvens att forma pro-
dukten av två produkter a
1
b
1
och a
2
b
2
via
(a
1
b
1
)(a
2
b
2
) = a
1
(b
1
a
2
)b
2
= a
1
(a
2
φ(a
−1
2
))b
2
= (a
1
a
2
)(φ(a
−1
2
)b
2
)
Den läsare som är obekant med detta kan lätt formalisera förfarandet genom att intro-
ducera en lämplig gruppprodukt på A × B
Normat 4/2009 Ulf Persson. 181
Vi har även en naturlig tolkning av homomorfin G → S genom att reducera
varje element modulo två. (D.v.s. avbilda nollor på nollor och ±1 på 1). Denna av-
bildning visar sig enkelt vara en homomorfi. Kärnan till den blir även den D vilket
ögonblickligen inses. Vidare kan vi betrakta delgruppen G
0
av matriser med deter-
minanten 1 i G. Genom avbildningen G → {1, −1} given av determinanten inser
vi att denna består av hälften av elementen. Den har således ordningen 48/2 = 24.
Vidare har vi på samma sätt som tidigare en homomorfi G
0
→ S
3
, men i detta fall
består kärnan av den hälft av matriserna i D som har determinant 1. Dessa utgör
en delgrupp D
0
av D av formen Z
2
2
, d.v.s. Kleins fyrgrupp. Frågan är nu om G
0
också utgör en halv-direkt produkt av i detta fall de naturliga faktorerna D
0
och S
3
.
En permutationsmatris har determinanten 1 precis när den motsvaras av en jämn
permutation. S
3
har således ingen naturlig inklusion i G
0
. Genom att ändra en etta
till minus ett kan vi förvandla en permutationsmatris till en med determinanten
ett. Frågan är om vi kan göra detta på ett konsekvent sätt, d.v.s. slutet under
multiplikation. De udda permutationerna i S
3
utgöres av involutionerna, d.v.s. de
med exakt en fix-punkt. Detta motsvaras av permutationsmatriser med precis en
etta på diagonalen. Det är frestande att utbyta denna etta mot en minus etta.
Men kommer de att vara slutna under multiplikation och bilda en delgrupp S? Ett
ögonblicks eftertanke visar att vid multiplikation från vänster (höger) multiplika-
tion med minus ett endast kommer att påverka en enda rad (kolonn) och därmed
inses att inga problem uppstår. G
0
är således den halv-enkla produkten mellan S
3
och Kleins fyrgrupp, där S
3
opererar på de tre icke-triviala elementen i den senare
via permutation. G
0
kan i själva verket identifieras med den symmetriska gruppen
S
4
.
Allt vad vi har gjort, med undantaget av det allra sista kan direkt generaliseras
till godtycklig dimension. Om dimensionen är n betraktar vi S
n
och Z
n
2
istället,
och G består nu av 2
n
n! element och G
0
följaktligen av 2
n−1
n! element. I fallet
n = 2 har G åtta element och är isomorf med den dihedrala gruppen D
4
, medan
G
0
blir isomorf med den cykliska gruppen Z
4
. Det är lätt att skriva ner samtliga
element och notera att G utgör alla isomorfier av kvadraten med hörnen (±1, ±1)
inklusive alla speglingar, medan G
0
utgöres av de fyra vridningarna. Detta kan
generaliseras till godtyckliga hyperkuber (±1, ±1, . . . , ±1) med 2
n
hörn och dess
duala hyperoktahedrar vars 2n hörn ges av basvektorerna ±e
k
. I denna första del
skall vi kortfattat återknyta bekantskapen med fallet n = 3 - oktahedergruppen,
för att i nästa del, betrakta i detalj fallet n = 4 och en grupp med 192 element.
Oktahedergruppen
Givet en matris A vill vi gärna skriva ner dess karaktäristiska ekvation. Om A är
ortogonal med egenvärde λ gäller |λ| = 1. Vidare om A är reell följer att egen-
värdena är slutna under konjugering. Vi inser då att inversen till en rot är en rot
ur vilket följer att ekvationen är palindromisk (byt ut x mot 1/x!). Speciellt om
det(A) = 1 följer att ekvationen är av formen X
3
− aX
2
+ aX − 1 = 0 där a är
spåret av A. (Om det(A) = −1 har vi istället X
3
− aX
2
− aX + 1 = 0) Vi kan
ställa upp följande tabell för elementen i G
0
.
182 Ulf Persson. Normat 4/2009
S
3
-permutation antal spår ekvation θ ordning S
4
-permutation
() 1 3 x
3
− 3x
2
+ 3 x − 1 0 1 ()
3 -1 x
3
+ x
2
− x − 1 π 2 (ab)
(ab) 6 1 x
3
− x
2
+ x − 1 ±π/2 4 (abcd)
6 -1 x
3
+ x
2
− x − 1 π 2 (ab)(cd)
(abc) 8 0 x
3
− 1 ±2π/3 3 (abc)
En ortogonal 3 × 3 matris med determinanten 1 kan skrivas under formen
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1
!
A
B
C
A
B
C
och har spåret 1 + 2 cos θ vilket ger vridningvinkeln i tabel-
len. Dessa kan ses som symmetrier av kuben (och dess dual
-oktahedern). De åtta elementen av ordning tre, korrespon-
derar mot de fyra rymd-diagonalerna som rotationsaxlar,
var och en korresponderar mot de två vridningarna ±2π/3.
På liknande sätt hittar vi sex element av ordning fyra som
korresponderar mot de tre axlarna genom motstående sidors
mittpunkter; medan elementen av ordning två är av två oli-
ka typer. Dels tre stycken givna av rotationer givna av de
föregående axlarna, och sex stycken korresponderande mot
de axlar som går genom motstående kanters mitt-punkter.
(En liknande klassificering via oktahedern göres lätt.)
Presentationen av oktahedergruppen såsom S
4
göres
genom att betrakta permutationen av de fyra rymd-
diagonalerna, och S
3
genom att betrakta verkan på de tre
axlarna genom motstående sidors mittpunkter (basvekto-
rerna). Kärnan av denna avbildning göres av diagonalgrup-
pen D
0
som består precis av elementen i de två översta
raderna i tabellen, och motsvaras av π-vridningar av dessa
axlar (eller ekvivalent speglingar i dessa).
Oktaheder gruppen innehåller en intressant delgrupp av
index två, nämligen den som består av matriser med ett
jämnt antal −1:or. Två olika tetrahedrar kan inskrivas i en
kub, genom att utnyttja de tolv sido-diagonalerna. Den-
na delgrupp bevarar var och en av dem, och dess sidoklass
permuterar dem. Delgruppen benämnes tetrahedergruppen
och utgöres av alla element i tabellen utom de mellersta
raderna.
Slutligen den som är bekant med grupprepresentationer
inser från tabellen ovan att representationen av S
4
är irre-
ducibel (1 × 3
2
+ 3 × (−1)
2
+ 6 × 1
2
+ 6 × (−1)
2
+ 8 × 0
2
= 24).
