Normat 58:1, 1–5 (2010) 1
Abelprisen 2010 –John Tate
Loren D. Olson
Department of Mathematics and Statistics
University of Tromsø
N-9037 Tromsø, Norway
loren.olson@uit.no
John Tate ble født i 1925 i Minneapolis, Minn., USA. Han tok sin bachelorgrad på
Harvard og senere doktorgraden på Princeton med den berømte Emil Artin som
veileder. Doktoravhandlingen fra 1950 var helt bemerkelsesverdig. Den ga et nytt
syn på bruk av Fourier analyse i tallteori. Tates doktoravhandling ga opphav til
mye fruktbart matematisk arbeid. Avhandlingen sirkulerte i mange år i form av
kopier og til slutt ble den publisert i 1967 ([1]). Her introduserte han bruk av L-
funksjoner på adeleringer. Dette har senere utviklet seg til et stort og produktivt
felt.
John Tate ble professor på Harvard i 1954. Blant det som han publisert fram
til da, var det en artikkel ([2]) som var så oppsiktsvekkende at han ble belønnet
med Coleprisen i 1956. Dette er en pris som bare ble delt ut av AMS (=American
Mathematical Society) hvert 5te år for den beste artikkelen i tallteori de 6 fore-
gående år. I den berømte artikkelen finner vi Tates helt fundamentale bidrag til
klassekroppsteori via kohomologigrupper.
I tillegg har han fått en rekke andre utmerkelser som: Steele Prize (fra AMS) i
1995 for Lifetime Achievement, og Wolf Prize for 2002/3.
1 Personlig Bemerkning
Jeg var undergraduate student på Harvard fra 1960 til 1964. Jeg var så heldig
å få Tate som lærer i tre kurs i matematikk: “Calculus, Complex analysis” og
et lesekurs i Nagatas bok “Local Rings”. Tate var inspirerende, intens og dypt
opptatt av matematikk. Uansett om det var en forelesning for 80-90 studenter eller
et lite møte på hans kontor, var det tydelig for oss alle hvilken kraft han hadde
som matematiker. Kjærligheten til matematikken var alltid merkbar og alle forsto
hvilken betydningfull matematiker han var.
Da jeg var graduate student på Columbia, dukket det opp et brev fra Tate til
Cassels (datert 25 sept 1965). En stor del av dette brevet er senere blitt publisert
som: ([3]) i 1973. På midten av 60-tallet var det et strev å få kopiert artikler. Dette
brevet var gull verdt for en student som meg som drev med elliptiske kurver. Siden
jeg var på Columbia og Serge Lang også var tilstede den gangen, fikk jeg hjelp av
2 Loren D. Olson Normat 1/2010
ham fra tid til annen. (Lang var ikke min veileder, det var det Heisuke Hironaka
som var). En dag stakk Lang til meg noe som het “Galois cohomology of abelian
varieties over p-adic fields” med kommentaren: “Her, les dette!”. Det var noe som
Tate hadde gjort, men som Lang hadde skrevet opp ([4]). Bortsett fra å formidle
en personlig erfaring med Tate som professor, er det et poeng for meg her å vise at
Tates resultater var kjente og sirkulerte i student- og forskermiljøet i lang tid før
de ble allment kjente og publiserte. Arbeidet hans var kjent og benyttet allerede
fra 50-tallet.
2 Elliptiske kurver
La k være en kropp.
Definisjon 2.1. En elliptisk kurve E definert over en kropp k er en ikke-singulær
kurve av genus 1 samt et k-rasjonalt punkt e på E.
La E(k) være mengden av alle k-rasjonale punkter på E. E(k) har en gruppe-
struktur med e som identitetselement. E(k) kalles for Mordell-Weil gruppa til E.
Det er svært vanlig å beskrive elliptiske kurver ved en Weierstrassligning:
Y
3
+ a
1
XY + a
3
Y = X
3
+ a
2
X
2
+ a
4
X + a
6
der a
i
∈ k og der man krever at diskriminanten ∆ 6= 0. Dette er ekvivalent med
å si at kurven er ikke-singulær. Vi tar punktet (0, 1, 0) = e i det projektive planet
som identitetselementet for gruppestrukturen.
Teorem 2.2. Mordel l-Weil. La k være en algebraisk tallkropp. E(k) er endelig
generert.
Skriv E(k)
∼
=
E(k)
tors
⊕ Z
r
der r er rangen til E(k). E(k)
tors
er grei å beregne.
Verre er det å beregne r og et sett generatorer for E(k). For å komme videre med
å få tak i r og presise resultater om de såkalte L-funksjoner har vi bruk for et nytt
begrep som Tate tildels er ansvarlig for.
3 Tate-Šafarevič grupper
Tar vi utgangspunkt i en gitt elliptisk kurve E kan vi studere ikke-singulære kurver
D av genus 1 som har E som Jacobivarietet. Slike har følgende struktur:
(1.) µ : D × E −→ D over k slik at µ(y, e) = y og µ(µ(y, x
1
), x
2
) = µ(y, x
1
+ x
2
) og
(2.) ν : D × D −→ E over k slik at µ(y
1
, x) = y
2
⇐⇒ ν(y
2
, y
1
) = x.
D kalles for et prinsipalt homogent rom over (E, e). Vi kan innføre en ekviva-
lensrelasjon på disse. Weil (1955) definerte en gruppestruktur på disse ekvivalens-
klassene og vi får W C(E, k), Weil-Châtelet gruppa. Det er viktig å legge merke til
at en ekvivalensklasse i W C(E, k) er 0 ⇐⇒ kurvene D som representerer klassen
har et k-rasjonalt punkt.
Dersom K/k er en kroppsutvidelse, så har vi en homomorfi
W C(E, k) −→ W C(E, K). Spesielt for k en algebraisk tallkropp og k
v
en komplet-
tering mht. en tallverdi v, har vi WC(E, k) −→ W C(E, k
v
).
Normat 1/2010 Loren D. Olson 3
Definisjon 3.1. La (E, e) være en elliptisk kurve over en algebraisk tallkropp k.
X = X(E) = ∩
v
ker(W C(E, k) −→ W C(E, k
v
))
kalles for Tate-Šafarevič gruppa til E.
I 1958 publiserte Lang og Tate ([6]) en artikkel der de relaterer prinsipale ho-
mogene rom til den 1-ste kohomologigruppa til en abelsk varietet A over en kropp
k. Da blir X(E) definert ved den eksakte sekvensen
0 −→ X(E) −→ ∩
v
ker(H
1
(G, E(
¯
k)) −→ H
1
(G, E(
¯
k
v
))
Dette er den vanlige definisjonen idag.
Selmers kurve 3X
3
+ 4Y
3
+ 5Z
3
er (dvs. representerer) et ikke-trivielt element
i X(E) der E er den elliptiske kurven gitt ved X
3
+ Y
3
= 60Z
3
. Den blir ofte
nevnt som et eksempel i denne sammenheng. La G være Galoisgruppen til den
algebraiske tillukning til Q. Denne kurven tilsvarer et element i H
1
(G, E) der E
er Jacobimangfoldigheten til C. C har et punkt i alle p-adiske kropper. Orden til
C i H
1
(G, E) er faktisk lik graden til den minste utvidelsen K av Q av Q der C
har et K-rasjonalt punkt. Ved å benytte Galois kohomologi som Tate, gjør kan
man utvide dette resultatet til prinsipale homogene rom der man tillatter C å ha
et p-adisk punkt for ett primtall p ([5]).
4 Birch-Swinnerton-Dyer formodningen
For å forenkle presentasjonen, begrenser vi oss til tilfellet k = Q. Vi trenger flere
begrep knyttet til elliptiske kurver. La E være en elliptisk kurve definert over Q
ved en Weierstrassligning med koeffisienter i Z. Vi kan også anta diskriminanten
∆ er minimal blant alle isomorfe kurver på denne formen. Vi kan betrakte Wei-
erstrassligningen modulo p for alle primtall p. For alle p slik at p 6 |∆ får vi en
elliptisk kurve E(p) over F
p
= Z/Z. La A
p
være antall F
p
-punkter på E(p) og sett
t
p
= 1 + p − A
p
. La
L
p
(s) = (1 − t
p
p
−s
+ p
1−2s
)
−1
for s ∈ C.
Dersom p | ∆, setter vi
L
p
(s) = (1 − t
p
p
−s
)
−1
for s ∈ C.
Definisjon 4.1. L-funksjonen til E er
L
E
(s) =
Y
p
L
p
(s)
4 Loren D. Olson Normat 1/2010
Dette produktet konvergerer for Res > 3/2 og kan fortsettes analytisk over hele
C.
Ω er definert som
R
E(R
ω der ω = dx/(2y + a
1
x + a
3
).
La < > være den Néron-Tate høydeparingen. Den er kvadratisk og definert for
punkter i E(Q).
Vi har nå en samling av både analytiske og aritmetiske data om vår elliptiske
kurve E. Legg merke til at to av disse bærer Tates navn. Vi er nå i stand til å
formulere en av de mest vidtrekkende formodningene innenfor teorien for elliptiske
kurver.
Formodning 4.2. (Birch-Swinnerton-Dyer)
1.) Ordenen til nullpunktet til L
E
(s) i s = 1 er lik rangen r til E(Q).
2.) La P
1
, . . . , P
r
være r lineært uavhengige punkter i E(Q). La B være den frie
abelske undergruppe i E(Q) som de generer. Så er
lim
s→
1
L
E
(s)
(s − 1)
r
= α[X]det < P
i
, P
j
>
Y
p|∆
c
p
der c
p
er sm positive heltall som kan regnes ut eksplisitt fra Weierstrassligningen.
Tate har gjort banebrytende arbeid på mange områder. Det med Galois koho-
mologi er et av disse som jeg personlig har hatt glede av. Hvor mye av dette skyldes
Tate ser vi fra følgende sitater fra Serre ([8]): “La presque totalité des résultats des
1,2,3,4 est due à Tate” og “La situation est tout à fait analogue à celle du Chapitre
I: presque tous les résultats sont dus à Tate.”
Bemerkning 4.3. Tate og Serre samarbeidet mye, noe som det foregående gir et lite
pekepinn om. Et annet arbeid som de hadde sammen handlet om god reduksjon av
abelske varieter ([9]). Det er interessant å merke seg at Serre også mottok Abelprisen
(i 2003).
Prof. John Tate mottar Abelprisen 2010 for sitt betydningsfulle og mangfoldige
virke innenfor tallteori og aritmetisk algebraisk geometri. Han har påvirket flere
store matematiske fagfelt over lang tid. Prisen er i det store og hele en personlig
hyllest til en stor forsker, men den er også en inspirasjon til matematikere som skal
videreføre fagfeltene. Normat gratulerer!
Referanser
[1] Tate, J. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions. In: Algebraic
Number Theory, J.W.S. Cassels and A. Fröhlich, eds. (1967).
[2] Tate, J. The higher dimensional cohomology groups of class field theory. Annals of
Mathematics, Series 2, volume 56 (1952).
[3] Lang, S. Elliptic Functions, Addison-Wesley. (1973).
[4] Tate, J. Galois cohomology of abelian varieties over p-adic fields. Mimeographed
notes by Serge Lang. (1959).
Normat 1/2010 Loren D. Olson 5
[5] Olson, L. Galois cohomology of cycles and applications to elliptic curves. American
Journal of Mathematics, Vol. XCII, No. 1, January, 1970.
[6] Lang, S. and Tate, J. Principal homogeneous spaces over abelian varieties.
American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 1, 1970.
[7] Selmer, S. The diophantine equation ax
3
+ by
3
+ cz
3
= 0. Acta Math., 85 (1951).
[8] Serre, J-P. Cohomologie Galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5. 1965.
[9] Serre, J-P. and Tate, J. Good Reduction of Abelian Varieties. Annals of
Mathematics, Second Series, Vol. 88 (1968).
