6 Normat 58:1, 6–34 (2010)
Elliptiske integraler I: En elementær gjennom-
gang av Abels addisjonsteorem
John K. Dagsvik
Forskningsavdelingen, Statistisk sentralbyrå
P.O. Box 8131, Dep. N-0033, Oslo
john.dagsvik@ssb.no
En viktig del av Niels Henrik Abels forskning omhandlet teorien for elliptiske funk-
sjoner og integraler. I denne teorien spiller såkalte addisjonsteoremer en sentral
rolle. Abel gjorde som kjent helt fundamentale gjennombrudd på dette området.
Formålet med denne artikkelen er å gi en en populær framstilling av Abels berøm-
te addisjonsteorem. Artikkelen skiller seg fra andre oversiktsartikler og biografisk
materiale ved at den tar sikte på en elementær framstilling av Abels bevis. Artik-
kelen inneholder i tillegg en kort gjennomgang av addisjonsteoremer utviklet på
1700-tallet, dvs. før Abel kom med sine bidrag.
1 Innledning
Dette er den første, av to artikler, som behandler utvalgte deler av teorien for ellip-
tiske funksjoner og integraler. Denne første artikkelen tar sikte på å gi en elementær
framstilling av teorien for elliptiske integraler på 1700-tallet og i begynnelsen av
1800-tallet, med vekt på såkalte addisjonsteoremer. Det sentrale fokus er å gi en
elementær framstilling av (en versjon) av Abels addisjonsteorem, med bevis, som
kan leses av personer med matematikkbakgrunn som tilsvarer ca. ett års universi-
tetsstudium. Grunnen til at også bidrag fra andre matematikere enn Niels Henrik
Abel er tatt med, er for å belyse nivået på feltet, og dermed forhåpentlig gi et
glimt av originaliteten ved Abels angrepsmåte. I den andre artikkelen [9] er for-
målet å diskutere spesielle anvendelser av teorien for elliptiske funksjoner innen
sannsynlighetsteori.
Det har tidligere vært skrevet en rekke oversiktsartikler om Abels vitenskapelige
produksjon. Se for eksempel [4], [5], [6], [10], [14], [20], [26], [29]. Disse artiklene har
ulik vanskelighetsgrad, og noen krever matematikk-kunnskaper utover Bachelor-
nivå. Felles for alle oversiktsartiklene – så langt jeg har funnet ut – er at de ikke
har hatt pretensjoner om å gå i dybden når det gjelder de fundamentale ideene i
bevisene til Abel. Hovedgrunnen til dette er antakelig at bevisene har blitt vurdert
som for vanskelige for mange potensielt interesserte lesere. En medvirkende årsak
Takk til Olav Bjerkholt, Terje Skjerpen og Anders Rygh Swensen for nyttige kommentarer og
påpeking av feil. En spesiell takk til Rune Johansen som har regnet igjennom mange av bevisene.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 7
kan også være at de fleste matematikere ved universitetene i moderne tid er trenet
opp til å benytte et omfattende apparat av formalisme og begreper, som trolig er
nødvendig for rigorøs bevisførsel, men som ofte virker som et effektivt hinder for
“outsidere” som ønsker et innblikk i det underliggende idé-grunnlaget. Arbeidene
til Sørensen [31], og Houzel [15], er mer dyptpløyende. [31] går til dels inn på ulike
bevis, men uten å gi fullstendige detaljer. [15] gir en grundig og svært kompakt
gjennomgang (på engelsk) av Abels produksjon, men jeg er redd denne er altfor
kompakt og avansert for de fleste lesere som ikke er profesjonelle matematikere. For
eksempel skiller Houzels gjennomgang av Abels bevis av Teorem 1 i [2] seg ikke
nevneverdig fra Abels opprinnelige bevis, bortsett fra at det er på engelsk mens
Abels originale artikkel er på fransk.
Fra min tid som realfagstudent, husker jeg godt hvor kjedelig mange av de
moderne lærebøkene i matematikk var, og som en følge av dette var, med noen
unntak, undervisningen temmerlig traurig også. En vesentlig grunn til dette er
at typiske framstillinger er ekstremt polerte, uten at det tas med noe om den
historiske utvikling på feltet, og sjelden diskuteres det anvendelser, utover enkle
sporadiske eksempler. Med unntak av fysikk, gjelder dette ikke bare lærebøker og
undervisning i ren matematikk; det gjelder vel så mye for mer anvendte fag som
bruker mye matematikk, slik som matematisk statistikk og matematisk økonomi.
Det er i den sammenheng svært prisverdig at vi nå har fått eksempler på en annen
type lærebok i matematikk, slik som [24].
Som antydet ovenfor har denne artikkelen som siktemål å bidra til å belyse sen-
trale idéer i en svært viktig utviklingsperiode i matematikken, ved å gi en elementær
framstilling av et fundamentalt resultat som Abel oppnådde. Videre vil jeg forsøke
å plassere Abels resultat i forhold til bidragene til betydningsfulle matematikere
som arbeidet med elliptiske integraler på 1700-tallet og tidlig 1800-tall. Selv om
Abel hadde ry på seg for å ha en elegant og klar framstillingsform synes ihvert-
fall jeg det er svært tungt å lese hans originalarbeider. Ifølge [17] er jeg visstnok
ikke alene om å synes dette; flere matematikere på 1800-tallet klager over at de
har vanskeligheter med dette stoffet. Jeg håper artikkelen vil være inspirerende for
matematikk-interesserte, som ikke nødvendigvis er profesjonelle matematikere. Det
er naturligvis ikke mulig i en kort artikkel som dette å gi mer enn en summarisk
oversikt over dette temaet, blant annet fordi det egentlig er flere ulike versjoner av
Abels addisjonsteorem, se [17]. Her skal vi nøye oss med å diskutere den versjo-
nen som er gitt i Teorem 1 i [2], og som kan betraktes som et spesialtilfelle av et
mer generelt resultat, først formulert og bevist i den berømte Parisavhandlingen,
[3]. Den versjonen av Abels addisjonsteorem vi skal gjennomgå her har imidler-
tid den fordelen at den, i motsetning til det mest generelle resultatet, er uttrykt i
helspesifiserte formler (som funksjon av gitte størrelser og funksjoner).
I likhet med meg, er det sikkert mange som har vært fasinert av Abels liv og
forskning. Noe av denne fasinasjonen har vel sammenheng med hans eksplosive
talent, som oppsto uten forvarsel i en fattig utkant av Europa, og hans korte og
dramatiske liv, samt tragiske endeligt. Men jeg tror denne fasinasjonen også har
sammenheng med at en kun med elementær kjennskap til infinitesimalregning og
likningsteori, er i stand til å forstå noe av problemstillingene Abel arbeidet med. For
min egen del syns jeg utviklingen av teorien for elliptiske integraler og funksjoner
på 1800-tallet er fascinerende, ikke minst på grunn av dens kuriøse tilknytning til
geometri og algebra.
8 John K. Dagsvik Normat 1/2010
2 Litt om elliptiske integraler på 1700-tallet
Begrepet elliptiske integraler stammer fra problemet med å beregne buelengden i
en ellipse. Etter at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) og Isaac Newton (1642-
1727) hadde oppfunnet infinitesimalregningen, og Newton i tillegg hadde etablert
lover for himmelmekanikken ga dette støtet til en rivende utvikling innen ren og
anvendt matematikk, slik som mekanikk og sfærisk geometri (navigasjon). Siden
Newton etablerte at planetene beveger seg i ellipsebaner rundt sola vil følgelig
beregning av lengden av et stykke av jordbanen dermed tilsvare beregning av bue-
lengden av en ellipse. Ifølge [13] henvendte Leibniz seg til Newton og den engelske
matematikeren James Gregory (1638-1675) i 1675 med spørsmål om de var i stand
til å beregne buelengden av en ellipse. Han fikk som svar at dette problemet kunne
de ikke løse eksakt men bare ved approksimasjon. Leibniz trodde på det tidspunkt
at han selv kunne løse dette problemet ved kjente metoder, men oppdaget senere
at han hadde begått en feil. Det skulle bli den franske matematiker Joseph Liou-
ville (1809-1882) som først beviste at elliptiske integraler ikke kan utrykkes ved
elementære funksjoner.
Den franske matematikeren Adrien Marie Legendre (1752-1833) er den første
matematikeren som har studert elliptiske integraler systematisk. Han har blant
annet laget en klassifikasjon av elliptiske integraler.
1
Betegnelsen elliptisk integral
benyttes for integraler av typen
Z
R(x)
p
P (x)
dx
der R(x) er en rasjonal funksjon, dvs. R(x) = Q
1
(x)/Q
2
(x) hvor Q
1
(x) og Q
2
(x) er
polynomer, og P (x) er et polynom av tredje eller fjerde grad. I sitt monumentale 3
binds verk, Traité des fonctions elliptiques et des integrales eulériens, som utkom
i perioden 1825 til 1828, har Legendre, i tillegg til å behandle teorien for elliptiske
integraler, også diskutert en rekke anvendelser i geometri og mekanikk. Videre har
han presentert et omfattende bidrag i numerisk analyse som leder til praktiske
approksimasjonsformler som kan brukes til å beregne numeriske verdier av ulike
funksjoner, slik som for eksempel Gammafunksjonen og elliptiske integraler som
funksjon av integrasjonsgrensene. I bind 2 av Legendres verk er det ca. 130 sider
med tabeller beregnet med en presisjon på mellom 10 og 15 desimaler! På bakgrunn
av at numeriske beregninger i vår tid er så lett, blir i alle fall undertegnede imponert
over det arbeidet som er nedlagt i å lage disse tabellene. En del av resultatene som er
presentert i [23] var tidligere publisert i [21] og [22]. Legendre har i bind I av Traité
des fonctions elliptiques et des integrales eulériens vist at denne typen integraler
alltid kan uttrykkes ved elementære funksjoner og integraler av tre typer, nemlig
Z
dx
∆(x)
,
Z
(1 + bx
2
)dx
∆(x)
og
Z
dx
(1 + nx
2
)∆(x)
,
der
(2.1) ∆(x) =
p
(1 − x
2
)(1 − k
2
x
2
),
1
På Legendres tid var det vanlig å bruke betegnelsen elliptiske funksjoner om elliptiske integra-
ler som funksjon av øvre integrasjonsgrense. I moderne terminologi bruktes betegnelsen elliptiske
funksjoner i stedet om de korresponderende inverse funksjoner.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 9
og der b, k og n er konstanter, og |k| ≤ 1. Disse konstantene trenger imidlertid
ikke å være reelle tall. I Legendres klassifikasjon kalles disse tre typene henholdsvis
elliptiske integraler av første, andre og tredje slag.
Eksempel 2.1. I dette eksemplet er problemet å beregne buelengden av en ellipse.
La oss kort gå igjennom hvordan dette gjøres. Vi husker at buelengden, s(u, v), fra
u til v til en deriverbar funksjon y = f(x) kan beregnes ved formelen
(2.2) s(u, v) =
Z
v
u
p
1 + f
0
(x)
2
dx
Vi minner videre om at ellipsen med parametre a og b kan beskrives ved
(2.3)
x
a
2
+
y
b
2
= 1.
Fra (2.3) følger det ved å anvende formelen i (2.2) at
(2.4) s(u, v) =
1
a
Z
v
u
a
4
+ (b
2
− a
2
)x
2
p
(a
2
− x
2
)(a
4
+ (b
2
− a
2
)x
2
)
dx.
Integralet i (2.4) kan ikke “løses” i den forstand at det kan uttrykkes ved hjelp av
elementære funksjoner. Vi ser at nevneren i (2.4) har form som kvadratroten av et
polynom i fjerde grad. Altså er s(u, v) et elliptisk integral.
Eksempel 2.2. Et annet velkjent problem i mekanikken leder også til integraler
av samme type som ovenfor. Betrakt problemet med å beregne svingetiden for en
pendel. La g betegne tyngdens aksellerasjon, la l være pendelens lengde og la videre
θ(t) være vinkelen mellom pendelsnora og den vertikale akse ved tid t. Det kan da
vises (se for eksempel [27]) at dette problemet leder til følgende differensiallikning:
(2.5) θ
00
(t) = −
g
l
sin θ(t).
Denne likningen kan vi nå benytte til å finne tiden, t(θ), det tar for pendelen å
svinge fra vertikal posisjon til en posisjon med vinkel θ. Ved å multiplisere likningen
i (2.5) med 2θ
0
(t) får vi at
(2.6) 2θ
00
(t)θ
0
(t) = −
2g
l
sin (θ(t))θ
0
(t).
Vi gjenkjenner venstre side av (2.6) som den deriverte av θ
0
(t) og høyre side som
den deriverte av 2 cos (θ(t))g/l. Dette gir følgelig
(2.7) θ
0
(t)
2
= 2k cos θ(t) + c,
10 John K. Dagsvik Normat 1/2010
der c er en konstant og k = g/l. Lar vi α betegne den største vinkelen mellom
pendelsnora og den vertikale akse, dvs. vinkelen som tilsvarer at θ
0
(t) = 0, får vi
at c = −2k cos α. Ved å løse differensialligningen i (2.7) på implisitt form (og ved å
foreta variabelskiftet x = cos θ(t)) følger det at den implisitte løsningen kan skrives
som
(2.8) t(θ) =
Z
arccos θ
0
dx
p
(1 − x
2
)(2kx − 2k cos α)
.
Dette integralet kan heller ikke uttrykkes ved hjelp av elementære funksjoner. Vi
ser at funksjonen under rottegnet i integranden i (2.8) er et polynom av tredje
grad. Altså er dette integralet et elliptisk integral.
Eksempel 2.3. Et tredje eksempel på elliptiske integraler får vi ved beregning
av buelengden i lemniskaten. Lemniskaten har form som et liggende åtte-tall (eller
uendelighets-symbolet ∞), og kan beskrives ved følgende sammenheng
(x
2
+ y
2
)
2
= x
2
− y
2
,
eller med polarkoordinater gitt ved
(2.9) r(θ) =
√
cos 2θ,
der θ er vinkelen mellom x-aksen og radius r(θ) fra origo til kurven. Vi har at
x = r(θ) cos θ og y = r(θ) sin θ, hvilket gir, dx = (r
0
(θ) cos θ − r(θ) sin θ)dθ og
dy = (r
0
(θ) sin θ + r(θ) cos θ)dθ, slik at
s
1 +
dy
dx
2
dx =
p
dx
2
+ dy
2
=
p
r
0
(θ)
2
+ r(θ)
2
dθ =
dθ
p
cos (2θ)
=
dθ
r(θ)
.
Altså er integralet for buelengden som korresponderer med at x løper fra 0 til z,
gitt ved
Z
z
0
p
1 + (dy/dx)
2
dx =
Z
θ(z)
0
dθ
r(θ)
,
der θ(z) er vinkelen bestemt ved z = r(θ(z)) cos θ(z) = cos (θ(z))
p
cos (2θ(z)). Ved
variabelendringen θ → r får vi at
dr =
sin (2θ)
p
cos (2θ)
dθ =
p
1 − cos
2
(2θ)
√
cos 2θ
dθ =
√
1 − r
4
r
dθ,
hvilket gir
Z
θ(z)
0
dθ
r(θ)
=
Z
u
0
dr
√
1 − r
4
,
der u =
p
cos (2θ(z)). Det siste integralet er et spesialtilfelle av Legendres elliptiske
integral av type I, som vi får ved å sette k =
√
−1. I det følgende vil vi la s(u)
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 11
betegne buelengden for lemniskaten som funksjon av lengden u fra origo til et punkt
på kurven i første kvadrant. Vi har da at
(2.10) s(u) =
Z
u
0
dr
√
1 − r
4
.
3 Addisjonsteoremer for elliptiske integraler før Abel
Med addisjonsteoremer mener vi setninger som viser at, og hvordan, en kan uttryk-
ke summen av integraler med gitte integrasjonsgrenser som et integral av samme
type med integrasjonsgrenser som er algebraiske funksjoner av de opprinnelige in-
tegrasjonsgrensene. Et enkelt eksempel på et addisjonsteorem er
(3.1a) arcsin x + arcsin y = arcsin
x
p
1 − y
2
+ y
p
1 − x
2
,
der
arcsin x =
Z
x
o
du
√
1 − u
2
.
Siden sinusfunksjonen er periodisk og kun er én-entydig i første kvadrant, er det
hensiktsmessig å kun definere arcsin x for x som gir vinkler i første kvadrant. Dette
oppnås ved å la (3.1a) gjelde for x
2
+ y
2
≤ 1, hvilket betyr at venstre side av (3.1a)
blir mindre eller lik π/2. Når derimot x
2
+ y
2
> 1, blir arcsin x + arcsin y > π/2,
og det er derfor hensiktsmessig i dette tilfellet å erstatte (3.1a) med
(3.1b) arcsin x + arcsin y = π − arcsin
x
p
1 − y
2
+ y
p
1 − x
2
.
Vi kan altså formulere addisjonsteoremet ovenfor ved kun å forholde oss til sam-
menhenger mellom vinkler og korresponderende sinusverdier i første kvadrant. Ad-
disjonsteoremet i (3.1a), (3.1b) kan bevises ved å ta utgangspunkt i den velkjente
formelen
(3.2) sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v,
der u = arcsin x og v = arcsin y. Tilsvarende addisjonsteorem har en for integralet
arctan x =
Z
x
0
du
1 + u
2
,
nemlig at
(3.3) arctan x + arctan y = arctan
x + y
1 − xy
,
for xy < 1, og en analog formel for xy > 1.
12 John K. Dagsvik Normat 1/2010
3.1 Resultater oppnådd av Fagnano og Euler
I 1718 fant visstnok den italienske greve Guilio Carlo Fagnano (1682-1766), (publi-
sert i [12]), følgende bemerkelsesverdige sammenheng for buelengden til lemniskaten
(jf. eksempel (2.2)), nemlig
(3.4) 2s(x) = s
2x
√
1 − x
4
1 + x
4
!
,
der s(u) er definert i (2.8). Leonard Euler (1707-1783) fikk tilsendt arbeidene til
Fagnano og ble selv inspirert til å arbeide med elliptiske integraler. Ifølge Sørensen
[31] kom arbeidene til Fagnano Euler i hende 23. desember 1751, og Carl Gus-
tav Jacobi (1804-1851) har derfor kalt denne datoen for fødselsdatoen til elliptiske
funksjoner. Vi merker oss at resultatet til Fagnano kan betraktes som en invarians-
egenskap i den forstand at, på multiplikasjon av 2 nær, så er funksjonen s(x) invari-
ant under en bestemt ikke-lineær transformasjon av x. Denne invarians-egenskapen
skal vi komme tilbake til senere. Fagnanos resultat i (3.4) er videre et spesialtilfelle
innen teorien for transformasjoner av elliptiske funksjoner, som blant annet var et
sentral tema i kappestriden mellom Abel og Jacobi. Euler [11] viste at følgende
addisjonsteorem gjelder
(3.5) s(x) + s(y) = s
x
p
1 − y
4
+ y
√
1 − x
4
1 + x
2
y
2
!
,
hvilket generaliserer (3.4), siden (3.5) impliserer (3.4) når x = y. I samme arbeid
viste Euler at samme metode som benyttes til å vise (3.5) også kan benyttes til å
vise addisjonsteoremer for mer generelle funksjoner F (x) av formen
(3.6) F (x) =
Z
x
0
du
p
P (u)
,
der P (u) er et polynom av tredje eller fjerde grad. Vi skal nå vise hvordan Eulers
bevis kan gjennomføres i et spesialtilfelle der P (x) = a + bx
2
+ cx
4
. Vi skal se at
etableringen av det korresponderende addisjonsteoremet til (3.5) kan oppnås ved
å løse differensialligningen
(3.7)
y
0
p
a + by
2
+ cy
4
=
ε
√
a + bx
2
+ cx
4
,
der y er en ukjent funksjon av x og der ε er 1 eller −1. Her skal vi nøye oss med
å gjengi Eulers bevis for tilfellet ε = 1. Tilsvarende bevis kan gjennomføres for
ε = −1. Med ε = 1 blir likningen i (3.7) ekvivalent med
(3.8) F (y) = F (x) + C,
der C er en integrasjonskonstant som er bestemt ved C = F (f(0)), og funksjonen
F (x) er det korresponderende integralet i (3.6) når P (x) = a + bx
2
+ cx
4
. Eulers
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 13
bevis har karakter av verifikasjon, dvs. han gjettet på at løsningen av (3.7)/(3.8)
kan skrives implisitt på formen
(3.9) α(x
2
+ y
2
) = 2βxy + γx
2
y
2
+ δ,
der α, β, γ og δ er nærmere bestemte konstanter. Vi skal nå vise dette. Ved å ta
differensialet av (3.9) får vi at
(3.10) α(xdx + ydy) = β(xdy + ydx) + γ(xy
2
dx + x
2
ydy),
som er ekvivalent med
(3.11) (αx − βy − γxy
2
)dx + (αy − βx − γx
2
y)dy = 0.
Dersom vi løser likningen i (3.9) med hensyn på henholdsvis x og y får vi at
(3.12a) x =
βy +
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)y
2
+ αγy
4
α − γy
2
,
og
(3.12b) y =
βx −
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)x
2
+ αγx
4
α − γx
2
.
Som kjent er det egentlig fire mulige løsninger her. Det er imidlertid et poeng at
blant disse løsninger velges den største roten for x og den minste roten for y. Dette
skyldes at vi har valgt å se på tilfellet ε = 1. Fra disse likningene følger det ved å
multiplisere med de respektive nevnerne i (3.12a), (3.12b) at
(3.13a) αx − βy − γxy
2
=
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)y
2
+ αγy
4
,
og
(3.13b) αy − βx − γx
2
y = −
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)x
2
+ αγx
4
.
Ved innsetting av (3.13a) og (3.13b) i (3.11) får vi at
y
0
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)y
2
+ αγy
4
=
1
p
αδ + (β
2
− α
2
− γδ)x
2
+ αγx
4
,
(3.14)
hvilket viser at relasjonen i (3.9) faktisk representerer en løsning av (3.7). For å
forenkle er det hensiktsmessig å innføre notasjonen
z
2
= δ/α, bz
2
/a = (β
2
− α
2
− γδ)/α
2
, cz
2
/a = γ/α,
14 John K. Dagsvik Normat 1/2010
der z er en vilkårlig størrelse som vi foreløpig betrakter kun som en konstant. Ved
å innføre denne notasjonen i (3.14) får vi eksakt samme uttrykk som i (3.7). Videre
får vi at (3.9) kan uttrykkes som
(3.15) αx
2
+ αy
2
= αz
2
+ cz
2
y
2
+ 2xy
p
a(a + bz
2
+ cz
4
).
Ved å løse (3.15) med hensyn på y får vi (ved passende valg mellom to mulige
løsninger) at
(3.16) y =
x
p
a(a + bz
2
+ cz
4
) + z
p
a(a + bx
2
+ cx
4
)
a − cz
2
x
2
.
Ved å sette x = 0, finner vi fra (3.16) at C = F (f(0)) = F (z). Ovenfor har vi
betraktet z som en konstant, men siden sammenhengene ovenfor gjelder for enhver
verdi av z kan vi betrakte den som en variabel. Fra (3.16) og (3.8) får vi derfor at
F
x
p
a(a + bz
2
+ cz
4
) + z
p
a(a + bx
2
+ cx
4
)
a − cz
2
x
2
!
=F (x) + F (z).
(3.17)
Vi konstaterer at likningen i (3.5) er et spesialtilfelle av (3.17). Dersom vi innsetter
a = 1, b = −(1 + k
2
) og c = k
2
, reduserer addisjonsresultatet i (3.17) seg til
(3.18) F
x∆(z) + z∆(x)
1 − k
2
z
2
x
2
= F (x) + F (z).
Dersom vi setter z = x inn i (3.17) eller i (3.18), ser vi at vi får en generalisering av
invarians-relasjonen til Fagnano i (3.4). Med tilsvarende teknikk viste Euler at en
kan finne addisjonsteoremer for tilfellet der P (x) er et generelt fjerdegradspolynom.
Videre demonstrerer Euler at samme teknikk kan benyttes til å løse differensiallik-
ninger av formen
(3.19)
my
0
p
P (y)
=
n
p
P (x)
der m og n er hele tall og P (x) er et generelt fjerdegradspolynom i x.
3.2 Lagranges tilnærming
Joseph Louis (Giuseppe Lodovico) Lagrange (1736-1813) introduserte en metode
til å løse visse typer differensiallikninger som kan benyttes (konstruktivt) til å finne
løsning av differensiallikninger av typen (3.7), i den forstand at en ikke trenger å
kjenne til klassen av potensielle løsninger, slik som tilfellet er med metoden til
Euler. Vi skal nå gi en kort beskrivelse av Lagranges metode. Framstillingen her
bygger i vesentlig grad på [8], som ikke avviker i vesentlig grad fra framstillingen i
[18].
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 15
Vi tar utgangspunkt i likningen (3.7) med ε = 1. Lagranges triks er å innføre en
ny variabel t, definert ved
(3.20) t =
Z
x
0
du
√
a + bu
2
+ cu
4
.
Fra (3.7) har vi at
(3.21)
dy
dx
=
r
a + by
2
+ cy
4
a + bx
2
+ cx
4
.
Videre får vi fra (3.20) og (3.21) at
(3.22a)
dx
dt
=
p
a + bx
2
+ cx
4
og
(3.22b)
dy
dt
=
dy
dx
·
dx
dt
=
p
a + by
2
+ cy
4
.
Ved å derivere likningen i (3.22a) med hensyn på t, finner vi at
d
2
x
dt
2
=
d(dx/dt)
dx
·
dx
dt
=
d
√
a + bx
2
+ cx
4
dx
·
dx
dt
=
2bx + 4cx
3
2
√
a + bx
2
+ cx
4
·
p
a + bx
2
+ cx
4
= bx + 2cx
3
.
(3.23)
Tilsvarende får vi fra (3.22b) at
(3.24)
d
2
y
dt
2
= by + 2cy
3
.
Videre er det hensiktsmessig å innføre funksjonene p = x + y, og q = x −y, hvilket
medfører at
(3.25)
d
2
p
dt
2
=
d
2
x
dt
2
+
d
2
y
dt
2
= bp +
c
2
(p
3
+ 3pq
2
)
og
dp
dt
·
dq
dt
=
dx
dt
+
dy
dt
·
dx
dt
−
dy
dt
=
dx
dt
2
−
dy
dt
2
= b(x
2
− y
2
) + c(x
4
− y
4
)
= bpq +
c
2
pq(p
2
+ q
2
).
(3.26)
16 John K. Dagsvik Normat 1/2010
Fra (3.25) og (3.26) følger det nå at
(3.27) q
d
2
p
dt
2
−
dp
dt
·
dq
dt
= bpq +
c
2
(p
3
q + 3pq
3
) − bpq −
c
2
p
3
q −
c
2
pq
3
) = cpq
3
.
Ved å dividere begge sider i (3.27) med q
3
og multiplisere med 2dp/dt, får vi at
(3.28)
2
q
2
·
d
2
p
dt
2
·
dp
dt
−
2
q
3
dp
dt
2
·
dq
dt
= 2cp ·
dp
dt
.
Likningen i (3.28) kan integreres, hvilket gir
(3.29)
1
q
2
·
dp
dt
2
= cp
2
+ K,
der K er en vilkårlig konstant. Den letteste måten å verifisere dette på er å derivere
likningen i (3.29). Setter vi inn for p, q og dp/dt i (3.29) fra likningene i (3.22a) og
(3.22b) finner vi at
(3.30)
√
a + bx
2
+ cx
4
+
p
a + by
2
+ cy
4
x − y
!
2
= c(x + y)
2
+ K.
Likningen i (3.30) gir sammenhengen mellom x og y på implisitt form. Vi kan imid-
lertid forenkle denne likningen betydelig. Etter litt regning og ved å multiplisere
likningen i (3.30) med (y − x)
2
får en, etter litt reorganisering, at
2
p
(a + bx
2
+ cx
4
)(a + by
2
+ cy
4
)
=(y − x)
2
(K + (x + y)
2
c) − 2a − b(x
2
+ y
2
) − c(x
4
+ y
4
).
(3.31)
Ved å kvadrere begge sider i (3.31) får en videre at
0 =
(y − x)
2
(K + (x + y)
2
c) − 2a − b(x
2
+ y
2
) − c(x
4
+ y
4
)
2
− 4(a + bx
2
+ cx
4
)(a + by
2
+ cy
4
)
=(b
2
− 4ac)(y
2
− x
2
)
2
+ K
2
(y − x)
4
− 2bK(y − x)
2
(x
2
+ y
2
)
− 4aK(y − x)
2
− 4cK(y − x)
2
x
2
y
2
.
(3.32)
Vi ser at høyre side av likningen i (3.32) har (y − x)
2
som faktor. Etter å ha
dividert med denne faktoren, og etter litt regning, finner en at relasjonen i (3.30)
kan uttrykkes som
(3.33) α(x
2
+ y
2
) = 2βxy + γx
2
y
2
+ δ,
der
δ = 4aK, β = 4ac − b
2
+ K
2
, γ = 4cK, og α = K
2
− 4ac + b
2
− 2bK.
Vi konstaterer at likningen i (3.33) er av samme type som likningen i (3.9), hvilket
er den som Euler gjettet på. Dette betyr at det ikke finnes andre løsninger av Eulers
differensiallikning i (3.7) enn den Euler fant.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 17
3.3 Resultater oppnådd av Legendre
Som nevnt ovenfor, er det Legendre som mest systematisk og omfattende har ar-
beidet med elliptiske integraler før Abel og Jacobi. I første bind av Legendres
hovedverk, [23], kapittel 6, gir han to bevis for addisjonsteoremet for elliptiske in-
tetgraler. Her skal vi gjengi det første. På side 19 starter han med å vise til Eulers
differensiallikning, som er ekvivalent med (3.8). Ved metoder som Legendre had-
de utviklet og beskrevet i samme bind følger det at vi kan transformere likningen
i (3.8) til en likning som er en sum av elliptiske integraler av første slag, dvs. at
p
P (x) = ∆(x). Med ε = −1 og ved å innføre substitusjonen x = sin ϕ og y = sin ψ,
får vi at den analoge likningen til (3.8) kan skrives som
(3.34) G(ψ) + G(ϕ) = C,
der
G(ϕ) =
Z
ϕ
0
du
p
1 − k
2
sin
2
u
,
der ψ er en ukjent funksjon ψ(ϕ) av ϕ og C en konstant som bestemmes ved
G(ψ(0)) = C. Problemet er nå å løse (3.34), dvs. å finne ψ som funksjon av ϕ slik
at (3.34) er oppfylt.
På samme måte som Euler går Legendres bevis ut på å “gjette” på en løsning
og deretter vise at denne tilfredsstiller (3.34). Nærmere bestemt påstår Legendre
at sammenhengen mellom ψ og ϕ er gitt ved
(3.35) cos ϕ cos ψ − cos µ = sin ϕ sin ψ
q
1 − k
2
sin
2
µ,
der µ er en vilkårlig konstant. Deretter viser han at dette stemmer. Vi skal nå reka-
pitulere hans bevis. Likningen i (3.35) er ekvivalent med de to følgende likningene
(3.36) cos ψ − cos µ cos ϕ = sin µ sin ϕ
q
1 − k
2
sin
2
ψ
og
(3.37) cos ϕ − cos µ cos ψ = sin µ sin ψ
q
1 − k
2
sin
2
ϕ.
Den enkleste måten å verifisere at (3.35), (3.36) og (3.37) er ekvivalente, er å
kvadrere begge sider av likningene i (3.36) og (3.37), og deretter foreta en passende
reorganisering.
Ved å dividere (3.35) med sin ϕ sin ψ og deretter derivere får en at
1
sin ϕ
(cos ψ − cos µ cos ϕ) +
dψ/dϕ
sin ψ
(cos ϕ − cos µ cos ψ) = 0.
Ved å benytte (3.36) og (3.37) får vi videre at
dϕ
sin ϕ
· sin µ sin ϕ
q
1 − k
2
sin
2
ψ +
dψ
sin ψ
· sin µ sin ψ
q
1 − k
2
sin
2
ϕ = 0,
18 John K. Dagsvik Normat 1/2010
hvilket reduserer seg til
(3.38)
dϕ
p
1 − k
2
sin
2
ϕ
+
dψ
p
1 − k
2
sin
2
ψ
= 0,
som er ekvivalent med (3.34). For å bestemme C (ekvivalent med å bestemme µ)
får vi fra (3.35) at når ϕ = 0, blir ψ(0) = µ, slik at C = G(µ). Altså har vi vist at
(3.39) G(ψ) + G(ϕ) = G(µ).
Betrakter vi i stedet µ som funksjon av ϕ og ψ, bestemt ved (3.36) og (3.37), kan
vi etablere addisjonsteoremer ved å løse likningene (3.36) og (3.37) med hensyn på
µ. Dette gir
(3.40) sin µ =
sin ϕ cos ψΛ(ψ) + sin ψ cos ϕΛ(ϕ)
1 − k
2
sin
2
ϕ sin
2
ψ
,
(3.41) cos µ =
cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψΛ(ϕ)Λ(ψ)
1 − k
2
sin
2
ϕ sin
2
ψ
og
(3.42) tgµ =
tgϕΛ(ψ) + tgψΛ(ϕ)
1 − tgϕtgψΛ(ϕ)Λ(ψ)
,
der
Λ(ϕ) =
q
1 − k
2
sin
2
ϕ.
Sammen med likningen (3.39) gir altså (3.40) til (3.42) tre ulike versjoner av Le-
grendres addisjonsteorem. Ved passende transformasjoner er det for eksempel lett
å vise at (3.18) er ekvivalent med (3.39) og (3.40). For å vise dette, la oss skifte
tilbake til de opprinnelige variable ved å foreta variabeltransformasjonene ϕ → x
og ψ → y, der ϕ = arcsin x og ψ = arcsin y. Dermed blir G(ϕ) = F (sin ϕ) =
F (x), G(ψ) = F (sin ψ) = F (y) og G(µ) = F (sin µ), der funksjonen F har samme
form som i (3.18). Altså kan vi skrive (3.39) som F (x) + F (y) = F(sin µ). Videre
blir (3.40) uttrykt ved x og y lik
(3.43) sin µ =
x∆(y) + y∆(x)
1 − k
2
x
2
y
2
,
som viser at resultatet i (3.39) og (3.40) er ekvivalent med resultatet i (3.18).
Legendre gjennomførte også et annet alternativt bevis der han viste at sam-
menhengene i (3.34) til (3.37) følger fra sfærisk trigonometri, nærmere bestemt
sammenhengene mellom sidene i en trekant på en kuleflate med respektive lengder
ϕ, ψ og µ. I tillegg til å ha selvstendig interesse er dette alternative beviset også en
god illustrasjon på hvordan problemstillinger i sfærisk geometri leder til elliptiske
integraler.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 19
Her bør det også nevnes at den engelske matematikeren John Landen (1719-
1790) oppnådde en løsning av differensiallikningen i (3.38), publisert i [19], ved å
benytte tilsvarende geometriske betraktninger som Legendre benyttet senere. Jeg
viser til [8] som gjennomgår Landens teorem. Imidlertid ser det ikke ut til at han
eksplisitt etablerte et addisjonsteorem.
4 Bevis av Teorem 1 i Abels artikkel “Précis d’une théorie des
fonctions elliptiques”
Vi går nå over til å se på Abels tilnærming. Vår gjennomgang av addisjonsteoremer
oppnådd før Abel i kapitlene ovenfor gjør oss i stand til å plassere Abels bidrag
i den historisk sammenheng og å få fram på hvilken måte Abels metode skiller
seg de metodene vi har gjennomgått ovenfor. Vi skal diskutere beviset av Teorem
1 i artikkelen “Précis d’une théorie des fonctions elliptiques”, som ble publisert i
Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s journal) i 1829, og som
også finnes på side 529 i [30]. Videre skal vi diskutere noen implikasjoner som følger
fra dette teoremet.
Abel begynner sin artikkel med følgende innledende bemerkninger (oversatt fra
fransk):
“Teorien for elliptiske funksjoner, skapt av herr Legendre, utgjør en av de mest
interessante delene av analysen. I løpet av mitt arbeid med å utvikle denne teorien
har jeg, om jeg ikke tar feil, kommet fram til en rekke resultater som synes meg å
fortjene en viss oppmerksomhet. Framfor alt har jeg forsøk å oppnå en mest mulig
generell utforming av mine resultater, ved å ta utgangspunkt i problemstillinger av
en meget vid utstrekning. Om jeg ikke har vært helt heldig med å gi en fullstendig
løsning på disse, har jeg i det minste foreslått framgangsmåter som kan benyttes i så
øyemed. Resultatene av min forskning på dette feltet utgjør et verk av noe omfang,
men omstendighetene tillater meg ikke å publisere dette ennå. Det er derfor jeg her
vil gi en klargjøring av metoden som jeg har fulgt, sammen med meget generelle
resultater som denne har ledet meg til....”
Vi ser fra disse innledende setningene i Abels artikkel at selv om Abel uttrykker
seg beskjedent, kommer det tydelig fram at han er opptatt av å sette seg gene-
relle og ambisiøse mål med sikte på å trenge inn i kjernen av problemet. Før vi
formulerer Abels Teorem 1 vil det forenkle framstillingen å innføre noen begreper
og definisjoner først. La f(x) være et polynom i x med like potenser og ϕ(x) et
polynom i x med odde potenser, eller vice versa. La videre ∆(x) være gitt som
ovenfor ved (2.1), dvs.
∆(x) =
p
(1 − x
2
)(1 − k
2
x
2
),
der vi husker at k er en konstant med tallverdi mindre enn eller lik 1. Vi ser lett at
f(x)
2
− ϕ(x)
2
∆(x)
2
blir et polynom i x
2
, hvilket betyr at vi kan skrive
(4.1) f(x)
2
− ϕ(x)
2
∆(x)
2
= A(x
2
− x
2
1
)(x
2
− x
2
2
) . . . (x
2
− x
2
m
),
20 John K. Dagsvik Normat 1/2010
der A er en konstant, x
1
, −x
1
, x
2
, −x
2
, . . . , x
m
, −x
m
, er røttene i polynomet hvor
graden er gitt ved 2m. For enkelthets skyld antar vi i denne framstillingen av
de etterfølgende bevisene av Abels resultater at røttene er reelle og har tallverdi
mindre enn 1. Vi har altså at dersom x
j
er en rot i (4.1) er også −x
j
en rot i (4.1).
Vi definerer x
j
som den roten som tilfredsstiller
(4.2) f(x
j
) + ε
j
ϕ(x
j
)∆(x
j
) = 0,
der ε
j
er valgt lik 1 eller lik −1. Dette er mulig fordi (4.1) medfører at
f(x
j
) + ϕ(x
j
)∆(x
j
) = 0 eller f(x
j
) − ϕ(x
j
)∆(x
j
) = 0.
I [2] har Abel bevist følgende teorem:
2
Teorem 1. La f(x) og ϕ(x) være polynomer i x med henholdsvis like og odde
potenser, eller vice versa. Da har vi at
(4.3)
m
X
j=1
ε
j
Z
x
j
s
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
= C −
a
2∆(a)
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
,
der x
1
, x
2
, . . . , x
m
er de røttene i (4.1) som tilfredsstiller f(x
j
)+ε
j
ϕ(x
j
)∆(x
j
) = 0,
og a er en konstant slik at |x
j
| < min(1, a), for j = 1, 2, . . . , m, s er en vilkårlig
konstant med tallverdi mindre enn 1, og C en konstant avhengig av s og a, men
uavhengige av røttene {x
1
, x
2
, . . . , x
m
}.
Før vi går løs på Abels bevis trenger vi følgende hjelpesetninger:
Lemma 1. La g
1
(x) og g
2
(x) være polynomer der g
1
(x) har odde potenser, g
2
(x)
har like potenser og høyere grad enn g
1
(x). Videre er alle røttene i g
2
(x) ulike, og
forskjellige fra røttene i g
1
(x). La 2m være graden til g
2
(x), og la
x
1
, −x
1
, x
2
, −x
2
, . . . , x
m
, −x
m
, være røttene i g
2
(x). For en fri variabel x som er
forskjellig fra x
j
, for alle j, har vi at
(4.4)
m
X
j=1
2ag
1
(x
j
)
(a
2
− x
2
j
)g
0
2
(x
j
)
=
g
1
(a)
g
2
(a)
,
der a er en vilkårlig konstant som er ulik alle røttene.
Resultatet i Lemma 1 er velkjent, men for fullstendighetens skyld er beviset
gjengitt i vedlegg.
Lemma 2. La q(x) og h(x) være to deriverbare funksjoner og K en konstant. Da
er
(4.5)
Z
(q(x)h
0
(x) − h(x)q
0
(x))dx
h(x)
2
− q(x)
2
K
= C −
1
2K
log
h(x) + q(x)K
h(x) − q(x)K
,
der C er en vilkårlig konstant.
2
Abels teorem presentert i denne artikkelen skiller seg noe fra Abels formulering, i og med
at vi her nøyer oss med å gjengi addisjonsteoremet for elliptiske integraler av tredje slag. Det
tilsvarende resultatet for ellliptiske integraler av første slag følger i Korollar 2.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 21
Beviset av Lemma 2 følger umiddelbart ved å derivere høyre side m.h.p. x.
Bevis av Teorem 1: I tillegg til at polynomene f og ϕ er funksjoner av x, betrakter
Abel dem også som funksjoner av koeffisientene, der koeffisientene antas å være frie
variable. La nå z betegne en av disse koeffisientene. Vi skriver heretter f(x, z) og
ϕ(x, z) for å betegne at f og ϕ nå er å betrakte som funksjoner av både x og z.
Tilsvarende, la ψ(x, z) være funksjonen definert ved
(4.6) ψ(x, z) = f(x, z)
2
− ϕ(x, z)
2
∆(x)
2
.
Som funksjon av z betegner vi nå røttene i (4.6) med r
j
(z), −r
j
(z), j = 1, 2, . . . , m.
Disse røttene blir nå såkalte algebraiske funksjoner av z.
3
Ved å derivere ψ(r
j
(z), z)
m.h.p. z, får vi at
(4.7) ψ
0
1
(r
j
(z), z)r
0
j
(z) + ψ
0
2
(r
j
(z), z) = 0,
der ψ
0
k
betegner den deriverte m.h.p. k-te argument, for k = 1, 2. Ved å legge merke
til at ∆(x) ikke avhenger av z får vi videre fra (4.6) ved å derivere m.h.p. z at
(4.8) ψ
0
2
(x, z) = 2f(x, z)f
0
2
(x, z) − 2∆(x)
2
ϕ(x, z)ϕ
0
2
(x, z).
La oss for enkelthets skyld innføre notasjonen
(4.9) θ(x, z) = ϕ(x, z)f
0
2
(x, z) − f (x, z)ϕ
0
2
(x, z).
Fra (4.2) følger det at
(4.10a) f(r
j
(z), z) = −ε
j
∆(r
j
(z))ϕ(r
j
(z), z),
som, siden ∆(r
j
(z)) 6= 0, er ekvivalent med
(4.10b) ϕ(r
j
(z), z) = −ε
j
f(r
j
(z), z)
∆(r
j
(z))
.
Ved å sette inn for f (r
j
(z), z) fra (4.10a) og for ϕ(r
j
(z), z) fra (4.10b) i (4.8), følger
det at
ψ
0
2
(r
j
(z), z) = 2f (r
j
(z), z)f
0
2
(r
j
(z), z) − 2∆(r
j
(z))
2
ϕ(r
j
(z), z)ϕ
0
2
(r
j
(z), z)
= −2ε
j
∆(r
j
(z))θ(r
j
(z), z),
(4.11)
som sammen med (4.7) gir
(4.12) ψ
0
1
(r
j
(z), z)r
0
j
(z) = 2ε
j
∆(r
j
(z))θ(r
j
(z), z).
3
Her tar Abel det ikke så nøye at x
j
er algebraiske funksjoner som generelt er flertydige med
forgreiningspunkter. For eksempel har funksjonen gitt ved y
2
= z + a et forgreiningspunkt i
z = −a.
22 John K. Dagsvik Normat 1/2010
Ved å dividere (4.12) med
ψ
0
1
(r
j
(z), z)(1 − r
j
(z)
2
/a
2
)∆(r
j
(z))/ε
j
,
får vi at
(4.13)
ε
j
r
0
j
(z)
1 −
r
j
(z)
a
2
∆(r
j
(z))
=
2θ(r
j
(z), z)
1 −
r
j
(z)
a
2
ψ
0
1
(r
j
(z), z)
.
Vi legger merke til at ϕ(x, z)f
0
2
(x, z) og f(x, z)ϕ
0
2
(x, z) er polynomer i x med odde
potenser slik at θ(x, z) blir et polynom i x med odde potenser. Videre husker vi
at ψ(x, z) er et polynom i x med like potenser. Det er lett å sjekke at graden av
θ(x, z) (som polynom i x) er mindre enn graden av ψ(x, z). Fra (4.13) og Lemma
1, med g
1
(x) = θ(x, z) og g
2
(x) = ψ(x, z), får vi derfor at
m
X
j=1
ε
j
r
0
j
(z)
(1 − (r
j
(z)/a)
2
)∆(r
j
(z))
=
m
X
j=1
2a
2
θ(r
j
(z), z)
(a
2
− r
j
(z)
2
)ψ
0
1
(r
j
(z), z)
=
aθ(a, z)
ψ(a, z)
.
(4.14)
Ved å integrere (4.14) med hensyn på z fra z
0
til z
1
, for passende valg av z
0
og z
1
,
og videre benytte Lemma 2, med q(z) = ϕ(a, z), h(z) = f(a, z) og K = ∆(a), får
vi at
m
X
j=1
Z
z
1
z
0
j
r
0
j
(z)dz
(1 − (r
j
(z)/a)
2
)∆(r
j
(z))
=
Z
z
1
z
0
aθ(a, z)dz
ψ(a, z)
=
a
2∆(a)
log
f(a, z
0
) + ϕ(a, z
0
)∆(a)
f(a, z
0
) − ϕ(a, z
0
)∆(a)
−
a
2∆(a)
log
f(a, z
1
) + ϕ(a, z
1
)∆(a)
f(a, z
1
) − ϕ(a, z
1
)∆(a)
.
(4.15)
For en gitt verdi av j, får vi ved å foreta variabelskiftet r
j
(z) → x, at r
0
j
(z)dz = dx,
og at
Z
z
1
z
0
r
0
j
(z)dz
(1 − (r
j
(z)/a)
2
)∆(r
j
(z))
=
Z
x
j
s
j
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
=
Z
x
j
s
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
+ C
j
,
(4.16)
der x
j
= r
j
(z
1
), s
j
= r
j
(z
0
), s er en (passende) vilkårlig konstant og C
j
en konstant
som er gitt ved
C
j
=
Z
s
s
j
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 23
Kombinerer vi (4.16) med (4.15) får vi at
m
X
j=1
Z
x
j
s
ε
j
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
= C −
a
2∆(a)
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
,
der f (a) = f(a, z
1
), ϕ(a) = ϕ(a, z
1
), og C er en konstant gitt ved
C = −
m
X
j=1
ε
j
C
j
−
a
2∆(a)
log
f(a, z
0
) + ϕ(a, z
0
)∆(a)
f(a, z
0
) − ϕ(a, z
0
)∆(a)
.
Her er det altså underforstått at f(a) og ϕ(a) er funksjoner av røttene {x
j
}. Dermed
er påstanden i Teorem 1 bevist for tilfellet der alle røttene i (4.2) er forskjellige.
Siden koeffisientene i et polynom er lineærkombinasjoner av produkter av røttene
i polynomet blir polynomet en kontinuerlig funksjon av røttene. Derfor er begge
sider av likningen i (4.3) kontinuerlige funksjoner av røttene, dersom røttene er
forskjellige fra a. Men da må (4.3) gjelde også når noen av røttene er like. Dette
innser vi ved å la for eksempel x
1
nærme seg x
2
.
Fra Teorem 1 følger det nå umiddelbart:
Korollar 1. La x
j
, j = 1, 2, . . . , m, være gitte størrelser og a en konstant slik at
|x
j
| < min(1, a), og la polynomene f (x) og ϕ(x) være bestemt slik at
x
1
, −x
1
, x
2
, −x
2
, . . . , x
m
, −x
m
, er røttene i f(x)
2
−ϕ(x)
2
∆(x)
2
. Da gjelder konklu-
sjonen i Teorem 1.
Resultatet i Korollar 1 er av betydelig interesse fordi det viser at vi kan velge
røtter først og deretter tilpasse de respektive polynomer f(x) og ϕ(x) konsistent
med de valgte røttene.
Fra Teorem 1 kan vi uten større vanskeligheter bevise neste resultat.
Korollar 2. Under forutsetningene i Teorem 1 har vi at
(4.17)
m
X
j=1
ε
j
Z
x
j
s
dx
∆(x)
= C,
der C er en passende konstant.
Bevis av Korollar 2. : Vi skal betrakte spesialtilfellet som følger fra (4.3) når a →
∞. Siden
1
1 −
x
a
2
|∆(x)|
<
1
|∆(x)|
,
når a er stor og x er begrenset til et endelig intervall følger det (jf. Lebesgues
monotone konvergensteorem) at
lim
a→∞
Z
x
j
s
dx
(1 − (x/a)
2
)∆(x)
=
Z
x
j
s
dx
∆(x)
.
24 John K. Dagsvik Normat 1/2010
La oss dernest betrakte høyre side i (4.3) når a → ∞. Anta først at graden av f(x)
2
er mindre enn graden til polynomet (ϕ(x, z)∆(x))
2
. Vi kan skrive
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
=
f(a)
ϕ(a)∆(a)
+ 1
f(a)
ϕ(a)∆(a)
− 1
.
Sidenf(x)
2
har lavere grad enn (ϕ(x)∆(x))
2
, vil opplagt
f(a)
ϕ(a)∆(a)
→ 0,
når a går mot uendelig. Dermed vil
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
→ log(−1) = π
√
−1,
når a går mot uendelig.
4
Videre vil
a
∆(a)
=
1
p
(1 − a
−2
)(c
2
a
2
− 1)
→ 0,
når a går mot uendelig, slik at
a
∆(a)
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
→ 0,
når a går mot uendelig. Tilsvarende, hvis f(x)
2
har høyere grad enn (ϕ(x)∆(x))
2
,
følger det på samme måte som ovenfor at
a
∆(a)
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
→ 0,
når a går mot uendelig.
Dermed er beviset fullført.
Vi skal dernest se på en interessant variant av Teorem 1. Denne får vi ved å la
ε
j
= 1, for j = 1, 2, . . . , m − 1, og ε
m
= −1. Videre lar vi y = x
m
. Dermed får vi
fra Teorem 1 og Korollar 2 følgende resultat:
Korollar 3.
(4.18)
m−1
X
j=1
Z
x
j
s
dx
∆(x)
=
Z
y
s
dx
∆(x)
+ C
1
,
4
Lesere som ikke har bakgrunn i regning med komplekse tall vil her måtte godta at log(−1) =
π
√
−1.
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 25
og
m−1
X
j=1
Z
x
j
s
dx
(1 − x
2
/a
2
)∆(x)
=
Z
y
s
dx
(1 − x
2
/a
2
)∆(x)
−
a
2∆(a)
log
f(a) + ϕ(a)∆(a)
f(a) −ϕ(a)∆(a)
+ C
2
,
(4.19)
der C
1
og C
2
er passende konstanter.
Eksempel 4.1. For å lette forståelsen av resultatet i Teorem 1, skal vi nå se på
et eksempel der vi skal benytte (4.18) i Korollar 3. La m = 4 og la
(4.20) f(x) = a
0
+ a
1
x
2
+ x
4
, og ϕ(x) = b
0
x.
Vi kan, som nevnt ovenfor, skrive
(4.21) f(x)
2
− ϕ(x)
2
∆(x)
2
= (x
2
− x
2
1
)(x
2
− x
2
2
)(x
2
− x
2
3
)(x
2
− y
2
),
der vi har latt y = x
4
. Vi lar nå x
1
, x
2
, x
3
, være frie variable, slik at y og koeffisi-
entene a
0
, a
1
og b
0
blir funksjoner av disse tre røttene. Siden produktet av røttene
er lik konstantleddet i (4.21), har vi sammenhengen
y
2
x
2
1
x
2
2
x
2
3
= a
2
0
,
slik at vi får at
(4.22) y =
a
0
x
1
x
2
x
3
, eller y = −
a
0
x
1
x
2
x
3
.
Hvilken av disse to likningene som gjelder vil bestemmes nedenfor. Siden ε
1
= ε
2
=
ε
3
= 1, får vi fra (4.2) at koeffisientene a
0
, a
1
og b
0
bestemmes fra likningene
f(x
j
) + ϕ(x
j
)∆(x
j
) = 0,
hvilket er ekvivalent med
(4.23) a
0
+ a
1
x
2
j
+ b
0
x
j
∆(x
j
) = −x
4
j
,
for j = 1, 2, 3. Siden ∆(x
j
) er kjent har vi i (4.23) tre likninger med tre ukjente
som kan løses på velkjent måte. Videre, siden ε
4
= 1, bestemmes fortegnet til y fra
(4.24) a
0
+ a
1
y
2
− b
0
y∆(y) = −y
4
.
Vi ser videre at koeffisientene blir rasjonelle funksjoner av røttene og av ∆(x
j
),
j = 1, 2, 3.
La oss vende tilbake til den generelle diskusjonen. Hvis vi tenker nærmere over
beviset av Teorem 1 merker vi oss at det kun avhenger av den egenskapen til ∆(x)
at ∆(x)
2
er et polynom i x med like potenser. Altså er Teorem 1 gyldig når ∆(x)
2
erstattes av et vilkårlig polynom i x
2
. Dette er et svært viktig resultat som er gitt
som Korollar 4 nedenfor.
26 John K. Dagsvik Normat 1/2010
Korollar 4. La ∆(x)
2
nå betegne et polynom i x
2
av vilkårlig grad, og anta fort-
satt at røttene i ψ(x) = f(x)
2
− ϕ(x)
2
∆(x)
2
er reelle og har tallverdi mindre enn
min(1, a). Da vil fortsatt resultatene i Teorem 1, og Korollarene 2 og 3 gjelde.
Når graden av polynomet som inngår under rottegnet i integralet ovenfor over-
stiger 4 kalles det korresponderende integralet hyperelliptisk. Altså er resultatet i
Teorem 1 mye mer generelt enn det en ved første øyekast legger merke til, nemlig
et resultat som gjelder for en stor klasse av hyperelliptiske integraler. Som nevnt
innledningsvis er det en rekke forskjellige addisjonsteoremer i Abels produksjon.
Blant annet behandlet Abel hyperelliptiske integraler av andre typer i flere arbei-
der. I for eksempel [1], utledet han addisjonsteoremer for hyperelliptiske integraler
av typen
Z
x
s
g(x)dx
(x − a)
p
h(x)
,
der g(x) og h(x) er polynomer av vilkårlig grad, ved å bruke resonnementer som er
analoge til beviset av Teorem 1. Vi merker oss at dersom g(x) har en rot lik a, kan
vi skrive g(x) = (x − a)g
∗
(x), slik at i dette tilfellet reduseres det siste integralet
seg til
Z
x
s
g
∗
(x)dx
p
h(x)
.
Dersom g
∗
(x) = 1 og h(x) kun inneholder ledd med like potenser vil dette integralet
redusere seg til det som er dekket av Korollar 4.
Eksempel 4.2. La
(4.25) f(x) = bx + x
3
, og ϕ(x) = c,
der b og c er konstanter. Dette gir
(4.26) f(x
j
) + ϕ(x
j
)∆(x
j
) = bx
j
+ x
3
j
+ c∆(x
j
) = 0,
for j = 1, 2, 3, der y = x
3
. Ved å løse (4.26) m.h.p. b og c får vi:
(4.27) b =
x
3
2
∆(x
1
) − x
3
1
∆(x
2
)
x
1
∆(x
2
) − x
2
∆(x
1
)
,
og
(4.28) c =
x
2
x
3
1
− x
1
x
3
2
x
1
∆(x
2
) − x
2
∆(x
1
)
.
Videre følger det, ved å bruke sammenhengen mellom koeffisientene og røttene i
polynomet
(bx + x
3
)
2
− c
2
∆(x)
2
= (x
2
− x
2
1
)(x
2
− x
2
2
)(x
2
− y
2
),
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 27
at
(4.29) y =
c
x
1
x
2
=
x
2
1
− x
2
2
x
1
∆(x
2
) − x
2
∆(x
1
)
=
x
1
∆(x
2
) + x
2
∆(x
1
)
1 − k
2
x
2
1
x
2
2
.
Den siste overgangen i (4.29) følger ved multiplikasjon i teller og nevner i nest siste
uttrykk i (4.29) med x
1
∆(x
2
) + x
2
∆(x
1
). Dermed får vi fra (4.19) i Korollar 3 at
Z
x
1
s
dx
(1 − x
2
/a
2
)∆(x)
+
Z
x
2
s
dx
(1 − x
2
/a
2
)∆(x)
=
Z
y
s
dx
(1 − x
2
/a
2
)∆(x)
−
a
2∆(a)
log
ab + a
3
+ x
1
x
2
y∆(a)
ab + a
3
− x
1
x
2
y∆(a)
+ C
1
,
(4.30)
der b er gitt ved (4.27), og videre fra (4.18) at
(4.31)
Z
x
1
s
dx
∆(x)
+
Z
x
2
s
dx
∆(x)
=
Z
y
s
dx
∆(x)
+ C
2
,
der C
1
og C
2
er passende konstanter.
Betrakt tilfellet med s = 0 i (4.31). Med dette valget ser vi at vi får C
2
= 0.
Dermed gjenkjenner vi dette spesialtilfellet av (4.31) som addisjonsteoremet gitt i
(3.18).
Eksempel 4.3. La nå x
2
= h, der h er en konstant. Fra (4.29) får vi da at
(4.32) y =
x
1
∆(h) + h∆(x
1
)
1 − k
2
h
2
x
2
1
og fra (4.31) at
(4.33)
Z
x
1
s
dx
∆(x)
=
Z
y
s
dx
∆(x)
− C
∗
,
der C
∗
er en passende konstant.
Eksempel 4.4. Selv om vi i bevisene ovenfor har antatt at røttene i ψ(x) har
tallverdi mindre enn 1 kan en vise at resultatene ovenfor gjelder mer generelt. Vi
har følgende:
A: Dersom h = 0, blir y = x og ∆(y) = ∆(x).
B: Dersom h = ∞, blir y = ±1/kx og ∆(y) = ∓
∆(x)
kx
2
.
C: Dersom h = 1, blir
y =
r
1 − x
2
1 − k
2
x
2
og ∆(y) =
(k
2
− 1)x
1 − k
2
x
2
.
D: Dersom h = 1/k, blir
y =
1
k
r
1 − k
2
x
2
1 − x
2
og ∆(y) =
(1 − k
2
)x
(1 − x
2
)k
.
28 John K. Dagsvik Normat 1/2010
La oss vende tilbake til den generelle teorien og betrakte situasjonen når det er
m røtter i polynomet i (4.1) og m − 1 av disse er like. I en slik situasjon vil (4.18)
i Korollar 3 redusere seg til følgende resultat:
Korollar 5. Dersom x
j
= x
1
, j = 1, 2, . . . , n = m − 1, har vi at
(4.34) n
Z
x
1
s
dx
∆(x)
=
Z
y
s
dx
∆(x)
+ C,
der C er en passende konstant og sammenhengen mellom x
1
og y er bestemt slik
at
(4.35) f(x)
2
− ϕ(x)
2
∆(x)
2
= (x
2
− x
2
1
)
n
(x
2
− y
2
).
Tilsvarende spesialisering gjelder også for (4.19) i Korollar 3. På samme måte
som i Eksempel 4.1 kan en nå finne koeffisientene i polynomet på venstre side i
(4.35) og deretter bestemme y som funksjon av x
1
. Abel viser imidlertid at det fin-
nes en måte å gå fram på som er vesentlig enklere. Dette resultatet er oppsummert
i det neste korollaret.
Korollar 6. La y
n
være bestemt ved
(4.36) n
Z
x
0
dx
∆(x)
=
Z
y
n
0
dx
∆(x)
.
Da kan y
n
beregnes rekursivt som funksjon av x ved formlene
(4.37a) y
n+1
= −y
n−1
+
2y
n
∆(x)
1 − k
2
x
2
y
2
n
,
(4.37b) y
2n−1
=
y
2
n
− y
2
n−1
x(1 − k
2
y
2
n
y
2
n−1
)
og
(4.37c) y
2n
=
2y
n
∆(y
n
)
1 − k
2
y
4
n
,
der y
0
= 0 og y
1
= x. Funksjonen y
n
er rasjonell når n er et oddetall og har formen
p(x)∆(x), der p(x) er rasjonell når n er et partall.
Bevis av Korollar 6. For enkelhets skyld innfører vi nå notasjonen
H(x) =
Z
x
0
dx
∆(x)
.
Dermed kan vi uttrykke (4.36) som nH(x) = H(y
n
), der det følger fra (4.36) at
y
n
er bestemt slik at når x = 0, så er også y
n
= 0. Dette er ekvivalent med å la
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 29
integrasjonskonstanten C
1
i (4.18) være lik null. Den påfølgende analysen i tilfellet
der C
1
er forskjellig fra null er analog. Fra (4.36) følger det at
(4.38) (n + r)H(x) = H(y
n+r
) = nH(x) + rH(x) = H(y
n
) + H(y
r
),
hvilket medfører at
(4.39) H(y
n+r
) = H(y
n
) + H(y
r
).
La z være gitt ved
(4.40) z =
y
n
∆(y
r
) + y
r
∆(y
n
)
1 − k
2
y
2
r
y
2
n
.
Det følger nå fra (4.29), (4.31) og (4.39) at
(4.41) H(z) = H(y
r
) + H(y
n
) = H(y
n+r
).
Siden funksjonen H(x) er strengt voksende følger det derfor fra (4.41) at z = y
r+n
.
Fra (4.41) får vi derfor at
(4.42) y
n+r
=
y
n
∆(y
r
) + y
r
∆(y
n
)
1 − k
2
y
2
r
y
2
n
.
På tilsvarende måte kan en vise at
(4.43) y
n−r
=
y
n
∆(y
r
) − y
r
∆(y
n
)
1 − k
2
y
2
r
y
2
n
,
for n > r. Ved å la r = 1 i (4.42) og (4.43) får vi at
(4.44) y
n+1
=
y
n
∆(x) + x∆(y
n
)
1 − k
2
x
2
y
2
n
,
og
(4.45) y
n−1
=
y
n
∆(x) − x∆(y
n
)
1 − k
2
x
2
y
2
n
.
Tar vi summen av uttrykkene i (4.44) og (4.45) får vi derfor følgende rekursjons-
formel for {y
n
}:
(4.46) y
n+1
= −y
n−1
+
2y
n
∆(x)
1 − k
2
x
2
y
2
n
.
Ved suksessiv kalkulasjon av y
2
, y
3
, . . . , finner en lett at y
n
er rasjonell når n er et
oddetall og har formen p(x)∆(x), der p(x) er rasjonell når n er et partall. Videre
får vi ved å multiplisere uttrykkene i (4.42) og (4.43) at
(4.47) y
n+r
y
n−r
=
y
2
n
− y
2
r
1 − k
2
y
2
n
y
2
r
.
30 John K. Dagsvik Normat 1/2010
Ved å sette r = n − 1 i (4.47) får vi at y
n−r
= y
1
= x, og
(4.48) y
2n−1
=
y
2
n
− y
2
n−1
x(1 − k
2
y
2
n
y
2
n−1
)
.
Ved å sette r = n i (4.42) finner vi, siden y
1
= x, at
(4.49) y
2n
=
2y
n
∆(y
n
)
1 − k
2
y
4
n
.
Dermed er beviset fullført.
Eksempel 4.5. I dette eksemplet betrakter vi spesialtilfellet med k = 0. Som
kjent reduserer (4.36) seg da til
(4.50) n arcsin x = arcsin y
n
.
La z = arcsin x, dvs., x = sin x. Vi kan alternativt uttrykke relasjonen i (4.50) som
(4.51) y
n
= sin (n arcsin x) = sin(nz).
For n = 1 medfører (4.37c) at
(4.52) y
2
= 2y
1
q
1 − y
2
1
= 2x
p
1 − x
2
= 2 sin z cos z.
Ved å kombinere (4.51) og (4.52) får vi derfor det velkjente resultatet at sin 2z =
2 sin z cos z.
For n = 2 medfører (4.37b) og (4.52) at
(4.53) y
3
=
y
2
2
− y
2
1
x
= 4x(1 − x
2
) − x = 3x − 4x
3
,
som sammen med (4.51) gir det velkjente resultatet at sin 3z = 3 sin z − 4 sin
3
z.
5 Avsluttende bemerkninger
I denne artikkelen har jeg forsøkt å gi en elementær oversikt over deler av teorien for
elliptiske integraler, slik denne teorien forelå på Abels tid. Videre har motivasjonen
vært (i), å vise at det er mulig å følge Abels angrepsmåte uten å være profesjo-
nell matematiker, men med kun et forholdsvis elementært grunnlag i integral- og
differensialregning, og (ii), å vise originaliteten i Abels angrepsmåte ved å belyse i
hvilken grad denne skilte seg fra det som var de etablerte metodene på begynnel-
sen av 1800-tallet. Først har jeg gitt en kort innføring i de sentrale angrepsmåtene
til Euler, Lagrange og Legendre i deres arbeid med å etablere addisjonsteoremer
for elliptiske integraler. Hensikten med dette har først og fremst vært å plassere
Abels bidrag i den historiske konteksten, og dernest vise eksempler på hvordan
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 31
sentrale anvendelser i mekanikk og geometri leder til elliptiske integraler. Deretter
har jeg gitt en elementær gjennomgang av beviset til en versjon av Abels gene-
relle addisjonsteorem, som forhåpentlig er lettere å følge enn Abels versjon. Som
jeg har påpekt er Abels metode av så grunnleggende karakter at når beviset for
addisjonsteoremet i det spesielle tilfelle som omfatter Legendres elliptiske integra-
ler er etablert, så lar det seg umiddelbart generalisere til hyperelliptiske integraler
(abelske integraler). Som mange har påpekt var det typisk for Abel å angripe pro-
blemstillinger på den mest generelle måten i stedet for å studere en rekke særskilte
tilfeller. Arbeidene til Abel på dette feltet viste seg senere å inspirere en rekke av
de største matematikere til nye måter å studere geometrien til algebraiske kurver
på.
Denne artikkelen har imidlertid ikke hatt som ambisjon å plassere Abels innsats
på feltet i forhold til arbeidene til Jacobi (1804-1851) og Gauss (1777-1855). Mens
Abel var i gang med å publisere sine epokegjørende arbeider innen dette tema
kom det som kjent fram at Gauss også hadde arbeidet med teorien for elliptiske
integraler, og at han allerede så tidlig som i 1798 hadde oppnådd noen av de
samme resultatene som Abel.
5
Resultatene til Gauss hadde imidlertid blitt liggende
i skuffen, slik at offentligheten ikke hadde kjennskap til dette på Abels tid. Når
det gjelder forholdet mellom Abel og Jacobi, er dette diskutert i den biografiske
litteraturen, se for eksempel [7], [25] og [28]. Bortsett fra den franske utgaven av
Ores biografi, inneholder imidlertid disse biografiene ikke matematisk materiale.
Jacobis lærebok om elliptiske integraler og funksjoner, [16], kom ut samme år som
Abel døde, og har i ettertid blitt kritisert for mangelfull omtale og manglende
referanser til Abel.
Et viktig tema innen teorien for elliptiske funksjoner er teorien for transforma-
sjoner. Del II av denne artikkelen [9] vil diskutere sannsynlighetsfordelinger definert
som normerte elliptiske integraler (elliptiske fordelinger). Utgangspunktet er Abels
addisjonsteorem og teorien for transformasjoner av elliptiske integraler, som vil an-
vendes til å studere utvalgte ikke-lineære transformasjoner av stokastiske variable
med elliptiske fordelinger. Kun spesialtilfeller av dette har blitt betraktet tidligere
i sannsynlighetsteorien, nemlig arcussinus fordelingen og Cauchy fordelingen. Ar-
cussinus fordelingen har blant annet en sentral plass i teorien for tilfeldig gang og
Cauchy fordelingen er et spesialtilfelle innen klassen av stabile fordelinger. Disse
fordelingsfunksjonene er, som vi har sett ovenfor, spesialtilfeller av elliptiske inte-
graler.
6 Vedlegg
Bevis av Lemma 1: Anta at P(x) og Q(x) er to polynomer med ulike røtter og at
røttene i P (x) er forskjellige fra røttene i Q(x), samt at Q(x) har grad n som er
høyere enn graden til P (x). Da kan en skrive
(A.1)
P (x)
Q(x)
=
n
X
j=1
A
j
x − x
j
,
5
Korrespondanse mellom redaktør Schumacher i Astronomische Nachrichten og Gauss
32 John K. Dagsvik Normat 1/2010
der A
j
, j = 1, 2, . . . , n, er konstanter og x
1
, x
2
, . . . , x
n
, er røttene i Q(x). For å se
at dette er mulig multipliserer vi begge sider i (A.1) med Q(x) slik at
(A.2) S(x) ≡
n
X
j=1
A
j
Q
j
(x) − P (x) = 0,
der
Q
j
(x) = D
Y
k6=j
(x − x
k
)
og D er en konstant. Siden venstre side i (A.2), S(x), er et polynom av grad n −1,
må vi ha at S(0), S
0
(0), S
00
(0), . . . , S
(n−1)
(0) alle er lik null for at S(x) skal være
lik null for alle x. Spørsmålet er nå om dette er mulig. Vi har altså at
S
(k)
(0) ≡
n
X
j=1
A
j
Q
(k)
j
(0) − P
(k)
(0) = 0,
for k = 0, 1, . . . , n −1. Dette gir n likninger med n ukjente, nemlig A
1
, A
2
, . . . , A
n
,
som derfor har minst ett sett av løsninger for {A
j
}. Altså er representasjonen i
(A.1) mulig. Videre ser vi fra (A.1) at ved å multiplisere begge sider av (A.1) med
x − x
k
få vi at
(A.3)
P (x)(x − x
k
)
Q(x)
= A
k
+
X
j6=k
A
j
(x − x
k
)
x − x
j
.
La nå x → x
k
. Ved å bruke l’Hôpitals regel får vi at
x − x
k
Q(x)
−−−−→
x→x
k
1
Q
0
(x
k
)
.
Følgelig blir
(A.4) lim
x→x
k
P (x)(x − x
k
)
Q(x)
=
P (x
k
)
Q
0
(x
k
)
= A
k
,
fordi det andre leddet på høyre side i (A.3) går mot null.
La oss nå betrakte en situasjon der Q(x) = g
2
(x), der g
2
(x) er et polynom av
grad n = 2m og inneholder kun like potenser, og at P (x) = g
1
(x) er et annet
polynom med grad mindre enn 2m som kun inneholder odde potenser, og at alle
røttene i g
2
(x) er forskjellige, og forskjellige fra røttene i g
1
(x). Dette medfører at
røttene i g
2
(x) kan skrives som x
j
og −x
j
, for j = 1, 2, . . . , m. Videre blir g
0
2
(x) et
polynom med odde eksponenter. Altså kan vi, ifølge det vi har vist ovenfor, skrive
(A.5)
g
1
(x)
g
2
(x)
=
m
X
j=1
A
j
x − x
j
+
B
j
x + x
j
,
Normat 1/2010 John K. Dagsvik 33
der A
j
og B
j
er ukjente koeffisienter. Ved å anvende resultatet i (A.4) ovenfor får
vi (siden g
1
(x) = −g
1
(−x), og g
0
2
(x) = −g
0
2
(−x)) at
(A.6) B
j
=
g
1
(−x
j
)
g
0
2
(−x
j
)
=
g
1
(x
j
)
g
0
2
(x
j
)
= A
j
,
hvilket gir
(A.7)
g
1
(x)
g
2
(x)
=
m
X
j=1
2xA
j
x
2
− x
2
j
.
Ved å sette x = a, følger derfor det ønskede resultat fra (A.6) og (A.7).
Referanser
[1] Abel, N. H.: Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de
fonctions transcendantes. Journal für die reine und angewandte Mathematik,
(3):313–323, 1828.
[2] Abel, N. H.: Précis d’une théorie des fonctions elliptiques. Journal für die reine und
angewandte Mathematik, (4):236–348, 1829.
[3] Abel, N. H.: Mémoire sur une propriété générale d’une classe très étendue de
fonctions transcendantes. I Mémoires présentés par divers savants, bind VII. Paris,
1841. Finnes også i bind I av L. Sylow og S. Lie (red.), Oeuvres complète de Niels
Henrik Abel, Christiania, 1881.
[4] Aubert, K. E.: Abels addisjonsteorem. Normat, (4):149–158, 1979.
[5] Aubert, K. E.: Niels Henrik Abel. Normat, (4):129–140, 1979.
[6] Birkeland, B.: Norske matematikere. Universitetsforlaget, Oslo, 1993.
[7] Bjerknes, C. A.: Niels Henrik Abel. En skildring af hans liv og videnskabelige
virksomhet. 1880/1929. Følgeskrift til Nordisk Tidskrift, Stockholm. En omarbeidet
og forkortet utgave ble utgitt i 1929 på Aschehoug & Co., Oslo.
[8] Cayley, A.: An Elementary Treatise on Elliptic Functions. Constable and Company
Ltd., London, UK, 1876/1961. Opprinnelig publisert i 1876 av George Bell and
Sons.
[9] Dagsvik, J. K.: Elliptiske integraler II: Fragmenter av en teori for elliptiske
sannsynlighetsfordelinger. Artikkel under utarbeidelse.
[10] Eide, M.: Abel, de elliptiske funksjonene og lemniskaten. Normat, 57:1–10, 2009.
[11] Euler, L.: De integratione æquationis differentialis (On the Integration of the
Differential Equation) mdx/
√
1 − x
4
= ndy
p
1 − y
4
. Novi commentarii academiæ
scientiarum Petropolitanæ, 6:37–57, 1761. Finnes også i Eulers samlede verker,
Omnia I
20
.
[12] Fagnano, G. C.: Produzioni matematiche del conte Giulio Carlo di Fagnano. Nella
stamperia Gavelliana, Pesaro Italia, 1750.
34 John K. Dagsvik Normat 1/2010
[13] Hoffmann, J. E.: Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik während
des Aufenthaltes in Paris (1672-1676). Leibniz Verlag, Munchen, 1949.
[14] Houzel, C.: Fonctions elliptiques et intégrales abeliennes. I Dieudonné, I. J.
(redaktør): Abrégé d’histoire des mathématiques, kapittel 7. Hermann, Paris, 1986.
[15] Houzel, C.: The Work of Niels Henrik Abel. I A. O. Laudal og R. Piene (redaktør):
The legacy of Niels Henrik Abel – The Abel bicentennial, Oslo, 2002, sider 21–178.
Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[16] Jacobi, C. G. J.: Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum. Borntreger,
Regiomonti, 1829. Også gjengitt i bind I av C. G. J. Jacobi’s Gesammelte Werke,
G. Reimer, Berlin, 1881.
[17] Kleiman, S. L.: What is Abel’s Theorem Anyway? I A. O. Laudal og R. Piene
(redaktør): The legacy of Niels Henrik Abel- The Abel bicentennial, Oslo, 2002,
sider 395–440. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[18] Lagrange, J. L.: Sur quelques équations différentielles dont les indéterminées sont
séparés mais dont chaque membre en particulier n’est point intégrable. I Serret, J.
A. (redaktør): Oeuvres de Lagrange, bind II. Gauthiers-Villars, Paris, 1867-1892.
Først publisert i Miscellanea Taurinensia, IV. Mémoires de l’Académie Royale de
Sciences des Turins, Torino, 1766-1769.
[19] Landen, J.: An Investigation of a General Theorem for Finding the Length of an
Arc of Any Conic Hyperbola, by means of Two Elliptic Arcs, with Some Other New
and Useful Theorems Deduced Therefrom. 65:283–289, 1775. Også publisert i
Mathematical Memoirs (1780), J. Nourse, Bookfeller to His Majesty, London.
[20] Lange-Nielsen, F.: Niels Henrik Abel. Nordisk Matematisk Tidskrift, 1:65–90, 1953.
[21] Legendre, A. M.: Mémoire sur les transcendantes elliptiques. Du Pont et Firmin
Didot, Paris, 1793.
[22] Legendre, A. M.: Exercices de calcul intégral sur divers orders de transcendantes, et
sur les quadratures. Courcier, Paris, 1811-1817. 3 bind (1811, 1817, 1816).
[23] Legendre, A. M.: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériens.
Imprimerie Huzard-Courcier, Paris, 1825-1828. 3 bind (1825, 1826, 1828).
[24] Lindstrøm, T. L.: Kalkulus. Universitetsforlaget, Oslo, 2006. 3. utgave.
[25] Ore, Ø.: Niels Henrik Abel. Et geni og hans samtid. Gyldendal, Oslo, 1954.
[26] Skolem, T.: Elliptiske funksjoners komplekse multiplikasjon. Nordisk Matematisk
Tidsskrift, sider 123–136, 1926.
[27] Stephenson, R. J.: Mechanics and Properties of Matter. Wiley, London, 1960.
[28] Stubhaug, A.: Et foranskutt lyn. Niels Henrik Abel og hans tid. Aschehoug, 1996.
[29] Størmer, C.: Abels opdagelser: Fire forelesninger for de realstuderende i anledning
av 100-årsdagen for Abels død. Norsk Matematisk Tidskrift, 11:85–96 og 125–138,
1929.
[30] Sylow, L. og S. Lie (redaktør): Oeuvres complètes de Niels Henrik Abel. 1881. To
bind, publisert av den norske stat.
[31] Sørensen, H. K.: The Mathematics of Niels Henrik Abel. PhD-avhandling, Institut
for videnskabshistorie, Universitetet i Århus, 2002. 2. utgave 2004.
