Normat 58:1, 35–42 (2010) 35
Antalet egenvärden under en stor gräns
Lars Gårding
a
och Per-Anders Ivert
b
a
Matematikcentrum, Lunds universitet, Box 118, 221 00 LUND
lars.garding@math.lu.se
b
Dag Hammarskjölds väg 5i, 224 64 LUND
pa.ivert@gmail.com
1 Klassiskt om den svängande strängen
En svängande sträng avger en ton, ett faktum som ligger till grund för funktionssät-
tet hos många musikinstrument. En ton karaktäriseras i första hand av sin frekvens,
d.v.s. antalet svängningar per tidsenhet (mäts i Herz (Hz), antalet svängningar per
sekund). I allmänhet är en ton en överlagring av en grundton (grundfrekvens) och
en svit av övertoner. Förhållandet mellan intensiteterna hos grundtonen och de
enskilda övertonerna ger den sammansatta tonen dess klangfärg. Att analysera rö-
relsen hos en svängande sträng är en uppgift som tidigt möter dem som studerar
Fourieranalys. Man härleder då från fysikaliska grundprinciper (Newtons lagar)
den partiella differentialekvation som beskriver strängens rörelse:
∂
2
u
∂t
2
= c
2
∂
2
u
∂x
2
, 0 < x < L, t > 0,
där x representerar en punkt på strängen, intervallet x ∈ [0, L], t = 0 representerar
strängens viloläge och u(x, t) anger avvikelsen av punkten x från sitt viloläge vid
tidpunkten t. Konstanten c har den fysikaliska dimensionen av hastighet, och dess
kvadrat är kvoten mellan strängens spänning och dess densitet. Man finner att
lösningar till ekvationen kan genereras som funktionsserier
u(x, t) =
∞
X
k=1
X
k
(x)T
k
(t),
där funktionerna X
k
och T
k
satisfierar var sin ordinär differentialekvation
X
00
k
(x) + λ
k
X
k
(x) = 0, T
00
k
(t) + c
2
λ
k
T
k
(t) = 0
Talen c
√
λ
k
är just frekvenserna för grundtonen (k = 1) och de enskilda övertoner-
na (k = 2, 3, . . .). De kallas strängens egenfrekvenser, och talen λ
1
, λ
2
, . . ., för vilka
vi nedan använder benämningen egenvärden, beror på strängens längd L och på
ändpunktsvillkoren; strängens ändpunkter kan till exempel vara fixerade (varvid
λ
k
= kπ/L), eller den ena eller båda kan tillåtas löpa fritt i vertikalled. I vilket fall
36 Lars Gårding och Per-Anders Ivert Normat 1/2010
som helst är denna endimensionella situation relativt enkel, och i de modellproblem
som möter studenten kan allt räknas ut explicit. Den tvådimensionella motsvarig-
heten till en svängande sträng är en membran, och ur matematikens synpunkt finns
det inga tvingande skäl att stanna vid ett visst dimensionstal.
2 En antalsformel
Klassiska arbeten av Hermann Weyl (1913), Richard Courant (1924), Torsten Car-
leman (1934) och Lars Hörmander (1985) har utvecklat en intressant formel för
antalet egenvärden hos en allmän, lineär och elliptisk vibration hos en membran
M som täcker en öppen, begränsad del B av R
n
. Membranens avvikelse från ett
viloläge beskrivs av en reell funktion u(x) med små funktionsvärden (små utslag),
och dess energi av av en kvadratisk form E(u, u) i derivatorna av u av ordning
≤ m med koefficienter beroende av x. Om (u, v) =
R
u(x)v(x)dx är skalärproduk-
ten för kvadratiskt integrerbara funktioner och u, v är snälla (tillräckligt regulära)
funktioner, den ena med kompakt stöd i B, kan man genom partiella integratio-
ner ge energin E(u, v) formen (P u, v) där P = P (x, D) med D
k
= ∂/∂x
k
är en
differentialoperator och mera precist en lineärkombination av derivatorna av u av
ordning högst 2m vars koefficienter är snälla funktioner av x. Delsumman av de
högsta derivatorna kallas operatorns principaldel p(x, D). Ersätter man varje D
k
med en komponent ξ
k
av en reell variabel ξ, dual till x, får man av p(x, D) ett
homogent polynom p(x, ξ) i ξ av grad 2m med koefficienter beroende av x, kal-
lat operatorns karaktäristiska polynom. Att operatorn P är elliptisk betyder att
p(x, ξ) är jämförbar med |ξ|
2m
då |ξ| är stort. Exempel: Summan ∆ av kvadraterna
av derivatorna ∂/∂x
k
är en elliptisk differentialoperator med det karaktäristiska
polynomet ξ
2
1
+ ... + ξ
2
n
.
Vår antalsformels huvuddel säger att
N(λ) ∼ (2π)
−n
ZZ
x∈B, p(x,ξ)<λ
dxdξ.
där ξ ∈ R
n
och p(x, ξ) är det karaktäristiska polynomet till p(x, D). Vänster sida
betyder antalet egenvärden hos P mindre än λ. Satsen säger att kvoten mellan de
båda sidorna går mot 1 för stora λ. För stora ξ varierar x fritt över membranens vo-
lym B i formelns integrationsområde. Det betyder att antalsformeln kan förenklas
till
N(λ) ∼ (2π)
−n
b
Z
p(·,ξ)<λ
dx,
där b är membranens volym och p(·, ξ) = (1/b)
R
B
p(x, ξ)dx är ett medeltal av p(x, ξ)
över membranen. Till slut en anmärkning om den återkommande faktorn (2π)
−n
,
ett arv från Fouriertransformen, som man kommer bort ifrån genom att ta (2π)
n
som volymsenhet i frekvensrummet. Satsen säger då att membranen har lika många
egenfrekvenser under ett stort λ som det finns volymsenheter i frekvensrummet
p(x, ξ) < λ.
Normat 1/2010 Lars Gårding och Per-Anders Ivert 37
3 Strängen igen
Låt I vara intervallet (0,1) och H = L
2
(I) rummet av kvadratiskt integrerbara
reella funktioner u från I med skalärprodukten (u, v) =
R
I
(u(x)v(x)dx och låt H
0
vara rummet av funktioner vilkas derivator ligger i H. En liten reell funktion u(x)
med u
0
∈ H kan tänkas beskriva läget hos en elastisk sträng spänd över I. Vi tar
den variabla delen av längdelementets kvadrat, 1 + u
0
(x)
2
, som en energitäthet så
att den spända strängens energi blir E(u, u) = (u
0
, u
0
).
Vi ska betrakta minima av kvoten K = E(u, u)/(u, u) i olika lineära underrum av
H och ger först ett exempel där minimum tas över alla funktioner u som försvinner
i ändpunkterna 0, 1 (vilket betyder att strängens ändpunkter har fixerats). Om mi-
nimum λ uppnås för u(x) och v(x) är vilken som helst funktion i H som försvinner
i 0, 1 får man med ett litet tal t:
(u
0
+ tv
0
, u
0
+ tv
0
) ≥ λ(u + tv, u + tv)
Utvecklar vi och integrerar partiellt ((u, v
0
) = −(u
0
, v)) så får vi
t
2
(v
0
, v
0
) − (v, v)
− 2t
λ(u, v) + (u
00
, v)
+ (u
0
, u
0
) − λ(u, u)
= t
2
(v
0
, v
0
) − (v, v)
− 2t
λ(u, v) + (u
00
, v)
≥ 0
för varje v, och med likhet för t = 0. Att olikheten ska gälla för alla (små) reella
tal t betyder att koefficienten för t är noll, vilket ger differentialekvationen
u
00
(x) + λu(x) = 0,
vars allmänna lösning är en lineärkombination av cos µx och sin µx med µ
2
=
λ. Ska den försvinna i ändpunkterna måste u = C sin µx med µ = kπ vara en
heltalsmultipel av π. Alltså är u(x) = C sin kπx, varav λ = (kπ)
2
, och om detta
skall vara ett minsta värde, utan att vara noll, är k = 1. Alltså är den minsta
energin i vårt fall lika med π
2
med motsvarande egenfunktion u(x) = sin πx. I det
följande ger vi nu ett antal uträknade minima i liknande situationer. Först tänker
vi oss att strängens ändpunkter inte är fixerade, utan tillåts löpa friktionsfritt i var
sin vertikal skåra.
Det visar sig att vi genom att ta successiva minima av kvoten K = E(u, u)/(u, u),
enligt beskrivning nedan, får både differentialoperatorns P = −(d/dx)
2
egen-
värden λ
1
< λ
2
< . . . och motsvarande egenfunktioner u
1
(x), u
2
(x), . . ., med
P u
k
= λ
k
u
k
, k = 1, 2, . . ., en ekvation som förutsätter att u
00
(x) finns, men som
kan tas i meningen att E(u
k
, v) = λ
k
(u
k
, v) för alla v med v
0
∈ L
2
(I). Närmare
bestämt är λ
k
= π
2
(k − 1)
2
och u
k
(x) =
√
2 cos(k − 1)πx. Alla dessa egenfunktio-
ner är normerade till (u
j
, u
j
) = 1 och är ortogonala mot varandra i meningen att
(u
j
, u
i
) = 0 då i 6= j. Allt detta betyder att egenfunktionen u
k
delar in strängen
i k lika delar som om man knäpper på dem svänger i takt med varandra, d.v.s.
med samma tidsperiod. Denna strängens rörelse i tid och rum kan simuleras av
funktionen f(x, t) = u
k
(x) cos(k − 1)πt, beskrivande strängens avvikelse från sitt
viloläge.
38 Lars Gårding och Per-Anders Ivert Normat 1/2010
Det är omedelbart klart att minimum av kvoten K är noll och att minimum
uppnås för konstanta funktioner. Alltså är λ
1
= 0. Övriga egenvärden får man
successivt genom att λ
k
är minimum av K för funktioner u(x) ortogonala mot
u
1
, ..., u
k−1
, dvs sådana att (u, u
j
) = 0 då j = 1, 2, ..., k −1. Denna definition av λ
k
kan göras oberoende av de tidigare egenfunktionerna genom att λ
k
visar sig vara
största minimum av E(u, u) i rummet V av element i H som är ortogonala mot
k −1 godtyckliga funktioner v
1
, ..., v
k−1
i H. Ty detta rum V innehåller åtminstone
en linjärkombination u = c
1
u
1
+ ... + c
k
u
k
av de första k egenfunktionerna där
kvadratsumman av koefficienterna är 1 så att (u, u) = 1. Man får ögonblickligen
K = E(u, u) = λ
1
c
2
1
+ ... + λ
k
c
2
k
≥ λ
k
,
med likhetstecken om V alstras av u
1
, ..., u
k
. Denna sats gäller allmänt då både H
och E är kvadratiska former för vilka K = E/H har successiva minima, upptäck-
tes först av Weyl och kallas max-min principen. Den visar omedelbart att varje
egenvärde är en monoton funktion av energin E(u, u). Om man, till exempel, i det
föregående inskränker minima över alla funktioner till minima över funktioner med
derivata i L
2
(I) som försvinner på randen av I får man större minima och också
större egenvärden λ
k
= π
2
k
2
med egenfunktioner
√
2 sin kπx.
Om strängen inte är homogen utan har en variabel massa a(x) per längdenhet,
och totalmassan därmed är
R
I
a(x)dx, blir svängningsenergin
R
I
u
0
(x)a(x)u
0
(x)dx. I detta fall får vi egenvärden och egenfunktioner till operatorn
−d/dx
a(x)d/dx
, men vi kan inte ange dem i så explicit form som ovan. Dock
kan man säga att egenvärdet med nummer k kommer att ligga mellan a
1
π
2
k
2
och
a
2
π
2
k
2
om a
1
< a(x) < a
2
då x ∈ I.
Vi kan också använda den i början citerade antalsformeln. Vår principaldels
karaktäristiska polynom är nu p(x, ξ) = a(x)ξ
2
med a(x) > 0 och långsamt varie-
rande. I den andra varianten av antalsformeln används medeltalet a =
R
I
a(x)dx/b
av a(x) där b nu är strängens längd. Med dessa storheter insatta i formeln blir den
N(λ) ∼ (1/2π)b
Z
aξ
2
<λ
dξ = (b/π)
p
λ/a
med integration över |ξ| <
p
λ/a. Med a = a(x) = 1, b = 1 är detta resultat
känt från den svängande strängen. Ju större a desto större och samtidigt glesare
egenvärden.
Vi kan också få formeln att ge en asymptotik för stora egenvärden λ
k
genom att
helt enkelt kalla N (λ) för k och vända på formeln vilket ger λ
k
∼ ab
−2
π
2
k
2
, vilket
är oss bekant då a = b = 1.
4 En generaliserad sträng
För användning av Fouriertransformen, låt D = (D
1
, D
2
, . . . , D
n
)
= 1/i(∂/∂x
1
, ∂/∂x
2
, . . . , ∂/∂x
n
) betyda den imaginära gradienten i R
n
, och låt
D
α
u(x) = D
α
1
1
...D
α
n
n
u(x)
Normat 1/2010 Lars Gårding och Per-Anders Ivert 39
beteckna en derivata av ordningen |α| = α
1
+ ... + α
n
. Med B ∈ R
n
ett öppet
begränsat område, m ett positivt heltal och u(x) och v(x) snälla komplexvärda
funktioner, betrakta formen
Q(u, v) =
Z
B
X
|α|≤m
D
α
u(x)D
α
v(x)dx
Höljet av snälla funktioner med konvergens given av Q(u, u) är ett Hilbertrum
H
m
(B) med denna normkvadrat. Om vi inskränker oss till höljet av snälla funk-
tioner som försvinner vid randen av B, får vi ett mindre Hilbertrum H
0
m
(B). Då
m = 0 får vi rummet L
2
(B) av kvadratiskt integrerbara funktioner från B med
skalärprodukten (u, v) =
R
B
u(x)v(x)dx.
Vi kan nu konstruera en vibration från området B genom att göra det till en
vibrerande membran M med hjälp av en differentialoperator av ordningen 2m:
P (x, D) =
X
D
β
a
α,β
(x)D
α
,
med x ∈ B, |α|, |β| ≤ m och a
α,β
= a
βα
. Integralen
R
P (x, D)v(x)dx har då
integranden
E(u, v, x) =
X
a
α,β
(x)D
α
u(x)D
β
v(x)
som är en reell energitäthet då u = v. Koefficienterna a
α,β
(x) antas vara m gånger
kontinuerligt deriverbara och huvuddelen av P , d.v.s. det karaktäristiska polyno-
met
p(ξ) =
X
|α|+|β|=2m
a
α,β
(x)ξ
α+β
antas vara reellt och begränsat uppåt och nedåt av positiva konstanter gånger |ξ|
2m
vilket betyder att operatorn P är elliptisk. Energin av en funktion u(x) som beskri-
ver strängens avvikelse från ett nolläge antas vara E(u) =
R
B
E(u(x), u(x), x)dx.
För att få egenvärden och egenfunktioner av P ska vi nu efter mönster av
den svängande strängen ta successiva minima av kvoten E(u)/(u, u) för u i del-
rum av H
m
(B). Eftersom vårt problem är att undersöka dessa egenvärden ser
vi dem här som till existensen bevisade och har alltså en svit av egenfunktio-
ner u
1
, u
2
, . . . i H
m
(B) med motsvarande reella egenvärden λ
1
, λ
2
, . . ., sådana att
P u
k
(x) = λ
k
u
k
(x), en ekvation som kan tolkas så att
E(u
k
, v) = λ
k
(u
k
, v)
för alla v ∈ H
m
(B). Om energitätheten ökar eller minskar för alla tillåtna funk-
tioner u minskar respektive ökar alla egenvärden. Denna princip upptäcktes, som
nämnts ovan, en gång av Herman Weyl. Man får att klassiskt exempel genom att
genomgående ta alla successiva minima för funktioner som är noll vid randen av B
eller är utan villkor. För egenvärdenas sviter (λ
j
) och (µ
k
) i de två fallen gäller att
µ
j
< λ
j
för alla j.
40 Lars Gårding och Per-Anders Ivert Normat 1/2010
5 Fouriertransform
Egenfunktionerna u
j
kan normeras så att (u
j
, u
j
) = 1 för alla j och bildar då ett
normerat, fullständigt ortogonalsystem av kvadratiskt integrerbara funktioner över
B. Koefficienterna i utvecklingen
e
ixξ
=
X
U
j
(ξ)u
j
(x)
med x ∈ B är Fouriertransformerna
U
k
(ξ) =
Z
B
e
−ixξ
u
k
(x)dx, där
Z
|U
k
(ξ)|
2
dξ = (2π)
n
,
vilket man inser genom att multiplicera likheten med u
k
(x) och integrera över
B. Fouriertransformerna är hela, analytiska funktioner definierade på frekvens-
rummet och går mot noll i oändligheten, Motsvarande energitätheter w
j
(ξ) =
(2π)
−n
|U
j
(ξ)|
2
har alla frekvensmassan 1 och går mot noll för stora ξ. Vi har
också Parsevals formel (multiplicera med e
−ixξ
och integrera över B)
b =
Z
B
|e
−ixξ
|
2
dx =
X
|U
j
(ξ)|
2
= (2π)
n
X
w
j
(ξ)
som visar att frekvensenergierna w
j
(ξ) har summan (2π)
−n
b för varje ξ. De adderas
alltså över frekvensrummet till en skiva av tjockleken (2π)
−n
b.
6 Konstanta koefficienter
Vi antar i fortsättningen att koefficienterna a
α,β
(x) av operatorn P är konstanta så
att nu P (x, D) = P (D) =
P
a
α,β
D
α+β
. I så fall är E(u, v, x) = E(u, v) oberoende
av x och att E(u
j
, v) = λ
j
(u
j
, v) betyder, då v = u
j
, att
Z
P (ξ)w
j
(ξ)dξ = λ
j
Denna formel som också kan skrivas som
R
(P (ξ) − λ
j
)w
j
(ξ)dξ. Den svängande
strängens invecklade svängningsmönster med allt tätare noder förenklas av Furi-
ertransformen till en stigande rad frekvenser λ
k
i frekvensrummet. Var och en är
centrum i en våg w
k
(ξ) med massan 1 som går mot noll i oändligheten. Eftersom
P (ξ) är större utanför ytan P (ξ) = λ
j
än innanför visar formeln ovan att den
större delen av måttet w
j
(ξ) ligger innanför det (generaliserade) klot K(λ
j
) där
P (ξ) < λ
j
. Allmänt låter vi K(λ) vara klotet P (ξ) < λ och V (λ) vara dess volym.
Då j är fix, medan k (och därmed också λ
k
) går mot oändligheten, kommer klotet
K(λ
k
) att innehålla en allt större del av massan w
j
. Följande lemma preciserar
detta.
Normat 1/2010 Lars Gårding och Per-Anders Ivert 41
Lemma: Låt f
j
(k) =
R
P (ξ)>λ
k
w
j
(ξ)dξ vara massan av w
j
utanför klotet K(λ
k
).
Summan
S = f
1
(k) + ... + f
k
(k)
som är massan av W
k
= w
1
+...+w
k
utanför klotet K(λ
k
) är högst o(k) för stora k.
Vi motiverar lemmat med följande heuristiska resonemang: Låt S = S
1
+ S
2
, där
S
1
= f
1
(k) + ... + f
j
(k)
med j < k termer som växer med j och
S
2
= f
j+1
(k) + ... + f
k
(k)
Med k gående mot oändligheten, välj nu j < k så att k − j går mot oändligheten
samtidigt som k − j = o(k). Vi kan till exempel välja j = k − [
√
k] där parentesen
betyder heltalsdel. Då är S
1
mindre än j gånger den sista termen f
j
(k), som går
mot noll för stora k, beroende på att k −j går mot oändligheten, medan massan av
w
j
allt mera koncentreras kring randen av K(λ
k
). De rigorösa uppskattningar som
bekräftar detta finns i [5]. Alltså är S
1
= o(k). Det är också klart att S
2
= o(k)
eftersom denna summa består av k−j = o(k) likformigt begränsade termer. Massan
S av W
k
utanför klotet K(λ
k
) är alltså o(k).
Inledningens antalsformel beror på att
R
K(λ
k
)
W
k
(ξ)dξ för stora k blir mer och
mer lik samma integral över hela rummet som är (2π)
n
k eller bV (λ
k
). Enligt Lem-
mat går båda mot 1 för stora k om de divideras med
R
K(λ
k
)
W
k
(ξ)dξ vilket ger en
antalsformel i form av följande uppskattning av antalet N(λ) av egenvärden < λ,
N(λ
k
) ∼ (2π)
−n
b
Z
P (ξ)<λ
k
dξ
för alla k med innebörd att kvoten mellan leden går mot 1. Detta innebär i sin tur
att formeln är sann för alla λ. Om p(ξ) är huvuddelen av P (ξ) går kvoten P (ξ)/p(ξ)
mot 1 för stora ξ vilket innebär att antalsformeln är sann också för p.
7 Det allmänna fallet
Då koefficienterna i P (x, D) inte är konstanta får man inledningens antalsformel
av formeln ovan om man ersätter koefficienterna i P med deras medelvärden över
B,
a
α,β
= (1/b)
Z
B
a
α,β
(x)dx, p(·, ξ) = (1/b)
Z
B
p(x, ξ)dx
där b är membranens volym. Följden är att man kan förenkla den intuitiva analysen
till operatorer med konstanta koefficienter. Integralen av höger led i introduktionens
antalsformel kan också förenklas till b
R
p(·,ξ)<λ
dξ vilket ger en antalsformel
N(λ) ∼ (2π)
−n
b
Z
p(·,ξ)<λ
dξ
42 Lars Gårding och Per-Anders Ivert Normat 1/2010
lika med den som vi använt i fallet konstanta koefficienter.
De argument för övergången från konstanta till variabla koefficienter som vi an-
vänt är bara formella men kan ändå preciseras och bevisas genom att efter klassiskt
mönster dela upp membranen i små delar med medföljande strålningar. I de små
delarna är p(x, ξ) praktiskt taget konstant vilket gör strålningen beräkningsbar
och ger till slut huvudtermen i Hörmanders antalsformel. Men detta ska inte göras
i detta arbete vars mål är begränsat till att ge en insikt i en analys av antalet
egenvärden under en stor gräns.
Referenser
[1] H. Weyl : Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
Differentialgleichung (mit einer Anwendung auf die Theorie der
Hohlraumstrahlung). Math. Ann. 71, 441-479 (1913).
[2] R. Courant: Courant-Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, vol.1, 2d
edition 1931, Chap. 6 par.4.
[3] T. Carleman: Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des
membranes vibrantes, Comptes rendues du VIII Congrès des Mathématiciens
Scandinaves, Stockholm 1934.
[4] Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller
Differentialgleichungen. Berichten der mathematischen-physischen Klasse der
Akademie der Wissenschaften zu Leipzig LXXXVIII. Band (1936)
[5] L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential operators III, IV.
Springer 1985.
[6] H. Weyl : Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem. Bulletin of the
American Mathematical Society 56, 115-139 (1950).
