Normat 58:2, 63–75 (2010) 63

Smittsamma sjukdomars matematik

Tom Britton

Matematiska institutionen

Stockholms universitet

tom.britton@math.su.se

Jag ska nu beskriva dels lite om matematiska modeller för smittsamma sjukdomar

men också hur dessa modeller används av hälsomyndigheter och beslutsfattare i

konkreta situationer. Problemområdet har varit extra aktuellt senaste året i sam-

band med den nya inﬂuensan (H1N1) pandemin. Som forskare i området känner

jag mig dock inte orolig för att det här ska vara sista gången som liknande model-

ler kommer till användning. De senaste 20 åren har ett ﬂertal sjukdomar varit lika

aktuella: HIV, mul- och klövsjuka, hotet från bio-terrorism (t.ex. smittkoppor) och

SARS för att nämna några.

Först beskriver jag ett par enkla modeller för smittspridning och därefter nämner

jag olika generaliseringar som gör modellerna mer verklighetstrogna.

Två enkla modeller för smittspridning

Vi vill konstruera en modell för sjukdomar som sprids från människa till människa

via någon form av kontakt – inte sjukdomar som sprids indirekt t.ex. via mat eller

vatten.

Innan man smittats av sjukdomen ifråga är man mottaglig. En mottaglig person

kan förr eller senare smittas, och om detta händer blir han/hon smittsam. Som

smittsam kan man smitta andra individider, och efter att ha varit smittsam en

viss tid tillfrisknar man och blir immun, åtminstone ett tag. Många sjukdomar har

förstås också viss dödlighet, jag kommer här bortse från detta – det matematiskt

viktiga är att man upphör att sprida sjukdomen vidare. På engelska brukar de

tre kursiverade tillstånden ovan betecknas susceptible-infectious-recovered, varför

motsvarande klass av epidemimodeller brukar kallas SIR-modeller.

Nästa fråga vi måste ställa oss är huruvida vi vill modellera smittspridning på kort

eller lång sikt, alternativt om vi intresserar oss för en ej ännu, eller nyligen, anländ

sjukdom, eller om vi vill modellera en sjukdom som funnits länge i befolkningen,

dvs som är endemisk (t.ex. vattkoppor). Det förra kallar vi för en epidemimodell

och det senare för en endemisk modell. Epidemimodeller är enklare eftersom vi

där har ett kort tidsperspektiv och därför kan anta att vi har en ﬁx och given

population – vi bortser alltså från födslar, dödsfall, immigration och emigration.

64 Tom Britton Normat 2/2010

En enkel epidemimodell

I den enklaste deterministiska epidemimodellen antar vi en ﬁx och given population

i vilken alla individer träﬀar alla lika ofta. Risken för en mottaglig individ att

smittas är därför proportionell mot andelen smittsamma i population, och varje

smittsam individ tillfrisknar och blir immun med konstant intensitet. Vi får således

följande diﬀerentialekvationer för andelen mottagliga, smittsamma och tillfrisknade

(s(t), i(t), r(t)):

(t) = −λs(t)i(t),

(t) = λs(t)i(t) − γi(t), (1)

(t) = γi(t),

med startvärden (s(0), i(0), r(0)) = (s

, i

, r

), där vi antar att i

> 0; annars är

alla derivater 0. Parametern λ är med andra ord intensiteten (i given tidsintensitet)

med vilken smittsamma individer träﬀar andra individer och γ är intensiteten med

vilket individer tillfrisknar och blir immuna (i samma tidsenhet); 1/γ är således

genomsnittlig tid man är smittsam. Eftersom alla individer är antingen mottag-

liga, smittsamma eller tillfrisknade så gäller för alla t att s(t) + i(t) + r(t) = 1;

diﬀerentialekvationssystemet är endast två-dimensionellt. Om man betraktar dif-

ferentialekvationerna ser man att andelen mottagliga s(t) avtar hela tiden. Detta

är inte förvånande eftersom vi har en ﬁx population och när folk smittas minskar

antalat mottagliga. Vad gäller andelen smittsamma i(t) kan diﬀerentialekvationen

skrivas i

(t) = i(t) (λs(t) − γ). Det betyder att derivatan är proportionell mot an-

delen smittsamma medan andra faktorn avtar eftersom s(t) avtar. Tolkningen, och

orsaken, till detta är att i takt med att andelen mottagliga avtar så ”ödslas” allt ﬂer

potentiellt smittsamma kontakter på redan smittade personer – endast kontakter

med mottagliga resulterar i att nya individer smittas. Tids nog blir andra faktorn

negativ och andelen smittsamma börjar då avta.

Diﬀerentialekvationerna är ickelinjära. Likväl kan man förvissa sig om att lösningen

konvergerar mot (s

∞

, 0, r

∞

) = (1 − r

∞

, 0, r

∞

) då t → ∞, där r

∞

löser ekvationen

1 − r

= e

−

(r−r

)

. (2)

Denna ekvation kan lätt tolkas: andelen av de initialt mottagliga som inte smittas

under epidemin (vänster sida) måste klara smittrycket från dem som är smittsamma

under epidemin (höger sida).

Om i

> 0 (som vi antagit) så ﬁnns en entydig lösning r

∞

> r

till denna ekvation.

Ett numeriskt exempel är λ = 1.5, γ = 1 (som anses stämma ganska väl med den

nya inﬂuensan med veckor som tidsenhet) och (s

, i

, r

) = (0.999, 0.001, 0), dvs en

mycket liten andel initialt smittade och resten mottagliga. Lösningen till (2) blir i

detta fall r

∞

≈ 0.583. Det betyder alltså att ca 58% av befolkningen kommer att

smittas av epidemin. Som parentes kan nämnas att man bedömer att väsentligt fär-

re kommer att smittas av den pågående nya inﬂuensan av ﬂera orsaker: dels antas

en viss andel av befolkningen vara immuna, dels förväntas vi minska smittsprid-

ningen med olika åtgärder så som t.ex. bättre hygien, och slutligen kommer många

Normat 2/2010 Tom Britton 65

att vaccineras. I Figur 1 är diﬀerentialekvationssystemet löst numeriskt för dessa

värden och vi ser hur andelen mottagliga, smittsamma och tillfrisknade varierar

över tiden för att asymptotiskt nå slutstadiet (s

∞

, i

∞

, r

∞

) ≈ (0.417, 0, 0.583)

0 5 10 15 20 25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

s(t), i(t), r(t)

Figur 1 : Numerisk lösning till ekvationssystem (1) för fallet λ = 1.5, γ = 1 och

startvärde (s

, i

, r

) = (0.999, 0.001, 0). s(t) prickad, i(t) heldragen och r(t) strec-

kad.

Av speciellt intresse är fallet när r

= 0 (dvs inga initialt immuna) och en väldigt

liten andel initialt smittade. Det visar sig då att lösningen satisﬁerar r

∞

≈ 0 om

:= λ/γ ≤ 1, medan lösningen r

∞

är nedåt begränsad (hur liten i

än är) i fallet

> 1. Således är fallet R

= 1 är ett tröskelvärde.

Parametern R

= λ/γ kallas inom infektionsepidemiologin för det fundamentala

reproduktionstalet (eng. basic reproduction number). Tolkningen av R

är att det

är lika med antalet individer en smittsam person smittar i en helt mottaglig popula-

tion: man smittar andra med intensitet λ (när alla är mottagliga) och i genomsnitt

är man smittsam 1/γ tidsenheter. Kvoten R

= λ/γ avgör med andra ord hur

många som kommer att smittas och denna parameter är oberoende av tidsskala.

De enskilda parametrarnas storhet påverkar bara hastigheten med vilken sjukdo-

men sprids. Reproduktionstalet beror förstås på hur smittsam själva sjukdomen är

(hur mycket virus en smittsam person utsöndrar) men också på vilken population

som betraktas: ju mer och tätare vi umgås ju mer risk för smittspridning. I böc-

ker om infektionssjukdomar ﬁnns reproduktionstal angivna för många sjukdomar i

speciﬁcerade regioner och tidsperioder.

66 Tom Britton Normat 2/2010

Eftersom R

= λ

anger genomsnittligt antal personer som en smittsam person

smittar (i en helt mottaglig befolkning) under sin smittoperiod är det inte så för-

vånande att R

= 1 är ett tröskelvärde: om man i genomsnitt smittar mer än en

individ (i början av epidemin) så kommer epidemin ta fart, medan om man i ge-

nomsnitt smittar mindre än en individid så ﬁnns inga möjligheter för ett större

utbrott.

Som parentes kan nämnas att denna modell, eller snarlika varianter, även används

för modeller av ryktesspridning och informationsförmedling. Smitta svarar då mot

att sprida ryktet/informationen och tillfrisknande mot att man tids nog slutar att

sprida ryktet/informationen. Samma modeller kan även användas för spridning av

datorvirus – där har även terminologin från infektionssjukdomar tagits i bruk.

En enkel modell för endemiskt tillstånd

Modellen ovan var för ett kort tidsförlopp; vi antog att inga nya (mottagliga)

individer fördes in i populationen. Då är epidemin dömd att upphöra eftersom

andelen mottagliga hela tiden minskar.

Om vi i stället vill modellera vad som händer under en längre tid så är denna ap-

proximation inte längre rimlig. Ett enkelt sätt att i en modell ”tillföra” mottagliga

individer och låta individer dö är att anta att nya (mottagliga) individer föds med

en konstant intensitet µ, och att individer dör med samma intensitet µ (vare sig de

är mottagliga, smittsamma eller tillfrisknade). Ekvationssystemet ovan modiﬁeras

då till följande:

(t) = µ − λs(t)i(t) − µs(t),

(t) = λs(t)i(t) − γi(t) − µi(t), (3)

(t) = γi(t) − µr(t),

med startvärden (s(0), i(0), r(0)) = (s

, i

, r

), där vi liksom tidigare antar att

> 0. Det fundamentala reproduktionstalet R

ändras aningen i denna modell:

man kan ju nu lämna smittstadiet av två orsaker: att man tillfrisknar eller att

man råkar dö. Av denna anledning får man R

= λ/(γ + µ). Detta diﬀerential-

ekvationssystem visar sig också ha olika karaktär beroende på om R

är större

än 1 eller inte: Om R

≤ 1 så har ekvationerna endast ett (stabilt) jämviktsläge:

(s(t), i(t), r(t)) = (1, 0, 0), dvs att sjukdomen kommer försvinna ur befolkningen.

Om däremot R

> 1 så ﬁnns två jämviktslägen: (s(t), i(t), r(t)) = (1, 0, 0) som inte

längre är stabilt, samt ett stabilt jämviktsläge

(s(t), i(t), r(t)) = (ˆs,

i, ˆr) = (

− 1

/δ

, 1 −

1/δ + R

− 1

/δ

), (4)

där δ = µ/(γ + µ) är den (lilla) genomsnittliga andelen av livet som man är smitt-

sam. Detta jämviktsläge kallas den endemiska nivån.

Som ett numeriskt exempel kan vi ta vattkoppor som är en endemisk sjukdom i

Sverige (dvs det ﬁnns hela tiden smittbärare). För vattkoppor brukar R

antas vara

ungefär 15, och tiden man är smittsam är ca 1 vecka, så andelen av ens liv man är

Normat 2/2010 Tom Britton 67

smittsam (nästintill alla smittas!) är ca (1/52)/80 ≈ 0.00024 om vi lever 80 år i ge-

nomsnitt. Det kan även vara värt att nämna att andelen mottagliga, vilket samman-

faller med den relativa åldern som man smittas, ges av ˆs = 1/R

≈ 0.067. Så fort en

endemisk sjukdom har stort R

kommer alltså individer typiskt smittas i en tidig

ålder. Detta förklarar benämningen ”barnsjukdomar”. Dessa förklaras alltså huvud-

sakligen av att de har stort R

snarare än av barn skulle var extra mottagliga. Den

s.k. endemiska nivån blir hur som helst i detta fall (ˆs,

i, ˆr) ≈ (0.067, 0.00022, 0.933).

Vid första anblicken kan det vara förvånansvärt många tillfrisknade (=immuna),

men, en typisk individ smittas vid ungefär 5 års ålder, är sedan smittsam en vec-

ka och sedan tillfrisknad (och immun) resten av livet. I själva verket kan denna

kunskap (om genomsnittlig ålder man smittas) användas för att skatta R

. Om

vi vet att individer smittas vid ca 5 års ålder och lever ca 80 år så är ju andelen

mottagliga i befolkningen ca 5/80, så 5/80 ≈ 1/R

, dvs R

≈ 80/5 = 16.

Prevention

Vi har nu visat hur man kan modellera ett epidemiutbrott respektive ett endemiskt

tillstånd, förvisso under det förenklande antagandet att hela populationen är ho-

mogen och blandar sig likformigt. Dessa förenklingar har dock inte visat sig avvika

från verkligheten alltför mycket för sjukdomar som just inﬂuensa, förkylning och

barnsjukdomar. För t.ex. sexuellt överförbara sjukdomar duger däremot inte des-

sa modeller som approximation av verkligheten (se avsnittet om nätverksmodeller

nedan).

Något som också kan vara intressant att modellera (och som förstås infektions-

epidemiologer är primärt intresserade av!) är hur man minskar smittspridningen

och allra helst stoppar den. Grovt sett kan smittspridningen minskas på två sätt.

Det ena sättet är att reducera R

vilket kan göras på många olika sätt. T.ex. ombeds

vi nu i nya inﬂuensans tider att tvätta händerna ofta, att nysa i armvecket m.m.,

och för allvarligare sjukdomar som SARS genom isolering. Det andra sättet är att

minska andelen mottagliga, typiskt genom att vaccinera och på så sätt föra över

individer från att vara mottagliga till att bli immuna (vilket innefattas i tillståndet

tillfrisknad).

Om man ska försöka reducera R

handlar det om att sträva mot att få ner det under

1. Vilka åtgärder som är mest (kostnads-)eﬀektiva beror förstås på vilken sjukdom

som betraktas. Om man ska vaccinera kan man använda lite mer matematik. Antag

för enkelhets skull att vaccinet är perfekt, dvs att man blir helt immun, och låt

v beteckna andelen som vaccineras innan epidemin anländer. Detta betyder att

andelen immuna, r

, ändras från att vara 0 till att bli v. Tröskelvärdet i Ekvation (2)

ändras då från R

= 1 till R

(1−v) = 1 (nu är ju endast andelen 1−v) mottagliga).

För givet R

betyder detta att om v ≥ 1 − 1/R

så är vi under tröskelvärdet och

en försumbar andel kommer att smittas av epidemin. Gränsvärdet

= 1 − 1/R

kallas för den kritiska vaccinationsgraden. För exemplet med inﬂuensa betyder

detta att v

≈ 1 − 1/1.5 ≈ 0.33; om man vaccinerar mer än 33% av befolkningen

68 Tom Britton Normat 2/2010

med ett perfekt vaccin (innan sjukdomen har anlänt) så kommer hela befolkningen

att vara skyddad, ett tillstånd som på engelska brukar kallas “herd immunity”.

Således skyddar man ﬂer än sig själv genom att vaccinera sig (nämligen dem man

hade smittat om man inte vaccinerats och dem som dessa i sin tur hade smittat

osv.).

För endemiska sjukdomar hjälper det inte att massvaccinera vid ett enstaka till-

fälle. I stället måste man i detta fall kontinuerligt vaccinera en viss andel för att

sjukdomen skall försvinna ur befolkningen. Om man vaccinerar andelen v kontinu-

erligt påverkar det (3) genom att första termen för s

(t) ändras till µ(1 − v) och

termen µv tillkommer i uttrycket för r

(t). Det nya tröskelvärdet kan då visas bli

(1 −v) precis som i epidemimodellen, och om detta är mindre än 1 så ﬁnns bara

ett (stabilt) jämviktstillstånd, nämligen (ˆs,

i, ˆr) ≈ (1 − v, 0, v), dvs sjukdomen har

försvunnit och populationsandelen mottagliga (=ej vaccinerade) är 1 − v och res-

ten är immuna (=vaccinerade). Den kritiska vaccinationsgraden blir som tidigare

= 1−1/R

. Som exempel kan vi ta mässling som också brukar antas ha R

≈ 15.

Den kritiska vaccinationsgraden är således v

≈ 1 − 1/15 ≈ 93%. I Sverige har vi

för tillfället en vaccinationsgrad på mer än 95%, och vaccinet är nästintill perfekt,

varför vi heller inte har några mässlingsfall att prata om (utom i enstaka delpopu-

lationer som av en eller annan anledning inte vaccinerar sig). Om man vaccinerar

nyfödda kontinuerligt men inte kommer upp i den kritiska vaccinationsgraden v

så kommer eﬀekten bli att de som inte har vaccinerats typiskt kommer att smittas

senare i livet. För vissa sjukdomar är symptomen väsentligt allvarligare när man

är äldre, varför detta måste beaktas när nya vaccinationsprogram initieras.

Stokastiska modeller

Jag har hittills inte nämnt stokastiska modeller (mitt eget forskningsområde) ef-

tersom deterministiska modeller är enklare och många viktiga insikter kan hämtas

från dessa. I vissa sammanhang är dock stokastiska modeller att föredra, några av

dessa ska jag nu försöka beskriva kortfattat.

Låt mig först beskriva den allra enklaste stokastiska modellen och illustrera att

den blir krånglig att räkna med även i små populationer. Förenklingen ligger i att

vi antar att alla som smittas blir lika smittsamma och att man smittar varje annan

individ oberoende av varandra och med samma sannolikhet – det ﬁnns förstås även

modeller som släpper på dessa antaganden, men de blir än mer komplicerade. Antag

följande modell som kallas Reed-Frost-modellen efter dem som kom på den. En

individ som blir smittad smittar andra mottagliga individer, oberoende av andra,

med sannolikhet p (samma p för alla individer). Efter detta tillfrisknar individen och

blir immun för resten av studieperioden. De som smittas smittar i sin tur andra

mottagliga med sannolikhet p osv. Antag att det inledningsvis ﬁnns 1 smittsam

person (indexfallet) och n mottagliga.

Hur många av de initialt mottagliga kommer smittas innan epidemin dör ut? Ef-

tersom det är en stokastisk modell kan vi inte veta exakt. Det enda vi säkert vet

är att antalet initialt mottagliga som smittas under utbrottet, Z

, ligger mellan 0

och n. Låt oss räkna ut sannolikheten för de olika möjliga utfallen när n är litet. Vi

Normat 2/2010 Tom Britton 69

börjar med det enklaste fallet n = 1. Vi har då inledningsvis 1 smittsam och 1 mot-

taglig. Sannolikheten att den mottaglige smittas blir ju då p, dvs P (Z

= 1) = p,

och sannolikheten att han/hon inte smittas blir 1 − p, dvs P (Z

= 0) = 1 − p

(indexet ”1” syftar på att n = 1). För n = 2 blir det aningen krångligare. För

att ingen skall smittas får indexfallet inte smitta någon av de två mottagliga, så

P (Z

= 0) = (1 − p)

. För att exakt en skall smittas måste indexfallet smitta

en av de två mottagliga (sannolikhet





p(1 − p)) men dessutom får inte den då

smittade smitta den kvarvarande. Sannolikheten att exakt en skall smittas blir

således P (Z

= 1) = 2p(1 − p)

. Sannolikheten att bägge smittas kan beräknas

på två sätt: antingen som ett minus övriga sannolikheter, eller också genom att

”räkna” ut sannolikheten. Det kan ske genom att indexfallet smittar en och den

smittar den sista, eller att indexfallet smittar bägge. Den totala sannolikheten blir

P (Z

= 2) = 2p

(1 − p) + p

. Redan när n = 2 krävs således viss tankeförmåga.

När vi låter n bli större blir beräkningarna snabbt oöverskådliga. Det går inte att

få några enkla slutna uttryck för dessa sannolikheter. De kan visserligen beräknas

numeriskt för givna värden på n och p, men dessa beräkningar är svåra att använda

för att dra kvalitativa slutsatser. Detta motiverar behovet av approximationer när

n är stort. I en stor population är det ofta mer naturligt att betrakta medelantalet

np en person smittar som konstant snarare än smittosannolikheten p med en en-

skild individ. Man brukar därför låta p = R

/n, medelantalet blir ju då np = R

dvs det reproduktionstal som tidigare deﬁnierades för deterministiska modeller. Vi

ska nu kort beskriva hur approximationen ser ut. Vi använder enbart heuristiska

resonemang även om motsvarande gränsvärdessatser ﬁnns.

Ett (potentiellt) epidemiutbrott inleds ofta med att ett fåtal individer smittats “ut-

ifrån” (i stycket ovan antog vi 1 indexfall). Det är ju då inte säkert att ett utbrott

tar fart. Inledningsvis spelar därför stokastiken en viktig roll. Om populationen n

i betraktelse är stor (och individer blandar sig helt slumpmässigt) är det mycket

osannolikt att två smittokontakter skulle ske med samma individ. Från detta följer

att smittsamma individer (i början) smittar andra individer nästintill oberoende

av varandra. Epidemin kan därför inledningsvis approximeras av en s.k. förgre-

ningsprocess. Med hjälp av teori för förgreningsprocesser kan man därför beräkna

sannolikheten för att en epidemi tar fart, respektive sannolikheten för att endast få

smittas. Man kan då även införa lite mer realism i modellen genom att låta indivi-

der vara olika smittsamma (t.ex. genom att vara olika sociala, ha olika infektivitet

och/eller olika ha långa långa smittperioder). Detta kommer i hög grad påverka

sannolikheten för ett stort utbrott, medan slutstorleken vid ett stort utbrott pri-

märt beror av motsvarande genomsnittsvärden. I fallet att det blir ett stort utbrott

kan man även visa en central gränsvärdessats som säger att slutandelen smittade

blir normalfördelad med väntevärde r

∞

(lösningen till Ekvation 2 ovan) och med

en explicit standardavvikelse av storleksordning 1/

√

n. Även antalet smittade blir

normalfördelat om det blir ett stort utbrott, med väntevärde nr

∞

och en standar-

davvikelse av storleksordning

√

n. Detta resultat illustreras i Figur 2 nedan. Där

har 10 000 epidemier simulerats, alla i en population bestående av 1000 individer

varav initialt 1 varit smittsam och övriga 999 mottagliga. Simuleringen är gjord

för R

= λ/γ = 1.5. Om man löser Ekvation (2) för detta R

(och med s

= 0.999

och r

= 0, dvs inga initialt immuna och andelen 0.999 initialt mottagliga) får man

lösningen r

∞

≈ 0.583. Det betyder alltså att slutantalet smittade bör vara ungefär

70 Tom Britton Normat 2/2010

∞

≈ 583 vid ett stort utbrott. Detta stämmer ganska väl med simularingarna!

Histogrammet till vänster anger frekvensfördelningen av slutantalet smittade i epi-

demin. Som synes består denna frekvensfördelning tydligt av två olika delar: de

små utbrotten och de stora utbrotten. I ﬁguren till höger tar vi en närmare titt på

frekvensfördelningen för de stora utbrotten. Som synes är denna fördelning inte helt

olik normalfördelningen – hade vi simulerat en större befolkning hade likheten varit

än större. Väntevärdet i normalfördelningen tycks mycket riktigt ligga ungefär vid

583 – i alla fall strax under 600. Resultatet att slutandelen smittade vid en större

epidemi är normalfördelat, är även viktigt när man ska skatta parameterar (t.ex.

och den kritiska vaccinationsgraden v

) från tidigare utbrott. Man får då inte

bara punktskattningar

och ˆv

, utan även konﬁdensintervall på skattningarna.

0 200 400 600 800 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Slutstorlek

Frekvens

400 500 600 700

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Slutstorlek (stora utbrott)

Frekvens

Figur 2 : Histogram över slutstorleken från 10000 simuleringar av en stokastisk

smittomodell med R

= 1.5. Till vänster redovisas samtliga simuleringar och till

höger de simuleringar som resulterade i stora utbrott.

En annan situation då stokastiska modeller är viktiga är om populationen inte

blandar sig homogent, utan där det i stället ﬁnns små “kluster” inom vilka smitt-

spridningen är väsentligt högre. Då är deterministiska modeller med “massverkan”

olämpliga approximationer av verkligheten. Huvudexemplet på sådana kluster för

bl.a. inﬂuensa och förkylning är hushåll/familjer. Det är ju mycket större risk att

jag blir smittad av mina barn än att jag smittas av någon på gatan. I sådana fall

bör man i modellen ta hänsyn till stokastiken inom hushållen medan man kan mo-

dellera smittspridningen mellan hushåll med en deterministisk modell. En annan

Normat 2/2010 Tom Britton 71

klass av sjukdomar där sociala strukturer spelar stor roll är sexuellt överförbara

sjukdomar. Vill man modellera sådana bör man studera smittspridning på nät-

verk, där kanterna i nätverket representerar sexuella kontakter mellan människor

(se nedan).

Ett sista exempel jag vill nämna där stokastiken är viktig är vid utdöende ende-

miska sjukdomar. Vi såg ju i exemplet med mässling att den endemiska nivån var

(ˆs,

i, ˆr) ≈ (0.067, 0.00022, 0.933). Det betyder alltså t.ex. att andelen smittsamma i

befolkningen en given tidpunkt bör vara ungefär

i = 0.00022. I ett land som Island

med ca n = 250 000 individer (före vaccinet infördes på 60-talet) betyder det att

antalen i endemiska nivån är ca (nˆs, n

i, nˆr) ≈ (16 700, 50, 233 250). Antalet smitt-

samma en given tidpunkt (när populationen och sjukdomen är i jämvikt) är således

endast 50 personer! Självklart varierar detta över tiden, så det är inte förvånande

att antalet smittsamma ganska snart råkar gå ner i 0 (bl.a. ﬁnns ju säsongsvaria-

tion som jag inte behandlat), och när detta väl inträﬀat så är sjukdomen utplånad.

Den kloke inser dock att Island knappast var helt isolerat ens före 60-talet, så

mässlingen borde snabbt ha förts tillbaka in i landet igen. Detta är bara delvis

rätt tänkt. En ny epidemi kan nämligen inte ta fart direkt efter att sjukdomen

dött ut – det ﬁnns då för få mottagliga. Efter en tid har dock tillräckligt många

(mottagliga) barn fötts för att ett nytt epidemiutbrott kan ske. Jag har självklart

förenklat verkligheten, men likväl stämmer det om man tittar på mässlingsfall på

Island under perioden före vaccination infördes: att stora utbrott skedde med exakt

4 års intervall (regelbundenheten beror på skolstarten efter sommaren) och endast

enstaka importerade fall däremellan! I England, med en västentligt större befolk-

ning, blir den endemiska nivån på antalet smittsamma n

i ≈ 11 000. Detta antal

kommer förstås också ﬂuktuera, men det är inte lika troligt att det slår i nollan

inom överskådlig tid. Även detta bekräftas av data som visar att mässlingen he-

la tiden var endemisk i England under den aktuella perioden. Att försöka förstå

vilken den ”kritiska populationsstorleken” är (som separerar dessa två olika sce-

narier), och hur den beror av olika egenskaper i populationen, hos sjukdomen och

även vaccinet i förekommande fall, är ett forskningsområde jag själv är intresserad

av.

Smittspridning på sociala nätverk

Vi ska nu avslutningsvis bland olika modeller ta en titt på modeller för smittsprid-

ning där sociala strukturer anses alltför viktiga för att man ska kunna anta att alla

smittar alla med ungefär samma sannolikhet (likformig smittspridning). Självklart

vet man att likformig smittspridning aldrig är sann, men likväl visar erfarenheten

att dessa modeller fungerar bra för mycket smittsamma sjukdomar så som t.ex.

våra vanliga barnsjukdomar och förkylning, där ”smittokontakten” kan innebära

att man vistas i samma rum/buss eller liknande. Andra sjukdomar kräver närmare

kontakt för att smittoöverföring över huvud taget ska vara möjlig. En sådan klass

av sjukdomar är sexuellt överförbara sjukdomar – där är det uppenbart att ingen

människa har samma smittsannolikhet för alla andra människor. Det kan då vara

lämpligt att först försöka modellera hur det sociala nätverket ser ut (detta ”vet”

72 Tom Britton Normat 2/2010

man sällan) och därefter studera hur en smittsam sjukdom kan tänkas spridas

”på” nätverket. Jag ska nu kort redogöra för en enkel sådan modell som likväl ger

intressanta slutsatser.

Antag (för enkelhets skull) att vi har en enkönad befolkning och att somliga par

av individer är sammanbundna med kanter (svarande t.ex. mot att de haft en sex-

uell relation det senasta året). Antalet andra individer en person har en kant till

kallas personens grad. Alla individer har förstås inte samma grad. Hur graderna

varierar i befolkningen beskrivs av den s.k. gradfördelningen. Om vi låter slump-

variabeln D vara graden hos en slumpvis vald individ så beskrivs gradfördelningen

av p

= P (D = k) för alla icke-negativa k. Låt µ = E(D) =

beteckna

väntevärdet (medelvärdet) i denna fördelning och σ

= V (D) =

(k −µ)

för-

delningens varians. Utöver denna gradfördelning antar vi enklast möjliga slump-

mässiga nätverk/graf: dvs individer väljer sina kant-partners helt slumpmässigt.

På detta nätverk antar vi vidare att en person smittas utifrån (indexfallet) och att

smittan sprider sig i nätverket genom att smittade personer smittar var och en av

sina ännu ej smittade grannar med sannolikhet p och att detta sker oberoende.

En viktig fråga är förstås vad R

är för denna modell, dvs. hur många smittar en

typisk smittad individ i inledningsfasen av epidemin? En första naturlig gissning

är att R

= µp, dvs att en typisk smittad person har grad µ och att man smittar

andelen p av dessa. Detta resonemang innehåller två fel. Först och främst blev man

ju smittad av en sina grannar vilket motiverar att vi måste reducera genomsnittliga

graden med 1. Det andra fallet ligger i att den genomsnittliga graden bland dem

som smittas i inledningsfasen inte är µ. Titta på det lilla exemplet nedan (Figur

3).

Figur 3 : Illustration av 6 individer med olika antal grannar, dvs olika gradtal.

Där ﬁnns 6 individer med olika grader (antal kanter). Vem skulle du tro har störst

risk för att bli smittad? Den som inte har någon kant kommer ju t.ex. helt säkert

inte att bli smittad. Man kan i själva verket visa att sannolikheten att smittas

i inledningsfasen är proportionell mot antalet grannar man har. Vi har således

en annan gradfördelning

D bland de initialt smittade än i befolkningen i stort (i

vardagligt tal talar man om riskgrupper). Att sannolikheten att smittas är propor-

tionell mot antalet grannar man har ger en entydig relation mellan fördelningarna

D och D: P (

D = k) = kP (D = k)/µ. Man kan lätt visa att denna fördelning

har väntevärde som kan uttryckas i väntevärdet µ och variansen σ

för populatio-

nens gradfördelning: E(

D) = (σ

+ µ

)/µ. Dock kan man ju inte smitta den som

man själv smittades av, så R

= p(E(

D) − 1), dvs andelen p av detta väntevärde

subtraherat med 1. Om man förenklar formlerna lite får vi därför

= p



µ +

− µ



= p



E(D) +

V (D) − E(D)

E(D)



. (5)

Normat 2/2010 Tom Britton 73

Vad kan vi då lära oss av denna relation? Den första termen pE(D) var vår första

gissning av R

, dvs populationens genomsnittliga grad multiplicerat med sannolik-

heten att smitta en enskild granne. Den andra termen innehåller däremot variansen

i populationens gradfördelning. Om vi har stor varians kommer denna term domi-

nera den första. Vi kan alltså ha R

> 1 (som möjliggör ett större epidemiutbrott

liksom att sjukdomen kan bli endemisk) även om smittsannolikheten p är liten

OCH populationen har en låg genomsnittlig gradfördelning, så länge populatio-

nens gradfördelning har stor varians (spridning). Förklaringen till detta är att om

gradfördelningen har litet väntevärde men stor varians, vilket betyder att det ﬁnns

ett fåtal individer med mycket högt gradtal, så kommer typisk dessa individer att

smittas i inledningsfasen. Och, trots att smittsannolikheten är låg så kommer dessa

personer i sin tur smitta mer än en person i genomsnitt eftersom de har en så hög

grad.

Låt oss avsluta med ett numeriskt exempel för en sexuellt överförbar sjukdom.

Vi kan t.ex. anta att p = 0.3, dvs sannolikheten att smitta en partner är 0.3,

att man är smittsam under ett år, och att individer i populationen i genomsnitt

har µ = 2 partners under ett år. Kan vi ha ett utbrott för en sådan sjukdom?

Vid första anblicken verkar det otroligt: om man har två partners och smittar en

partner med sannolikhet 0.3 kan väl inte individer i början av utbrottet smitta

mer än en person så att en epidemi tar fart? Svaret är emellertid att det visst kan

hända, om populationens partnerfördelning är tillräckligt skev så att dess varians

blir stor. Antag t.ex. att 20% av befolkningen har ingen partner under ett år, 40%

har en partner, 30% har två partners medan de kvarvarande 10% har 10 partners

(vårt exempel är inte realistiskt, men att några få har många partners stämmer

dock med verkligheten). Genomsnittligt antal partners blir då just µ = 2. Man

kan beräkna variansen som blir σ

= 7.6. Med hjälp av Ekvation (5) får vi då att

= 4.8/3 = 1.6 > 1 vilket alltså möjliggör risken för ett stort utbrott och att

sjukdomen blir endemisk.

För denna och liknande modeller kan man alltså visa att det räcker att gradfördel-

ningen har stor varians för att risken för stora utbrott skall ﬁnnas. Det är emellertid

inte så att det nödvändigtvis blir väldigt stora utbrott. I själva verket ﬁnns en ten-

dens att andelen som smittas blir ganska liten om gradfördelningen är skev, de som

smittas är primärt de med många partners (stor grad). Detta gäller i ännu högre

grad om individer med hög grad tenderar att välja partners som också har hög grad.

Då kommer sjukdomen i än högre grad koncentreras bland dessa ”riskgrupper”.

Verkligheten

Jag har ovan beskrivit några enkla modeller och gett ett par “leksaksexempel”.

Man kan då fråga sig om metoderna inte är mer soﬁstikerade när mycket står på

spel, som t.ex. nu för den pågående nya inﬂuensan. Svaret är, som så ofta, att

de enkla modellerna ger de viktiga insikterna, men sedan gör man förstås mer

verklighetstrogna modeller när de ska användas i speciﬁka sammanhang för att få

mer precisa kvantitativa slutsatser.

74 Tom Britton Normat 2/2010

Det ﬁnns många aspekter som brukar tillföras modeller som t.ex. ska förutsäga hur

många som kommer smittas av den nya inﬂuensan, titta t.ex. i någon av tidskrifter-

na Nature eller Science. Några exempel på sådana är: eﬀekter inte bara av hushåll,

men också skolor/dagis och ibland även arbetsplatser, samt information om rese-

mönster. Att ha en spatial struktur är också viktigt (en eﬀekt blir att tillväxttakten

i epidemin snarare blir linjär än exponentiell) och att man också tar hänsyn till in-

dividers olika mottaglighet och sociala struktur över åldern: barn tenderar att vara

mer mottagliga och ha tätare kontakter än vuxna, samt att merparten individer

umgås i högre grad med jämnåriga. Säsongsvariationer är en annan viktig aspekt

att ta hänsyn till om man vill komma verkligheten nära. I modellen för endemiska

sjukdomar antog vi en befolkning i jämvikt. I verkligheten är förstås inte ålders-

strukturen helt jämn i populationen och populationer tenderar att växa, vilket är

något som bör tillföras en modell för ökad realism. I modeller för smittspridning

bland växter är den spatiala strukturen mycket viktigare än den är för människor.

Eftersom växter inte rör sig är det förstås absolut störst chans att sprida smittan

till sina närmaste grannar.

För mer komplicerade modeller applicerade på speciﬁka länder (och deras befolk-

ningsstruktur) är det förstås svårt att dra några analytiska slutsatser. Vad man i

stället gör är stora simuleringsstudier, där man även varierar parametrar, för att se

vad som kan tänkas hända. Nästintill alltid studerar man också vilka eﬀekter olika

preventiva åtgärder (vaccinering, men också stängning av drabbade skolor m.m.)

kan tänkas ha. I komplicerade modeller med många parameterar har parametrar-

nas värden förstås osäkerhet. Det är inte alltid lätt att avgöra vilka parametrar

som har störst inﬂytande och vilka de rimliga värdena för dessa parametrar är i en

given befolkning. Genom att göra noggrann s.k. sensitivitetsanalys i kombination

med god matematisk förståelse för modellerna kan simularingar dock tillföra viktiga

insikter om spridningen av sjukdomar och vilka de eﬀektiva preventiva åtgärderna

är.

Jag var i höstas på ett möte om H1N1-inﬂuensan på europeiska smittskyddsinsti-

tutet ECDC, som råkar ligga i Stockholm, och tog del av ﬂera liknande modeller

och hörde vad infektionsepidemiologer hade att säga. En intressant sådan studie

visade att om man kunde implementera vaccineringen i USA (där endast en mind-

re andel kommer att vaccineras) innan epidemin tar riktig fart så kommer detta

att reducera antalet som smittas (och antalet som dör) med 2/3 jämfört med om

epidemin redan tagit fart innan vaccineringen kommit igång. Slutsatsen var att

det är viktigt att skynda på framställandet av vaccinet och att snabbt distribuera

det, men även att åtgärder syftandes till att fördröja smittspridningen är viktiga

(dylika åtgärder är mycket mindre kostsamma jämfört med åtgärder att reducera

smittspridningen långsiktigt). I Sverige var vi mycket snabba med att få ut vaccinet

och vi har dessutom den högsta nationella vaccinationsnivån i världen, så andelen

som smittades blev långt ifrån de ca 58% man kunde förvänta utan någon som

helst prevention (se avsnitt 2.1). Nu när pandemin börjar lägga sig blir nästa stora

uppgift att utvärdera vilka åtgärder som var mest eﬀektiva och att jämföra olika

länders åtgärder för att förbättra de preventiva metoderna till nästa gång. Ungefär

hur många smittofall respektive dödsfall har Sverige haft respektive hur många har

vi lyckats undvika genom att uppnå världens högsta vaccinationsgrad på ca 60%

Normat 2/2010 Tom Britton 75

(dock var den ju inte så hög när inﬂuensan anlände) och vad var kostnaden för

detta?

Referenser

Jag har medvetet inte givit en massa referenser till olika resultat. Vill man se ak-

tuella tillämpningar kan man som sagt titta i aktuella nummer av t.ex. Nature och

Science. Framträdande grupper ﬁnns bland annat vid Imperial College (Neil Fergu-

son), University of Washington (Ira Longini och Elizabeth Halloran) och Harvard

(Mark Lipschits).

Vill man lära sig lite mer om modellerande av epidemier är nog boken Infectious

diseases of humans av Anderson & May (Oxford, 1991) den överlägset mest inﬂy-

telserika. Jag kan även rekommendera Mathematical epidemiology of infectious di-

seases av Diekmann & Heesterbeek (Wiley, 2000) som håller en högre matematiskt

nivå. Om man är intresserad av stokastiska modeller och statistiska inferensme-

toder får jag vara oﬁn nog att referera till boken Stochastic epidemic models and

their statistical analysis av Andersson & Britton (Springer, 2000). Mig veterligen

ﬁnns bara en populärtext på svenska (utöver den ni har framför er!), även den

skriven av undertecknad: ”Pest, kolera och matematik”, som ingår som ett kapitel

i den alltför lite uppmärksammade boken Människor och matematik – läsebok för

nyﬁkna (NCM, 2008). Jag rekommenderar inte boken för min egen artikel – spe-

ciellt inte när ni nu läst innevarande artikel – men det ﬁnns en mängd intressanta

populärartiklar skrivna av ett 20-tal framstående svenska matematiker.