76 Normat 58:2, 76–92 (2010)
Oktahedergruppen och dess generaliseringar
II - Hyperkuben och dess dual
Ulf Pe rsso n .
Matematiska Institutionen
Chalmers Tekniska Högskola och
Göteborgs Universitet
ulfp@chalmers.se
Tre regelbundna polytoper existerar i alla dimensio ner. Konstruktionen av dessa ä r
enkel och kan beskrivas rekursivt. Vi betecknar dem preliminärt med T
n
, K
n
, O
n
.
Med start T
0
= K
0
= O
0
lika med en punkt. (Den triviala 0-dimensionella). Första
konstruktionen gäller T -serien. Tag en punkt P utanför T
n
och sammanbind den
med alla hörn till T
n
, detta ger nya k anter. På motsvarande sätt får vi nya sidor
genom att bilda trianglar med kanterna till T
n
. Den uppkomna figuren betecknar vi
med T
(n+1)
. För att få regelbundenhet måste vi välja punkten P med viss omsorg.
Uppenbarligen ä r T
n
n-simplexet. I den andra konstruktionen väljer vi O
1
= T
1
och två punkter P, Q på ömse sidor om O
n
och sammanbinder var och en av dessa
med hörnen till O
n
. Och slutligen den tredje konstruktionen tar vi två parallella
kopior av K
n
och förbinder motsvarande punkter. De första fallen visas nedan.
Uppenbarligen rör det sig om tetr ahedrar, oktahedr ar och kuber i högre dimen-
sioner. I de två senare fallen är det lätt att ge ko-ordinater för hörnen, medan det är
något mera involverat i det första fallet. Vi skall nu koncentrera oss på hyperkuben
K
4
och dess dual O
4
.
Hyperkuben
Låt oss betrakta hyperkuben i R
4
. Den är generaliseringen av kvadraten och kuben
till 4 -dimensioner. Den kallas även för 8-cell, ty den begränsas av åtta kuber. Ett
annat po pulärt namn är tesserakten. Vi kan bilda den från två kuber i två parallella
Normat 2/2010 Ulf Persson. 77
hyperplan, genom att sammanbinda motsvarande hörn. Vi kan låta den vara given
av de sexton hörn som kan skrivas på formen (±1, ±1, ±1, ±1). Dessa ligger på
sfären S
3
med radien 2 i R
4
. Det minimala avståndet mellan två distinkta hör n är
givetvis lika med kantlängden 2. Varje hörn är förbundet med fyra andra hörn via
kanter. Dessa hörn fås genom att ändra tecknet på en enda ko-ordinat. Således finns
16×4/2 = 32 olika kanter (ty varje kant har två hörn). Kanterna är givna av snittet
av tre hyperplan av formen x
i
= ± för tre val av ko-ordinater x
i
. Det finns givetvis
32 mittpunkter på kanter, dessa är givna av formen ±1, . . . 0 ··· ± 1 med en enda
nolla given av någon ko-ordinat x
i
. Det kan vara lämpligt att introducera termen
standard punkt. Detta är en punkt (a, b, c, d) där ko+ordinaterna är antingen noll
eller av formen ±1. En kantmittpunkt är således en standar dpinkt med precis en
nolla. Alla sådana mittpunkter ligger på en sfär av radien
√
3. Givet två kanter
som möts i ett hörn, bestämmer dessa en kvadrat. Diagonalen i denna kvadrat är
given av två hörn som skiljer sig med precis två ko-ordinater. En sådan diagonal
har givetvis längden 2
√
2 och kan benämnas en kort diagonal. Det finns
4
2
= 6
olika korta diagonaler från ett givet hörn. Således finns det 16 × 6/2 = 48 korta
diagonaler. Eftersom varje kvadrat har två diagonaler finner vi 24 kvadrater. En
kvadrat är given av formen x
i
= ± för två val av ko-ordinater x
i
. Mittpunkten på en
kvadrat är given av en standardpunkt med precis två nollor. Sådana mittpunkter
ligger på en sfär med radien
√
2. Två kvadrater är angränsande om de har en
gemensam kant. Tre kvadrater som är angr änsande två och två bestämmer en kub.
Kuben är bestämd av sin rymddiagonal vilken har längden 2
√
3. En sådan diagonal
kommer vi helt enkelt att kalla en diagonal. Två hörn bestämmer en diagonal om
de skiljer sig ba ra på en ko-ordinat. Genom ett givet hörn kan man således finna
fyra diagonaler. Vi finner därmed 16 × 4/2 = 32 diagonaler. Eftersom varje kub
har fyra r ymddiagonaler sluter vi att det finns 8 kuber. Varje kub är utskuren av
ett hyperplan x
i
= ± 1. Kubernas mittpunkter är standardpunkter med pre c is tre
nollor. Dessa ligger på en sfär med radien 1. Slutligen ligger hyperkubens mittpunkt
i origo. Den ha r 8 rymddiagonaler, som vi kan kalla långa diagonaler . Dessa har
längden 2 och förbinder antipodala hörn på kuben. De utgör de längsta avstånden
mellan två hörn.
Tillsammans har vi fyrtio olika riktningar, detta inses lätt geno m att dessa är
givna av (a, b, c, d) där a, b, c, d = 0, ±1 och vi utesluter (0, 0, 0, 0). Varje ko-ordinat
har således tre val, varvid vi får (3
4
− 1)/2 = 40 möjligheter ty en vektor −v ger
samma riktning som v. (Vi betraktar således riktningarna som punkter i det reella
projektiva rummet RP
3
och (a, b, c, d) skall ses som homogena ko-ordinater).
Om vi betraktar den alternerade summan av antalet hörn, kanter, kvadrater
och kuber, d.v.s. 16 − 32 + 24 − 8 erhåller vi noll. Detta är inte en tillfällighet
utan är identiskt med euler-kara ktäristiken av den 3-dimensionella sfären. Man
kan renormalisera alla standardpunkter så att de alla ligg er på en fix sfär. Dessa
utgör då en intressant konfiguration på denna.
78 Ulf Persson. Normat 2/2010
Hyperkub e n kan projiceras in i rummet på ett antal olika
sätt. Vidstående bild visar en perspe ktivprojicering av ku-
ben från punkten (0, 0, 0, 2) till hyperplanet x
4
= 0. Denna
ges av
(x, y, z, w) 7→ (
x
2 − w
,
x
2 − w
,
x
2 − w
)
Kuben given av w = 1 avbildas ’identiskt’ medan kuben
w = −1 avbildas med en s kalning av 1/3.
Hyperkuben s projektioner
Låt oss nu betrakta projektionen i riktning (1, 1, 1, 1). Denna projicerar de två
antipodala hörnen (1, 1 , 1, 1), (−1, −1, −1, −1) till origo.
x+y+z+w=0
x+y+z+w=4
x+y+z+w=2
x+y+z+w=-2
x+y+z+w=-4
Med avseende på dessa två hörn kan v i gruppera
de övriga i tre olika nivåer. Sex av hörnen ligger
på det centrala hyperplanet x + y + z + w = 0.
Dessa kommer a tt vara vinkelräta mot de två giv-
na hörnen. Sedan har vi fyra hörn på hyperplanet
x + y + z + w = 2 vilka bildar vinkeln π/3, (2π/3)
med (1, 1, 1, 1)((−1, −1, −1, −1)) och fyra återståen-
de hörn på x + y + z + w = −2 där vinkla rna är om-
vända. Projektionen är ortogona l på det hyperplan
som är ortogonalt mot riktningen. De sex mittersta
punkterna bildar en regelbunden oktaheder, meda n
de återstående åtta punkterna utgöres av två tetra-
hedrar. De kanter vi ser utritade är inte k anter på
tesserakten, utan vad vi ovan benämnde ’korta dia-
gonaler’. Den ortogonala pr ojektionen ges av
(x, y, z, w) 7→ (
3x − y − z − w
4
,
3y −x − z − w
4
,
3z − y − x − w
4
,
3w − y − z − x
4
)
och ge nom att välja en lämplig ortonormerad bas för det centrala hy perplanet kan
vi ge projektionen
(x, y, z, w) 7→ (
x − y
√
2
,
w − z
√
2
,
(x + y) − (z + w)
2
)
I bilden nedan kommer de antipoda hö rnen (1, 1, 1, 1), (−1, −1, −1, −1) avbildas
på origo. De sex ortogonala hö rnen bildar en oktaheder och är givna i svart, medan
punkterna med vinkelavstånd π/3 från (1, 1, 1, 1) är givna i vitt och bildar en
tetraheder, precis s om dess antipoder som ges av grått.
Normat 2/2010 Ulf Persson. 79
Notera att de tre parallella hyperpla nen avbildas isometriskt
in i R
3
. Oktahedern ligger på en sfär med radien 2 medan
de två tetrahedrarna ligger på en sfä r med radien 1 . Notera
i figuren att dessa tetrahedrar utgör varandras antipoder .
På motsvarande sätt betraktar vi nu projektionen i rikt-
ning (1, 1, 1, 0) på hyperplanet x + y + z = 0 vilken ges av:
(x, y, z, w) 7→
1
√
3
(x −y + w , x −z −w, y −z + w). Punkter-
na (1, 1, 1, 1), (−1, −1, −1, 1) avbildas båda på
1
√
3
(1, −1, 1),
medan punkterna (1, 1, 1, − 1), (−1, −1, −1, −1) avbildas på
1
√
3
(−1, 1, −1). Dessa punkter är speciellt utmärkta i figu-
ren. Notera också att den pr ojekterade bilden består av två
plana figurer. Dessa är helt enkelt projektioner av kuberna
(±1, ±1, ±1, 1) och (±1, ±1, ±1, −1) via långa diagonaler,
vars ändpunkter hamnar i ’mitten’.
Projektionen i riktningen (1, 1, 0, 0) på planet x + y = 0
ges av: (x, y , z, w) 7→
1
√
2
(x − y, z + w, z − w). Punkterna
(1, 1, a, b), (−1, −1, a, b) hamna r på samma punkt
1
√
2
(0, a +
b, a −b). Således åtta av hyperkubesn punkter kollapsar till
fyra. Dessa utgör två kvadrater som avbildas på samma
kvadrat, nämlig e n den mittersta.
Och slutligen projektionen i riktningen (1, 0, 0, 0) ges uppenbarligen av (x, y, z, w) 7→
(y, z, w) och avbildar hype rkuben på en k ub i vilken de 16 hörnen avbildas i par
på de åtta hörnen av kuben.
Den duala hyperkuben
Den duala hyperk uben fås genom att betrakta de åtta hörnen
(±1, 0, 0, 0) . . . (0, 0, 0, ±1).
Ett hörn sammanbindes med alla andra hörn utom sin antipod. D.v.s. två hörn sam-
manbindes om dess korresponderande vektorer är vinkelräta, d.v.s. vinkelavståndet
80 Ulf Persson. Normat 2/2010
på sfären är π/2. Geno m varje hörn går således 6 kanter, vilket ger 8 × 6/2 = 24
kanter. Tre hörn som är ömsesidigt vinkelräta bilda r en triangel. Det uppko m-
mer 8 × 6 × 4/6 = 32 trianglar. Slutligen fyra öms e sidigt vinkelräta hörn bil-
dar en tetraheder. Av dessa har vi 8 × 6 × 4 × 2/24 = 16. Som förväntat spe-
gelvänds talserien från hyperkuben. En annan benä mning är 16-cellen, ty den
består av 16 tetrahedrar. Dessa tetra hedrar får genom att betrakta punkterna
(±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) med sexton val av tecken. Note-
ra att dess centra utgöres helt enkelt av hörnen till hyperkuben. Andra namn
är hexadecachoron, orthoplexen eller halvtes serakten. En annan naturlig benäm-
ning är hyper-oktahedern. Nedan har vi en stereogra fisk projektion av 16-cellen.
Anmärkningsvärt är att den duala hyperkubem återfin-
nes även i hyperkuben själv. Dess hörn ka n delas upp i
två disjunkta mäng der som var och en utgör en dual hy-
perkub. Givet ett hörn kan man ta produkten av dess
ko-ordinater. Denna blir ±1. De med 1 utgör en, och de
med −1 en annan. Två hörn av samma typ skiljer sig med
jämnt antal, medan de mellan olika typer med ett udda
antal. Nedan har vi en hyperkub med sin uppdelning av
sina hörn i två halv-tesserakter.
Tag ett hörn och dess antipod. De är uppenbarligen av
samma typ. Mitt emellan dem har vi ett plan vilket in-
nehåller sex andra hörn, dessa bildar en oktaheder i R
3
,
och de åtta hörnen bildar en dual hyperkub. Alla hörn,
utom de antipoda är på vinkelavstå nd π/2. Ur detta ser
vi att den duala hyperkuben bildas ur en okta heder ge-
nom att två ytterligare punkter och fö rbinda. (Detta kan
generaliseras till godtyckliga dimensioner och ses enkelt
formellt). Men vi ser även genom att betrakta de komple-
mentära punkterna att en dual hyperkub kan bildas av
två tetrahedrar i rummet, som sammanbindes. Detta är
analogt med att en oktaheder kan bildas av två disjunkta
trianglar vars hörn står i ett 1-1 förbindelse med varandra.
Två hörn sammanbindes om och endast om de inte korre-
sponderar med varandra. På så sätt utg år det fyra kan-
ter från varje hörn. På samma sätt tar v i två disjunkta
tetrahedrar med en 1-1 korrespondens. Vi sammanbinder
på samma sätt. Därmed kommer det ur varje hör n utgå
3 + 3 = 6 kanter. Till vänster betraktar vi en hyperokta-
heder med två antipoda tetrahedrar (med vita respektive
svarta hörn). 1-1 korrespondensen utgöres av antipoda
punkter.
Denna uppdelning av hyperkuben är analog med k ubens uppdelning i två disjunk-
ta tetrahedrar.
Normat 2/2010 Ulf Persson. 81
Automorfigruppen
Betrakta nu alla ortogonala 4 ×4 matriser med endast heltalselement, dessa bildar
automorfigruppen G(≡ O(4, Z)) till hyperkub e n. Vi kommer att koncentrera oss
på delgruppen SG med determinant ett. Denna har index två , och har som vi
tidigare be räknat 192 element. Som vi noterade i förra artikeln är egenvärdena till
en reell ortogonal matris invarianta under invers. Den karaktäristiska ekvationen
blir därmed palindromisk och kan skrivas under for men
x
4
− tx
3
+ sx
2
− tx + 1 = 0
där t givetvis ä r spåret av matrisen. För att beräkna s noterar vi att denna är
summan av alla produkter av två egenvärden. Mera exakt har vi identiteten
(λ
1
+ . . . λ
n
)
2
= λ
2
1
+ . . . λ
2
n
+ 2(
X
i6=j
λ
i
λ
j
)
ur vilket vi sluter att s =
1
2
((Tr(A))
2
− Tr(A
2
)) för vår matris A.
Vi skall nu först göra en tabell över alla element i G och lista de korresponderande
karaktäristiska ekvationerna. Vi noterar att ett element A ∈ G beskrives av en
permutation σ ∈ S
4
samt en följd av fyra tecken (d.v.s. icke-noll elementen i den
permutations matris som hör till σ är av formen ±1. En permutation kan skrivas
som en följd av disjunkta cykler, och en cykel med säg tre e lement kommer att
betecknas i formen (123), för att beskriva tecknen låter vi (123)[k] betyda en cykel
med k nega tiva tecken (för enkelhetens skull om k = 0 utlämnar vi denna). Således
matrisen
1 0 0 0
0 0 0 1
0 −1 0 0
0 0 1 0
betecknas med ()(123)[1]. Vida re obs e rverar vi att en permutationsmatris har de-
terminanten ett precis om permutationen är udda. Detta betyder att den har ett
jämnt antal c ykler med jämnt antal element (uppenbarligen har () antalet element
ett, genom att ignorera fixpunkten). Det kan även vara praktiskt att notera att
om A är associerad till (12)[1] finner vi att A
2
är associera d till ()[1]()[1]. Vi kan
nu systematiskt skriva ner tabellen o ch passar s amtidigt på att hålla r e da på hur
många element finns av varje typ.
82 Ulf Persson. Normat 2/2010
antal Beteckning t (Tr(A
2
)) s karaktäristisk ekvation faktorisering
1 ()()()() 4 (4) 6 x
4
− 4x
3
+ 6x
2
− 4x + 1 (x − 1)
4
6 ()()()[1]()[1] 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
1 ()[1]()[1]()[1]()[1] -4 (4) 6 x
4
+ 4x
3
+ 6x
2
+ 4x + 1 (x + 1)
4
12 ()()[1](12) 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
12 ()()(12)[1] 2 (0) 2 x
4
− 2x
3
+ 2x
2
− 2x + 1 (x − 1)
2
(x
2
+ 1)
12 ()[1]()[1](12)[1] -2 (0) 2 x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ 2x + 1 (x
2
+ 1)(x + 1)
2
12 ()()[1](12)[2] 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
3 (12)(34) 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
6 (12)[2](34) 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
12 (12)[1](34)[1] 0 (-4) 2 x
4
+ 2x
2
+ 1 (x
2
+ 1)
2
3 (12)[2](34)[2] 0 (4) -2 x
4
− 2x
2
+ 1 (x − 1)
2
(x + 1)
2
8 ()(123) 1 (1) 0 x
4
− x
3
− x + 1 (x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
24 ()[1](123)[1] -1 (1) 0 x
4
+ x
3
+ x + 1 (x
2
− x + 1)(x + 1)
2
24 ()(123)[2] 1 (1) 0 x
4
− x
3
− x + 1 (x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
8 ()[1](123)[3] -1 (1) 0 x
4
+ x
3
+ x + 1 (x
2
− x + 1)(x + 1)
2
24 (1234)[1] 0 (0) 0 x
4
+ 1
24 (1234)[3] 0 (0) 0 x
4
+ 1
Genom att inspektera tabellen inser vi att det finns ett mycket begränsa t antal
karaktäristiska ekvationer nämligen följande.
ekvation antal element ordning
(x − 1)
4
1 1
(x + 1)
4
1 2
(x + 1)
2
(x − 1)
2
42 2
(x
2
+ 1)
2
12 4
(x
2
+ 1)(x + 1)
2
12 4
(x
2
+ 1)(x − 1)
2
12 4
(x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
32 3
(x
2
− x + 1)(x + 1)
2
32 6
x
4
+ 1 48 8
Uppenbarligen motsvarar detta inte konjugatklasserna. För att göra en fullständig
undersökning kan det vara ändamålsenligt att introducera lite notation. En matris
i G kan representeras i formen ǫσ där ǫ är e n följd (a, b, c, d) med a, b, c , d = ±1
och σ är en permutation, och med villkoret att abcd(σ) = 1 där (σ) = ±1 anger
tecknet (udda eller jämnt) av permutationen σ. Upp e nbarligen gäller att ǫǫ
′
= ǫ
′
ǫ
däremot kommuterar de inte med permutationerna. Låt e
i
(i = 1, . . . , 4) vara vår
fixa bas, då gäller σe
i
= e
σ(i)
och ǫe
i
= ǫ(i )e
i
. Ur detta inser vi lätt
σǫe
i
= ǫ(i)σe
i
= ǫ(i)e
σ(i)
= ǫ(σ
−1
(σ(i)))e
σ(i)
Vilket kan uttryckas som
σǫ = ǫ
σ
σ
där vi låter σ operera kontravariant på ko-ordina terna till ǫ. Ur detta inser vi att
två element ǫσ och ητ kommuterar om o ch endast om στ = τσ och ǫη
σ
= ǫ
τ
η ty
ǫσητ = ǫη
σ
στ. Speciellt bekräftar vi ovan att gruppens centrum uppstår för σ = 1
och ǫ godtyckligt.
Vi kan även konjugera element och finner
(ητ)(ǫσ)(τ
−1
η) = ηǫ
τ
η
τ ǫτ
−1
τστ
−1
Normat 2/2010 Ulf Persson. 83
Speciellt stannar permutationen i sin konjugatklass.
Antalet element i en konjugatklass ge s som bekant av |G|/|Z
a
| där a är ett
godtyckligt element i konjugatklassen och Z
a
är delgruppen av alla element som
kommutera r med a. Vi kan nu för var och ett av elementen beräkna Z
a
och där-
med även |Z
a
|. Vi ka n ta första fallet med σ = (12). Vi kan lätt lista all τ som
kommutera r med σ de gives av
(12)()()
(12)(34)
()()()()
()()(34)
Låt nu ǫ = (1, 1, −1 , 1) och fö r var och en av de fyra fallen betraktar vi η = (a, b, c, d)
och finner η
σ
ǫ = (b, a, −c, d). Vi går nu igenom de fyra olika τ och finner följande
permutation ǫ
τ
η lösning antal
(12)()() (a,b,-c,d) (a,a,c,d)cd=-1 4
(12)(34) (a,b,c,-d) 0
()()()() (a,b,-c,d) (a,a,c,d)cd=1 4
()()(34) (a,b,c,-d) 0
Ur detta inser vi att klassen innehåller 192/8 = 24 element. Tar vi istället ǫ =
(1, −1, 1, 1) finner vi η
σ
ǫ = (b, −a, c, d) och erhåller följande tabell
permutation ǫ
τ
η lösning antal
(12)()() (-a,b,c,d) (a,-a,c,d)cd=1 4
(12)(34) (-a,b,c,d) (a,-a,c,d)cd=-1 4
()()()() (a,-b,c,d) (a,a,c,d)cd=1 4
()()(34) (a,-b,c,d) (a,a,c,d)cd=-1 4
Och nu inser vi att klassen innehåller 1 92/16 = 12 element. Ur detta drar vi
slutsatsen att elementen med permutation av typ (12) splittras i tre klasser, korre-
sp onderande mot de o lika karaktäristisk a ekvationerna. Det är nu lätt att förvissa
sig om följande tabell av 11 konjugeringsklasser.
antal beteckning karaktäristisk ekvation spår
1 (x − 1)
4
4
6 [2] (x − 1)
2
(x + 1)
2
0
1 [4] (x + 1)
4
-4
24 [1](12),[1](12)[2] (x − 1)
2
(x + 1)
2
0
12 (12)[1] (x − 1)
2
(x
2
+ 1) 2
12 [2](12)[1] (x + 1)
2
(x
2
+ 1) -2
12 (12)(34),(12)[2](34),(12)[2](34)[2] (x − 1)
2
(x + 1)
2
0
12 (12)[1](34)[1] (x
2
+ 1)
2
0
32 (123),(123 )[2] (x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
1
32 [1](123)[1],[1](1 23)[3] (x
2
− x + 1)(x + 1)
2
-1
48 (1234)[1],(1234)[3] x
4
+ 1 0
84 Ulf Persson. Normat 2/2010
Vi noterar a tt
4
2
+ (−4)
2
+ 12 × 2
2
+ 12 × (−2)
2
+ 32 × 1
2
+ 32 × (−1 )
2
= 192
vilket visar att representationen är irreducibel.
Geometriska tolkningar
En ortogonal transformation ges av vridningar lä ngs två ortogonala plan. Om en
av vridningarna är identiteten, kan man se transformationen som en v ridning med
det korresponderande planet som fix ’axel’. I vårt fall med hyperkuben, kommer
den ortogonala projektionen på det komplementerande pla net avbilda denna på en
plan figur invariant under rotationen.
Vi skall först betrakta de plan som som ka n vara invariant plan. d.v.s. de korre-
sp onderande till egenvärde 1. (Vi skippar det triviala fallet med identiteten, för vil-
ket alla plan är invarianta). Detta är lätt att undersöka. Permutationen skrives som
en disjunkt union av cykler och vi håller reda på antalet negativa värden i varje cy-
kel. Om en cykel innehåller ett udda antal negativa värden, kommer ko-ordinaterna
automatiskt bli noll, medan i fallet ett jämnt antal negativa värden får vi ett 1-
dimensionellt bidrag. Tar vi exemplet (12)[2](34) och en egenvektor (a, b, c, d) får vi
transformationen (−b, −a, d, c) och dä rmed villkoret a = −b, b = −a, c = d, d = c i
fallet egenvärde 1 och därmed lösningen (a, −a, c, c).
Det är nu lätt att sätta upp en tabell för egenrummen hörande till egenvärdet
1. (Kolumnen för konjugattyp är för fr amtida referens)
antal Beteckning karaktäristisk ekvation egenrum konjugat
1 ()()()() (x − 1)
4
(a,b,c,d) I
+
6 ()()()[1]()[1] (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,b,0,0) A
1 ()[1]()[1]()[1]()[1] (x + 1)
4
(0) I
−
12 ()()[1](12) (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,a,b,0) B
12 ()()(12)[1] (x − 1)
2
(x
2
+ 1) (0,0,a,b) C
+
12 ()[1]()[1](12)[1] (x
2
+ 1)(x + 1)
2
(0) C
−
12 ()()[1](12)[2] (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,-a,b,0) B
3 (12)(34) (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,a,b,b) D
6 (12)[2](34) (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,a,b,-b) D
12 (12)[1](34)[1] (x
2
+ 1)
2
(0) E
3 (12)[2](34)[2] (x − 1)
2
(x + 1)
2
(a,-a,b,-b) D
8 ()(123) (x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
(a,a,a,b) F
+
24 ()[1](123)[1] (x
2
− x + 1)(x + 1)
2
(0) F
−
24 ()(123)[2] (x
2
+ x + 1)(x − 1)
2
(a,-a,a,b) F
+
8 ()[1](123)[3] (x
2
− x + 1)(x + 1)
2
(0) F
−
24 (1234)[1] x
4
+ 1 (0) G
24 (1234)[3] x
4
+ 1 (0) G
Vi noterar att det typiska egenrummet har dimension två och har ett ortogonalt
komplement längs vilken automorfismen roterar. Genom att istället betrakta egen-
rummet motsvarande egenvärde −1 betraktar vi rotationer samt spe glingar i origo
i egenrummet (eller vridningar ett halvt varv ). Geno m att göra den upp e nbara
substititionen x → −x kan vi reducera dessa fall till de redan kända.
Normat 2/2010 Ulf Persson. 85
Vi kan nu göra en tabell över de plan som uppkommer och dess ortogonala kom-
plement.
typ antal komplement
(a, a, b, b) 3 (a, −a, b, −b)
(a, a, b, −b) 6 (a, −a, b, b)
(a, −a, b, −b) 3 (a, a, b, b)
(a, a, a, b) 4 (a, b, −(a + b), 0)
(a, −a, a, b) 12 (a, a + b, b, 0)
(a, a, b, 0) 12 (a, −a, 0, b)
(a, −a, b, 0) 12 (a, a, 0, b)
(a, b, 0, 0) 6 (0, 0, a, b)
Vi upptäcker nu att det är fyra typer av plan.
Den första typen (I) (a, a, b, b) spännes av två ortogonala hörn ((1, 1, 1, 1), (1, 1, −1, −1))
eftersom det till varje hörn finns 6 ortogonala hörn, och varje plan kan spännas på
åtta olika sätt ([±v, ±w]) finner vi 16 × 6/8 = 12 olika så dana plan.
Den andra typen (II) (a, a, a, b) spä nnes av två icke ortogonala (men ej anti-
podala) hörn, och e ftersom varje plan nu ka n spännas på åtta olika sätt finner vi
16 × 8/8 = 16 sådana plan.
Den tredje typen (III) (a, a, b, 0) Dessa spännes av vektorer som motsvaras av
medelpunkterna till en kvadratisk sida och en avgränsande kant respektive. Vi
finner 24 × 2/2 = 24 sådana plan.
Och s lutligen den fjärde typen (IV) (a, b, 0, 0) Dessa spännes av medelpunkterna
till två icke antipoda kuber, Således 8 × 6/8 = 6 sådana plan.
Om vi istället v ill betrakta egenvärdet −1 får vi exakt samma plan, ty som vi
redan observerat varje plan med ege nvärdet 1 för A blir ett med egenvärdet −1 för
−A.
Till varje plan har vi ett ortogonalt plan. I fallet I är det av samma typ,
ty (a, a, b, b) 7→ (a, −a, b, −b). Samma fenomen inträffar i fallen III och IV via
(a, a, b, 0) 7→ (a, −a, 0, b) och (a, b, 0, 0) 7→ (0, 0, a, b), medan faller II ger upphov till
ett nytt sla gs pla n (IIa) givet av (a, a, a, b) 7→ (a, b, −(a + b), 0 ).
Varje plan ger en or togonal projektion på komplementplanet och vi k an sam-
manställa en tabell.
projektion projektionsformel
(a, a, b, b) 7→ (a, −a, b, −b) (x, y, z, w) 7→ (
x−y
2
,
y−x
2
,
z−w
2
,
w−z
2
)
(a, a, a, b) 7→ (a, b, −(a + b), 0) (x, y, z, w) 7→ (
2x−(y+z)
3
,
2x−(y+z)
3
,
2x−(y+z)
3
, 0)
(a, a, b, 0) 7→ (a, −a, 0, b) (x, y, z, w) 7→ (
x−y
2
,
y−x
2
, 0, w)
(a, b, 0, 0) 7→ (0, 0, a, b) (x, y, z, w) 7→ (0, 0, z, w)
Vi kan även välja lämpliga ortonorma baser för mål-planet och erhåller därmed
följande ortogonala projektioner.
plan bas projektionsformel
(a, −a, b, −b)
1
2
(1, − 1, 1, −1),
1
2
(−1, 1, 1, −1) (x, y, z, w) 7→ (
x−y+z −w
2
,
y−x+z −w
2
)
(a, b, −(a + b), 0)
1
√
6
(1, 1, −2, 0),
1
√
2
(1, − 1, 0, 0) (x, y, z, w) 7→ (
x+y−2z)
√
6
,
x−y)
√
2
)
(a, −a, 0, b)
1
√
3
(1, −1, 0, 1),
1
√
6
(1, − 1, 0, −2) (x, y, z, w) 7→ (
x−y+w
√
3
,
x−y−2w
√
6
)
(0, 0, a, b)
1
√
2
(0, 0, 1, 1),
1
√
2
(0, 0, 1, −1) (x, y, z, w) 7→ (
z+w
√
2
,
z−w
√
2
)
86 Ulf Persson. Normat 2/2010
Dessa ger upphov till följande projektioner av hyperkuben med rotationssymmetri.
Vi kan faktorisera x
4
+ 1 över de reella talen i kvadratisk a faktorer. Antingen
genom att faktorisera den i linjära faktorer över de komplexa talen och kombinera
konjugerade faktor e r, eller genom att observera följande lilla trick. x
4
+ 1 = (x
2
+
1)
2
−2x
2
vilket ger via konjugatregeln x
4
+ 1 = (x
2
+
√
2x + 1)(x
2
−
√
2x + 1). Vi
kan nu bestämma planen till respektive fak tor via villkoren
(x
2
±
√
2x + 1 )
a
b
c
d
= 0
eller mera explicit (i fallet (−1, 1, 1, 1)(1234))
−c
d
a
b
±
√
2
−b
c
d
a
+
a
b
c
d
= 0
Det ena planet ges således av
−c −
√
2b + a = 0
d +
√
2c + b = 0
medan det andra ortogonala planet ges av
−c +
√
2b + a = 0
d −
√
2c + b = 0
vilket ger basvektorer åt det första. Vi kan i själva verket skriva ner följa nde orto-
normerade bas
1
2
(1, −
√
2, −1, 0)
1
2
(1, 0, 1,
√
2)
1
2
(1,
√
2, −1, 0)
1
2
(1, 0, 1, −
√
2)
Där de två första utgör en bas för det första planet och de två sista det o rtogonala
planet. Givetvis kan vi se det hela s om en 4×4 ortog onal matris som överför planen
till paret (x, y, 0, 0), (0, 0, z, w).
Normat 2/2010 Ulf Persson. 87
Den ortogonala pr ojektionen längs det första planet på det andra g e s av
(x, y, z, w) 7→ (
1
2
x+
y
2
√
2
−
w
2
√
2
,
1
2
y+
x
2
√
2
−
z
2
√
2
,
1
2
z−
y
2
√
2
−
w
2
√
2
,
1
2
w−
x
2
√
2
−
z
2
√
2
)
utnyttjar vi den ortogonala basen för den senare får vi en enkel projektion
(x, y, z, w) 7→ (
x
2
+
y
√
2
−
z
2
,
x
2
+
w
√
2
+
z
2
)
Projicerar vi nu hyperkuben får vi följande vackra pro jektion med Z
8
rotationell
symmetri.
Givetvis fås en likadan projektion på det andra planet, och symmetrin be står i
att vrida va rje plan ett åttondels varv. Eller mera precist, eftersom spåret är noll,
ges avbildningen i basen ovan via
cos(
mπ
4
) −sin(
mπ
4
) 0 0
sin(
mπ
4
) cos(
mπ
4
) 0 0
0 0 cos(
nπ
4
) −sin(
nπ
4
)
0 0 sin(
nπ
4
) cos(
nπ
4
)
där m, n är udda heltal sådana att m + n = 8
Den fullständiga gruppen
Låt oss nu äve n betrakta ortogonala matriser med determinant −1. Dess karaktä-
ristiska ekvation har formen
x
4
− tx
3
+ sx
2
+ tx − 1 = 0
Vi finner speciellt att dessa utgör involutioner pr e c is när s = 0 och t = ±2. fallet t =
2 motsvarar reflektioner i ett hyperplan, medan fallet t = −2 motsvarar reflektioner
i en linje.
88 Ulf Persson. Normat 2/2010
Vi kan göra en uppdelning av de olika elementen e nligt följande.
antal type t s
4 ()()()()[1] 2 0
4 ()()()()[3] -2 0
8 (123)()[1] -1 0
24 (123)[1]() 1 0
24 (123)[2]()[1] -1 0
8 (123)[3]() 1 0
6 (1 234) 0 0
36 (1234)[2] 0 0
6 (1234)[4] 0 0
12 (12)(34)[1] 0 0
12 (12)[1](34)[2] 0 0
6 (12)()() 2 0
6 (12)[2]()() 2 0
6 (12)()()[2] -2 0
6 (12)[2]()()[2] -2 0
24 (12)[1 ]()()[1] 0 0
Dessa splittras upp på 9 olika konjugeringsklasser enligt följande.
antal typ karaktäristisk ekvation
4 [1] (x − 1)
3
(x + 1)
4 [3] (x − 1)(x + 1)
3
32 (123)()[1],(123)[2 ]()[1] (x
2
− 1)(x
2
+ x + 1)
32 (123)[1 ](),(12 3)[3]() (x
2
− 1)(x
2
− x + 1)
48 (1234),(1234)[2],(1234)[4] x
4
− 1
24 (12)(34)[1],(12 )[2](34)[1] x
4
− 1
12 (12),(12)[2] (x − 1)
3
(x + 1)
12 (12)()()[2],(12)[2]()()[2] (x − 1)(x + 1)
3
24 (12)[1]()()[1] x
4
− 1
Vi kan gör a en tabe ll över egenrummen till egenvärdet 1 och dess orto gonala kom-
plement.
Normat 2/2010 Ulf Persson. 89
typ egenrum antal komplement
()()()()[1] (a,b,c,0) 4 (0,0,0,a)
()()()()[3] (a,0,0,0) 4 (0,a,b,c)
(123)()[1] (a,a,a,0) 4 (a,b,-(a+b),c)
(123)[1]() (0,0,0,a) 4 (a,b,c,0)
(123)[2]()[1] (a,-a,a ,0) 12 (a,a+b,b,c)
(123)[3]() (0,0,0,a) 4 (a,b,c,0)
(1234) (a,a,a,a) 1 (a,b,c,-(a+b+c)
(1234)[2] (a,-a,a,a) 4 (a,a+b+c,b,c)
(1234)[4] (a,-a,a,-a) 3 (a,b,c,a+c-b)
(12)(34)[1] (a,a,0,0) 6 (a,-a,b,c)
(12)[1](34)[2] (0,0,a,-a) 6 (a,b,c,c)
(12)()() (a,a,b,c) 6 (a,-a,0,0)
(12)[2]()() (a,- a,b,c) 6 (a,a,0,0)
(12)()()[2] (a,a,0,0) 6 (a,-a,b,c)
(12)[2]()()[2] (a,-a,0,0) 6 (a,a,b,c)
(12)[1]()()[1] (0,0,0,a) 4 (a,b,c,0)
Vi kan dela upp dessa i typer.
Typ I) består av de 8 olika långa diagonalerna som sammanbinder antipoda
hörn. Den typiska avbildningen är (se sid ?)
(x, y, z, w) 7→ (
3x − (y + z + w)
4
,
3y − (x + z + w)
4
,
3z − (x + y + w)
4
,
3w − (x + y + z)
4
)
och med den ortonorma basen
1
2
(1, 1, −1, −1),
1
2
(1, −1, 1, −1),
1
2
(−1, 1, 1, −1) får vi
projektionen
(x, y, z, w) 7→
1
2
(x + y − (z + w), x + z − (y + w), y + z − (x + w))
Tag en av diagonalerna till den svarta oktahedern (illustre-
rad i vids tåned figur) som axel, och dess ortogonala pla n
(likaså utmärkt i figuren). Avbildningen av typ (1, 2, 3, 4) är
en spegling i planet följt av en rotation ett kvarts varv runt
axeln.
Typ II) består av diagonalerna som samma nbinder antipoda kanters mittpunk-
ter. Av dessa finner vi 16 o lika. Den typiska avbildningen ges av
(x, y, z, w) 7→ (
2x − (y + z)
3
,
2y − (x + z)
3
,
2z − (x + y)
3
, w)
och med den ortonorma basen
1
√
3
(1, −1, 0, 1),
1
√
3
(−1, 0, 1, 1),
1
√
3
(0, 1, −1, 1) får vi
projektionen
(x, y, z, w) 7→
1
√
3
(x − y + w, −x + z + w, y − z + w)
90 Ulf Persson. Normat 2/2010
En avbildning av typ (123 )()[1] fås genom att reflektera i
prismats mittplan och rotera ett tredjedels varv längs axeln.
Typ III) består av de korta diagonalerna som sammanbinder
antipoda kvadraters mittpunkter. Av dessa finner vi 12 olika
Den typiska avbildningen ges av
(x, y, z, w) 7→
1
√
2
(
x − y
2
,
y − x
2
, z, w)
och med den ortonorma basen
1
√
2
(0, 0, 1, 1),
1
√
2
(0, 0, 1, −1),
1
√
2
(1, −1, 0, 0) får vi
projektionen
(x, y, z, w) 7→
1
√
2
(
z + w
2
,
z − w
2
, x − y)
En avbildning av typ (12 )(24)[1] fås genom att spegla i mitt-
planet ortogonalt mot axeln och sedan rotera ett kvarts
varv. Men en avbildning av typ (12)()()[2] utgöres av en
sp e gling i mittpunkten och slutligen
Typ IV) bestå r av kanterna som sammanbinder kubernas mittpunkter, av dess
finner vi 4 olika. Den typiska avbildningen är
(x, y, z, w) 7→ (0, y, z, w)
och med den uppenbara ortonorma basen ge s projectionen av
(x, y, z, w) 7→ (y, z, w)
En avbildning av typ ()()()()[3] består av spegling i kubens
mittpunkt. En avbildning av typ (123)[1]() be står i speg-
ling i mittplanet till en rymddiagonal och rotationett sjät-
tedelsvarv. Samt en avbildning av typ (12)[1]()()[1] består
i sp e gling i ett plan genom origo parallellt med ett av si-
doplanen, samt rotation ett fjärdedelsvarv.
Uppenbarligen bevarar alla σ och ǫ med |ǫ| = 1 de två hyperoktahedrarna och
utgör elementen i gruppen G
0
av automorfismer som beva rar uppdelningen, och
inducerar en delgr upp av automorfismer på var och en av halvtessera kterna. Men
den inducerade är inte den fullständiga gruppen, som uppenbarligen är G, ty halv-
tesserakten vara nbdes dual till tesserakten har samma symmetrigrupp.
Reflektioner
Givet en vektor v inducerar den en reflektio n R
v
i hype rplanet ortogonalt mot v.
Det är l
¨
tt att inse att e n sådan g ives av x 7→ x−
2<x,v>
<v,v>
v. En reflektion har givetvis
determinant −1 och har två egenrum tillhörande 1 och −1 med dimensionerna 3
och 1 respektive. Givet två reflektioner R
v
, R
w
kommer produkten att vara en
Normat 2/2010 Ulf Persson. 91
avbildning med determinant 1. Det kommer även att ha ett egenrum tillhörande
egenvärdet 1 nämligen det orto gonala komplementet till rummet som spännes av
v, w och i icke-triviala fall av dimension två. På rummet som spännes av v, w
kommer det att verka som en rotation med vinkeln 2θ där cos θ =
<v,w>
√
<v,v>
√
<w ,w>
.
Speciellt om < v, w >= 0 kommer R
v
och R
w
att kommutera.
Genom att inspektera tabellen i föregående avsnitt finner vi att det endast exi-
sterar två typer av speglingar som bevarar tesserakten. D.v.s. hyperkuben har en
mycket begränsat antal symmetri(hyper)plan. Den första typen utgöres av ortogo-
nalkomplementen till vektorerna av typ (±1, 0, 0, 0). Upp till multiplikation med
−1 (speglingarna R
v
och R
−v
är identisk)finner v i fyra sådana. De motsvaras av de
fyra planen x
i
= 0 och speglingarna ges helt enkelt av (x, y, z, w) 7→ (−x, y, z, w).
Samtliga dessa speglingar är ortogonala mot varandra och kommuterar följak tlig e n.
De genere rar åtta olika element av jämnt antal faktorer , vilka utg ör diagonalgrup-
pen av ordning åtta. (Elementen som brukat betecknas med ǫ). Vi betecknar dessa
sp e glingar med e
i
.
Den andra typen utgöres av ortogonalkomplementen till de tolv vektorerna av
typ (±1, ±1, 0, 0). D.v.s. planen givna av x
i
= ±x
j
för i 6= j. Det finns två
type r av sådana vektorer, som vi betecknar med w
+
och w
−
respektive höran-
des till (1, 1, 0, 0) och (1, −1, 0, 0) respektive. Speglingarna ges av (x, y, z, w) 7→
(−y, −x, z, w) i det postiva fallet och (x, y, z, w) 7→ (y, x, z, w) i det negativa. (Des-
sa har tidigare betecknats med (12)[2] och (12) resp e ktive.).
Givet en vektor w = (1, 1, 0, 0) har den en naturlig dual w
′
= (1, −1, 0, 0) av mot-
satt tecken, och som är ortogona l. R
w
, R
w
′
kommutera r således. Vi kan även finna
två andra speglingar ortogonala mot w nämligen u = (0, 0, 1, 1) eller (0, 0, 1, −1)
(notera en positiv och en nega tiv). Produkterna wu (och ww
′
) kommer då att utgö-
ra involutioner. Vidare för de återstående åtta vektorerna u gäller att < w, u >= 1
(egentligen < w, u >= ±1 men vi betraktar bara vektorerna upp till tecken). Ef-
tersom < w, w >=< u, u >= 2 betyder detta att vinkeln θ = π/3 och wu har
ordning 3 med invers uw.
När det gäller w- vektorer och e-vektorer observerar vi att varje w är ortogonalt
mot två vektorer e, samt för de två återstående gäller < w, e >= 1 vilket innebär
att we har ordningen fyra.
Vi kan sammanfatta allt i följande tabell (som skall jä mföras med tabellen på
sidan (87)) och i vilken vi beteckningsmässigt identifierar R
v
med v. Denna tabell
låter oss identifiera den delmängd av SG som består av produkten av två speg lingar.
produkt < ∗, ∗ > egenrum typ konjugat
ee
′
0 (a,b,0,0) IV A
w
+
e 0 (a,a,b,0) III B
w
−
e 0 (a,-a,b,0) III B
we 1 (a,b,0 ,0) IV C
+
ww
′
0 (a,b,0,0) IV A
w
+
w
+
0 (a,a,b,b) I D
w
+
w
−
0 (a,a,b,-b) I D
w
−
w
−
0 (a,-a,b,-b) I D
w
1
w
2
1 (a+b,a,b,0) IIa F
+
92 Ulf Persson. Normat 2/2010
Notera att den tomma pr odukten ger identiteten I
+
medan e
1
e
2
e
3
e
4
= −1 d.v.s.
I
−
.
För a tt erhålla den totala gruppen som genereras av speglingar bö r vi även skriva
ner relationerna. Vi finner
ww
′
= ee
′
där < w, e >=< w
′
, e >=< w, e
′
>=< w
′
, e
′
>= 1 samt wew = e
′
om < w, e >= 1 och e
′
är den andra speglingen för vilket det gäller. Samt slutligen
att w
A
w
B
w
A
= w
A−B
där A, B betecknar vektorer av typ (1, 1, 0, 0), (1, 0 , −1, 0)
Involutionerna genererar gruppen. De fyra för sta uppenbarligen genererar hela
delgruppen av diagonalelementen ǫ.
