Normat 58:3, 109–122 (2010) 109
Om Christoffer Dybvad, hans Euklid kommen-
tar og undertrykt strid om cirkelkvadratur
Frank Bengtson
frank.bengtson@gmail.com
Christoffer Dybvad optræder i flere sammenhænge, han var den første danske
med en Euklid kommentar, han var blandt kritikerne af Longomontanus ind-
bildte cirkelkvadratur, han mente borgerne burde have flere privilegier og adelen
fratages privilegier, og er for nylig nomineret blandt danmarkshistoriens tolv størs-
te rebeller. Han endte som livstidsfange i Kalundborg, hvor han under lensmandens
opsyn skulle færdiggøre nogle matematiske skrifter, Chr.4. tidligere havde befalet
ham at skrive.
1 Christoffer Dybvad og omgivelser
Christoffer Jørgensen Dybvad (1577/78-1622) blev magister 1598, rejs-
te til Leiden om foråret og var indskrevet ved universitetet til 1605. Han blev
dr.med. med en tese i Caen 1601 med en del matematikpunkter.
1
Faderen Jørgen
Christoffersen Dybvad (?-1612) var prof. i matematik og senere teologi i
København, og udgav en af de første geometribøger i riget.
Christoffer har mange ref. til fægte- og regnemester Ludolph van Ceu-
len (1540-1610) prof. ved ingeniørskolen oprettet 1600 ved universitetet i Leiden
fra 1575.
2
Christoffer oversatte Simon Stevins (1548/49 - 1620) lille tekst om
decimalbrøker fra 1585 til en forkortet dansk Decarithmia trykt i Leiden 1602.
3
Stevin planlagde bl.a. undervisningen i anvendt naturvidenskab ved ingeniørsko-
len på det lokale sprog. Christoffer havde måske håbet, at denne udvikling også
var blevet kopieret i det danske rige.
4
Nederlandene adskilte sig fra de fleste andre
europæiske lande politisk og socialt ved at have et velhavende borgerskab med poli-
tisk indflydelse og magt. I Leiden udarbejdede Christoffer med tre assistenter en
kommentar til Euklids Elementer I-X på latin udgivet 1603-1605 med hovedvægt på
1
Tesen omtales hos [Ka]. Plakat med tesens otte punkter Bibliothèque nationale de France.
2
En ingeniør var dengang en militær, der stod for fæstningsbyggeri, konstruktion af krigsma-
teriel, o.l.
3
Stevins De Thiende 1585, nederlandsk, flamsk og La Disme 1585, fransk, Decarithmia og
Robert Nortons The art of tenths 1608 på www De Thiende. Om Stevins udgave fra C.B.
Boyer History of mathematics 1989 p. 353 ...the popularity of the book was such that its place
in the development of mathematics has been often misunderstood...
4
I 1829 oprettedes en ingeniørskole i København på initiativ af H.C. Ørsted (1777-1851).
110 Frank Bengtson Normat 3/2010
regning på geometri, som omtales senere.
5
Christoffer søgte forgæves at etable-
re en klient/patron relation ved dedikationer i Decarithmia, i Euklid kommentaren
og til prof. ved universitetet i København med et mindre matematisk skrift 1606.
Christoffer opholdt sig ved flere europæiske universiteter, f.eks. 1608 i Gießen,
som kvæstor Orleans 1608 og 1611 i Padua.
Kansler fra 1596 Christian Friis t. Borreby (1556-1616) insisterede på at op-
rette et ekstraordinært prof. til Christen Sørensen Lomborg (1562-1647) eller
Longomontanus 1605 ved at lønne ham med egne midler med tilskud fra uni-
versitetet ([FJ4] s. 310). Jørgen Dybvad blev afsat 1607 for at kritisere politiske
forhold i offentlige teser. Lomborg var med til at steffne - stævne, forhøre - Jør-
gen Dybvad for konsistorium.
6
Efter Jørgen Dybvads afsættelse og tilhørende
rokader rykkede Lomborg til prof. i astro./mat. Longomontanus forfattede bl.a.
almanakker og sit første cirkelkvadratur Cyclometria ex Lunulis reciproce... 1612
dedikeret Chr.4. og kansleren. I 1622 udsendte Longomontanus Astronomia Da-
nica, en samlet fremstilling af astronomien med genoptryk 1640. Longomontanus
havde været Brahes assistent på Hven fra 1589, og tegnede i 40 år astronomien
ved Københavns Universitet. Lomborg er også kendt for sin beregning af året for
verdens skabelse til 3967 fvt.
7
Christoffers Euklid kommentar indeholder bl.a. van Ceulens og tidens
bedste bud på π med 31 decimaler (Ludolphinske tal) beregnet fra ind- og om-
skrevne regulære n-kanter for cirkler. En omskreven 256-kant beregnet med seks
betydende cifre forkaster Lomborgs bud, og John Pell (1611-1685) leverede en
tilsvarende tangens beregning 1644 (s. 120). Longomontanus omtales som regne-
mester hos Brahe, så det virker uforklarligt, at han ikke har regnet på udtrykkene
i Euklid kommentaren eller andre beregninger, der var kendte i riget.
I Biblioteca Danica i afsn. Circlens Rectification og Qvadratur, saavel den indbild-
te som den virkelig tilnærmede, er første titel Finckes Geometria rotundi 1588.
8
Der følger tolv skrifter om kvadratur af Longomontanus fra 1612 til 1644, der
1644 tilbageviser Scaligers indbildte værdi fra 1594 med sin egen indbildte, se
f.eks. [KS].
Thomas Fincke (1561-1656) gør i et brev til kansler Friis t. Borreby okt.
1612 opmærksom på, at Longomontanus bud på π er åbenlyst forkert, brevet om-
tales s. 120. Fincke pegede bl.a. på, at han var kollega og i familie med Lomborg
en anden af kanslerens klienter. Med brevet tilkendegav Fincke, at han rettede
ind efter kanslerens vurdering af sagen. Fincke kunne også have udtrykt sin kritik
ved en offentlig tese, eller med et appendiks til sine mange skrifter og teser. Kans-
leren har formentlig haft meget at se til under Kalmarkrigen 1611-13. Lomborg
tildeltes vikarie og præbende i Lund 1613, så styret har åbenbart vurderet, at hans
kvadratur kastede glans over majestæten og hans rige.
5
Med dedikationer til Chr.4., kansler Friis, James 1. af England og Henry, prins af Wales.
6
Adelige Jens Bjelke sekretær i kancelliet var anklager og Lomborg og Stephensen afhørte,
alle tre var kanslerens klienter. Hans Stephensen (1561-1625). J.F.C. Danneskiold-Samsøe
Muses and Patrons, Lunds Universitet, Ugglan, Minervaserien 10, 2004, p. 172, [FR1] s. 126 f.
7
Skabelsesåret optrådte i universitetets almanak til 1911 efter krav fra kirkeministeriet, der
åbenbart herefter mistede indflydelse.
8
Fra intro. [JS] ... a famous book on plane and spherical trigonometry, based not on Euclid
but on Petrus Ramus. In this influentual work, in which Fincke introduced the terms tangent
and secant....
Normat 3/2010 Frank Bengtson 111
Christoffer anbefalede sig igen 1612-13 til universitetet, konsistorium disku-
terede sagen, men han afvistes formentlig pga. kanslerens manglende støtte ([FR1]
s. 220-230). I andre lande blev Longomontanus kvadratur tolket som udtryk for
matematisk viden i det danske rige (f.eks. [KS] s. 17). Et af de senere anklagepunk-
ter mod Christoffer var hans kritik af kansler Friis t. Borreby, der også kunne
have omfattet kanslerens behandling af denne sag.
Fincke så måske på cirkeludmålinger i Appendix de Canonis triangulorum usu
etiam in Cyclometricis 1627 [JS] p. 95, findes dette skrift? I et senere afsnit gæt-
tes på de kanoniske trekanter. Longomontanus offentliggjorde også skrifter om
kvadraturet 1627-28, så der har måske været diskussioner på dette tidspunkt.
Kvadraturet var et af de store uløste matematiske problemer, og mange gav sig
i kast med den umulige løsning. Joseph Scaliger (1540-1609) prof. i Leiden fra
1590 mente i 1594 ved filologiske studier at have bestemt π til
√
10. ...He laughed
away the objections of the mathematician Ludolf van Ceulen- who was well versed
in questions of circle quadratur- on the grounds that a fencing master should not
deem himself competent to correct a scholar. And when Rudolf Snellius, professor
of mathematics, tried to convince Scaliger of his error, Scaliger replied: "‘You ass.
Why should I calculate in the same way as you?"’....
9
Christian Friis (1581-1639) t. Kragerup blev kansler 1616, og Christoffer
blev marts 1618 ...Kongens Mathematicus og i den Stilling skal forholde sig flittigt
og modeste med Skriven, paa et Kannikedømme og et Vikarie i Lund. Der kendes
to skrifter Geometria Dybvadii msc. og Elementa rei numariæ msc., der gik til ved
universitetsbibliotekets brand 1728. Tronfølgeren prins Christian (1603-1647) af-
leverede bl.a. det første til biblioteket 1644.
10
Der nævnes også et manuskript De
mensuris et ponderibus, tam medicis quam civilibus, måske fra Stevins De Beghin-
selen der Weeghconst 1586, supp. De Weeghdaet, anerkendt af Thomas Bartho-
lin og påtænkt udgivet af Rasmus Bartholin, faderen Caspar B. (1585-1629)
omtalte Christoffer som en dygtig matematiker.
Et større pestudbrud bredte sig fra Bergen til området omk. Øresund 1618-
19, og var formentlig årsagen til, at Christoffer rejste fra Lund oktober 1618 og
logerede på Fyn fra november 1618 til april 1619. I Christoffers almanak 1618-20
ref. til underretninger fra Nederlandene (Grotius, Oldenbarnevelt) indskrevet
10.marts 1619 (20.marts Greg. kal.), samt et notat Odense, 9.april 1619 "‘Bestilte
jeg med den hamborger bud min Cyclometrica contra Longomontanum..."’. Der
ser ikke ud til at være spor af en cyclometri fra Christoffer. Det kunne være
Ludolph van Ceulen en Willebrord Snellius De circulo et adscriptis liber,
1619, men der fandtes mange tekster med majoranter for π.
Christoffer blev formentlig frustreret, og så årsagen i adelens privilegier. I
almanakken 1618-20 findes mange notater om lån og gældsbreve. I politiske skrifter
af Jean Bodin (1529/30-1596) fandt han begrundelser for monarkens absolutte
magt eller enevælde som statsform, se f.eks. Christoffer Dybvad som politisk kritiker
9
Rienk Vermij The Calvinist Copernicans. The reception of the new astronomy in the Dutch
Republic 1577-1750. History of Science ond Scholarship in the Netherlands, vol. I, p. 20.
10
[FR1] s. 231. Måske pga. Torstenssonkrigen 1643-45. Det/de kunne have været til undervis-
ning af prinsen, stamme fra biblioteket på Nykøbing Slot eller fra prinsens bekendtskab med Anne
Lykke (1595-1641), der var gift med lensmanden på Kalundborg Slot Cai Rantzau (1591-1623),
der fik slottet i ny forlening 1620. Rantzau blev 1621 generalkrigskommissær ved tropperne i
Holsten.
112 Frank Bengtson Normat 3/2010
[FJ6] s. 86 samt [FJ4] og [FJ5]. Christoffer havde hellere set sig som kongelig
råd end som kannik.
Christoffer udtrykte højlydt sine revolutionære tanker om rigets styre ved
selskaber hos lensmand og bisp i Bergen dec. 1619-1620. Bergen var blandt rigets
største byer og præget af foretagsomme indvandrede borgere, der kontrollerede
skatteregnskaber og levede efter egne normer, så lensmand og bisp havde formentlig
behov for at vise duelighed.
11
Iflg. et notat i almanakken 6.feb. 1620 formulerede
bispen fem hovedpunkter af Christoffers ytringer under overværelse af et vidne,
så det er formentlig via bispen, at Christoffers kritik når styret. Lensmanden
beordres samle vidnesbyrd under overværelse af Christoffer, men da han er rejst,
optages vidnesbyrd uden.
Bispens vidneudsagn med 18 punkter spænder vidt. Der var Christoffers
håndfaste forslag til afskaffelse af adelsvældet, 10.punkt ...det kunne ikke koste
mere end to læster blod, thi der findes i Danmark kun 800 adelige, som har nogen
betydning....
12
, og 11.punkt ...Dr. Petrus Adolphus, medicus, gik ud af kirken og
gjorde sin tilbørlige reverents for slotsherren: Ey, sagde han, det skulle dr. Petrus
ikke have gjort, fordi de blive ikkun storagtige deraf, [FR1] s. 244-246. Pkt.10 findes
kun ref. i bispens vidnesbyrd, og afvises senere af Christoffer. Borgermester
Søfrensen beklagede, at Christoffer brugte fremmede tungemål, men han kan
bekræfte en del af bispens vidnesbyrd.
Vidnesbyrdene kommer til København juli/august. Christoffer er iflg. alma-
nakken optaget af dagligdags gøremål, sidste notat er fra Lund 28.august 1620,
herefter bliver han fængslet og afhørt. Blandt hans private papirer findes flere po-
litiske skrifter, småskrifter krydret med seksuelle motiver, hvoraf flere latterliggør
den lutherske ortodoksi ([FJ5] s. 93 med ref.).
Styret havde formentlig også brug for at vise, det ikke tålte kritik og specielt ikke
fra endnu en Dybvad. Sagen indledtes med et åbent Brev fra Kancelliet 22.okt.
1620, hvori kongen gav udtryk for, at han ikke kunne undlade at straffe Chris-
toffer, for de ubeskedenheder han har begået. På kongens vegne er en sekretær
fra kancelliet anklager, og da Christoffer havde gejstlige/akademiske privilegier
beordrede styret konsistorium/rektor afgive dom i sagen.
De højlærde i København behandlede sagen 3.nov.-22.dec. 1620. Flere så blas-
femi anklagerne som de alvorligste, medens andre gav udtryk for, at sagen var af
politisk art, da der ikke kunne peges på, hvilke love der var overtrådt. 22.dec. mødte
anklagede, anklager og konsistorium; anklageren begærede dom i sagen, og Chris-
toffer svarede, at ... handd icke viste, hvor udi eller huor mett hand haffde saa
forseett sig, at nogen domb burde att gaa hannem imod, besønderligen effterdi att
de schrifftelige concepter, som stødis paa, ere ickun "’scripta quædam immatura"’.
Christoffer påpegede, at skrifterne ikke havde været offentliggjort, men ankla-
geren svarede, at det ingen forskel gjorde. Dommen var exutus omnibus privilegiis
Academics, "‘oc dimmiteris"’ ex ordine nostro cum ignominia og stilles udi Kong.
Maitt
ts
, som en Kristelig Øffrigheds, naade og unaade.
Sagen endte hos kongen igen, og ...skønt Kongen havde haft god grund til at lade
Dybvad rette på hans liv, blev hans straf af kongelig mildhed formildet til fængsel...og
11
Bisp i Bjørgvin bispedømme fra 1616 Niels Paaske (1568-1636) var i Leiden 1597-98, og må
have kendt Christoffer derfra. Hos Arkivverket Bergen findes ikke spor af brevveksling Paaske
om/til/fra Longomontanus eller Christoffer.
12
1 læst sild ∼ 12 sildetønder ∼ 1670 liter, faste varer: 1 læst korn ∼ 22 tønder korn.
Normat 3/2010 Frank Bengtson 113
lade ham forvare deri som en fange. Kongen bestemte senere, at Christoffer
måtte have sine bøger, lys og varme i cellen, ...da Kongen vil, at han skal skri-
ve det færdigt i Mathematiken, som Kongen tidligere har befalet ham at skrive.
13
Christoffer omkom 1622 som fange på Kalundborg Slot ved en kulilteulykke.
Rigsrådet fungerede som formynderregering indtil Chr.4. kronedes 1596. Chri-
stoffer fandt den lutherske ortodoksi for streng, men har næppe kendt til de reelle
magtforhold. Fra Magtstat og godsdrift: det danske ressourcesystem 1630-1730 af
E. Ladewig Petersen s. 314-15
Den religiøse ensretning nåede vore breddegrader allerede 1596 med
udnævnelsen af Christian Friis t. Borreby til kansler og Hans Povelsen
Resens magtfulde position på universitetet og siden Københavns bispe-
stol, og Christian IV - der vedgik, at han ikke forstod sig på "‘slige
subtile sager"’ - fulgte bare med. ...
Magtstatens tilblivelse faldt samtidigt. Majestætens oprustning og
kumulative afpresning af skattebevillinger fra rigsrådet - endda på det
forfatningsmæssige overdrev - og hans dumdristige intervension i Tre-
diveårskrigen havde stået på siden 1596, men endte i katastrofen 1627-
29 og landets totalt ændrede sikkerhedssituation overfor den svenske
militære perpetuum mobile.
Iflg. et notat i almanakken lånte Christoffer 16.august 1618 200 rigx daler (300
daler) mod gældsbrev af badskærer Blasius Møller udi Vimmelskaftet. Gælds-
brevet ser ud til at være overdraget rådmand/købmand Jens Bertelsen Vejle.
Efter Christoffers død skriver Bertelsen til kongen, og beder om dækning i
Christoffers bibliotek og løsøre. En del bøger er havnet i skandinaviske og nord-
tyske biblioteker. Bertelsen var i besiddelse af Christoffers købebrev på en
anpart i en have Nørre Stenbro og en humlegård under Højbred(?).
14
21.okt. 1618
noteredes Drog Jeg til Alse ath handle med Hertug Hans om 2000 daler ath lone
paa 3 aars tid.
Hans Willumsen Lauremberg (1590-1658) prof. i matematik (intro. loga-
ritmer) fra 1623 ved det nyoprettede adelige Sorø Akademi havde omk. 1630 en
årsløn på 300 daler, mens berideren ved akademiet opretholdt en løn på 800 daler,
[Kr] s. 274. Lauremberg klagede over sin økonomi og de adelige elevers mang-
lende interesse for hans fag.
Jørgen Fuiren (1581-1628) medforfatter til Euklid kommentaren, kom fra en
meget velhavende købmandsfamilie indvandret fra Tyskland, og var 1613 blevet
gift med Finckes datter Margrethe.
15 16
Fra Ladewig Petersen Fra stands-
samfund til rangssamfund 1500-1700, Dansk social historie 3, s. 379
Københavns storkøbmænd og akademikere dominerer, købmænd som
Hans Hagensen, Blasius Møller og Margrethe Rosenmeyers og blandt
13
Af Lensregnskabet fremgår Meßingstager.... j, j ∼ jen ∼ 1, Kornerup 1957-59.
14
John T. Lauridsen Krig, Købmænd og kongemagt- og andre 1600-tals studier Museum Tus-
culanum Press 1999, s. 81-83. Om Christoffers bogsamling s. 82f.
15
Finckes ældste datter Anne var gift med Caspar Bartholin, og hans søster var gift med
Longomontanus. Billeder og familietræer Ejvind Slottved & Ditlev Tamm. The University
of Copenhagen. Copenhagen 2009. E-book.
16
1617 stødte Fincke og Resen sammen i konsistorium. Fincke skyldte biskop Winstrups
enke 2000 rdl. Resen havde overtaget Winstrups embede og ægtet enken, han krævede nu lånet
tilbage på enkens vegne... [FJ4] s. 110.
114 Frank Bengtson Normat 3/2010
"‘de højlærde"’ naturforskeren og universitetspolitikeren Thomas Fincke
samt familien Fuiren, som binder de to grupper sammen. 1638 regist-
reres professorkollegiet for formuer på 207.600 rd., Fincke og Henrik
Fuiren for henholdsvis 35.000 rd. og 57.500 rd. 1657 tegner familien
Fuiren-Fincke sig for 187.000 rd., medens skiftet efter lægen og old-
forskeren Ole Worm, som i 1638 havde haft en formue på 6.000 rd.,
opregner udestående fordringer på 32.800 rd., heraf 85% anbragt hos
adelige. Tilsammen besad disse universitetsklaner, nært knyttet til det
københavnske erhvervsliv ved familiebånd og pengeinteresser, i 1657
formuer på næsten
1
2
mill. rd.
2 Christoffers Euklid kommentar 1603-5
Kommentaren demonstreres med linjer og tal, 200 sider er med linjer og 260 med
tal (Numeralis), så det handlede mest om regning på geometriske størrelser.
17
Van
Ceulen var kendt/berygtet for at regne med linjer som med tal.
Kommentaren var anbefalet til medicinstudiet i København af Caspar Bartho-
lin i De studio Medico fra 1626, [FJ4] s. 305-307
Aritmetikken skulle lægen beherske for at kunne beregne de kritis-
ke dage og for at kunne analysere sammensatte medikamenter. Også
geometrien måtte studeres, dog ikke ved hjælp af lærebøger der var
alt for omstændelige, og således ikke havde, som den rigtige læge måtte
have, blik for hele naturen. Den bedste lærebog var efter Bartholins me-
ning Christoffer Dybvads euklidiske geometri fra 1603, men den kunne
man desværre ikke få fat i mere, skriver han.
...Bogen er meget typisk for periodens Euklidudgaver, da antallet af definitioner,
postulater og aksiomer følger det gængse i datidens udgaver... Eva Lundbek Han-
sen.
18
Fra [Ka] p.86
...wurde seiner aus vier Teilen bestehenden Euklid-Bearbeitung von
Mathemaikhistorikern bisher zu Recht fast keine Aufmerksamkeit geschenkt,
da sie an sich völlig bedeutungslos ist und offensichtlich kaum etwas Ne-
ues bringt. Zum teil werden willkürliche und nichtssagende Zahlenbeis-
piele zu Euklids Sätzen gebracht, zum Teil werden die sätze des griechis-
chen Mathematikers widergekäut und kommentiert - was in zahlreichen
anderen zeitgenössischen Euklid-Ausgaben viel besser geschieht.
Der findes også ref. til Euklid kommentaren.
19
17
X kan kan ses på books.google.com C. Dibvadii in arithmeticam irrationalivm Evclidis de-
cimo Elementorum libro comprehensam demonstratio linealis & numeralis.
18
Geometrien i Danmark før 1800, Specialeopgave ved Institut for de Eksakte videnskabers
Historie. Aarhus Universitet (1998).
19
The Correspondence of John Wallis, John Wallis, Philip Beeley, Christoph. J. Scriba, Uwe
Mayer, Oxford Univ. Press 2008, s. 314, Collins to Wallis [c. 10/20 February 1666/7]
Normat 3/2010 Frank Bengtson 115
...1649 I asked Mr Foster what Authors he would advise unto; he
replyed that the Algebra of Scheubelius (out of which Mr Bunning hath
taken some of his Notes), Stifelius, Clavius, Dybuadius, Stevin, did fully
handle the Surds, and Euclids irrationall lines, that Harriot, Harigon,
Descartes & Ghetaldus, sufficently the Specious and Exegetic part,...
Kommentarens fire bind har 460 sider, og findes i flere europæiske biblioteker. Kom-
mentaren til de første ni elementer er på 260 sider og formentlig specielt tilpasset
medicinstudiet. Som det siges i vurderingen [Ka], har kommentaren ikke sat sig
varige spor, men har i bedste fald været et bidrag til anvendt geometri.
Van Ceulen kunne have støttet projektet for at få offentliggjort sine kvadratur-
beregninger, men det handler kun om fire sider. De tre medforfattere var Jørgen
Fuiren mediciner og botaniker, Pieter Corneliszoon Hooft (1581-1647) his-
toriker og forfatter og mag. Hans Birch eller Ioannes Birkittus (?). Fuiren og
Hoofts velhavende og indflydelsesrige familer kan have været en del af projektet.
P.C. Hoofts fader var Amsterdams borgmester. P.C. Hooft havde beregnet π
med 31 decimaler efter van Ceulens metode.
20
Hans Birch var 1593 i Leiden
og træffes senere som vejleder for unge adelsmænd.
Beregninger bruges til at sige noget om geometriske størrelser, en analytisk me-
tode med brug af minoranter og majoranter. I kommentaren bog IV Numeralis er
på side 37 sætning 6 I en given cirkel at indskrive et kvadrat og sætning 7 Om
en given cirkel at omskrive et kvadrat, fra p. 38-39, [Ka] p. 110:
Ordo Laterum ordinatarum figurarum Circulo inscriptarum, & à Quadra-
to incipientium, hic est.
Quadrati inscripti latus est
√
2.
VIII goni est
√
.2 −
√
2
XVI goni est
√
.2 −
√
.2 +
√
2
XXXII goni est
√
.2 −
√
.2 +
√
.2 +
√
2.
Circumscriptarum figurarum latera à Quadrato incipientia.
IV goni est 2
VIII goni est
√
8 − 2
XVI goni est
√
.16 +
√
128 −
√
8 + 2.
Ex Ludolpho XXXII goni est
√
.32 +
√
521 +
√
.128 +
√
1605632 −
√
.16 +
√
128 +
√
8 + 2
Den omskrevne XVI goni skal læses som
p
16 +
√
128−
√
8−2. Ludolphos XXXII
goni skal være
q
32 +
√
512 +
p
1280 +
√
1605632 −
p
16 +
√
128 −
√
8 − 2.
21
Van Ceulens minus vero og majus vero for π med 31 decimaler er indsat
(Euklid sætning 8 og 9 springes over), på samme sider nævnes Viètes 9/5 +
20
I De Briefwisseling van Pieter Corneliszoon Hooft Deel I. 1599-1630 findes ikke korrespon-
dance med Christoffer.
21
Findes Ludolph van Ceulen en Willebrord Snellius Fundamenta arithmetica et geome-
trica... 1615, http://www.ludolphvanceulen.nl/site/bibliografie.php p. 244. Der omskrives
til S
16
= 2
√
2
p
2 +
√
2 −
√
2(2 +
√
2), S
32
= 2
√
2
p
2 +
√
2
q
2 +
p
2 +
√
2 −
√
2
p
2 +
√
2(2 +
p
2 +
√
2), se s. 118.
116 Frank Bengtson Normat 3/2010
p
9/5 og Scaligers
√
10. Der findes eks. på beregning af kantlængder for ind- og
omskrevne regulære 2
30
-kanter, og en mino- og majorant for π er beregnet med 24
cifre efter udtrykket nedenfor, se evt. (3) s. 118, med 30 rodudtryk i alle led
√
.2 −
√
.2 +
√
.2 +
√
.2 + ··· +
√
2 og
√
.2 −
√
.2 +
√
.2 +
√
.2 + ··· +
√
2
√
.2+
√
.2+
√
.2+
√
.2+···+
√
2
2
.
2.1 Omkreds af ind- og omskrevne regulære 2
n
-polygoner til cirkler
Her ses kort på nævnte polygoner med kantlængder s
n
og S
n
til en enhedscirkel.
Til s
n
og S
n
knyttes vinklen 2v, dvs. 2v = (2π)/n eller 2v = 360
◦
/n. Når antal
kanter fordobles, halveres vinklerne.
R
R
6 SS
12
12
O
R
Figur 1 : Omkreds O og areal A. For regulære polygoner er A =
1
2
rO, hvor r er radius
i den indskrevne cirkel. Oplagt for cirkler? Hvis cirklen deles i et lige antal lige store
stykker flere og flere gange, og stykkerne placeres som vist, vil arealet, aftagende
gennem større værdier, nærme sig et rektangel med højde radius R og sidelængde
1
2
O , dvs. A =
1
2
RO. Relationen mellem cirkelomkreds og -areal har været kendt før
Arkimedes, men han beviste den. Resultatet var kendt i middelalderens Europa.
s
n
er mindre end længden af cirkelbuen. Der kunne måske være tvivl om, at
længden af cirkelbuen er mindre end længden af S
n
. Ellers ses på de tilhøren-
de arealer og sammenhængen mellem cirkelomkreds og -areal, se Fig. 2.1. For en
enhedscirkel er
1
2
× 1 × O(cirk) = A(cirk) < A(omsk. n-kant) = n
1
2
× 1 × S
n
, dvs. O(cirk) < nS
n
.
Linjestykket svarende til S
n
kan geometrisk konstrueres ud fra skæringspunkter
mellem en cirkeltangent og en vinkelhalveringslinje, linjestykket s
n
konstrueres fra
skæringspunkter mellem vinkelhalveringslinje og cirkel.
Begyndelsesværdierne er s
4
=
√
2 og S
4
= 2.
Værdien af π ligger mellem
(n/2)s
n
< π < (n/2)S
n
.
Med nutidens betegnelser er
s
n
= 2 sin(π/n), S
n
= 2 tan(π/n).
v
v
S
s
4
4
r=1
Beregning af s
n
og S
n
hænger sammen med beregning af visse værdier af sinus
og tangens, som det også handlede om. Med rimelige sinus og tangens tabeller kan
Normat 3/2010 Frank Bengtson 117
approksimationer til π også beregnes ved multiplikation af et meget stort og meget
lille positivt tal. Det var netop, hvad man havde været og var skeptiske overfor.
Longomontanus skulle have bemærket, at man ikke kunne summere et stort
antal små stykker, og at trigonometriske tabeller var for unøjagtige.
v/2
r=1
v
v
v
a
z
s -4s +s =0
a=s /2
z=s /2
af retvinklede trekanter
4
2n
2
2n
2
n
2
n
2
2n
v/2
sS
nn
s
2n
S
2n
S
S
8
16
v/2
v
v
z
r=1 z=S S /4
af trekant D
D
S S +8S -4S =0
2n n
n 2n 2n n
2
Figur 2 : Ind- og omskrevne polygoner til enhedscirkel med fordobling af antal sider.
Man finder
s
2n
=
q
2 −
p
4 − s
2
n
,
S
n
=
2s
n
2 − s
2
2n
=
2s
n
p
4 − s
2
n
,
S
2n
=
2
p
4 + S
2
n
− 4
S
n
,
og med S
n
= 2 tan(2v) og S
2n
= 2 tan(v) får man tan(2v) =
2 tan(v)
1−(tan(v))
2
og tilsva-
rende sin(2v) = 2 sin(v) cos(v).
Man har nu generelt
s
2
n+1
=
r
2 −
q
4 − s
2
2
n
= 2 sin(π/2
n+1
) < 2π/2
n+1
= π/2
n
,(1)
S
2
n+1
=
2s
2
n
2 +
p
4 − s
2
2
n
= 2
s
2
2
n+1
s
2
n
= 2 tan(π/2
n+1
) > 2π/2
n+1
= π/2
n
,(2)
118 Frank Bengtson Normat 3/2010
og heraf 2
n
s
2
n+1
< π < 2
n
S
2
n+1
, (2
n
(S
2
n+1
− s
2
n+1
) < 2π(1 − cos(π/2
n+1
))).
s
2
3
= s
8
=
r
2 −
q
4 − s
2
4
=
q
2 −
√
4 − 2 =
q
2 −
√
2
s
2
4
= s
16
=
r
2 −
q
4 − s
2
8
=
r
2 −
q
2 +
√
2 =
√
.2 −
√
.2 +
√
2.
S
2
3
= S
8
=
2
√
2−
√
4−2
√
2+
√
4−2
=
2
√
2−
√
2
√
2+
√
2
= 2
q
3 − 2
√
2 = 2
√
2 − 2 =
√
8 − 2,
S
2
4
= S
16
=
2
p
2−
√
2+
√
2
p
2+
√
2+
√
2
=
2(
√
.2−
√
.2+
√
2)
√
.2+
√
.2+
√
2
=
q
16 +
√
128 − (
√
8 + 2),
den sidste est netop en side i en omskreven XVI goni.
Fra Vanden Circkel, transcriptie p. 41
...om den Circkel door den Gulden reghel alsoo: Perpendiculum
p
2+
√
2+
√
2
2
teghen Syde
q
2 −
p
2 +
√
2. Alsoo: Perpendiculum 1 teghen een syde
des buytensten 16 houcx.
Van Ceulens løsninger til rekursionsligningerne var en regneteknisk forbedring
eller forenkling, som han 1586 havde fundet durch Gottes Gnade og med hjælp fra
lokale videnskabsfolk [Ka] p. 112-13.
Af udtrykkene for s
2
n
ses
s
8
= s
4
1
√
2+
√
2
=
√
2
1
√
2+
√
2
,
s
16
= s
8
1
p
2+
√
2+
√
2
=
√
2
1
√
2+
√
2
1
p
2+
√
2+
√
2
, ···
og heraf François Viètes (1540-1603) uendelige voksende (minor) produkt ap-
proksimation for π formuleret for
2
π
fra 1593,
2
π
<
2
2
2
s
8
=
√
2
2
√
2+
√
2
2
, ···
2
π
←
n kvadratrødder
√
2
2
√
2+
√
2
2
···
z }| {
p
2+
√
2+···+
√
2
2
| {z }
n faktorer
for n → ∞.
For omskrevne polygoner
S
8
= S
4
√
2
2+
√
2
, S
16
= S
8
√
2+
√
2
2+
√
2+
√
2
, S
32
= S
16
p
2+
√
2+
√
2
2+
p
2+
√
2+
√
2
, ··· .
For mino- og majoranter findes i Euklid kommentaren i form af eks., alle sammen-
satte rodudtryk med n rødder
2
n
r
2 −
q
2 + ··· +
√
2 < π < 2
n
2
p
2−
√
2+···+
√
2
p
2+
√
2+···+
√
2
,(3)
Normat 3/2010 Frank Bengtson 119
men det er Viètes udtryk, der omtales mange steder.
For at slippe af med rødderne formulerede van Ceulen i Vanden Circkel
22
sammenhængen ved ligninger. F.eks. får man med nutidig notation ved at kvadrere
x = s
16
=
r
2 −
q
2 +
√
2 er en løsning til x
8
− 8x
6
+ 20x
4
− 16x
2
+ 2 = 0.
Man skal kun regne på en 256-kant af van Ceulens regulære omskrevne poly-
goner afsn. 2.1 s. 116 for at vise, at Longomontanus værdi (78/43)
√
3 ≈ 3.14186
er for stor. Den halve omskrevne omkreds er
128S
2
8
= 128S
256
= 128
2
v
u
u
t
2−
s
2+
r
2+
q
2+
p
2+
√
2+
√
2
v
u
u
t
2+
s
2+
r
2+
q
2+
p
2+
√
2+
√
2
≈ 3.14175
Denne majorant har været kendt i Europa fra Christoffers Euklid kommentar
1605, van Ceulens og Snells Fundamenta arithmetica et geometrica... 1615, De
Circulo... 1619 og mange andre steder. Longomontanus må også have kunnet
beregne værdien.
1600-tallets tids- og udholdenhedskrævende beregninger er blevet let håndterba-
re med matematikprogrammer. Med f.eks. GeoGebra kan konstruktion og beregning
af en tilsvarende majorant laves uden kendskab til eller anvendelse af trigonome-
tri eller rodberegninger. F.eks. kan længden af
1
2
S
256
svarende til v = 180
◦
/2
8
=
0.703125
◦
= 0
◦
42
0
11
00
15
000
findes ved vinkelhalvering og ganges med 128 × 2 = 256.
2.2 Finckes kritik
Longomontanus kom til Prag sommeren 1600 med Brahes sidste instrumenter,
hvor han arbejdede på Brahes forbedrede måneteori og gjorde måneobservationer.
Han så måske en sammenhæng mellem geometriske og astronomiske måner, selvom
han senere fandt samme bud på π med andre argumenter [KS].
22
The "‘Vanden circkel"’ consists of four sections. The first contains the computation of π. The
second shows how to compute the sides of regular polygons of any number of sides, which in
modern terms amounts to the expression of sin(nA) in terms of sin(A) (n an integer). The third
section contains tables of sines up to a radius of 10
7
(not an original achievement), and the fourth
has tables of interest. The first and second sections are the most original; they contain not only
the best approximation of π reached at that time but also shows Van Ceulen to be as expert
in trigonometry as his contemporary Viète. In 1595 the two men competed in the solution of a
forty-fifth degree equation proposed by van Roomen in his "‘Ideae mathematicae"’ (1593) and
recognised its relation to the expression of sin(45A) in terms of sin(A).
D.J. Struik Biography in Dictionary of Scientific Biography, New York 1970-1990.
Willebrord Snell (1580-1626) samlede Van Ceulens Vanden Circkel 1596 og indholdet af De
Arithmetische en Geometrische Fondamenten, Leyden 1615 (samlet og udgivet af hans enke), og
oversatte til latin i Fundamenta arithmetica et geometrica... 1615 og De circulo & adscriptis liber,
Leyden 1619 http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/circkel.pdf. W. Snell efterfulgte
1613 sin fader Rudolph S. som prof. i matematik i Leiden. W. Snell har 1617 et tillæg til
en geometri af Johan Philip Lansberge (1561-1632) fra 1604 en tabel med 46 nestede rødder
√
2,
p
2 +
√
2, . . . med 54-55 decimaler tilpasset beregning af s
n
og S
n
(lansberge cyclometric
novae p. 95 books.google). W. Snell, Kepler og Longomontanus var hos Brahe i Prag 1600.
120 Frank Bengtson Normat 3/2010
Finckes brev findes Kjøbenhavns universitets historie fra 1537 til 1621, Bind 4
af H.F. Rørdam s. 622-626 evt. books.google.com. Først begrundes, at Long-
omontanus udtryk for opdeling af en halvcirkel med tre månearealer ikke er kor-
rekt, så vidt overtegnede kan se, se f.eks. [KS], dernæst henvises til majoranter af
Viète og van Ceulen, dernæst til andre matematikeres begrundelser for uløse-
ligheden, og til sidst beregner Fincke en majorant.
1612. 20de Oktober. D. Thomas Fincke skriver til Kansler Christian
Friis til Borreby og meddeler en skarp Kritik af et af M. Christen Long-
omontanus nylig udgivet mathematisk Skrift.
Illustris ac Magnifice Dominoe Cancellarie,
Domino et Fautor honorande.
Prodiit ante paucas septimanas Cyclometria ex Lunulis reciproce de-
monstrata, inventore Christiano S. Longomontano: quæ cum ab autho-
re, collega ac amico meo, post divulgationem demum dono mihi missa
esset...
Tabula rectarum circuli, arcus 2
0
offert
Sinum 5817764
Tangentem 5817764
in hac diametri 20000000000 mensura.
inscripti quidem 62831851
circumscripti vero 62831862
illum perimetro circuli minorem, hunc vero majorem: ex indubiatis,
etiam in Cyclometria hic nova concessis principiis. ...
Der regnes med sin og tan til 2
0
, 5400-kant, i en cirkel med diameter 2 × 10
10
,
dvs. igen ind- og omskrevne polygoner. I gengivelsen af Finckes brev står "‘T an =
5817764"’, og det må formentlig enten skulle være "‘T an = 5817765"’ eller "‘T an >
5817764"’. Man får så en minor til 3.1415926 og en major til 3.1415931, som også
straks forkaster Longomontanus bud.
2.3 Andre kritikere af Longomontanus kvadratur
Pells kritik omtales mange steder, f.eks. [KS] og [JM]. Pell så 1644 Longomon-
tanus Rotundi in plano, og overtalte eller fik på anden vis trykkeren i Amsterdam
til at tilføje et appendix på to sider med en forkastelse i restoplaget [JM] p. 324-25,
Rotundi... med appendix på books.google.com.
Pell brugte sammenhængen mellem tan(v) og tan(2v) på formen: Hvis det
for to vinkler u og v, hvor 0 < u < 45
◦
og 0 < v < 90
◦
gælder at tan(v) =
(2 tan(u))/(1 − (tan(u))
2
), da er v = 2u [JM] p. 339.
I en regulær polygon skal vinklerne være præcist 360
◦
/8 = 45
◦
, 360
◦
/16 =
22.5
◦
, . . .. I første trin vælges/beregnes, se tabel nedenfor, tan(v) = 0.41421, 36 sam-
men med tan(2v) = 1.00000, 012
29
100
, som indsat giver 1.00000, 01
29
100
≈
2×0.4142136
1−0.4142136
2
=
1.0000001284663 . . ..
Normat 3/2010 Frank Bengtson 121
Tabell 1 : Uddrag af tabel fra Pellius contra Ch. S. Longomontanus.
v tan(v) tan(2v)
> 22.5
◦
0.41421, 36 1.00000, 01
29
100
> 11.25
◦
0.19891, 24 0.41421, 36
36
100
... ... ...
> 0.42
3
16
◦
0.01227, 25 0.02454, 86
94
100
(4-kant 360/2
3
) tangens 45
◦
, 00
0
er mindre end 1,00000,01
(8-kant 360/2
4
) tangens 22, 30 er mindre end 0,41421,36
... ... ... ... ...
(256-kant 360/2
9
) tangens 0, 42
3
16
er mindre end 0,01227,25
Pell får så den halve omkreds for en omskreven regulær 256-kant til
128×2 tan(0
◦
42
0
11
00
15
000
) < 256 ×0.01227, 25 = 3.14176, som er mindre end Long-
omontanus bud. Pell bemærkede, at han lavede disse beregninger ...uden en
kanon for tangenter eller uddragning af rødder..., og at Descartes roste ham for
at undgå beregninger med kvadratrødder, han løste åbenbart ligningerne numerisk.
Pell beregnede iterationer af majoranter fra tangens svarende til van Ceulens
beregninger, og Pell fik gjort opmærksom på, at det kun var nødvendigt at regne
med fem decimaler eller seks betydende cifre. Det er stadig mystisk, at Long-
omontanus ikke regnede efter.
Pell bad 1646 Mersenne (1588-1648) kontakte Torricelli (1608-1647) og
Cavalieri (1598-1648) angående Pells tilbagevisning. Torricelli mente, at
Pell klart tilbageviste Longomontanus kvadratur, men at en forkastelse lettere
baseredes på van Ceulens beregninger, [JM] p. 340.
Hos [JM] nævnes p. 346, at sammenhængen mellem tan(v) og tan(2v) vises geo-
metrisk og algebraisk, E VI,3 og retvinklet trekant, først af Frans van Schooten
(1615-1660) i Geometria
23
, men findes den ikke i de kanoniske trekanter?
Thomas Hobbes (1588-1679) søgte at anvende den geometriske metode til sin
politiske filosofi. Hobbes blev opfordret til at vise formlen for tan(2v), som Pell
brugte. Hobbes mente selv senere at have løst cirkelkvadraturet, han leverede omk.
12 skrifter om emnet. John Wallis (1616-1703) påviste, at Hobbes kvadraturer
hørte til de indbildte, og striden battle of the books stod på fra 1655 til Hobbes
død.
24
Diskussionerne omfattede geometri, religion og politik, og er omtalt mange
steder.
Referanser
[KB] Kancelliets brevbøger, Kancelliets brevbøger vedrørende Danmarks indre
forhold, kronologisk ordnet registrant med udtog af skrivelser fra Danske
Kancelli.
23
Oversatte og udbyggede Descartes geometri til latin 1649, anden udgave 1659-61. Van
Schooten var prof. ved ingeniørskolen i Leiden.
24
F.eks. Douglas Jesseph Of analytics an indivisibles: Hobbes on the methods of modern
mathematics, Tome 46 n
◦
2-3. pp. 153-199.
122 Frank Bengtson Normat 3/2010
[FJ4] Morten Fink-Jensen. Fornuften under troens lydighed. Naturfilosofi, medicin og
teologi i Danmark 1536-1636. Museum Tusculanums Forlag 2004.
[FJ5] Morten Fink-Jensen. De lærde Dybvader. Bogtryk og samfundskritik i det 16. og
17. århundrede. Fund og Forskning 2005/44, p. 63-106.
[FJ6] Morten Fink-Jensen. Enevældens ensomme fortrop. Christoffer Dybvads
systemkritik under Christian 4., p. 37-62 i Oprørere Skæbnefortællinger om
danmarkshistoriens tolv største rebeller. Redaktion: Morten Petersen.
Aschehoug Dansk Forlag A/S 2006.
[Ka] Friedrich Katscher. Einige entdeckungen über die Geschichte der Zahl Pi sowie
Leben und Werke von Christoffer Dybvad und Ludolph van Ceulen.
Österreichische akademie der wissenschaften.
Mathematisch-Naturwissenschaftlische klasse denkschriften, 116. band,
7.abhandlung. Heft 25. Wien 1979. Forkortet udgave
http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/Katscher.pdf.
[Kr] Helge Kragh. Fra middelalderlærdom til den nye videnskab, 1000-1730. Dansk
Naturvidenskabs Historie, bind 1, Århus Universitetsforlag, Århus 2005.
[JM] Jan A. van Maanen. The refutation of Longomontanus’ quadrature by John Pell.
Annals of Science (1986), 43:4, 315 - 352.
[FR1] Holger Frederik Rørdam. Danske Magasin. Fjerde Række. Andet Binds andet
Hefte, 4.række, 1873, VIII s. 105-144, Andet Binds tredie Hefte, XIV.
Efterretninger om Jørgen og Christoffer Dybvad. (slutning) s. 211-264, 4.række.
Femte Binds første Hefte, III. Fortsatte Efterretninger om Dr. Christoffer
Dybvad. s. 40-54. http://books.google.com/books, danske magazin dibvad.
[FR2] Holger Frederik Rørdam. Kjøbenhavns Universitets Historie fra 1537-1621, Bd.
I-IV, København 1868-1877.http://books.google.com/books.
[JS] Jürgen Schönbeçk. Thomas Fincke und die Geometria rotundi. NTM Zeitschrift
für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin. Publisher Birkhäuser
Basel, Volume 12, Number 2 / June, 2004, Pages 80-99.
[KS] Henrik Kragh Sørensen & Helge S. Kragh. Longomontanus og cirklens kvadratur.
Nordisk Matematisk Tidsskrift 2007, Årgang 55, Hæfte 3, s. 97.
