Normat 58:3, 141–143 (2010) 141
Kochs snöflinga
Ulf Persson.
Matematiska Institutionen
Chalmers Tekniska Högskola och
Göteborgs Universitet
ulfp@chalmers.se
Inledning - kustlinje
Hur lång är den engelska kusten? Ser vi på en karta består den av inbuktande
vikar och utstående uddar. Vi måste ta hänsyn till detta när vi tar vår linjal och
mäter. Vid närmare betraktande visar det sig att vikarnas och uddarnas kustlinjer
i sin tur består av mindre vikar och uddar, och vid en större skala tvingas vi göra
ännu mera ut- och invikningar och därmed mäta upp något längre. En man som
går längs kusten kommer att få ta hänsyn till små ut- och inbuktningar som inte
syns på någon karta och stegar han längden på kusten kommer han att erhålla ett
ännu längre värde. Och en myra kommer i sin tur att möta små strukturer som
mannen inte ser och kan hoppa över, och därmed få gå en ännu längre sträcka. Och
så vidare. Tar det någonsin slut? I den fysiska världen kan inte detta fortsätta i det
oändliga, utan atomernas storlek sätter en undre gräns. Dock i den matematiska
världen förekommer inga sådana restriktioner, där kan vi fortsätta i det oändliga.
Längden på en matematiskt idealiserad kustlinje kommer således att bero på lin-
jalens storlek. Om linjalens längd är r och N (r) betecknar antalet steg vi måste
ta, blir längden på skalan r helt enkelt N (r)r. Om vi har ett rätt linjestycke, inser
vi att N (r) = L/r där L är längden på stycket. Försöker vi mäta upp arean av
en kvadrat erhåller vi N(r) = K/r
2
och därmed att längden går mot oändlighe-
ten. Ju mindre steg vi tar, desto noggrannare kan vi besöka en kvadrat och desto
längre tid tar det. I bägge fallen för det sig om potens funktioner Kr
−d
där d ger
dimensionen. Uppenbarligen d = 1 i fallet av ett linjestycke, eller mera allmänt
längden av en rektifierbar kurva, medan i den 2-dimensionella kvadraten d = 2.
Kochs snökurva
Koch’s snökurva, introducerad av och benämnd efter den svenske matematikern
Helge von Koch (1870-1924) stammar från 1904. Den bör vara bekant för de flesta,
om inte annat brukar Normats omslag prydas av olika stadier i dess konstruktion.
Vi påminner om denna. Vi startar med en regelbunden sexhörning K
0
, säg med
sidlängd 1 och därmed total omkrets 6 för att fixera tanken. I nästa steg ersätter
vi varje sida med en zigzag linje enligt figur.
142 Ulf Persson. Normat 3/2010
Där triangeln är liksidig med sidlängd en tredjedel av
den ursprungliga sträckan. Gör vi denna konstruktion
på var och en av de sex sidorna får vi en polygon K
1
bestående av 6 × 4 = 24 kanter, och total omkrets
4
3
× 6 = 8. Fortsätter vi processen erhåller vi K
2
med
24×4 = 96 kanter och total längd
4
3
×8 och i allmänhet
kan vi definera K
n
med 6 × 4
n
kanter, var och en av
längd (
1
3
)
n
och därmed total längd 6 ×(
4
3
)
n
. Slutligen
kan vi definiera K =
T
n
(
S
m>n
K
m
) som gränskurvan
av alla stadierna i konstruktionen.
De olika ändliga polygonerna K
n
är helt enkelt det vi stegar ut när vi går med steg
av längd (
1
3
)
n
. Sätter vi N(r) = Kr
−d
finner vi att K(r/3)
−d
= N(r/3) = 4N(r) =
4Kr
−d
. Tar vi logaritmen erhåller vi d log 3 = log 4 d.v.s. d = log 4/ log 3 =
1.26186... Detta d kallas för Hausdorff dimensionen för kurvan K vilket i detta fall
är ett tal strikt mellan 1 och 2. Dimensionen är så att säga fraktal, och dessutom
om vi tittar på kurvan i förstoringsglas kan vi inte avgöra skalan, i motsats till
om vi tittar på en cirkel. Jo rätare cirkelbågen är desto större är förstoringen. Som
Mandelbrot en smula provokativt påpekar, Kochkurvan är enklare än cirkeln.
Ett annat sätt att definiera Kochkurvan är helt enkelt att ta det inre U
0
av den
ursprungliga hexagonen, och sedan lägga till till varje sida en liksidig udde som
ovan, och erhålla en oändlig följd av öppna mängder U
0
⊂ U
1
··· ⊂ U
n
⊂ och
helt enkelt definera U som unionen, och K som den topologiska randen av U. Om
vi låter A =
√
3/4 vara arean av en liksidig triangel med sidan 1 inser vi lätt att
arean av U är givet av
6A(1 + (1/3)
2
+ 4(1/3)
4
+ 4
2
(1/3)
6
+ . . . ) =
6A(1 + 1/9(1 + (4/9) + (4/9)
2
+ . . . )) = 6A(1 + 1/5) = (36/5)A
obetydligt större än den ursprungliga hexagonen.
Parametrisering av Kochkurvan
Konstruktionen av Koch kurvan består i att vi beskriver (riktade) linjesegment.
Ett sådant är entydigt bestämt av att man specifierar dess mittpunkt, dess längd,
och den vinkel det riktade segmentet gör med x-axeln. Om vi för enkelhetens skull
begränsar oss till en av de sex kanterna i den ursprungliga hexagonen, och kallar
den för 0
0
12
3
Nästa fyra segment numrerar vi enligt schemat till
vänster. På detta sätt kan vi till varje punkt i inter-
vallet [0, 1] associera en punkt Θ(x) på Kochkurvan
genom att utveckla ett givet tal i bas 4, den så kallade
4-adiska expansionen.
Vi observerar även att om |x − y| ≤
1
4
n
kommer
|Θ(x)−Θ(y)| ≤
1
3
n
vilket illustrerar den likformiga kon-
tinuiteten men om |x − y| ≥
1
4
n
gäller |Θ(x) −Θ(y)| ≥
1
3
n+1
vilket illustrerar icke-deriverbarheten, däremot
gäller ett Lipschitz villkor med lämplig exponent.
Normat 3/2010 Ulf Persson. 143
Vi kan även skriva ner avbildningen Θ explicit via följande rekursiva schema.
tal mittpunkt vinkel längd
0.p P θ r
0.p0 P +
r
4
e
θi
θ r/3
0.p1 P +
r
6
e
(θ+π/3)i
θ − π/3 r/3
0.p2 P +
r
6
e
(θ+2π/3)i
θ − 2π/3 r/3
0.p3 P +
r
4
e
(θ+π)i
θ r/3
Ur vilket vi sluter
Θ(x) = x
0
+ x
1
ζ + x
2
ζ
2
+ . . . x
5
ζ
5
där ζ = e
−
πi
3
är en primitiv enhetsrot av ordning 6 och
x
i
=
X
P
m−1
p
n
≡i(6)
1
3
m
α
m
med x = 0.p
1
p
2
p
3
p
4
. . . den 4-adiska expansionen och p
n
= p
n
(3) samt α
m
=
3
4
om p
n
= 0 och annars α
m
=
1
2
.
Observera att om x är av formen
A
2
n
kommer Θ(x) motsvaras av ett hörn och
omvänt. Vidare att x är rationellt omm x
i
är rationella för alla i = 0, . . . 5. I
det senare fallet kommer Θ(x) vara slutpunkten för logaritmiska spiraler, eller
ekvivalent snittet mellan K och Q(ζ).
Låt oss betrakta K
n
∩ K denna kommer att bestå av K
n
där varje segment är
utbytt mot en Cantormängd. Unionen
S
(K
n
∩K) kommer att utgöra en uppräkne-
lig union av Cantormängder och motsvara de 4-adiska tal, vars utvecklingar endast
har ett ändligt antal 1:or och 2:or. En godtycklig linje dragen från origo kommer
att missa alla dessa Cantormängder men inte desto mindre skära K. Nästan alla
linjer kommer att skära kurvan i ett oändligt antal punkter. Ett intressant problem
är att försöka karaktärisera de tal x så att Θ(x) är synlig från origo.
Slutligen inser vi från figuren till vänster att måt-
tet av K är noll. Ty kurvan är innesluten i skugg-
ningen av K
n
vilken har arean 6 × (
4
3
)
n
1
3
n
√
3
6
7→
0.
Den sista metoden ger även ett alternativt sätt att mäta längden av kurvan. Vi
kan låta K
vara den öppna mängden av alla punkter inom avståndet från K.
För en rektifierbar kurva C förväntar vi oss att måttet av C
kommer att vara av
storleksordning 2L men för Kochkurvan kommer vi istället ha en exponent < 1
på (vilken?), och även om måtten går mot noll, går det inte lika snabbt som .
