Normat 58:3, 97–108 (2010) 97

Rømers Tandhjul

Frank Nielsen

Institut for Matematik

Danmarks Tekniske Universitet

Bygn. 303S

2800 Kgs. Lyngby

fn@privat.dk

Den historiske baggrund

De offentliggjorde resultater, dels i bøger, og dels i de to første videnskabelige

tidsskrifter, nemlig det engelske Philosophical Transactions udgivet af Royal Society

fra 1665, og det franske Journal des Sçavans, der blev udgivet af Académie des

Sciences, også fra 1665.

Ole Rømer arbejdede i perioden 1672 – 1682 i Paris som medlem af Académie des

Sciences. Hans mest berømte arbejde er hans bestemmelse af lysets hastighed, der

blev publiceret i Journal des Sçavans 7. december 1676. Både Newton og Huygens

reagerede, henholdsvis positivt og med begejstring, på Rømers arbejde. Men Rømer

arbejdede med mange andre ting. Han opfandt f.eks. meridiankredsen. Det er en

astronomisk kikkert, som er fastgjort på tværs af en vandret akse, der er orienteret

den af den sidste måling afhænger selvfølgelig af det ur, man benytter. Det er nok

den vigtigste grund til, at Rømer også arbejdede med at konstruere ure, der gik

med øget præcision.

Det var der også en anden grund til. Fra Columbus rejse til Amerika i 1492 var

skibsrejser med lange perioder uden landkending blevet stadig mere almindelige.

Mens breddebestemmelse til søs er let at foretage, havde man dengang ingen accep-

tabel metode til at bestemme længdegraden. Columbus var således helt uvidende

om, hvor langt mod vest han havde rejst. Den metode til længdebestemmelse, som

98 Frank Nielsen Normat 3/2010

fra 1700-tallets midte fik stadig større udbredelse, og som blev anvendt helt op

mod vore dage, var følgende: På skibet havde man et ur, der gik efter londontid.

ning ville det være spildt ulejlighed. Det afgørende fremskridt i nøjagtigheden af

urene kom i 1656, da Huygens konstruerede det første pendulur. Huygens ure nå-

ede en nøjagtighed på ca. 1 sekund i døgnet. Det var langt fra nøjagtigt nok til

længdegradsbestemmelse til søs, for der kunne uret ikke stilles i perioder af op

til flere måneders længde. Og i øvrigt er pendulure ikke egnede til søs, på grund

af skibenes rulning. Men i astronomisk sammenhæng var det fint, for der kunne

urene stilles dagligt. Der var mange ting i et urs konstruktion, der spillede en rolle

for nøjagtigheden. Rømer må have tænkt, at formen på tænderne på de mange

tandhjul i et ur også måtte spille en rolle for nøjagtigheden, og i årene frem til

1678 arbejdede Rømer med dette emne, og han holdt foredrag om det lørdag den

”Jeg havde en gang i Paris set en lille del af dine yderst forfinede opfindelser

vedrørende epicykloiden og tandhjulene, som Huygens først havde lovprist over

for mig. Mens du tøvede med at udgive dem var en anden og ligeledes fortræffelig

først med en udgivelse. Gid du måtte samle de mange fremragende opdagelser, som

du uden tvivl har hos dig og udgive dem?”[1].

Men på trods af mange opfordringer til publikation fik Rømer aldrig offent-

liggjort noget om sine tandhjulskonstruktioner. Heller ikke i hans efterladte ma-

nuskripter er der bevaret noget om sagen. Man har derfor anset det for umuligt at

finde ud af, hvad det var, Rømer lavede om tandhjul.

Før vi kan gå i gang med at beskrive Rømers konstruktion, må vi forklare lidt om

to typer af kurver, som kaldes henholdsvis epicykloider og hypocykloider. Disse

kurver var kendt allerede i græsk oldtid, især epicykloiderne. De blev nemlig brugt

ved beregning af planeternes baner.

ydersiden af en anden cirkel. På figur 1 ruller en cirkel med radius r på ydersiden

af en cirkel med radius 3r. Det lille sorte punkt på rullecirklen beskriver så den

viste epicykloide. En hypocykloide fremkommer på samme måde, når den lille cirkel

Normat 3/2010 Frank Nielsen 99

ruller inde i den store, sådan som det er vist på figur 2. Animerede versioner af

figurerne kan ses på adressen [2].

cirkel i startpunktet S, og det lille sorte punkt i S tænker vi os sidder fast på

den lille cirkel. Så starter vi rulningen i pilens retning, og lidt senere er cirklen

kommet til den viste position, hvor den rører den store i punktet P . A er den nye

beliggenhed af det sorte punkt, og da det er en rulning er de to fede buer P A og

P S lige lange. På figurerne er den store cirkels radius 3 gange så stor som den

lilles. Derfor kommer cykloiden i dette tilfælde til at bestå af 3 buer med spidser

ind mod den faste cirkel.

Den egenskab ved cykloiderne, som er afgørende for Rømers konstruktion, be-

skrives i følgende

både Newton og Leibniz. I årene inden differential- og integralregningen havde man

andre metoder til tangentbestemmelse, men de var besværlige, hver enkelt tangent-

bestemmelse var en videnskabelig bedrift i sig selv. Metoderne behandlede kurver

beskrevet ved ligninger, og da cykloiderne ikke har pæne ligninger, var metoderne

ikke egnede til bestemmelse af tangenter til cykloider. Sætningen følger umiddel-

bart af den generelle matematiske teori om rulning. Her vil vi bevise sætningen ved

differentiation. Vi beviser kun sætningen for epicykloiden, det foregår ligesådan for

hypocykloiden.

100 Frank Nielsen Normat 3/2010

Bevis for sætningen. Vi benytter et koordinatsystem og de navne, som vist på figur

3. Da der foregår en rulning, hvor A starter i S, er de to cirkelbuer P A og P S lige

lange. Da deres længder er henholdsvis Rt og ru er

Vinklen fra X-aksen til CA er

t + π.

dx

dt

= (R + r)

R + r

r

t, cos t − cos

R + r

r

t

Normat 3/2010 Frank Nielsen 101

Hermed har vi fundet en vektor på tangenten. Vektoren P A har koordinaterne

(R + r)(cos t, sin t) − r

cos

R + r

R + r

r

cos t − cos

t, sin t − sin

t

.

lille cirkel i forhold til den store. Resultatet bliver uforandret gyldigt, hvis den store

cirkel har sin egen rotation, som cykloiderne og den lille cirkel følger med i.

Rømers tandhjulskonstruktion

Som nævnt efterlod Rømer sig ikke sig materiale om sin tandhjulskonstruktion.

Det viser sig imidlertid, at Huygens reagerede mere konstruktivt end Leibniz på

Rømers tøven med at publicere sine opdagelser. I perioden fra 1888 til 1950 udgav

det hollandske Videnskabernes Selskab Huygens samlede værker i 22 bind. Dette

værk indeholder ikke blot de arbejder, som Huygens selv offentliggjorde, men også

talrige efterladte manuskripter. I bind 18 af de samlede værker findes uddrag af et

manuskript kaldet E. På side 167 i dette manuskript, som stammer fra slutningen af

102 Frank Nielsen Normat 3/2010

Huygens citerer ingen tekst af Rømer, men han formulerer selv følgende billedtekst:

”Rømers hjul i overensstemmelse med beskrivelsen af epicyklerne.” Anden tekst til

tegnet. Både på det store og det lille tandhjul består den ene side af tænderne af

et liniestykke og en kurve. De viser tandhjulsformen. Den anden side af tænderne

er kun groft antydet med bølgelinier. På figur 5 har jeg kun tegnet de væsentligste

ting fra Huygens figur, og jeg har vist tænderne i en lidt anden stilling end den

på figur 4. På begge figurer er der to stiplede cirkler, som har centrum fælles med

hver sit af tandhjulene. Radius i den store af disse cirkler er 3 gange så stor som

radius i den lille. Det er disse cirkler, som tandhjulene er bygget op på. Vi kalder

dem her basiscirklerne. Basiscirklernes centre er faste punkter, de flytter sig ikke,

når tandhjulene drejer. Der er yderligere to cirkler på figurerne, de er punkterede

på figur 5. Til højre er der en cirkel, der som diameter har en radius i basiscirklen

tænder fås ved rotationer på 40

er C

Rb

, hvor b

er et lille stykke af den epicykloide, der fremkommer når den

store rullecirkel ruller på den lille basiscirkel. De andre tænder fås ved rotationer

så Huygens tegning, tænkte jeg sikke noget rod, det kan man vist ikke få noget

ud af? Men nu, efter at jeg har forstået den, er jeg blevet klar over, at alting er

beskrevet nøjagtigt og detaljeret.

Et matematisk krav til tandhjul

For at give læseren en forståelse for, at acceptable tandhjul kun kan konstrueres

på teoretisk baggrund, undersøger vi funktionen af de to tandhjul på figurerne

nedenfor. De drejer sig, som pilene viser.

Normat 3/2010 Frank Nielsen 103

Det mørke tandhjul med radius R har 6 spalter, og på det lyse sidder der 6 sorte

cylindre, der passer ind i spalterne. Spalteåbningerne og cylindrene udgør to kon-

gruente regulære sekskanter. Afstanden mellem de to tandhjuls centre er afpasset

som det er vist på figur 7. Så samtidig med, at en sort cylinder bevæger sig ind i

en spalte, forlader den næste cylinder sin spalte. De to tandhjul er lige lang tid om

at bevæge sig en gang rundt. Vi tænker os nu, at det lyse tandhjul drejer sig med

konstant vinkelhastighed ω, og at det mørke følger med med en vinkelhastighed ω

,

7 er ω

sig på tværs af spaltens retning, men skråt nedad i den, og det giver naturligvis

mindre bidrag til vinkelhastigheden. En udregning viser, at ω

er, at det mørke tandhjul ikke bevæger sig med konstant vinkelhastighed. Figur 8

nedenfor viser variationen af ω

som funktion af den vinkel v, som det lyse tandhjul

har drejet sig ud fra stillingen på figur 6.

i biler! Hvis man brugte dem der og har planlagt at køre 100 km/T, vil hastigheden,

hver gang tandhjulet går en tand frem, variere mellem 50 km/T og 130 km/T. Så

104 Frank Nielsen Normat 3/2010

noget vil gå i stykker. Når to tandhjul er i indgreb, må man stille det krav, at

når det ene drejer med konstant vinkelhastighed, så drejer det andet sig også med

fremgår af tegningen, at Rømer benytter to rullecirkler, der er halvt så store som ba-

siscirklerne. Det har den konsekvens, at hypocykloiderne bliver liniestykker, nemlig

diametre i basiscirklerne. Det viser vi ved betragtning af figur 9.

med centrum D og radius r. Rulningen starter i S og det punkt på den lille cirkel,

der starter i S, beskriver så en hypocykloide. Figuren viser den situation, hvor

røringspunktet er kommet ned til R. Vi tegner diametrene ST og CR. A er det

andet skæringspunkt mellem den lille cirkel og ST . v betegner størrelsen af vinkel

SCR. Så har vinkel ADR størrelsen 2v og det følger heraf, at de to fede cirkelbuer

AR og SR er lige lange. A er altså et punkt af hypocykloiden, og cykloiden bliver

derfor diameteren ST , gennemløbet to gange.

For at forstå pointen i Rømers konstruktion betragter vi nu figur 10. Den knytter

ikke direkte til Rømers tandhjul. Vi har valgt en rullecirkel med radius r og to

Normat 3/2010 Frank Nielsen 105

basiscirkler med radier 3r og 5r. Talværdierne 3 og 5 er valgt for overskuelighedens

skyld, argumentet og resultatet gælder for vilkårlige radier.

Vi tænker os nu, at de to basiscirkler drejer sig om deres centre, den vej pilene

peger, og med de angivne vinkelhastigheder. Det medfører, at de to cirkler ruller

på hinanden, og at bevægelsen er nedadgående i røringspunktet. Så lader vi den

lille cirkel rulle opad på de to store cirkler. Med den angivne vinkelhastighed vil

den lille cirkel rulle lige så hurtigt opad som de to store cirkler ruller nedad. Derfor

vil den lille cirkels centrum ligge fast. Vi kigger så på et sort punkt på den lille

i afsnit 2 er linien P R vinkelret på begge de to cykloiders tangenter i punktet P .

De to cykloider har altså samme tangent i punktet P , de rører altså hele tiden ved

hinanden under den jævne rotation. Bevægelsen kan ses i en animation på [2]. Der

gælder altså følgende