180 Normat 58:4, 180–183 (2010)
Appendix: Heisenberggruppen
Ulf Persson
Matematiska Institutionen
Chalmers Tekniska Högskola och
Göteborgs Universitet
ulfp@chalmers.se
Inledning
I den föregående oktahederartikeln nämns på sidan 175 utan bevis att gruppen
Q × Q är isomorf med Heisenberggruppen med 32 element. Vad menas med detta?
Den klassiska Heisenberggruppen H uppkommer i ett 1-dimensionellt kvantme-
kaniskt system och består av alla övre triangulära 3 × 3 matriser
1 a c
0 1 b
0 0 1
Koefficienterna a, b, c kan tas från en godtycklig kommutativ ring A. I de klassis-
ka fallen betraktar vi de reella talen A = R eller heltalen A = Z. Gruppen är
uppenbarligen icke-kommutativ. Vi noterar att den innehåller de två kommutativa
delgrupperna
1 0 c
0 1 b
0 0 1
och
1 a c
0 1 0
0 0 1
som vi kan beteckna B och A och vars snitt C = A ∩ B utgöres av centrum
1 0 c
0 1 0
0 0 1
Betraktar vi delgruppen B
0
⊂ B bestående av matriserna
1 0 0
0 1 b
0 0 1
finner vi att H kan skrivas som en halv-direkt produkt av A med B
0
via verkan
b 7→ ((a, c) 7→ (a, c − ab))
Normat 4/2010 Ulf Persson 181
Om A = Z/pZ får vi en ändlig icke-kommuativ grupp med p
3
element. Sådana
finns av två typer, och Heisenberggruppen är i detta fall, den som generaras av
två element av ordning p. Speciellt i fallet p = 2 finner vi att Heisenberggruppen
är isomorf med den dihedrala gruppen D
8
och inte den andra icke-kommutativa
gruppen - kvaterniongruppen Q
8
Nu kan man generalisera Heisenberggruppen till det multi-dimensionella fallet
H
n
genom att på mostsvarande sätt betrakta matriser av formen
1 a c
0 I
n
b
0 0 1
där I
n
är identitetsmatrisen av storlek n. a, b blir då vektorer och prdukten ab
skall tolkas som den standardiserade skalärformen < a, b > som vi för enkelhetens
skull kommer att skriva som a b. Sätter vi n = 2 och A = Z/2Z erhåller vi en
grupp med 2
5
= 32 element. Men varför skall denna vara isomorf med vår grupp
Q
8
× Q
8
?
Förberedelser
Vi noterar att om elementen skrives som (a, b, c) erhåller vi produkten
(a, b, c)(a
0
, b
0
, c
0
) = (a + a
0
, b + b
0
, c + c
0
+ a b
0
)
speciellt är (0, 0, 0) identitetselementet och (−a, −b, −c+a b) är inversen. Från och
med nu antar vi implicit att ko-efficientringen är Z/2Z även om många påståenden
nedan kommer att vara giltiga i allmänhet.
Vi gör först observationen att ett element är av ordning (högst) två omm a b = 0,
och alla andra element är av ordning fyra. För att beräkna antalet sådana väljer vi
först a 6= 0 vilket kan göras på tre sätt. Därefter har vi a b = 0, 1 och dessa delar upp
Z
2
2
i två hyperplan med vardera två element. Således har vi sex olika möjligheter för
valet av (a, b), c kan väljas godtyckligt, vilket gör att antalet möjligheter fördubblas
till tolv.
Vi kan göra en liknande beräkning när det gäller antalet element av ordning
fyra i Q
8
× Q
8
. Vi inser lätt att dessa är av typ (X, ±1), (±1, X) där X är ett av
de sex möjligheterna ±i, ±j, ±k och således uppstår även här tolv möjligheter.
Centrumet för båda grupperna är Z
2
och består i fallet Q
8
× Q
8
av (±1, ±1)
varav vi inser att (1, −1) måste motsvaras av (0, 0, 1). Detta element kommer att
spela en central roll senare och vi betecknar det härmed med γ.
På liknande sätt kan man finna mer och mer sammanträffande mellan de bägge
till synes helt olika grupperna tills man blir mer och mer övertygad om att de utgör
manifestationer av en och samma bakomliggande abstrakta grupp. Men för att
göra processen kortare försöker vi nu att identifiera delgrupperna A, B i Q
8
× Q
8
.
Med andra ord vi söker på ett naturligt sätt finna åtta ömsesidigt kommuterande
element av ordning två i Q
8
× Q
8
. Den kritiska observationen är att två element
(x, y), (z, w) där x, y, z, w = ±i, ±j, ±k inte kommuterar i Q
8
×Q
8
men kommer att
göra det i Q
8
× Q
8
om både x, z och y, w inte kommuterar med varandra på grund
182 Ulf Persson Normat 4/2010
av gemensam teckenväxling. Det är då lätt att skriva ner delgrupper i Q
8
× Q
8
som
kommer att spela samma roller som A, B i Heisenberggruppen. Nämligen låt oss
betrakta de åtta elementen
(±i, ±j), (±j, ±k), (±k, ±i), (±1, ±1)
samt dess naturliga speglingar
(±j, ±i), (±k, ±j), (±i, ±k), (±1, ±1)
Dessa utgör delgrupper isomorfa med Z
3
2
och de snittar varandra mycket riktigt
i gruppens centrum (±1, ±1). För att erhålla en mostvarighet till B
0
bör vi finna i
en av dessa (säg den sista) en delgrupp med fyra element och som inte innehåller
elementet ±(1, −1). Ett exempel på en sådan är
(j, i), (k, j), (j, i)(k, j) = (jk, ji)
0
= (i, −k), (1, 1)
Det är nu klart hur vi måste fortsätta. Vi bör visa att Q
8
× Q
8
uppkommer som
en halv-direkt produkt mellan Z
3
2
och Z
2
2
på ett isomorft sätt som i Heisenberg-
gruppen.
Isomorfin
Först noterar vi att automorfismgruppen A av vektorrummet Z
3
p
är GL(3, Z
p
) som
har (p
3
−1)(p
3
−p)(p
3
−p
2
) = p
3
(p−1)
3
(p+1)(p
2
+p+1) element (tre rader måste
vara linjärt oberoende). För p = 2 erhåller vi 168 element. Detta är en välkänd
grupp som även har andra inkarnationer såsom PSL(2, Z
7
). Det är lätt att ge
matrisrepresentationer för gruppen B
0
i A. Nämligen
1 0 0
0 1 0
1 0 1
,
1 0 0
0 1 0
0 1 1
,
1 0 0
0 1 0
1 1 1
Dessa är alla involutioner som kan skrivas som I + N
1
, I + N
2
, I + N
1
+ N
2
, där
N
1
, N
2
är kommuterande nilpotenta avbildningar av rang 2, d.v.s. N
2
i
= 0. Detta
data beskriver delgruppen unikt upp till konjugering via Jordans normalform.
Vi behöver nu visa att något liknande gäller i Q
8
× Q
8
. Ta elementet (i, j),
eftersom det är av ordning två, ges konjugering av (x, y) 7→ (i, j)(x, y)(i, j) =
(ixi, jxj). Notera att ixi = x om x = |pmj, ±k medan ixi = −x för x = ±i
och analogt för de övriga. Detta visar att konjugering med (i, j) lämnar invariant
elementen (±i, ±j), (±1, ±1) som bildar ett 2-dimensionellt delrum V
+
. På dess
komplement V
−
, vilket är det parallella hyperplanet ges konjugering av multipli-
kation med γ. Detta utgör en linjär avbildning T , ty givet x, y har vi tre fall.
x, y ∈ V
+
, x, y ∈ V
−
och x, y tillhör olika V , med x + y ∈ V
+
i de två första fallen
och x + y ∈ V
−
i det sista fallet. Vi verifierar i de tre olika fallen
0
på högersidan spegelvändes multiplikationen
Normat 4/2010 Ulf Persson 183
T (xy) = xy = T xT y
T (xy) = xy = γ
2
xy = γxγy = T xT y
T (xy) = γxy = (γx)y = T xTy
Betraktar vi nu T − I kommer denna att verka som 0 på V
+
och γ − I på V
−
.
En enkel räkning ger (γ − I)
2
= γ
2
− 2γ + I = 2(I − γ) = 0, således har vi att göra
med en nilpotent avbildning av rang två. Att dessa tre kommuterar är uppenbart.
Därur följer isomorfin.
En explicit isomorfi
Låt α = (i, j), β = (j, k) därav följer αβ = (k, −i). Övriga element ges av γα, γβ
och γαβ samt givetvis γ och 0 = (1, 1). Vi kan då göra följande korrespondenser.
Låt oss även beteckna med α
0
= (j, i), β
0
= (k, j) varur följer direkt att α
0
β
0
= (αβ)
0
α (1, 0; 0, 0; 0) α
0
(0, 0; 0, 1; 0)
β (0, 1; 0, 0; 0) β
0
(0, 0; 1, 0; 0)
αβ (1, 1; 0, 0; 0) α
0
β
0
(0, 0; 1, 1; 0)
γα (1, 0; 0, 0; 1) γα
0
(0, 0; 0, 1; 1)
γβ (0, 1; 0, 0; 1) γβ
0
(0, 0; 1, 0; 1)
γαβ (1, 1; 0, 0; 1) γα
0
β
0
(0, 0; 1, 1; 1)
Notera hur (x, y, 0, 0, ∗) avbildas på (0, 0, y, x, ∗) anledningen till detta är att
αα
0
= (k, k), ββ
0
= (i, i) och αβα
0
β
0
= (j, j) alla har ordning två, och således
må vi ha a b = 0 vilket automatiskt uppfylles på detta sätt. Och vi listar för
fullständighetens skull
(i, i) (0, 1; 1, 0; 0) (j, j) (1, 1; 1, 1; 0) (k, k) (1, 0; 0, 1; 0)
(i, −i) (0, 1; 1, 0; 1) (j, −j) (1, 1; 1, 1; 1) (k, −k) (1, 0; 0, 1; 1)
Ur detta kan vi nu generera den fullständiga avbildningen. Detta möjliggör spe-
ciellt för oss att även lista ut hur Q
8
sitter inuti matrisrepresentationen av Heisen-
berggruppen. Vi kan sätta upp följande tabell
(i, 1) (1, 1; 0, 1; 0) (1, i) (1, 0; 1, 1; 0)
(−i, 1) (1, 1; 0, 1; 1) (1, −i) (1, 0; 1, 1; 1)
(j, 1) (1, 0; 1, 0; 1) (1, j) (0, 1; 0, 1; 1)
(−j, 1) (1, 0; 1, 0; 0) (1, −j) (0, 1; 0, 1; 0)
(k, 1) (0, 1; 1, 1; 0) (1, k) (1, 1; 1, 0; 0)
(−k, 1) (0, 1; 1, 1; 1) (1, −k) (1, 1; 1, 0; 1)
ur vilken allting följer. Vi noterar att de första fyra ko-ordinaterna utgör de icke-
triviala elementen i två disjunkta 2-dimensionella vektor-rum i det 4-dimensionella
rum som utgöres av H
2
(Z
2
) dividerat med sitt centrum. Dessa delrum kan givetvis
väljas på många olika sätt, upp till automorfismer av Heisenberggruppen. Men till
ett studium av detta räcker inte utrymmet till.
