Normat 59:1, 1–21 (2011) 1
En smula tropisk geometrié
Erwan Brugallé
Université Pierre et Marie Curie, Paris 6
175 rue du Chevaleret, 75 013 Paris, France
brugalle@math.jussieu.fr
Vad är det egentligen för konstiga bilder och magiska företeelser som gömmer sig
bakom det gåtfulla namnet tropisk geometri? I tropikerna liksom överallt annars
är det svårt att tänka sig något enklare än en rät linje. Detta får alltså bli utgångs-
punkten för vår studie.
En tropisk linje är sammansatt av tre halvlinjer i riktingarna (≠1, 0), (0, ≠1)
och (1, 1) som strålar ut från en godtycklig punkt i planet (se bild 1a). Frågan
varför man ska kalla detta bisarra objekt för en linje, tropisk eller icke, kan ju
tyckas vara motiverad. Men vid närmare betraktelse kan man faktiskt konstatera
att dessa tropiska linjer har samma grundläggande egenskaper som ”vanliga”, eller
”klassiska”linjer: två tropiska linjer skär varandra i en unik punkt (se bild 1b), och
två punkter i planet definierar en unik linje (se bild 1c).
a) b) c)
Figur 1 : Den tropiska linjen.
Ännu viktigare, även om det är mindre uppenbart i figuren, är att klassiska linjer
och tropiska linjer båda definieras av en ekvation på formen ax + by + c =0. Inom
den vanliga algebrans ramar, där man kallar addition för addition och multiplika-
tion för multiplikation så känner man lätt igen en klassisk linje i ekvationen ovan.
Men i den tropiska världen, så betyder addera att ta maximum, och multiplikation
innebär addition, och detta gör att alla objekt dramatiskt ändrar form! Det är till
och med så att ett uttryck som ”att vara lika med 0” får en annan betydelse.
Översatt av Lisa Nilsson, lisani@chalmers.se
2 Erwan Brugallé Normat 1/2011
Klassisk geometri och tropisk geometri är alltså utvecklade enligt samma prin-
ciper utgående från två räkneoperationer. De två geometrierna är ansikten för två
olika algebror.
Tropisk geometri är dock inte bara ett sterilt glaspärlespel för sysslolösa mate-
matiker. Den klassiska världen kan degenereras till den tropiska, och de tropiska
objekten bevarar då naturligt vissa egenskaper hos de klassiska ob jekt de är gräns-
värden av. Sålunda har ett tropisk påstånde en stor chans att ha en klassisk mot-
svarighet. Tropiska objekt är dessutom styckvis linjära och är därmed betydligt
enklare att studera än deras klassiska motparter!
Man kan således sammanfatta det tropiska angreppsättet i följande princip:
Studera enkla objekt, formulera satser om komplicerade objekt.
De första avsnitten i denna text ägnas åt tropisk algebra, tropiska kurvor och
några egenskaper hos dessa. Vi förklarar sedan varför den klassiska ge ometrin
och den tropiska är sammankopplade, genom att på ett koncist sätt visa hur den
klassiska världen kan fås att degenerera precis till den tropiska. Därefter illustrerar
vi denna princip med den så kallade patchwork-metoden för att konstruera reella
algebraiska kurvor via så kallade amöbor. Vi avslutar med att ge några referenser
till litteraturen.
Men innan vi påbörjar några teoretiska djupdykningar måste vi förklara varför
vi använder ordet ”tropisk” geometri. Är det på grund av den exotiska formen
hos objekten vi studerar? På grund av närvaron av amöbor med skelett? Innan
man hade infört termen tropisk algebra, så använde man det mer prosaiska namnet
max-plus algebra. För att hedra sin brasilianske kollega Imre Simon bestämde sig
matematikerna vid l’Université Paris 7 att byta ordet ”max-plus” mot ”tropisk”.
Vi kan låta Wikipedia
1
få slutordet om ordet tropisk: det beskriver helt enkelt den
franska synen på Brasilien.
1 Tropisk algebr a
1.1 Tropiska operationer
Då vi byter ut operationerna addition och multiplikation mot maximum respektive
addition, samt applicerar dessa två operationer på de reella talen R, så erhålls vad
vi kallar för tropisk algebra. Med andra ord så definierar man två nya räknelagar
på R, kallade tropisk addition och tropisk multiplikation och använder notationen
” +”and ” ◊ ”, där
”x + y” = max(x, y) och ”x ◊ y” = x + y.
Genom hela denna text kommer de tropiska op e rationerna att skrivas mellan
citationstecken. Som för klassisk multiplikation förkortar vi ofta ”x ◊ y” som ”xy”.
Vi bekantar oss me d dessa två operationer genom några enkla exempel:
1
15 mars 2009.
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 3
”1+1” =1, ”1+2” =2, ”1+2+3” =3, ”1 ◊ 2” =3, ”1 ◊ (2 + (≠1))” =3,
”1 ◊ (≠2)” = ≠1, ”(5 + 3)
2
” = 10.
Dessa två räkneregler har många ege nskaper gemensamt med de klassiska räkne-
operationerna addition och multiplikation. Till exempel så är båda operationerna
kommutativa, och operationen ” ◊ ” är distributiv med avseende på operationen
”+”, det vill säga ”(x+y)z” = ”xz+yz”. Det finns dock två signifikanta skillnader.
Först och främst har tropisk addition inget identitetselement i R.
Det kan vi dock råda bot på genom att naturligt utvidga de två tropiska ope -
rationerna till ≠Œ och definiera
’x œ T, ”x+(≠Œ)” = max(x, ≠Œ)=x och ”x◊(≠Œ)” = x+(≠Œ)=≠Œ,
där T = R fi {≠Œ} är de tropiska talen.
Om vi lägger till ≠Œ till R så har alltså tropisk addition ett identitetselement.
Å andra sidan finns en ännu viktigare skillnad mellan tropisk och klassisk addition:
elementen i R saknar inverser med avseende på räknesättet ” +”. Med andra ord
så finns det ingen tropisk subtraktion. Vad värre är, den här gång fungerar det inte
att lägga till nya element och på så sätt skapa inverser. I själva verket är ” +”en
idempotent operation, det vill säga ”x + x” = x ihelaT! Vi har alltså inget annat
val än att vänja oss vid denna brist på symmetri för ” +”.
Men bortsett från den sista punkten så uppfyller T tillsammans med räknesätten
” + ”och”◊ ” alla andra egenskaper för en kropp. Till exempel så är 0 ett
identitetselement för tropisk multiplikation, och samtliga element i T utom ≠Œ
har ett inverst element i ”1/x” = ≠x. Man säger att T är en halvkropp.
Det gäller att vara försiktig då man börjar räkna tropiskt så man inte går för
fort fram! Till exempel så gäller att ”2x” ”= ”x + x” utan istället ”2x” = x +2,
på samma sätt som ”1x” ”= x utan istället ”1x” = x +1,ochäven”0x” = x och
”(≠1)x” = x ≠ 1.
1.2 Tropiska polynom
Efter att ha definierat tropisk addition och multiplikation, så faller det sig naturligt
att vi också vill införa uttryck på formen P (x)=”
q
d
i=0
a
i
x
i
” där a
i
œ T,detvill
säga tropiska polynom
2
. Skriver man om P (x) med klassisk notation så får man
P (x) = max
d
i=0
(a
i
+ ix). Här kommer några exempel på tropiska polynom:
”x” = x, ”1+x” = max(1,x), ”1+x +3x
2
” = max(1,x,2x + 3),
”1+x +3x
2
+(≠2)x
3
” = max(1,x,2x +3, 3x ≠ 2).
2
Vi betraktar här polynomfunktioner snarare än algebraiska polynom.
4 Erwan Brugallé Normat 1/2011
Vi vill nu bestämma rötterna till ett tropiskt polynom. Men allra först, vad är
en tropisk rot? Vi möter nu ett problem som förblir återkommande inom tropisk
matematik: en klassisk företeelse har oftast ett flertal definitioner som är ekvivlenta
i den klassiska världen, men inte längre är så i ett tropiskt sammanhang. Varje
definition av ett och samma klassiska objekt kan alltså potentiellt se tt generera
olika tropiska objekt.
Den första definitionen av en rot till ett klassiskt polynom P (x) är ett element
x
0
sådant att P (x
0
)=0. Om man skulle översätta denna definition till ett tropiskt
algebraiskt språk så skulle man alltså söka ett element x
0
œ T så att P (x
0
)=≠Œ.
Men om a
0
är den konstanta termen i polynomet P (x) så gäller nu att P (x) Ø a
0
för alla x i T. Polynomet P (x) saknar alltså rötter i alla fall då a
0
”= ≠Œ.Det
säger sig självt att denna definition inte är särskilt tillfredställande.
Alternativt så är x
0
en rot till polynomet P (x) om det existerar ett polynom Q(x)
så att P (x)=(x≠x
0
)Q(x). Vi ska få se att denna definition är den som bäst lämpar
sig för översättning till tropisk algebra. För att förstå detta väljer vi att betrakta
problemet med ett geometriskt synsätt. Ett tropiskt polynom är en styckvis affin
funktion (se figur 2), och vi kallar alla de punkter x
0
œ T där grafen av P (x) har
ett hörn för tropiska rötter till P (x). Skillnaden i lutning mellan två till en rot
angränsande linjestycken kallas rotens grad. Alltså har polynomet ”0+x” den
enkla roten 0, polynomet ”0+x +(≠1)x
2
” har de två enkla rötterna 0 och 1,och
polynomet ”0+x
2
” har en dubbelrot i x
0
=0.
(!
8
, !
8
)
0
0
(!
8
, !
8
)
0
0
1
(!
8
, !
8
)
0
0
a) P (x)=”0+x”b)P (x)=”0+x +(≠1)x
2
”c)P (x)=”0+x
2
”
Figur 2 : Exempel på grafer för tropiska polynom.
Rötterna till det tropiska polynomet P (x)=”
q
d
i=0
a
i
x
i
” = max
d
i=1
(a
i
+ ix) är
alltså exakt de tropiska tal x
0
för vilka det existerar i ”= j sådana att P (x
0
)=
a
i
+ ix
0
= a
j
+ jx
0
. Man säger att P (x) antar sitt maximum (minst) två gånger
i x
0
. I detta fall är ordningen för roten x
0
det största värde som |i ≠ j| antar
för alla möjliga val av i och j som realiserar detta maximum. Till exempel antas
maximum för P (x)=”0+x + x
2
” tre gånger i 0 och ordningen för denna rot är
två. På samma sätt är x
0
en tropisk rot till P (x) av ordning k om det finns ett
polynom Q(x) sådant att P (x)=”(x + x
0
)
k
Q(x)”. Lägg märke till att faktorn
x≠x
0
i klassisk algebra transformeras till ”x+x
0
” i tropisk algebra, eftersom roten
till polynomet ”x + x
0
” är x
0
och inte ≠x
0
.
Denna definition av tropiska rötter är uppenbarligen mer tillfredställande än
den första. Man har faktiskt följande resultat.
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 5
Proposition 1.1. Den tropiska halvkroppen är algebraiskt sluten, det vill säga
varje tropiskt polynom av grad d har exakt d tropiska rötter räknat med multiplicitet.
Till exempel har man följande faktoriseringar
3
:
”0+x +(≠1)x
2
” = ”(≠1)(x + 0)(x + 1)”och”0+x
2
” = ”(x + 0)
2
”
1.3 Övningar
1. Tropisk addition är som sagt idempotent. På vilket sätt förhindrar detta
existensen av tropisk subtraktion?
2. Skissa graferna till de tropiska polynomen P (x)=”x
3
+2x
2
+3x+(≠1)” och
Q(x)=”x
3
+(≠2)x
2
+2x +(≠1)” samt bestäm deras rötter.
3. Låt a vara ett tal i R och b och c tal i T. Bestä m de tropiska rötterna till de
tropiska polynomen ”ax + b” och ”ax
2
+ bx + c”.
2 Tropiska kurvor
2.1 Definition av begreppet ”tropisk kurva”
Vi tänker nu djärvt drista oss till att öka antalet variabler i våra polynom. Ett
tropiskt polynom i två variabler skrivs P (x, y)=”
q
i,j
a
i,j
x
i
y
j
”, eller i klassisk
notation P (x, y) = max
i,j
(a
i,j
+ix+jy). Således är P (x) en styckvis affin funktion,
och den tropiska kurvan C som definieras av P (x, y) utgörs av brytpunkterna hos
denna funktion. Med andra ord, C består av de punkter (x
0
,y
0
) i T
2
för vilka
maximum antas minst två gånger i (x
0
,y
0
).
Vi kommer fokusera på tropiska kurvor i R
2
snarare än T
2
. Det förändrar inte
allmängiltigheten av det som sägs här, men det gör definitionerna, påståendena
och bilderna tydligare och lättare att förstå.
Betrakta den tropiska linjen definierad av polynomet P (x, y)=”1/2+2x+(≠5)y”.
Man söker alltså de punkter i R
2
som uppfyller ett av följande tre system:
2+x
0
=
1
2
Ø≠5+y
0
, ≠5+y
0
=
1
2
Ø 2+x
0
, 2+x
0
= ≠5+y
0
Ø
1
2
.
Vår tropiska linje är således sammansatt av tre halvlinjer (se figur 3 a):
{(≠3/2,y)|y Æ 11/2}, {(x, 11/2|x Æ≠3/2} och {(x, x + 7)|x Ø≠3/2}.
3
Vi poängterar återigen att dessa likheter stämmer för polynomfunktioner men inte för poly-
nom! ”0+x
2
” och ”(0 + x)
2
” är likvärdiga som polynomfunktioner men ej som polynom.
6 Erwan Brugallé Normat 1/2011
Vi saknar fortfarande e n ingrediens för att kunna ge en rigorös definition av en
tropisk kurva. Brytpunkterna hos e tt tropiskt polynom i två variabler består av
segment och halvlinjer som vi kallar kanter, vilka skär varandra i punkter om
kallas hörn. Som i fallet med polynom i en variabel måste vi för varje kant beakta
skillnaden i lutning hos P (x, y) då man närmar sig kanten från olika håll. Vi
kommer alltså fram till följande formella definition.
Definition 2.1. Låt P (x, y)=”
q
i,j
a
i,j
x
i
y
j
” vara ett tropiskt polynom. Den
tropiska kurvan C som definieras av P (x, y) är mängden av punkter (x
0
,y
0
) i R
2
för vilka det existerar (i, j) ”=(k, l) som uppfyller P (x
0
,y
0
)=a
i,j
+ ix
0
+ jy
0
=
a
k,l
+ kx
0
+ ly
0
.
Givet en kant till C, så definieras vikten av denna kant som maximum av största
gemensamma delare till talen |i ≠ k| och |j ≠ l|,förallapar(i, j) och (k, l) som
svarar mot denna kant.
2
2
a) ”
1
2
+2x +(≠5)y”b)”3+2x +2y +3xy + y
2
+ x
2
”c)”0+x + y
2
+(≠1)x
2
”
Figur 3 : Några tropiska kurvor.
I våra bilder skriver vi ut vikten av en kant endast då vikten är minst 2. I fallet med
den tropiska linjen så har alla kanter vikt 1, se figur 3a. Två exempel på tropiska
kurvor av grad 2 är representerade i figur 3b och 3c. Det tropiska kägelsnittet i
figur 3c har två kanter av vikt 2.
2.2 Den duala uppdelningen
Ett tropiskt polynom P (x, y) ges alltså av maximum av ett ändligt antal affina
funktioner, där varje sådan affin funktion utgör ett monom i P (x, y).Depunkter
i planet för vilka minst två av monomen realiserar maximum utgör precis den
tropiska kurvan C som definieras av P (x, y). Låt oss nu förfina denna studie en
aning och betrakta för varje punkt (x
0
,y
0
) på kurvan C alla monom i P (x, y) som
realiserar maximum i (x
0
,y
0
).
Vi studerar först fallet med den tropiska linjen C definierad av P (x, y)=
”1/2+2x +(≠5)y” (se figur 3a). I punkten (≠3/2, 11/2), hörnet för linjen, har
de tre monomen ”1/2=1/2x
0
y
0
”,”2x =2x
1
y
0
” och ”(≠5)y =(≠5)x
0
y
1
” samma
värde. Exponenterna för dessa monom, det vill säga punkterna (0, 0), (1, 0) och
(0, 1), definierar en triangel
1
(se figur 4a). Längs den horisontella kanten av C
ges värdet av polynomet P (x, y) av monomen 0 och y, alltså av monomen med
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 7
exponenter (0, 0) och (0, 1). Linjesegmentet som definieras av dessa två exponen-
ter är alltså den vertikala kanten hos triangeln
1
. På samma sätt gäller att de
monom som anger värdet för P (x, y) längs den vertikala (respektive med lutning
1) kanten är de med exponenter (0, 0) och (1, 0) (respektive (1, 0) och (0, 1))och
linjesegmentet som definieras av dessa exponenter är den horisontella (respektive
den med lutning ≠1) kanten hos triangeln
1
.
Vad avslöjar då denna lilla övning? Om man betraktar de monom som anger
värdet för P (x, y) i en punkt på den tropiska linjen C, så märker man att hörnet
hos C motsvarar triangeln
1
och att varje kant e på C motsvarar en kant på
1
,
vars lutning är vinkelrät i förhållande till e.
Vi betraktar nu det tropiska kägelsnittet definierat av polynomet P (x, y)=
”3+2x +2y +3xy + x
2
+ y
2
” som visas i figur 3b. Denna kurvas hörn är de fyra
punkterna (≠1, 1), (≠1, 2), (1, ≠1) och (2, ≠1). I vart och ett av dessa hörn (x
0
,y
0
)
ges värdet av P (x, y) av tre monom:
P (≠1, 1) = 3 = y
0
+2 = x
0
+y
0
+3 P (≠1, 2) = y
0
+2 = x
0
+y
0
+3 = 2y
0
P (1, ≠1) = 3 = x
0
+2 = x
0
+y
0
+3 P (2, ≠1) = x
0
+2 = x
0
+y
0
+3 = 2x
0
.
Så för varje hörn på C definierar exponenterna hos de tre motsvarande monomen
en triangel, och de fyra trianglarna gränsar till varandra som i figur 4b. Dessutom,
precis som i fallet med linjen, så gäller att för varje kant i C definierar exponenterna
för de monom som ger värdet av P (x, y) längs e en kant till en (eller två) av dessa
trianglar, och riktningen hos denna kant är vinkelrät mot e.
Låt oss nu förklara detta fenomen i allmänhet. Låt P (x, y)=”
q
i,j
a
i,j
x
i
y
j
”
vara ett godtyckligt tropiskt polynom. Graden hos P (x, y) är det maximala värdet
av i + j för alla koefficienter a
i,j
som är skilda från ≠Œ. Vi antar för enkelhets
skull att samtliga polynom av grad d som vi betraktar i denna text uppfyller att
a
0,0
”= ≠Œ, a
d,0
”= ≠Œ och a
0,d
”= ≠Œ. Detta innebär att det konvexa höljet av
punkterna (i, j) för vilka a
i,j
”= ≠Œ sammanfaller precis med triangeln
d
som
består av hörnen (0, 0), (d, 0) och (0,d).
Om v =(x
0
,y
0
) är ett hörn hos C, s å är konvexa höljet av punkterna (i, j) i
d
fl Z
2
för vilka P (x
0
,y
0
)=a
i,j
+ ix
0
+ jy
0
, en polygon
v
innehållen i
d
.
På samma sätt, om (x
0
,y
0
) är en punkt i det inre av en kant e på C, så är
konvexa höljet av punkterna (i, j) på
d
fl Z
2
där P (x
0
,y
0
)=a
i,j
+ ix
0
+ jy
0
,
ett linjesegment ”
e
inuti
d
. Eftersom det tropiska polynomet är en konvex och
styckvis affin funktion, så bildar unionen av alla polygoner
v
en uppdelning av
d
. Med andra ord är unionen av polygonerna
v
lika med triangeln
d
,ochtvå
polygoner
v
och
v
Õ
har antingen en kant gemensam , ett hörn gemensamt, eller
är helt disjunkta. Dessutom, om e är en kant på C som gränsar till hörnet v, då är
”
e
en kant på
v
, och riktningarna hos e och ”
e
är vinkelräta. Denna uppdelning
av
d
kallas den duala uppdelningen till C.
Som exempel är de duala uppdelningarna av de tropiska kurvorna i figur 3 utrita-
de i figur 4. (De svarta punkterna representerar punkterna med heltalskoordinater,
och är inte nödvändigtvis uppdelningens hörn.)
8 Erwan Brugallé Normat 1/2011
Lägg märke till att e är en kant med vikt w i C om och endast om segmentet
”
e
innehåller w +1punkter i Z
2
. Det betyder att graden av en tropisk kurva kan
avläsas direkt på kurvan: den är summan av vikterna hos de oändliga kanterna i
riktning (≠1, 0) (eller (0, ≠1) eller (1, 1)). Vad mera är, en tropisk kurva ges i sin
tur av sin duala uppdelning upp till translation och skalning av dess kanter.
a) b) c)
Figur 4 : Några duala uppdelningar.
2.3 Balanserade grafer och tropiska kurvor
Den första konsekvensen av denna dualitet är en viss ekvation, kallad jämviktsre-
lationen, som uppfylls vid vart och ett av hörnen på en tropisk kurva. Låt v vara
ett hörn på C med närliggande kanter e
1
,...,e
k
med resp ektive vikter w
1
,...,w
k
.
Eftersom e
i
ligger på en linje (i vanlig mening) vars definierande ekvation har
heltalskoefficienter, så finns en unik vektor v
i
=(–, —) på e
i
som utgår från hör-
net v och där – och — är relativt prima (se figur 5a). I enlighet med föregående
avsnitt kan man ur den duala polygonen
v
i v omedelbart utläsa vektorerna
w
1
v
1
,...,w
k
v
k
: om vi ger randen till
v
moturs orientering, så fås varje kant ”
e
i
på
v
som är dual med e
i
från vektorn w
i
v
i
genom en rotation med vinkeln fi/2
(se figur 5b).
På grund av att
v
är sluten, kan man från det sista omedelbart dra slutsatsen
att vi har följande jämviktsrelation:
k
ÿ
i=1
w
i
v
i
=0.
En graf i R
2
som uppfyller jämviktsrelationen i vart och ett av sina hörn kallas
för en balanserad graf. Vi kommer se att alla tropiska kurvor är balanserade grafer.
Faktum är att det omvända också är sant:
Sats 2.2. En kurva i R
2
är tropisk om och endast om den är en balanserad graf.
Vi kan alltså konstatera att det finns tropiska polynom av grad 3 som motsvarar
de balanserade graferna i figur 6. Vi har i vart och ett av fallen också ritat ut den
duala uppdelningen till kurvan.
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 9
3
v
!
v
a) b)
Figur 5 : Jämviktsrelationen.
2
a) b) c)
Figur 6 : Några tropiska kurvor och deras duala uppdelningar.
2.4 Övningar
1. Rita ut de tropiska kurvorna som definieras av de tropiska polynomen P (x, y)=
”5+5x +5y +4xy +1y
2
+x
2
” och Q(x, y)=”7+4x +y +4xy +3y
2
+(≠3)x
2
”
samt deras duala uppdelningar.
2. En tropisk triangel är ett ändligt område i R
2
begränsat av tre tropiska linjer.
Vilka är de möjliga formerna på en tropisk triangel?
3. Visa att en tropisk kurva av grad d har som mest d
2
hörn.
4. Hitta en ekvation för var och en av de tropiska kurvorna i fi gur 6. Följande
tips kan vara an vändbart: om v är ett hörn för en tropisk kurva som definieras
av ett tropiskt polynom P (x, y), då följer att värdet på P (x, y) i en omgivning
till v enbart ges av monomen som motsvarar den polygon som är dual till v.
10 Erwan Brugallé Normat 1/2011
3 Tropisk snitt-teori
3.1 Bézouts sats
En viktig poäng med den tropiska geometrin är att erbjuda en enkel modell för
algebraisk geometri. Ett exempel är att den grundläggande snitt-teorin för tropis-
ka kurvor kräver betydligt mindre algebraiskt bagage jämfört med dess klassiska
motsvarighet. Vi ska illustrera denna princip i fallet med Bézouts sats, som säger
att två plana algebraiska kurvor av grad d
1
och d
2
skär varandra i d
1
d
2
punkter
4
.
Innan vi går på det allmänna fallet betraktar vi först tropiska linjer och kägelsnitt.
Två tropiska linjer skär varandra i en unik punkt (se figur 7a), precis som i
klassisk geometri. Vi ställer oss nu frågan huruvida en linje och ett kägelsnitt skär
varandra i två punkter. Om man naivt räknar antalet skärningspunkter blir svaret
ibland ja (se figur 7b) och ibland nej (figur 7c).
a) b) c)
Figur 7 : Skärning mellan tropiska linjer och tropiska kägelsnitt.
I själva verket bör den enda skärningspunkten i figur 7c räknas två gånger. Men
varför räkna dubbelt här och bara en gång per skärningspunkt i föregående fall?
Svaret finner vi i den duala uppdelningen till unionen av de båda kurvorna.
Lägg för det första märke till att unionen av de båda tropiska kurvorna C
1
och
C
2
också är en tropisk kurva. Detta innebär att vi lätt verifierar att unionen av
två balanserade grafer också är en balanserad graf, men man inser dessutom att
eftersom de två tropiska kurvorna C
1
och C
2
är definierade av de tropiska polyno-
men P
1
(x, y) respektive P
2
(x, y), så gäller att polynomet Q(x, y)=P
1
(x, y)P
2
(x, y)
definierar kurvan C
1
fi C
2
. Des sutom gäller att graden av C
1
fi C
2
är summan av
graden av C
1
och C
2
. Således har det mening att prata om den duala uppdelningen
till kurvan C
1
fi C
2
.
De duala uppdelningarna till unionen av kurvorna C
1
och C
2
i fallen i figur 7
är avbildade i figur 8. I vart och ett av fallen är hörnen för C
1
fi C
2
desamma
som hörnen för C
1
och C
2
samt skärningspunkterna mellan C
1
och C
2
. Eftersom
varje punkt i C
1
fl C
2
är en skärningspunkt mellan en kant i C
1
och en kant i C
2
4
Lägg märke till att detta är en sats i projektiv geomet ri! Till exempel så kan ju två affina
linjer vara parallella...
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 11
så är den duala polygonen till e tt sådant hörn i C
1
fi C
2
en parallellogram. För
att göra figur 8 tydligare har vi samma färg på den duala uppdelningen som på
dess duala kant. Vi konstaterar nu att de tre parallellogrammer som motsvarar
skärningspunkterna i figur 8a alla har area 1, medan parallellogrammen i figur 8c
har area 2! Således verkar det som att man måste räkna varje skärningspunkt med
multiplicitet definierad enligt nedan.
Definition 3.1. Låt C
1
och C
2
vara två tropiska kurvor som skär varandra i ett
ändligt antal punkter och enbart utanför hörnen för de två kurvorna, och låt p vara
en av skärningspunkterna mellan C
1
och C
2
. Multipliciteten för p är då arean av
den duala parallellogrammen till p i den duala uppdelningen till C
1
fi C
2
.
a) b) c)
Figur 8 : Duala uppdelningarna till unionen av kurvorna i figur 7.
Med denna definition så blir problemet att visa Bézouts sats rena barnleken.
Sats 3.2. Låt C
1
och C
2
vara två tropiska kurvor av grad d
1
och d
2
som skär
varandra i ett ändligt antal punkter och utanför kurvornas hörn. Då är summan
av de tropiska multipliciteterna hos skärningspunkterna mellan C
1
och C
2
lika med
d
1
d
2
.
Bevis. Låt s vara denna summa. Det finns då tre sorters polygoner i den duala
uppdelningen till den tropiska kurvan C
1
fi C
2
:
• de som är duala till ett hörn i C
1
. Summan av deras area är lika med arean
av
d
1
, alltså d
2
1
/2.
• de som är duala till ett hörn i C
2
. Summan av deras area är lika med d
2
2
/2.
• de som är duala till en skärningspunkt mellan C
1
och C
2
. Summan av deras
area är lika med s.
Eftersom kurvan C
1
fi C
2
är av grad d
1
+ d
2
så är summan av samtliga dessa
polygoner lika med arean av
d
1
+d
2
, alltså (d
1
+ d
2
)
2
/2 och vi får
s =
(d
1
+ d
2
)
2
≠ d
2
1
≠ d
2
2
2
= d
1
d
2
.
12 Erwan Brugallé Normat 1/2011
3.2 Stabilt snitt
Så här långt har vi begränsat oss till att betrakta tropiska kurvor som skär varandra
”snällt”, med andra ord i ett ändligt antal punkter och utanför kurvornas hörn.
Men vad kan man säga i de två fall som representeras i figur 9a (två tropiska linjer
som skär varandra längs en kant) och b (en linje som går genom hörnet på en
konisk kurva)? Lyckligtvis så har vi mer än ett tropiskt trick i fickan.
a) b)
ε v
ε v
c) d)
Figur 9 : Icke vinkelrät skärning med translation.
Låt Á vara ett litet reellt tal och v vara en vektor där förhållandet mellan de två
koordinaterna är ett irrationellt tal. Om man i vart och ett av fallen translaterar
en av de två kurvorna med vektorn Áv, så återfår man ett snällt fall av skärning
(se figur 9c och d). Upp enbarligen beror våra nya skärningspunkter på vektorn Áv.
Gränsvärdet av dessa punkter då Á närmar sig 0 beror dock inte på v, detta är
de stabila skärningspunkterna för de två kurvorna. Multipliciteten för de stabila
skärningspunkterna är lika med summan av multipliciteten för skärningspunkterna
vars gränsvärden de är.
Till exempel är den stabila skärningspunkten för de två linjerna i figur 9a ett
hörn för den vänstra linjen, och har multiplicitet 1. Våra två tropiska linjer skär
alltså varandra mycket riktigt i en punkt. Den stabila skärningspunkten för de två
tropiska kurvorna i figur 9b är ett hörn på det tropiska kägelsnittet, och skärnings-
punkten har multiplicitet 2.
Lägg märke till att stabila skärningspunkter för två tropiska kurvor är koncen-
trerade till isolerade skärningspunkter eller hörn för de två kurvorna. Tack vare
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 13
stabil skärning, så kan vi ta bort hypoteserna om lämpliga lägen för kurvorna i
formuleringen av Bézouts sats.
Sats 3.3. Låt C
1
och C
2
vara två tropiska kurvor av grad d
1
och d
2
.Summanav
multipliciteten för de stabila skärningspunkterna är lika med d
1
d
2
.
Vi upptäcker här i förbigående en förvånande tropisk egenskap: en tropisk kurva
har ett väldefinierad
5
självsnittspunkt! Det räcker att helt enkelt tänka sig en kurvas
stabila skärningspunkt med sig själv. Efter vad som sagts här inser vi att detta
självsnitt är koncentrerat i hörnen på kurvan (se figur 10).
Figur 10 : Självsnitt i fyra punkter för en tropisk konisk kurva.
3.3 Övningar
1. Bestäm de stabila skärningspunkterna för de två tropiska kurvorna i övning
1 i avsnitt 2, och bestäm också skärningspunkternas multiplicitet.
2. En dubbelpunkt på en tropisk kurva är en punkt där två av kurvans kanter
skär varandra. Visa att ett tropisk kägelsnitt med en dubbelpunkt är en union
av två tropiska linjer. Det kan hjälpa att betrakta en linje som går genom
dubbelpunkten och ett annat av kurvans hörn.
3. Visa att en tropisk kurva av grad tre med två dubbelpunkter är en union av
en tropisk linje och ett tropisk kägelsnitt. Visa att en tropisk kurva av grad
tre med tre dubbelpunkter är en union av tre tropiska linjer.
4 Några ytterligare förklaringar
Låt oss stanna till här en stund i studiet av själva den tropiska geometrin, och
begrunda orsakerna till des s starka band till den klassiska geometrin. Vårt mål är
i synnerhet att illustrera det faktum att tropisk geometri kan ses som ett gränsvärde
av den klassiska geometrin. För att grovt sammanfatta denna del av texten, så är
tropisk geometri bilden av den klassiska geometrin avbildad med logaritmen me d
bas Œ.
5
Iklassiskalgebraiskgeometriärendastantaletegenskärningspunkterdefinierat,intedessläge
på kurvan. En linje skär sig själv i en punkt, men det är oklart var...
14 Erwan Brugallé Normat 1/2011
4.1 Maslovs dekvantisering
Låt oss först förklara varför den tropiska halvkroppen naturligt uppstår som gräns-
värde till den klassiska halvkroppen. Denna process, kallad dekvantisering av de
reella talen, studerades av Victor Maslov och hans medarbetare under 90-talet. En
välkänd halvkropp är (R
+
, +, ◊), de positiva reella talen inklusive noll tillsammans
med klassisk addition och multiplikation. Om t är ett tal s trikt s törre än noll, så
bildar logaritmavbildningen med bas t en bijektion mellan R
+
och T och denna bi-
jektion inducerar en halvkroppsstruktur på T, där operationerna ” +
t
” och ” ◊
t
”,
ges av:
”x +
t
y” = log
t
(t
x
+ t
y
) och ”x ◊
t
y” = log
t
(t
x
t
y
)=x + y.
Redan här ser vi alltså hur klassisk addition fungerar som en sorts exotisk mul-
tiplikation på T. Lägg märke till att från denna konstruktion följer att alla halv-
kropparna (T, ” +
t
”, ” ◊
t
”) är isomorfa med (R
+
, +, ◊). De n triviala olikheten
max(x, y) Æ x + y Æ 2 max (x, y) på R
+
tillsammans med tillväxten hos logaritm-
funktionen ger oss följande begränsningar:
’t>0, max(x, y) Æ ”x ◊
t
y” Æ max(x, y) + log
t
2.
När t går mot oändligheten så närmar sig log
t
2 noll, och räknesättet ”+
t
” närmar
sig då den tropiska additionen ” +”! På detta sätt uppstår alltså den tropiska
halvkroppen naturligt som en degenererad version av den klassiska halvkroppen
(R
+
, +, ◊). Alternativt kan man betrakta den klassiska halvkroppen (R
+
, +, ◊)
som en deformation av den tropiska halvkroppen, därav termen ”dekvantisering”.
4.2 Dekvantisering av en linje i planet
Låt oss tillämpa ett liknande resonemang på linjen i R
2
definierad av ekvationen
x≠y+1 (se figur 11a). Avbilda först alla fyra kvadranter på den positiva kvadranten
genom att ta absolutbelopp (se figur 11b). Bilden av logaritmen i bas t av denna
hopvikta kurva i (Rú
+
)
2
liknar bilden i figur 11c. Att ta t-logaritmen innebär enligt
definition att först ta den naturliga logaritmen och sedan skala med faktorn
1
ln t
.
När t ökar, så koncentrerar sig bilden av t-logaritmen av absolutbeloppet av vår
linje till en omgivning av origo och de tre asymtotiska riktningarna (se figur 11c,d
och e). Och när man låter t gå mot oändligheten så framträder i figur 11f... en
tropisk kurva!
5 Patchwork
Figur 11 från vänster till höger beskriver hur en klassisk kurva i planet övergår i
en tropisk linje. Faktum är att händelseförloppet då man istället går från höger
till vänster i figuren ovan är ännu intressantare! Det visar nämligen hur man
konstruerar en klass isk linje från en tropisk linje. Den teknik som kallas patchwork
är en generalisering av denna observation. Den utgör en rent kombinatorisk metod
för att konstruera reella alge braiska kurvor utifrån tropiska kurvor. Men innan vi
förklarar denna metod i detalj, så vandrar vi lite bakåt i tiden.
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 15
a) b) c)
d) e) f)
Figur 11 : Dekvantisering av en linje.
5.1 Hilberts 16e problem
En reell algebraisk kurva i planet är en kurva i R
2
definierad av en ekvation på
formen P (x, y)=0där P (x, y) är ett polynom med reella koefficie nter. De reella
algebraiska kurvorna av grad ett och två är enkla och välkända, de är de så kallade
kägelsnitten. Allt eftersom graden hos P (x, y) ökar blir bilden som ges av ekva-
tionen P (x, y)=0mer och mer komplicerad. För att övertyga sig om detta kan
man slänga ett öga på figur 12 där vi avbildat några möjliga bilder givna av reella
algebraiska fjärdegradskurvor.
En sats av Axel Harnack från slutet av 1800-talet säger att en plan reell algebraisk
kurva av grad d består av högst d(d ≠ 1)/2+1 sammanhängande komponenter.
Men hur kan dessa komponenter vara placerade i förhållande till varandra? Med
ett arrangemang till en plan reell algebraisk kurva menar man positionen hos dess
komponenter i planet relativt varandra. Med andra ord så bryr man sig inte om
exakt var i planet kurvan befinner sig, utan enbart hur komponenterna förhåller sig
till varandra. Om en kurva till exempel har två disjunkta komponenter, så är man
bara intresserad av huruvida den ena är placerad inuti den andra (se figur 12a),
eller inte (se figur 12c). Vid den andra internationella matematikerkongressen i
Paris år 1900, presenterade David Hilbert sin berömda lista med 23 problem för
1900-talets matematiker, och den första delen i hans 16e problem kan tolkas i en
(mycket) utvidgad form på följande sätt: För ett allmänt d, ange alla möjliga
arrangemang för en reell algebraisk kurva av grad d.
16 Erwan Brugallé Normat 1/2011
a) b)
c) d)
Figur 12 : Några reella algebraiska kurvor av grad 4.
På Hilberts tid var svaret känt för kurvor av grad högst fyra. Trots spektakulära
framsteg rörande detta problem under 1900-talet, främst från ryska matematiker,
återstår ett stort antal frågor obesvarade
6
än idag...
5.2 Reella kurvor och tropiska kurvor
Det är i allmänhet ett svårt problem att konstruera en reell algebraisk kurva av
given grad som uppfyller ett givet arrangemang. Under mer än ett sekels tid har
matematiker föreslagit talrika intrikata metoder för detta. Patchwork-metoden
som uppfanns av Oleg Viro på sjuttiotalet är en av de kraftfullaste. Vid denna
tidpunkt existerade ännu inte den tropiska matematiken, och Viro presenterade
sina resultat i ett annat språk än vi gör här. Han insåg dock mot slutet av nittio-
talet att patchwork-metoden kunde tolkas som en kvantisering av tropiska kurvor.
Patchwork innebär alltså att läsa figur 11 från höger till vänster istället för från
vänster till höger. Tack vare denna nya tolkning kunde Mikhalkin kort därefter ge-
neralisera Viros ursprungliga metod. Vi ger här en förenklad version av patchwork,
den intresserade läsaren kan hitta en mer komplett version i referenserna listade i
avsnitt 6.
Om a och b är två heltal så betecknar vi med s
a,b
: R
2
æ R
2
sammansättningen
av a speglingar med avseende på x-axeln följt av b speglingar med avseende på
6
Ett mer rimligt och naturligt problem består i att undersöka arrangemange n för komponen-
terna hos reella icke-singulära projektiva algebraiska kurvor. För detta mer precisa problem är
svaret känt upp till grad sju. Detta är en sats av Oleg Viro och patchwork-tekniken har en
fundamental roll i beviset.
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 17
y-axeln. Värdena på a och b är bara viktiga modulo 2, och vi låter s
0,0
vara
identitetsavbildningen medan s
0,1
är speglingen med avseende på x-axeln, s
1,0
står
för speglingen med avseende på y-axeln och slutligen får s
1,1
vara speglingen med
avseende på origo.
Vi förklarar nu patchwork-proceduren i detalj. Låt C vara en tropisk kurva av
grad d som endast har kanter med udda vikt och där alla polygoner i den duala
uppdelningen är trianglar. Man kan till exempel välja den tropiska linjen i figur
13a. För varje kant e på C väljer vi en heltalsvektor v
e
=(–
e
,—
e
) parallell med
e där –
e
och —
e
är relativt prima. I fallet med den tropiska linjen kan man ta
vektorerna (1, 0), (0, 1),och(1, 1). Nu tänker vi oss att det plan R
2
där vår tro-
piska kurva lever i själva verket är den positiva kvadranten (Rú
+
)
2
i R
2
, och vi tar
unionen av vår kurva med sina tre spegelbilder i förhållande till axlarna. I fallet
med den tropiska linjen, får vi då figur 13b. För varje kant e av vår kurva, radera
två av de fyra symmetriska kopiorna, säg e
Õ
och e
ÕÕ
, enligt de två följande reglerna:
• e
Õ
= s
–
e
,—
e
(e
ÕÕ
)
• för varje hörn v på C med närliggande kanter e
1
, e
2
och e
3
och för varje par
(Á
1
,Á
2
) i {0, 1}
2
, ska exakt en av de tre kopiorna s
Á
1
,Á
2
(e
1
), s
Á
1
,Á
2
(e
2
),och
s
Á
1
,Á
2
(e
3
) raderas.
Vi kallar resultatet en tropisk reell kurva.OmtillexempelC är en tropisk linje,
så är det möjligt att radera sex speglade kanter genom att följa de två reglerna för
att erhålla den reella tropiska linjen som visas i figur 13c. Även om denna reella
tropiska kurva är en rät linje, så representerar den ändock samma arrangemang
som en klassisk linje i R
2
(se figur 13d)!
Detta förhåller sig inte så av en slump, utan är i själva verket en sats.
Sats 5.1 (O. Viro). Varje tropisk kurva av grad d reliserar samma arrangemang
som en reell algebraisk kurva av samma grad.
Vilken skönhet och vilket djup detta påstående innehåller! Faktum är att en reell
tropisk kurva är uppbyggd efter kombinatoriska spelregler, och det påminner starkt
om trolleri att den kan ha ett förhållande till en reell algebraisk kurva! Vi ska inte
göra det här, men Viros sats tillåter oss till och med att bestämma ekvationen för
en reell algebraisk kurva som realiserar samma arrangemang som en given reell
tropisk kurva. Vi använder nu denna sats för att visa existensen av två reella
algebraiska kurvor, en av grad tre och en av grad sex.
Betrakta först den tropiska kurvan av grad tre som representeras i figur 14a.
För ett lämpligt val av kanter att radera så illustrerar figur 14b och 14c de två
etapperna i patchwork-proceduren. Vi har därmed bevisat existe nsen av en reell
algebraisk kurva av grad tre som liknar bilden i figur 14d.
Låt oss till sist betrakta den tropiska kurvan av grad sex som representeras i figur
15a. Med ett lämpligt val av kanter att radera så ger patchwork-meto den kurvan
i figur 15c. En reell algebraisk kurva av grad sex antar samma arrangemang som
18 Erwan Brugallé Normat 1/2011
a) b)
c) d)
Figur 13 : Patchwork för en linje.
denna reella tropiska kurva som ursprungligen konstruerades på 60-talet av Gud-
kov, med betydligt mer komplicerade medel. Det kan förtjänas att nämnas att
Hilbert år 1900 påstod att en sådan kurva inte kunde existera.
5.3 Amöbor
Dekvantiseringen av en linje är den idé som ligger bakom patchwork-metoden, men
det fulla beviset för Viros sats är lite för tekniskt för att här skrivas ut i sin helhet.
Vi nöjer oss med att skissa konturerna.
Eftersom kroppen R inte är algebraiskt sluten, så ska vi inte arbeta med reella
algebraiska kurvor, utan mer allmänt med komplexa algebraiska kurvor, alltså del-
mängder i (C
ú
)
2
som definieras av en ekvation på formen P (x, y)=0där P (x, y)
är ett polynom med komplexa koefficienter (som ju även kan vara reella). För ett
reellt positivt tal t så definierar vi avbildningen Log
t
på (C
ú
)
2
enligt följande:
Log
t
(C
ú
)
2
≠æ R
2
(z,w) ‘≠æ (log
t
|z|, log
t
|w|)
.
Bilden A
t
(P ) av en algebraisk kurva med ekvation P (x, y)=0under Log
t
-
avbildningen kallas kurvans amöba i bas t. Följande sats bildar en fundamental
länk mellan algebraisk geometri och tropisk geom etri: varje tropisk kurva är ett
gränsvärde av amöbor av komplexa algebraiska kurvor.
Sats 5.2 (G. Mikhalkin, H. Rullgård). Låt P
Œ
(x, y)=”
q
i,j
a
i,j
x
i
y
j
” vara ett
tropiskt polynom, och välj för varje koefficient a
i,j
som är skilt från ≠Œ ett kom-
plext nollskilt tal –
i,j
.Förallat>0, definierar vi det komplexa polynomet
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 19
a) b)
c) d)
Figur 14 : Patchwork för en kubisk kurva.
P
t
(x, y)=
q
i,j
–
i,j
t
≠a
i,j
x
i
y
j
. Då konvergerar amöban A
t
(P
t
) mot den tropiska
kurvan definierad av P
Œ
(x, y) när t går mot oändligheten.
Dekvantiseringen av linjen i avsnitt 4.2 är ett specialfall av detta påstående:
amöban i bas t för linjen med ekvation t
0
x ≠ t
0
y + t
0
1=0konvergerar mot den
tropiska linjen definierad av ”0x +0y + 0”. Man kan härleda Viros sats från
föregående, genom att bland annat lägga märke till att om –
i,j
är reella tal, så är
kurvorna som definieras av polynomen P
t
(x, y) reella algebraiska kurvor.
5.4 Övningar
1. Konstruera en tropisk reell kurva av grad två som realiserar samma a rrange-
mang som en hyperbel i R
2
. Gör samma sak med en parabel. Kan man
konstruera en reell tropisk kurva som har samma arrangemang som en el-
lips?
2. Visa med hjälp av patchwork att det finns en reell algebraisk kurva av grad
fyra som har samma arrangemang som i figur 12b. Man kan få inspiration
från konstruktionen som illustreras i figur 14.
3. Visa att för varje grad d så finns en plan reell algebraisk kurva med d(d ≠
1)/2+1sammanhängande komponenter.
20 Erwan Brugallé Normat 1/2011
a) b)
c)
Figur 15 : Gudkovs kurva.
6Referenser
Slutligen, för att inte dränka läsaren i en uppsjö av mer eller mindre åtkomliga
referenser, så hänvisar vi till inledande texter i tropisk geometri och dess tillämp-
ningar. För mer specialiserade hänvisningar kan man vända sig till de referenser
som citeras i texten. En varning här: vissa författare i tropisk algebra föredrar att
använda sig av minimum istället för maximum!
Introduktionerna i tropisk geometri [BPS08] och [SS] vänder sig till läsare med
en minimal matematisk bakgrund. Mer e rfarna läsare kan också läsa böckerna
[RGST05], [IMS07] eller [Gat]. För professionella geometriker kan vi rekommendera
de toppmoderna texterna [Mik04] och [Mik06].
Normat 1/2011 Erwan Brugallé 21
För att få veta mer om Hilberts 16e problem, patchwork, Maslovs dekvantisering
och amöbor av algebraiska kurvor, hänvisar vi till texterna [Vir01], [Vir08], [IV96]
och [Mik04] samt till webbsidan [Vir].
För att avsluta vår introduktion i tropisk geometri, vill vi poängtera att denna
teori har effektiva tillämpningar inom ett antal olika områden förutom Hilberts 16e
problem. Till exempel kan vi nämna enumerativ geometri, kombinatorik, spegel-
symmetri och matematisk biologi.
Referenser
[BPS08] N. Berline, A. Plagne, och C. Sabbah, redaktörer. Géométrie tropicale
Éditions de l’École Polytechnique, Palaiseau, 2008. 128 sidor.
[Gat] A. Gathmann. Tropical algebraic geometry. arXiv : math.AG/0601322.
[IMS07] I. Itenberg, G Mikhalkin, och E. Shustin. Tropical Algebraic Geometry,
band 35 Oberwolfach Seminars Series. Birkhäuser, 2007.
[IV96] I. Itenberg och O. Viro. Patchworking algebraic curves disproves the
Ragsdale conjecture. Math. Intelligencer,18(4):19–28,1996.
[Mik04] G. Mikhalkin. Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry.
Different faces of geometry, band 3 Int. Math. Ser. (N. Y.), sidor 257–300.
Kluwer/Plenum, New York, 2004.
[Mik06] G. Mikhalkin. Tropical geometry and its applications. International
Congress of Mathematicians. Vol. II, sidor 827–852. Eur. Math. Soc.,
Zürich, 2006.
[RGST05] J. Richter-Gebert, B. Sturmfels, och T. Theobald. First steps in tropical
geometry. Idempotent mathematics and mathematical physics, band 377
Contemp. Math., sidor 289–317. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
[SS] D. Speyer and B. Sturmfe ls. Tropical mathematics. Mathematics Magazine.
Kurs given på Clay Mathematics Institute, Park City, Utah, tillgänglig via
http://arxiv.org/abs/math.CO/0408099.
[Vir] O. Viro. http://www.pdmi.ras.ru/≥olegviro/patchworking.html.
[Vir01] O. Viro. Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper.
European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), band 201
Progr. Math., sidor 135–146. Birkhäuser, Basel, 2001.
[Vir08] O. Viro. From the sixteenth Hilbert problem to tropical geometry. Japanese
Journal of Mathematics,3(2),2008.
