22 Normat 59:1, 22–43 (2011)
Rækkefremstillinger i L
2
(R) frembragt af tri-
gonometriske funktioner
Ole Christensen
a
og Mads Sielemann Jakobsen
b
Technical University of Denmark
a
Ole.Christensen@mat.dtu.dk
b
s082776@student.dtu.dk
Rækkeudviklinger spiller en central rolle i matematik og dens anvendelser. For
eksempel giver Fourierrækkerne en bekvem fremstilling af periodiske funktioner i
termer af komplekse eksponentialfunktioner. Imidlertid er Fourierrækkernes anven-
delighed begrænset til periodiske funktioner; man kan altså ikke benytte dem til
at opnå rækkefremstillinger af generelle funktioner i L
2
(R).
Vi skal i denne artikel give en kort introduktion til den mo derne teori for Gabor
systemer, og vise hvorledes de såkaldte Gabor frames og deres duale frames leder
til bekvemme rækkefremstillinger af funktioner i L
2
(R). De konstruktioner der op-
træder i litteraturen er baseret på kompakt støttede funktioner g, der tilfredsstiller
den såkaldte partition of unity condition
ÿ
kœZ
g(x ≠k)=1,xœ R. (0.1)
I artiklen viser vi hvorledes man kan konstruere nye eksempler på Gabor frames og
tilhørende duale frames, baserede på visse funktioner der ikke opfylder betingelsen
(0.1). Konstruktionerne er baserede på elementære trigonometriske funktioner.
Vi begynder i afsnit 1 med en kort gennemgang af de nødvendige resultater
fra Fourieranalysen og en række centrale resultater fra Gabor analysen. De nye
resultater præsenteres i afsnit 2. Beviserne er elementære, men omfattende; de er
derfor placerede separat i appendiks A og appendiks B.
1 Fourierrækker og Gabor analyse
Vi vil i dette afsnit give en kort præsentation af de centrale aspekter af Fouriera-
nalysen og Gabor analysen.
1.1 Fourierrækker
Lad os betragte vektorrummet
L
2
(0, 1) :=
;
f :]0, 1[æ C
-
-
⁄
1
0
|f(x)|
2
dx < Œ
<
.
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 23
Det er velkendt at L
2
(0, 1) er et Hilbertrum med hensyn til det indre produkt givet
ved
Èf,gÍ =
⁄
1
0
f(x) g(x) dx , f, g œ L
2
(0, 1) . (1.1)
Til enhver funktion f œ L
2
(0, 1) knyttes den såkaldte Fourierrække, givet ved
f ≥
ÿ
mœZ
c
m
e
2fiim(·)
, (1.2)
hvor Fourierkoefficienterne c
m
er givet ved
c
m
=
⁄
1
0
f(x) e
≠2fiimx
dx = Èf,e
2fiim(·)
Í. (1.3)
Antagelsen f œ L
2
(0, 1) sørger for at koefficienterne c
m
er veldefinerede. Det er
velkendt at funktionerne {e
2fiimx
}
mœZ
udgør en ortonormalbasis for L
2
(0, 1), og at
Fourierrækken er den tilsvarende rækkeudvikling. Den præcise fortolkning af (1.2)
er således at
⁄
1
0
-
-
-
f(x) ≠
N
ÿ
m=≠N
c
m
e
2fiimx
-
-
-
2
dx æ 0 for N æŒ. (1.4)
Specielt er der altså i (1.2) ikke nødvendigvis tale om punktvis konvergens,
hvilket er grunden til at vi har benyttet symbolet "≥".
1.2 En speciel ortonormalbasis for L
2
(R)
Som nævnt er Fourierrækkernes anvendelighed stort set begrænset til periodiske
funktioner. Målet for denne artikel er at konstruere rækkefremstillinger for kvadra-
tisk integrable funktioner på R, altså funktioner i vektorrummet
L
2
(R):=
;
f : R æ C
-
-
⁄
Œ
≠Œ
|f(x)|
2
dx < Œ
<
.
Det er velkendt at L
2
(R) er et Hilbertrum med hensyn til det indre produkt givet
ved
Èf,gÍ =
⁄
Œ
≠Œ
f(x)
g(x) dx , f, g œ L
2
(R) . (1.5)
Ideerne i den klassiske Fourieranalyse kan benyttes til at konstruere en speciel
ortonormalbasis for L
2
(R):
Eksempel 1.1 Lad ‰
[0,1]
betegne den karakteristiske funktion for intervallet [0, 1].
Ifølge den klassiske Fourieranalyse er {e
2fiimx
‰
[0,1]
(x)}
mœZ
en ortonormalbasis for
L
2
(0, 1). Det følger heraf at funktionerne
{e
2fiim(x≠n)
‰
[0,1]
(x ≠ n)}
mœZ
= {e
2fiimx
‰
[0,1]
(x ≠ n)}
mœZ
24 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
for enhver given værdi af n œ Z udgør e n ortonormal basis for L
2
(n, n + 1). Ved at
tage foreningen af disse baser, opnås at L
2
(R) har ortonormalbasen
)
e
2fiimx
‰
[0,1]
(x ≠ n)
*
m,nœZ
.
Bemærk at alle funktionerne i denne ortonormalbasis består af translaterede ud-
gaver af funktionen ‰
[0,1]
, som er blevet moduleret, det vil sige multipliceret med
komplekse eksponentialfunktioner. Vi vil se at denne struktur går igen i de generelle
Gabor systemer. ⇤
1.3 Generel definition af et Gabor system
Ved indførelsen af generelle Gabor systemer er det bekvemt at benytte operatorer.
For et givet a œ R definerer vi translationsoperatoren
T
a
: L
2
(R) æ L
2
(R), (T
a
f)(x):=f(x ≠ a).
Tilsvarende defineres for b œ R den tilhørende modulationsoperator
E
b
: L
2
(R) æ L
2
(R), (E
b
f)(x):=e
2fiibx
f(x).
Begge operatorer er lineære, begrænsede, og unitære. For en nærmere analyse hen-
viser vi til bogen [1].
Vælg nu en funktion g œ L
2
(R) og to parametre a, b > 0. Ved Gabor syste-
met frembragt af funktionen g og parametrene a, b forstås systemet af funktioner
bestående af
{(E
mb
T
na
g)(x)}
m,nœZ
= {e
2fiimbx
g(x ≠ na)}
m,nœZ
.
Bemærk at denne generelle definition netop svarer til strukturen af det funktions-
system vi konstruerede i eksempel 1.1. Vi vil normalt undertrykke variablen x og
blot betegne Gabor s ystem et med {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
.
Gabor systemet motiveres altså naturligt udfra Fourierrækkerne og ønsket om at
opnå rækkefremstillinger i L
2
(R). Lad os vise at det også indføres naturligt udfra
Fouriertransformationen:
Eksempel 1.2 Fouriertransformationen af en funktion f œ L
1
(R) defineres ved
‚
f(“):=
⁄
Œ
≠Œ
f(x)e
≠2fiix“
dx, “ œ R.
Det er velkendt at Fouriertransformationen kan udvides til en unitær operator på
L
2
(R). Det er også velkendt at Fouriertransformationen indeholder information om
de frekvenser der optræder i signalet f:hvisf for eksempel beskriver et musiks-
tykke med stort indhold af en bestemt frekvens ‹, så vil |
‚
f(“)| have en stor værdi
netop ved “ = ‹. Imidlertid kan Fouriertransformationen ikke lokalisere hvor i
musikstykket denne frekvens optræder. I praksis løses dette problem ved at man
betragter en såkaldt vinduesfunktion g, der typisk vælges til at være en funktion
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 25
med kompakt støtte, som er konstant på et begrænset interval I og aftager til nul
udenfor intervallet I. Figur 1 giver et eksempel for en sådan funktion. Betragt nu
den såkaldte short-time Fourier transform
V
g
f(t, “)=
⁄
Œ
≠Œ
f(x) g(x ≠ t) e
≠2fiix“
dx , t, “ œ R. (1.6)
Det ses at V
g
f(t, “) for en given værdi af variablen t netop er Fouriertransforma-
tionen af funktionen fT
t
g. Derfor vil V
g
f(t, “) indeholde information om frekven-
sindholdet af signalet f over intervallet t + I. Parameteren t sørger herefter for at
flytte intervallet I over den reelle akse s åledes at frekvensindholdet i hele signalet
kan analyseres.
Bemærk at hvis vi lader f,g œ L
2
(R), så kan vi skrive
V
g
f(t, “)=Èf,E
“
T
t
gÍ. (1.7)
Gabor systemer opstår nu helt naturligt udfra (1.7): istedet for at tillade “
og t at antage alle værdier på den reele akse, så begrænser vi de to parametre
til gitteret {(mb, na)}
m,nœZ
med a, b > 0. Herved bliver {E
“
T
t
g}
“,tœR
til Gabor
systemet {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
.
Figur 1 : Et typisk eksempel på en vinduesfunktion.
⇤
1.4 Gabor systemer og baser
Vi har allerede i eksempel 1.1 set at det er muligt at konstruere et Gabor system
som udgør en ortonormalbasis for L
2
(R). Imidlertid er det i mange sammenhæn-
ge ubekvemt at den er baseret på funktionen ‰
[0,1]
, som ikke er kontinuert. For
eksempel bevirker det at dens Fouriertransformation [‰
[0,1]
(“) går meget langsom
mod nul når “ æŒ, som det fremgår af udtrykket
|[‰
[0,1]
(“)| =
-
-
-
-
sin(fi“ )
fi“
-
-
-
-
.
Det er naturligt at spørge om bedre resultater kan opnås ved at benytte andre
Gabor ortonormalbaser. Resultatet er nedslående, og er i literaturen kendt under
navnet Balian-Low’s theorem:
26 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Sætning 1.3 Lad g œ L
2
(R). Hvis {E
m
T
n
g}
m,nœZ
er en ortonormalbasis for
L
2
(R), så er
3
⁄
Œ
≠Œ
|xg(x)|
2
dx
43
⁄
Œ
≠Œ
|“ˆg(“)|
2
d“
4
= Œ. (1.8)
I ord siger sætningen at en funktion g som frembringer en Gabor ortonormalbasis
ikke kan være lokaliseret både i tid og frekvens: for eksem pel er det umuligt at de
to betingelser
|g(x)|Æ
C
1+x
2
,xœ R, |ˆg(“)|Æ
C
1+“
2
,“œ R
begge er opfyldt. Et bevis for sætningen kan findes i referencerne [7] og [11]. I næste
afsnit beskrives hvorledes dette problem kan løses.
1.5 Gabor frames
At kræve at en samling funktioner er en ortonormalbasis for L
2
(R) er en meget
skrap betingelse. Dette illustreres tydeligt af Balian-Low’s sætning, der viser at det
kan være umuligt at konstruere ortonormalbaser som opfylder ekstra betingelser.
Vi vil i dette afsnit introducere de s åkaldte frames, som tillader os at opnå ræk-
kefremstilinger i stil med dem vi kender fra ortonormalbaser, men under svagere
betingelser. Frames er således mere fleksible end ortonormalbaser, og ofte kan man
konstruere frames med egenskaber som er uforenelige med ortonormalbaser.
Vi bemærker at frames kan betragtes i generelle Hilbertrum, se f.eks. bøgerne
[2], [6], [19]. I denne artikel vil vi nøjes med at betragte Gabor frames i L
2
(R).
Definition 1.4 Lad g œ L
2
(R) og a, b > 0 være givet. Systemet {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
kaldes en Gabor frame hvis der findes konstanter A, B > 0 således at
A||f||
2
Æ
ÿ
m,nœZ
|Èf,E
mb
T
na
gÍ|
2
Æ B ||f||
2
, ’f œ L
2
(R). (1.9)
Systemet {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
kaldes en Besselfølge hvis den øvre betingelse i (1.9) er
opfyldt.
En funktion g der frembringer en Gabor frame {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
for passende pa-
rametre a, b > 0 kaldes i litteraturen for en generator eller window function.
Vi bemærker straks at der i litteraturen findes mange eksempler på Gabor frames
{E
mb
T
na
g}
m,nœZ
, for hvilke funktionen g ikke lider af begrænsningen i Balian–Low’
sætningen. For eksempel blev det vist i 1991 af Lyubarski [15] og Seip & Wallsten
[18] at Gaussfunktionen g(x)=e
≠x
2
frembringer en Gabor frame {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
hvis og kun hvis ab < 1 (beviset er kompliceret og kræver et dybt kendskab til
kompleks analyse). Da Fouriertransformationen af en Gaussfunktion selv er en
Gaussfunktion er de to integraler i (1.8) endelige. Et centralt resultat for Gabor
frames fortæller at en Gabor frame ydermere leder til rækkefrems tillinger i stil med
hvad vi kender for ortonormalbaser, se f.eks. side 214 i [2]:
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 27
Sætning 1.5 Antag at {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
er en Gabor frame. Så findes der (mindst)
en funktion h œ L
2
(R) således at
f =
ÿ
m,nœZ
Èf,E
mb
T
na
hÍE
mb
T
na
g, ’f œ L
2
(R). (1.10)
Man kan vise at hvis {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
er en Gabor frame og {E
mb
T
na
h}
m,nœZ
er
en Bessel følge for hvilken (1.10) gælder, så er {E
mb
T
na
h}
m,nœZ
også en Gabor
frame. Man kalder {E
mb
T
na
h}
m,nœZ
en dual frame, og funktionen h kaldes en dual
generator. Gabor frames {E
mb
T
na
g}
m,nœZ
og de tilhørende duale generatorer er
karakteriserede af Ron & Shen [16], samt Janssen [12]. Vi formulerer resultatet
under de tekniske betingelser der er relevante for vores videre analyse:
Sætning 1.6 Lad g, h œ L
2
(R) være begrænsede funktioner med kompakt support,
og lad a, b > 0 være givne. Så er (1.10) opfyldt hvis og kun hvis
ÿ
kœZ
g(x ≠ n/b ≠ ka)h(x ≠ ka)=b”
n,0
,a.e.xœ [0,a]. (1.11)
Eksplicitte konstruktioner af duale Gab or frames er blevet foretaget af Christensen
og Kim [3], [5], samt Laugesen [14]. Specielt nævnes det følgende resultat fra [3]:
Sætning 1.7 Lad N œ N.Ladg œ L
2
(R) være en begrænset funktion der antager
reelle værdier, og for hvilken supp g ™ [0,N]. Antag endvidere at
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)=1,xœ R. (1.12)
Lad b œ]0,
1
2N≠1
]. Så vil funktionen g og funktionen h givet ved
h(x)=bg(x)+2b
N≠1
ÿ
k=1
g(x + k) (1.13)
frembringe duale Gabor frames {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
og {E
mb
T
n
h}
m,nœZ
for L
2
(R).
Sætning 1.7 kan for eksempel benyttes til at konstruere Gabor frames baseret på
de velkendte B-splines, som vides at opfylde betingelsen (1.12); se [3]. Generelt er
betingelsen (1.12) dog særdeles restriktiv. Formålet med de følgende afsnit er at
vise hvorledes det for specielle trigonometriske funktioner er muligt at konstruere
duale par af Gabor frame s som ikke nødvendigvis opfylder denne betingelse.
Som et første lille skridt nævnes at hvis en funktion g opfylder betingelsen
q
kœZ
g(x ≠ k)=c ”=0,xœ R, (1.14)
så vil
1
c
g opfylde (1.12). Hvis de øvrige betingelser i sætning 1.7 er opfyldt kan resul-
tatet hermed anvendes på funktionen
1
c
g. Vi vil dog se andre eksempler, hvor man
ikke på denne måde kan benytte de kendte resultater via en simpel normalisering.
28 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
2 Frames frembragt af trigonometriske funktioner
Formålet med dette afsnit er at vise at det er muligt at konstruere duale par af
Gabor frames baseret på funktioner g, der ikke opfylder betingelsen (1.12). Resul-
taterne er nye, og er opnåede som en del af fagprojektet [13].
Vi vil betragte funktioner af typen
g(x)=sin
1
÷
3
fix
2
‰
[0,3]
(x) (2.1)
og
g(x)=sin
÷
1
1
3
fix
2
‰
[0,3]
(x), (2.2)
hvor ÷ œ N. Vi vil koncentrere os om at søge duale frames frembragt af funktioner
h svarende til den der benyttes i sætning 1.7, altså
h(x)=Cg(x)+Dg (x + 1) + Eg(x + 2)
for passende konstanter C, D , E œ R.
Vi betragter først funktioner af typen (2.1) Vi starter med at vise at betingelsen
(1.14) ikke er opfyldt for sådanne funktioner:
Proposition 2.1 Lad ÷ œ N og betragt funktionen (2.1). Da gælder følgende:
(i) Funktionen
q
kœZ
g(x ≠ k) er konstant hvis og kun hvis
÷ œ{2, 4, 8, 10,...} = {2+6k | k œ N fi{0}} fi {4+6k | k œ N fi{0}}.
(ii) Hvis ÷ œ{2, 4, 8, 10,...}, så er
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)=0.
Bevis. Bemærk at
q
kœZ
g(x ≠ k) er 1-periodisk. Vi behøver derfor kun betragte
intervalet x œ [0, 1]. På dette interval har vi
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)=sin(
÷
3
fix)+sin(
÷
3
fi(x+1)) + sin(
÷
3
fi(x+2))
=sin(
÷
3
fix)
#
1 + cos(
÷
3
fi) + cos(
2÷
3
fi)
$
+ cos(
÷
3
fix)
#
sin(
÷
3
fi)+sin(
2÷
3
fi)
$
.
Eftersom {1, sin(
÷
3
fix), cos(
÷
3
fix)} er et sæt lineært uafhængige funktioner er oven-
stående konstant, hvis og kun hvis
I
0 = 1 + cos(
÷
3
fi) + cos(
2÷
3
fi),
0=sin(
÷
3
fi)+sin(
2÷
3
fi).
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 29
Sinus- og cosinusfunktionerne er 2fi-periodiske, så det er nok at se på de to ligninger
for ÷ =1,...,6. Det viser sig, at ligningerne er opfyldt for ÷ =2, 4, for hvilke
q
kœZ
g(x ≠k)=0. Af 2fi-periodicitete n følger at dette resultat også holder for alle
lige ÷ hvor ÷/œ 6N. ⇤
Proposition 2.1 viser at vi for funktioner af typen (2.1) ikke kan anvende sætning
1.7. Alligevel viser det sig muligt at konstruere duale generatorer af tilsvarende
form:
Sætning 2.2 Lad ÷ œ N, b œ]0, 1/5] og C, D, E œ R, og betragt funktionerne (2.1)
og
h(x)=
4
3
b
!
Cg(x)+Dg (x + 1) + Eg(x + 2)
"
. (2.3)
Så gælder følgende:
(i) Funktionen g frembringer en Gabor frame {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
med en dual ge-
nerator h af formen (2.3) hvis og kun hvis ÷ œ N \ 3N = {1, 2, 4, 5,...}.
(ii) Hvis ÷ œ N \3N, så er de duale generatorer h på formen (2.3) karakteriserede
ved
C œ R,D=(2C ≠ 1)(≠1)
÷
,E=2C ≠1. (2.4)
Beviset for sætning 2.2 er elementært, men ret langt; se Appendiks A. For ÷ =1, 4
viser figur 2 og 3 nogle eksempler på duale generatorer h.
Korrolar 2. 3 Under antagelserne i sætning 2.2(ii) kan de duale generatorer i
(2.4) skrives på formen
h(x)=h
1
(x)+Ch
2
(x),Cœ R, (2.5)
hvor
h
1
(x)=
4
3
b
!
(≠1)
÷+1
g(x + 1) ≠ g(x + 2)
"
(2.6)
og
h
2
(x)=
4
3
b (g(x) + 2(≠1)
÷
g(x + 1) + 2g(x + 2)) . (2.7)
Bevis. Via (2.4) ses at udtrykket for de duale generatorer kan skrives som
h(x)=
4
3
b (Cg(x)+(2C ≠ 1)(≠1)
÷
g(x + 1) + (2C ≠ 1)g(x + 2))
=
4
3
b
!
(≠1)
÷+1
g(x + 1) ≠ g(x + 2)
"
+
4
3
b (g(x) + 2(≠1)
÷
g(x + 1) + 2g(x + 2)) C
= h
1
(x)+Ch
2
(x).
30 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
⇤
Bemærk lighederne imellem h
2
og de duale generatorer fra sætning 1.7. Når ÷ er
lige fås (pånær en faktor
4
3
) det samme udtryk for h
2
som for funktionen h i (1.13),
på trods af at funktionen g i (2.1) ikke opfylder betingelsen (1.14). Af proposition
2.1 følger at ikke en gang en skalering af g kan få (1.12) opfyldt.
Vi vender os nu mod behandlingen af den anden type generator g beskrevet i
(2.1). Analogt til proposition 2.1 gælder følgende:
Proposition 2.4 Lad ÷ œ N og betragt g(x)=sin
÷
(fix/3)‰
[0,3]
(x). Da opfylder g
betingelsen (1.14) hvis og kun hvis ÷ œ{2, 4}.For÷ =2er
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)=
3
2
og for ÷ =4er
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)=
9
8
.
På trods af at betingelsen (1.14) ikke er opfyldt for ÷/œ{2, 4} er der alligevel
tilfælde hvor en dual generator af den ønskede form eksisterer:
Sætning 2.5 Lad ÷ œ N, b œ]0, 1/5] og C, D, E œ R, og betragt funktionerne
g(x)=sin
÷
!
1
3
fix
"
‰
[0,3]
(x)
og
h(x)=
!
4
3
"
÷
b
!
Cg(x)+Dg (x + 1) + Eg(x + 2)
"
. (2.8)
Så gælder følgende:
(i) Funktionen g frembringer en Gabor frame {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
med en dual ge-
nerator h af formen (2.8) hvis og kun hvis ÷<6.
(ii) For ÷<6 er de duale generatorer h på formen (2.8) karakteriserede af føl-
gende:
÷ =1:C œ R,D=1≠ 2C, E =2C ≠ 1;
÷ =2:C œ R,D=1≠ 2C, E =1≠ 2C;
÷ =3:C =1/3,D =1/3,E = ≠1/3;
÷ =4:C =1/4,D =1/2,E =1/2;
÷ =5:C =1/5,D =3/5,E = ≠3/5.
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 31
Beviset for sætningen kan læses i Appendiks B.
Strukturen af løsningerne i sætning 2.5 er interessant. For eksempel ses at løs-
ningerne for ÷ =1og ÷ =2har samme form, pånær et fortegnsskift på koefficienten
E. Det er også påfaldende at der for ÷ =1, 2 er mulighed for at vælge parameteren
C frit, mens der for ÷ =3, 4, 5 er en entydig løsning. På figur 4 og 5 ses eksempler
på disse par af duale generatorer.
Af proposition 2.4 følger at vi kan opfylde partition of unity condition for ÷ =2, 4
ved skalering af g. Det bemærkes at den entydige dual givet af sætning 2.5 for ÷ =4
også er karakteriseret af sætning 1.7.
Figur 2 : Plot af funktionen g(x)=sin(
1
3
fix)‰
[0,3]
(x) og de duale generatorer h fra
sætning 2.2 for C =0(tv.) og C =1(th.).
Figur 3 : Plot af funktionen g(x)=sin(
4
3
fix)‰
[0,3]
(x) og de duale generatorer h fra
sætning 2.2 for C =0(tv.) og C =1(th.).
32 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Figur 4 : Plot af funktionen g(x)=sin
2
(
1
3
fix)‰
[0,3]
(x) og de duale generatorer fra
sætning 2.5 med C =0(tv.) og C =1/3 (th.).
Figur 5 : Plot af funktionerne g(x)=sin
÷
(
1
3
fix)‰
[0,3]
(x) for ÷ =3, 4, 5 samt de
tilhørende duale generatorer i sætning 2.5.
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 33
A Bevis for sætning 2.2
Lad ÷ œ N. Vi vil karakterisere alle funktioner h œ span{T
≠k
g}
2
k=0
således at
{E
mb
T
n
g}
m,nœZ
og {E
mb
T
n
h}
m,nœZ
er duale frames for L
2
(R).Enfuldstændig
repræsentation af alle funktioner h œ span{T
≠k
g}
2
k=0
er givet ved
h(x)=rg(x)+pg(x + 1) + qg(x + 2) ,p,q,rœ R. (A.1)
Tydeligvis er g og dermed også h begrænset, begge har kompakt support og ligger
i L
2
(R). For at {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
og {E
mb
T
n
h}
m,nœZ
er duale frames for L
2
(R), skal
de to funktioner ifølge sætning 1.6 opfylde
ÿ
kœZ
g(x ≠ n/b ≠ k) h(x ≠ k)=b”
n,0
,a.e.xœ [0, 1]. (A.2)
Da supp g =[0, 3] og supp h =[≠2, 3] er (A.2) opfyldt for n ”=0hvis 1/b Ø 5,
dvs.bœ]0, 1/5]. For n =0skal vi vise at g og h opfylder
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)h(x ≠ k)=b, a.e. x œ [0, 1]. (A.3)
Bemærk at hvis h opfylder
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)h(x ≠ k)=c ”=0,a.e.xœ [0, 1], (A.4)
hvor c er en arbitrær konstant, så vil funktionen
b
c
h opfylde (A.3). Vi vil nu finde
de funktioner h der opfylder (A.4).
Bemærk først, at da supp g =[0, 3] og x œ [0, 1],er
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=
2
ÿ
k=0
g(x + k)h(x + k). (A.5)
Indsættes udtrykkende for g og h i (A.5) fås
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)
= r sin
2
1
÷
3
fix
2
+ r sin
2
1
÷
3
fi(x + 1)
2
+ r sin
2
1
÷
3
fi(x + 2)
2
+ p sin
1
÷
3
fix
2
sin
1
÷
3
fi(x + 1)
2
+ q sin
1
÷
3
fix
2
sin
1
÷
3
fi(x + 2)
2
+ p sin
1
÷
3
fi(x + 1)
2
sin
1
÷
3
fi(x + 2)
2
.
(A.6)
34 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Ved brug af de trigonmetriske idenditeter
sin
2
x + cos
2
x =1, sin(x ± y)=sinx cos y ± cos x sin y,
cos(x ± y)=cosx cos y û sin x sin y, sin 2x =2sinx cos x,
cos 2x = cos
2
x ≠ sin
2
x, 2sin
2
x =1≠ cos 2x,
sin x+siny =2sin
x + y
2
cos
x ≠ y
2
, cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x ≠ y
2
og 2sinx sin y = cos(x ≠ y) ≠ cos(x + y)
kan man omskrive (A.6) til
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)
=
1
2
sin
1
2
3
÷fix
2
5
p sin
1
÷
3
fi
2
+ q sin
1
2
3
÷fi
2
6
≠
1
2
cos
1
2
3
÷fix
2
5
r +(≠1)
÷
p +
1
2(≠1)
÷
r + p
2
cos
1
÷
3
fi
2
+ q cos
1
2
3
÷fi
2
6
+
3
2
r + p cos
1
÷
3
fi
2
+
1
2
q cos
1
2
3
÷fi
2
.
(A.7)
Højresiden i (A.7) er en linearkombination af de tre lineært uafhængige funktio-
ner 1, cos(
2
3
÷fix) og sin(
2
3
÷fix). Derfor er
q
kœZ
g(x + k )h(x + k) konstant, hvis og
kun hvis
Y
_
]
_
[
0=p sin
1
÷
3
fi
2
+ q sin
1
2
3
÷fi
2
, (A.8a)
0=r +(≠1)
÷
p +
1
2(≠1)
÷
r + p
2
cos
1
÷
3
fi
2
+ q cos
1
2
3
÷fi
2
. (A.8b)
Da sinus- og kosinusfunktionerne er 2fi-periodiske kan vi nøjes med at løse (A.8)
for ÷ =1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi betragter nu disse tilfælde separat.
Tilfældet ÷ =1. Ligningerne i (A.8) giver da
Y
_
]
_
[
0=p sin
1
1
3
fi
2
+ q sin
1
2
3
fi
2
=
Ô
3
2
p +
Ô
3
2
q, (A.9a)
0=r ≠ p +(≠2r + p) cos
1
1
3
fi
2
+ q cos
1
2
3
fi
2
= ≠
1
2
p ≠
1
2
q. (A.9b)
Løsningen hertil er q = ≠p. Fra (A.7) får vi dermed
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=
3
2
r + p cos
1
1
3
fi
2
≠
1
2
p cos
1
2
3
fi
2
=
3
2
r +
3
4
p
=
3
4
(2r + p) .
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 35
Heraf følger at (A.3) har løsningerne
h(x)=
4
3
b (2r + p)
≠1
!
rg(x)+pg(x + 1) ≠ pg(x + 2)
"
,
(A.10)
hvor p, r œ R,p”= ≠2r.
Tilfældet ÷ =5. Ligningssystemet (A.8) bliver til
Y
_
]
_
[
0=≠
Ô
3
2
p ≠
Ô
3
2
q, (A.11a)
0=≠
1
2
p ≠
1
2
q. (A.11b)
Igen fås løsningen q = ≠p. De samme udregninger som i tilfældet ÷ =1leder atter
til løsningen angivet i (A.10).
Tilfældet ÷ =3. Ligningssystemet (A.8) giver
;
0=0, (A.12a)
0=3r ≠ 2p + q. (A.12b)
Løsningen er r, p œ R og q = ≠3r +2p. Indsat i (A.7) giver dette at
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=
3
2
r ≠ p +
1
2
q
=
3
2
r ≠ p +
1
2
(≠3r +2p)=0.
I dette tilfælde er det altså ikke muligt at tilfredsstille (A.3).
Tilfældene ÷ =2, 4, 6 gennemgås tilsvarende, og vi udelader detaljerne. Det
viser sig, at kun for ÷ =1, 2, 4, 5 kan g og h være duale generatorer for L
2
(R).
Resultaterne kan sammenfattes til at vi for ÷/œ 3N får de duale generatorer
h(x)=
4
3
b (2r ≠ (≠1)
÷
p)
≠1
!
rg(x)+pg(x + 1) + (≠1)
÷
pg(x + 2)
"
, (A.13)
hvor p, r œ R,p ”=(≠1)
÷
2r. For at omskrive disse løsninger som vist i sætningen
sætter vi nu
C :=
r
2r ≠ (≠1)
÷
p
.
Bemærk at hvis vi fastholder et r ”=0og lader p gennemløbe alle reelle tal, så vil
C kunne antage alle værdier i R \{0}.Oghvisr =0,såerC =0. Konstanten C
kan altså antage alle reelle værdier. Bemærk ydermere, at
(2C ≠ 1)(≠1)
÷
=
p
2r≠(≠1)
÷
p
. (A.14)
36 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Derfor kan alle duale generatorer h af den ønskede form karakteriseres ved
h(x)=
4
3
b
1
Cg(x)+(2C ≠ 1)(≠1)
÷
g(x + 1)+(2C ≠ 1)g(x + 2)
2
,
hvor C œ R. ⇤
B Bevis for sætning 2.5
Inden vi går i gang med beviset for sætning 2.5 skal vi have nogle resultater omkring
trigonometriske funktioner på plads.
Lemma B.1 Lad n œ N. Så findes der koefficienter c
k,n
,d
k,n
”=0således at
sin
2n
x =
n
ÿ
k=0
c
k,n
cos(2kx),
sin
2n≠1
x cos x =
n
ÿ
k=1
d
k,n
sin(2kx).
(B.1)
Bevis. Vi får brug for følgende tre idenditeter. Fra [17] har vi
sin
2n
x =
1
4
n
3
2n
n
4
+
2
(≠4)
n
n≠1
ÿ
k=0
(≠1)
k
3
2n
k
4
cos
!
(n ≠ k)2x
"
. (B.2)
Endvidere kan man vise, at
sin
3
(x) cos(x)=≠
1
8
sin(4x)+
1
4
sin(2x) (B.3)
og ved brug af bla. (B.2), at for n Ø 2 gælder
sin
2n+1
(x) cos(x)=
1
2 · (≠4)
n
sin
!
2(n + 1)x
"
+
n
(≠4)
n
sin(2nx)
+
1
2 · (≠4)
n
n≠2
ÿ
k=0
Ë
(≠1)
k
53
2n
k+2
4
≠
3
2n
k
46
sin
!
2(n≠k≠1)x
"
.
(B.4)
Det viser, at vi for ethvert n œ N kan skrive
sin
2n
x =
n
ÿ
k=0
c
k,n
cos(2kx),
sin
2n≠1
x cos x =
n
ÿ
k=1
d
k,n
sin(2kx).
(B.5)
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 37
Koefficienterne i (B.3) er tydeligvis forskellige fra nul. Eftersom
!
n
k
"
”=0for n Ø k Ø
0 er det klart at at koefficienterne i (B.2) heller ikke er nul. De to første koeffcienter
i (B.4) er åbenlyst ikke nul. Bemærk endvidere at
0=
(≠1)
k
2(≠4)
n
33
2n
k +2
4
≠
3
2n
k
44
… 0=
3
2n
k +2
4
≠
3
2n
k
4
…
(2n)!
k!(2n ≠ k)!
=
(2n)!
(k + 2)!(2n ≠ k ≠ 2)!
.
(B.6)
Simplificeres den sidste ligning fås k = n ≠ 1. I (B.4) antager k dog værdier fra
k =0op til k = n ≠ 2. Koeffi cienten bliver derfor heller ikke nul. Vi har altså vist
at alle koefficienter c
k,n
,d
k,n
i (B.1) er forskellige fra nul. ⇤
Lemma B.2 Lad n œ N. Mængden af funktioner givet ved
)
1, sin x cos x, sin
2
x, sin
3
x cos x, sin
4
x, . . . , sin
2n≠1
x cos x, sin
2n
x
*
er et sæt af lineært uafhængige funktioner.
Bevis. Vi skal vise, at hvis
a
0
· 1+a
1
· sin
2
x + a
2
· sin
4
x + ... + a
n
· sin
2n
x
+ b
1
· sin x cos x + b
2
· sin
3
x cos x + ... + b
n
· sin
2n≠1
x cos x =0,
(B.7)
så er a
0
=0,a
k
= b
k
=0, hvor k =1,...,n.
Fra lemma B.1 fås, at vi for ethvert n œ N kan skrive
sin
2n
x =
n
ÿ
k=0
c
k,n
cos(2kx) ,
sin
2n≠1
x cos x =
n
ÿ
k=1
d
k,n
sin(2kx) ,
(B.8)
hvor alle koefficienter er forskellige fra nul. Ved brug af (B.8) kan vi omskrive (B.7)
til
a
0
· 1+a
1
1
ÿ
k=0
c
k,1
cos(2kx)+a
2
2
ÿ
k=0
c
k,2
cos(2kx)+ ... + a
n
n
ÿ
k=0
c
k,n
cos(2kx)
+ b
1
1
ÿ
k=1
d
k,1
sin(2kx)+b
2
2
ÿ
k=1
d
k,2
sin(2kx)+ ... + b
n
n
ÿ
k=1
d
k,n
sin(2kx)=0
38 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
… 0=a
0
+
n
ÿ
k=1
a
k
c
0,k
+
3
n
ÿ
k=1
a
k
c
1,k
4
cos(2x)+ ...+
3
n
ÿ
k=l
a
k
c
l,k
4
cos(2lx)+...+
3
n
ÿ
k=n
a
k
c
n,k
4
cos(2nx)
+
3
n
ÿ
k=1
b
k
d
1,k
4
sin(2x)+ ...+
3
n
ÿ
k=l
b
k
d
l,k
4
sin(2lx)+ ...+
3
n
ÿ
k=n
b
k
d
n,k
4
sin(2nx).
(B.9)
For ethvert n œ N er mængden
)
1, sin 2x, cos 2x, sin 4x, cos 4x, . . . , sin 2nx, cos 2nx
*
et velkendt sæt af lineært uafhængige funktioner. Ligning (B.9) er derfor opfyldt,
hvis og kun hvis
Y
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
]
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
[
a
0
+
n
ÿ
k=1
a
k
c
0,k
=0, (B.10a)
n
ÿ
k=l
a
k
c
l,k
=0, hvor l =1,...,n, (B.10b)
n
ÿ
k=l
b
k
d
l,k
=0, hvor l =1,...,n. (B.10c)
Lad nu l = n. Fra (B.10b) og (B.10c) får vi
a
n
c
n,n
=0 og b
n
d
n,n
=0.
Men eftersom alle c
k,n
,d
k,n
”=0, følger at
a
n
=0 og b
n
=0.
For l = n ≠ 1 og med a
n
= b
n
=0, giver (B.10b) og (B.10c) at
a
n≠1
c
n≠1,n≠1
+ a
n
c
n≠1,n
= a
n≠1
c
n≠1,n≠1
=0
b
n≠1
d
n≠1,n≠1
+ b
n
d
n≠1,n
= b
n≠1
d
n≠1,n≠1
=0
Men igen, eftersom alle c
k,n
,d
k,n
”=0betyder dette at
a
n≠1
=0 and b
n≠1
=0.
Det fortsættes for l = n ≠ 2,n≠3,...,1 . Endelig giver (B.10a) at a
0
=0.
⇤
Lemma B.2 vil blive benyttet i det følgende bevis for s ætning 2.5.
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 39
Bevis for sætning 2.5. Lad ÷ œ N. Vi vil karakterisere alle funktioner h œ
span{T
≠k
g}
2
k=0
således at {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
og {E
mb
T
n
h}
m,nœZ
er duale frames for
L
2
(R). En fuldstændig repræsentation af alle funktioner h œ span{T
≠k
g}
2
k=0
er
givet ved
h(x)=rg(x)+pg(x + 1) + qg(x + 2) ,p,q,rœ R. (B.11)
Tydeligvis er g og dermed også h begrænset, begge har kompakt support og ligger
i L
2
(R). For at {E
mb
T
n
g}
m,nœZ
og {E
mb
T
n
h}
m,nœZ
er duale frames for L
2
(R), skal
de to funktioner ifølge sætning 1.6 opfylde
ÿ
kœZ
g(x ≠ n/b ≠ k) h(x ≠ k)=b”
n,0
,a.e.xœ [0, 1]. (B.12)
Supporten for g og h ligger hhv. i intervallet [0, 3] og [≠2, 3]. Derfor vil (B.12)
være opfyldt for n ”=0,hvis1/b Ø 5,dvs.bœ]0, 1/5].
For n =0skal vi vise at g og h opfylder
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)h(x ≠ k)=b, a.e. x œ [0, 1]. (B.13)
Bemærk at hvis h opfylder
ÿ
kœZ
g(x ≠ k)h(x ≠ k)=c ”=0,a.e.xœ [0, 1], (B.14)
hvor c er en arbitrær konstant, så vil funktionen
b
c
h opfylde (B.13). Vi vil nu finde
de funktioner h der opfylder (B.14).
Fordi supp g =[0, 3] og x œ [0, 1],såer
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=
2
ÿ
k=0
g(x + k)h(x + k). (B.15)
Indsættes udtrykkende for g og h i (B.15) fås
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)
= r sin
2÷
1
1
3
fix
2
+ r sin
2÷
1
1
3
fi(x + 1)
2
+ r sin
2÷
1
1
3
fi(x + 2)
2
+ p sin
÷
1
1
3
fix
2
sin
÷
1
1
3
fi(x + 1)
2
+ q sin
÷
1
1
3
fix
2
sin
÷
1
1
3
fi(x + 2)
2
+ p sin
÷
1
1
3
fi(x + 1)
2
sin
÷
1
1
3
fi(x + 2)
2
.
(B.16)
Inden vi går videre, indfører vi følgende fire variable.
–(m, k)=2(≠1)
k
3
m
4
÷
3
m
k
43
2÷
2m
4
,—(m, k)=(≠1)
k+m
3
m
4
÷
3
m
k
43
÷
m
4
,
“(m, k)=(≠1)
k
3
m
2
÷
3
m
k
43
÷
2m
4
,”(m, k)=(≠1)
k
Ô
3
3
m
2
÷
3
m
k
43
÷
2m +1
4
.
40 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Vi vil nu omskrive (B.16) til en linearkombination a lineært uafhængige funk-
tioner. Bemærk først at
sin
1
1
3
fi(x + k)
2
=sin
1
1
3
fix
2
cos
1
1
3
fik
2
+ cos
1
1
3
fix
2
sin
1
1
3
fik
2
.
Ved brug af
(a + b)
n
=
n
ÿ
m=0
3
n
m
4
a
n≠m
b
m
, for n œ N
fås at
sin
÷
1
1
3
fi(x + k)
2
=
÷
ÿ
m=0
3
÷
m
45
sin
1
1
3
fix
2
cos
1
1
3
fik
2
6
÷≠m
5
cos
1
1
3
fix
2
sin
1
1
3
fik
2
6
m
.
Ved brug af dette udtryk kan man ved at betragte lige og ulige værdier for ÷
separat omskrive (B.16) til
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)
=
5
r +
÷
ÿ
m=0
1
r–(m, m)+(≠1)
÷
p—(m, m)
2
+
Â÷/2Ê
ÿ
m=0
“(m, m)
#
p +(≠1)
÷
q
$
6
sin
2÷
1
1
3
fix
2
+
Â÷/2Ê
ÿ
d=1
A
5
÷
ÿ
m=d
1
r–(m, m ≠ d)+(≠1)
÷
p—(m, m ≠ d)
2
+
Â÷/2Ê
ÿ
m=d
“(m, m ≠ d)
#
p +(≠1)
÷
q
$
6
sin
2÷≠2d
1
1
3
fix
2
B
+
÷≠1
ÿ
d=Â÷/2Ê+1
A
5
÷
ÿ
m=d
1
r–(m, m ≠ d)+(≠1)
÷
p—(m, m ≠ d)
2
6
sin
2÷≠2d
1
1
3
fix
2
B
+
Â(÷≠1)/2Ê
ÿ
d=0
A
5
Â(÷≠1)/2Ê
ÿ
m=d
”(m, m ≠d)
#
p ≠ (≠1)
÷
q
$
6
sin
2÷≠2d≠1
1
1
3
fix
2
cos
1
1
3
fix
2
B
+ r–(÷, 0) + (≠1)
÷
p—(÷,0) .
(B.17)
Bemærk at højresiden i (B.17) er en linearkombination af funktionerne
)
1, sin x cos x, sin
2
x, sin
3
x cos x, sin
4
x, . . . , sin
2n≠1
x cos x, sin
2n
x
*
. (B.18)
I lemma B.2 vises at funktionerne i denne mængde er lineært uafhængige. Ifølge
(B.14) skal nu
q
kœZ
g(x + k)h(x + k)=c ”=0,a.e.xœ [0, 1]. Det er muligt, hvis
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 41
og kun hvis
Y
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
]
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
[
0= r+
÷
ÿ
m=0
1
r–(m, m)+(≠1)
÷
p—(m, m)
2
+
Â÷/2Ê
ÿ
m=0
“(m, m)
#
p+(≠1)
÷
q
$
(B.19a)
0=
÷
ÿ
m=d
1
r–(m, m≠d)+(≠1)
÷
p—(m, m≠d)
2
+
Â÷/2Ê
ÿ
m=d
“(m, m≠d)
#
p+(≠1)
÷
q
$
(B.19b)
0=
÷
ÿ
m=d
1
r–(m, m≠d)+(≠1)
÷
p—(m, m≠d)
2
(B.19c)
0=
Â(÷≠1)/2Ê
ÿ
m=d
”(m, m≠d)
#
p≠(≠1)
÷
q
$
(B.19d)
Ligning (B.19b), (B.19c) og (B.19d) skal være opfyldt for hhv. alle heltal d for hvil-
ke 1 Æ d ÆÂ
÷
2
Ê, Â
÷
2
Ê +1Æ d Æ ÷ ≠ 1 og 0 Æ d ÆÂ
÷≠1
2
Ê. Bemærk at afhængig af ÷
vil (B.19b), (B.19c) og (B.19d) give et forskelligt antal ligninger og i nogle tilfælde
endda ingen. Vi vil nu løse ligningsystemet (B.19) for specifikke ÷.Tilfældet÷ =1
er allerede behandlet i sætning 2.2.
Tilfældet ÷ =3. Ligning (B.19a) bliver til
0=3r ≠ 2p + q. (B.20)
Ligning (B.19b) skal gælde for 1 Æ d ÆÂ
3
2
Ê, altså for d =1, og giver
0=≠
9
2
r +
27
8
p ≠
9
8
q. (B.21)
Ligning (B.19c) skal gælde for Â
3
2
Ê +1Æ d Æ 2, altså for d =2, og er
0=
27
16
r ≠
27
16
p. (B.22)
Ligning (B.19d) skal gælde for 0 Æ d Æ 1, altså for d =0og d =1, som giver de to
ligninger
0=0, 0=
3
8
Ô
3(p + q). (B.23)
De 5 ligninger har løsningen r œ R,p= ≠q = r. Fra (B.17) fås nu at funktionen
h(x)=rg(x)+rg(x + 1) ≠ rg(x + 2) (B.24)
opfylder
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=r–(3, 0) ≠ p—(3, 0) =
3
3
4
4
3
3r. (B.25)
42 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen Normat 1/2011
Dermed vil funktionen
h(x)=
3
4
3
4
3
b
1
1
3
g(x)+
1
3
g(x + 1) ≠
1
3
g(x + 2)
2
(B.26)
være være den éntydige løsning til (B.13) af formen (B.11).
Tilsvarende beregninger foretages for ÷ =2, 4 og 5, disse undlades dog her. Re-
sultaterne ses under punkt (ii) i sætningen.
Lad os nu vise at der ikke er dualer på formen (B.11) for ÷ Ø 6.
Bemærk først at hvis alle ligninger i (B.19) er opfyldt, så følger der fra (B.17)
at
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=r–(÷, 0) + (≠1)
÷
p—(÷, 0) =
1
3
4
2
÷
(2r + p). (B.27)
Når ÷ Ø 6 vil (B.19c) indeholde mindst to ligninger. Betragt de to ligninger fra
(B.19c) for d = ÷ ≠ 1 og d = ÷ ≠ 2, dvs.
p = r(÷ ≠ 2) og p = ≠
1
6
r
1
÷
2
≠ 11÷ + 12
2
. (B.28)
Bemærk at begge ligninger er opfyldt hvis r = p =0. I dette tilfælde følger dog fra
(B.27), at
ÿ
kœZ
g(x + k)h(x + k)=0. (B.29)
En skalering af h sådan at (B.13) er opfyldt er i dette tilfælde umulig. Vi må derfor
kræve at
÷ ≠ 2=≠
1
6
1
÷
2
≠ 11÷ + 12
2
.
Dette er dog kun tilfældet for ÷ =0eller ÷ =5. Derfor er det ikke muligt at finde
p, r œ R således at alle ligninger i (B.19) er opfyldt når ÷ Ø 6. ⇤
Litteratur
[1] Christensen, O.: Functions, spaces, and expansions. Birkhäuser 2010.
[2] Christensen, O.: Frames and bases. An introductory course. Birkhäuser 2007.
[3] Christensen, O.: Pairs of dual Gabor frames with compact support and desired
frequency localization. Appl. Comput. Harmon. Anal. 20, 403–410 (2006)
[4] Christensen, O., Kim, H.O., Kim, R.Y.: Gabor windows supported on [≠1, 1] and
compactly supported dual windows. Appl. Comp. Harm. Anal. 28, 89–103 (2010)
Normat 1/2011 Ole Christensen og Mads Sielemann Jakobsen 43
[5] Christensen, O., Kim, R.Y.: On dual Gabor frame pairs generated by polynomials.
J. Fourier Anal. Appl. 16, 1–16 (2010)
[6] Daubechies, I.: Ten lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1992.
[7] Daubechies, I.: The wavelet tran sformat ion, time-frequency localization and signal
analysis. IEEE Trans. Inform. Theory 36 (1990), 961–1005.
[8] Feichtinger, H. G. and Strohmer, T. (eds.): Gabor Analysis and Algorithms: Theory
and Applications. Birkhäuser, Boston, 1998.
[9] Feichtinger, H. G. and Strohmer, T. (eds.): Advances in Gabor Analysis.
Birkhäuser, Boston, 2002.
[10] Gröchenig, K. H.: Foundations of time-frequency analysis. Birkhäuser, Boston,
2000.
[11] Hernandez, E. and Weiss, G.: Afirstcourseonwavelets. CRC Press, Boca Raton,
1996.
[12] Janssen, A.J.E.M.: The duality condition for Weyl-Heisenberg frames. In:
Feichtinger, H.G., Strohmer, T. (eds.) Gabor analysis: Theory and Applications,
Birkhäuser, Boston, 1998.
[13] Jakobsen, M.S.: Gabor frames in L
2
(R), DTU Fagprojekt, 2010.
[14] Laugesen, R.S.: Gabor dual spline windows. Appl. Comput. Harmon. Anal. 27,
180–194 (2009).
[15] Lyubarskii, Y.: Frames in the Bargmann space of entire functions. Adv. in Soviet
Math. 11 (1992), 167–180.
[16] Ron, A., Shen, Z.: Weyl-Heisenberg frames and Riesz bases in L
2
(R
d
). Duke Math.
J. 89, 237-282 (1997)
[17] Spiegel, M. R.: Mathematical Handbook of formulas and tables, McGraw-Hill, Inc.,
1993.
[18] Seip, K. and Wallsten, R.: Sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space
II. J. Reine Angew. Math. 429 (1992), 107–113.
[19] Young, R.: An introduction to nonharmonic Fourier series. Academic Press, New
York, 1980 (revised first edition 2001).
