Normat 59:2, 51–58 (2011) 51
Om Eulers “, och fi
2
/6 ur sannolikhets-
teoretisk synvinkel
Lars Holst
Matematiska Institutionen
Kungliga Tekniska Högskolan
10044 Stockholm
lholst@kth.se
Resultat i matematisk analys kan ibland belysas med sannolikhetsteori. Nedan
studeras egenskaper hos Gammafunktionen. Resultaten är inte nya, men de sanno-
likhetsteoretiska härledningarna är kanske inte så välkända. Bakgrunden till våra
överväganden är följande egenskap hos exponentialfördelningen: Låt X
1
,X
2
,... va-
ra oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler alla med väntevärdet ett,
dvs
P (X
k
>x)=e
≠x
,x>0,k=1, 2,... .
Då gäller att de stokastiska variablerna max(X
1
,...,X
n
) och
q
n
k=1
X
k
/k har sam-
ma sannolikhetsfördelning (visas nedan i Avsnitt 3).
Vårt arbete har inspirerats av [1] och [6], men framför allt av den fascinerande
framställningen i [5], avsedd för matematikstuderande och deras lärare, av Eulers
konstant
“ =lim
næŒ
A
n
ÿ
k=1
1
k
≠ ln n
B
=0.5772156649 ... ,
Eulers Gammafunktion
(t)=
⁄
Œ
0
x
t≠1
e
≠x
dx, t > 0,
och Eulers lösning av det s.k. Baselproblemet, dvs den förbluffande identiteten
Œ
ÿ
k=1
1
k
2
=
fi
2
6
.
Om geniet Leonhard Euler, kanske 1700-talets främste matematiker, och hans ar-
beten kan läsas i [2]. En med vår besläktad men mer matematisk uppsats är [4],
som också innehåller en mängd referenser till Gammafunktionen.
För fullständighets skull ges i Avsnitt 2 ett be vis av existensen av gränsvärdet “.
Avsnitt 3 innehåller egenskaper hos exponentialfördelningen. Några olika represen-
tationer av Gammafunktionen härleds i Avsnitt 4. Momentgenererande funktioner
52 Lars Holst Normat 2/2011
och konvergens av moment studeras i Avsnitt 5. Slutligen visas reflektionsformeln
för Gammafunktionen och Eulers produktformel för sinusfunktionen i Avsnitt 6.
I fortsättningen betecknar X
1
,X
2
,X
3
,... oberoende exponentialfördelade sto-
kastiska variabler alla med väntevärdet ett.
1 Eulers konstant.
Sätt H
n
=
q
n
k=1
1/k, A
n
= H
n
≠ ln n och B
n
= H
n
≠ ln(n + 1). Eftersom 1/x är
avtagande i x så gäller
A
n+1
≠ A
n
=
1
n +1
≠
⁄
n+1
n
1
x
dx < 0,B
n+1
≠ B
n
=
1
n +1
≠
⁄
n+2
n+1
1
x
dx > 0,
och
0 <A
n
≠ B
n
=ln(1+1/n) æ 0,næŒ.
Följaktligen konvergerar talföljderna A
1
=1>A
2
>A
3
>... och B
1
=1≠ ln 2 <
B
2
<B
3
<... mot samma gränsvärde, Eulers “. Det är anmärkningsvärt att redan
1735 beräknade Euler gränsvärdet med fem korrekta decimaler, se [2, s. 137–139]
och [5, s. 51, s. 89–90]. Metoder för beräkning av “ med ett stort antal decimaler
anges i [3].
2 Egenskaper hos exponentialfördelningen.
För en exponentialfördelad stokastisk variabel T med intensitet a (och väntevärdet
1/a) gäller minneslösheten
P (T>x+ y | T>x)=e
≠a(x+y)
/e
≠ax
= e
≠ay
= P (T>y),x,y>0.
Denna kan tolkas: Ett objekt med exponentialfördelad livslängd åldras inte.
Sats 1 De stokastiska variablerna max(X
1
,...,X
n
) och
q
n
k=1
X
k
/k har samma
sannolikhetsfördeling och för alla reella tal x så gäller då n æŒ
P (max(X
1
,...,X
n
) ≠ ln n Æ x)=P
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n Æ x
B
æ e
≠e
≠x
.
Bevis. Betrakta n objekt med livslängder X
1
,...,X
n
. För den kortaste livslängden
gäller
P (min(X
1
,...,X
n
) >x)=P (X
1
>x) ···P (X
n
>x)=e
≠nx
,x>0,
dvs samma fördelning som X
n
/n har. När objektet med den kortaste livslängden
dör så återstår n≠1 objekt, som alla är som nya, eftersom objekten inte åldras. Där-
för gäller att tiden mellan den kortaste livslängden och den nästkortaste är fördelad
Normat 2/2011 Lars Holst 53
som X
n≠1
/(n ≠1) och oberoende av den kortaste, etc. Följaktligen har den längsta
livslängden max(X
1
,...,X
n
) samma sannolikhetsfördelning som
q
n
k=1
X
k
/k med
fördelningsfunktionen
P
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k Æ x
B
= P (max(X
1
,...,X
n
) Æ x)
= P (X
1
Æ x) ···P (X
n
Æ x)=(1≠ e
≠x
)
n
,x>0.
Detta ger följande konvergens då n æŒ
P
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n Æ x
B
= P (max(X
1
,...,X
n
) ≠ ln n Æ x)
= max
!!
1 ≠ e
≠x
/n
"
n
, 0
"
æ exp
!
≠e
≠x
"
mot den s.k. Gumbelfördelningen. ⌅
Lägg märke till att väntevärdena konvergerar mot Eulers konstant då n æŒ
E (max(X
1
,...,X
n
) ≠ ln n)=E
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n
B
=
n
ÿ
k=1
1
k
≠ ln n æ “.
För en exponentialfördelad stokastisk variabel X med väntevärdet ett gäller
P (≠ ln X Æ x)=P (X Ø e
≠x
)=exp
!
≠e
≠x
"
,
dvs ≠ ln X är Gumbelfördelad.
3 Representationer av Gammafunktionen.
Ursprungligen studerade Euler integralen
s
1
0
(≠ ln u)
t≠1
du, t>0, som erhålles ge-
nom substitutionen x = ≠ ln u i (t)=
s
Œ
0
x
t≠1
e
≠x
dx. Bete ckningen (t) och
namnet Eulers Gammafunktion infördes av Legendre, se [5, s. 53].
Man ser lätt att (1) = 1 och genom partiell integration att (t + 1) = t(t) för
t>0, varav följer att (n + 1) = n! för n =0, 1, 2,..., dvs Gammafunktionen in-
terpolerar fakulteter. Man kan visa att Gammafunktionen är den enda logaritmiskt
konvexa funktion med dessa egenskaper, jfr [5, s. 56].
För interpolering av fakulteter föreslog Euler som ett alternativ till (t)
lim
r æŒ
r! r
t
t(t + 1) ···(t + r)
,t>0,
se [5, s. 55]. Gauss gjorde en nogrann undersökning av gränsvärdet, som ibland
kallas Gauss definition av Gammafunktionen. Det är ingalunda uppenbart att detta
gränsvärde och (t) definierar samma funktion.
För ickeheltal t<0 kan Gammafunktionen definieras rekursivt genom
(t) = (t + 1)/t.
54 Lars Holst Normat 2/2011
Sats 2 För t ”= ≠1, ≠2, ≠3,...,
(1 + t)= lim
næŒ
n! n
t
(t + 1) ···(t + n)
= e
≠“t
Œ
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
.
Bevis. För t>≠1 gäller
E
1
e
≠t
q
n
k=1
X
k
/k
2
=
n
Ÿ
k=1
E
1
e
≠tX
k
/k
2
=
n
Ÿ
k=1
⁄
Œ
0
e
≠tx/k
e
≠x
dx =
n
Ÿ
k=1
1
1+t/k
,
och
E(e
≠t max(X
1
,...,X
n
)
)=
⁄
Œ
0
e
≠tx
d
dx
(1 ≠ e
≠x
)
n
dx = n
≠t
⁄
n
0
y
t
(1 ≠ y/n)
n≠1
dy.
Eftersom
q
n
k=1
X
k
/k och max(X
1
,...,X
n
) har samma sannolikhetsfördelning så
följer att
⁄
n
0
y
t
(1 ≠ y/n)
n≠1
dy = e
≠t
(
q
n
k=1
1/k≠ln n
)
n
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
.
Olikheten
(n ≠ 1) ln(1 ≠ y/n)=≠(n ≠ 1)
Œ
ÿ
j=1
1
j
1
y
n
2
j
Æ≠
y
2
, 0 Æ y Æ n,
och dominerad konve rgens visar att då n æŒ
E
1
e
≠t(max(X
1
,...,X
n
)≠ln n)
2
=
⁄
n
0
y
t
(1 ≠ y/n)
n≠1
dy æ
⁄
Œ
0
y
t
e
≠y
dy = (1 + t).
Alltså gäller för t>≠1
(1 + t)=e
≠“t
lim
næŒ
n
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
och
lim
næŒ
e
≠“(t≠1)
n
Ÿ
k=1
e
(t≠1)/k
1+(t ≠ 1)/k
=lim
næŒ
e
(
t/n+“+ln n≠
q
n
k=1
1/k
)
e
≠“t
t
n≠1
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
=
(1 + t)
t
= (1 + t ≠ 1).
Därmed har vi för t>≠2 and t ”= ≠1 att
(1 + t)=e
≠“t
Œ
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
=lim
næŒ
n! n
t
(t + 1) ···(t + n)
.
Normat 2/2011 Lars Holst 55
Påståendet följer genom induktion. ⌅
Ur ovanstående sats följer Gauss representation av Gammafunktionen
(t)= lim
næŒ
n! n
t
t(t + 1) ···(t + n)
.
Vi får också Weierstrass produktgränsvärde
(t)=
e
≠“t
t
Œ
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
,
och för Psi- eller Digammafunktionen (t)=
Õ
(t)/(t) att
(t)=
d
dt
ln (t)=≠“ +
Œ
ÿ
k=0
3
1
k +1
≠
1
k + t
4
.
Uppenbarligen är (t) växande på positive reella linjen, vilket visar den loga-
ritmiska konvexiteten av Gammafunktionen.
Från ovanstånde formler, serieutveckling och omkastning av summationsordning
får vi för ≠1/2 <t<1/2
ln (1 ≠ t)=“t+
Œ
ÿ
k=1
(≠t/k ≠ ln(1 ≠ t/k)) = “t +
Œ
ÿ
k=1
Œ
ÿ
‹=2
(t/k)
‹
‹
= “t+
Œ
ÿ
‹=2
’(‹)
‹
t
‹
,
där
’(‹)=
Œ
ÿ
k=1
1
k
‹
.
Se [5] för ytterligare resultat and diskussion av Zetafunktionen.
4 Momentgenererande funktioner.
Sats 3 För t<1,
E
1
e
t(max(X
1
,...,X
n
)≠ln n)
2
= E
1
e
t(
q
n
k=1
X
k
/k≠ln n)
2
æ (1 ≠ t),næŒ,
och för r =1, 2,...,
E ((max(X
1
,...,X
n
) ≠ ln n)
r
)=E
AA
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n
B
r
B
æ (≠1)
r
(r)
(1) =
⁄
Œ
0
(≠ ln x)
r
e
≠x
dx, n æŒ.
56 Lars Holst Normat 2/2011
Bevis. Genom att t ersätta med ≠t i beviset av Sats 2 följer första påståendet.
För t<1
(1 ≠ t)=
⁄
Œ
0
y
≠t
e
≠y
dy =
⁄
Œ
≠Œ
e
tx
e
≠x
exp(≠e
≠x
) dx
=
⁄
Œ
0
e
≠t ln x
e
≠x
dx =
Œ
ÿ
r =0
(≠t)
r
r!
⁄
Œ
0
(ln x)
r
e
≠x
dx.
Därmed följer att gränsvärdet (1≠t) är momentgenererande funktion för Gumbel-
fördelningen exp(≠e
≠x
). Eftersom konvergens av momentgenererande funktioner i
en omgivning av origo implicerar konvergens av alla moment, visar detta det andra
påståendet. ⌅
Speciellt har vi då n æŒ
E
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n
B
=
n
ÿ
k=1
1
k
≠ ln n æ “ = ≠
Õ
(1) = ≠
⁄
Œ
0
e
≠x
ln xdx,
jfr [1]. Eftersom X
1
,X
2
,... är ob eroende alla med väntevärden och varianser lika
med ett fås
E
Q
a
A
n
ÿ
k=1
X
k
/k ≠ ln n
B
2
R
b
= E
A
n
ÿ
k=1
(X
k
≠ 1)
2
/k
2
B
+
A
n
ÿ
k=1
1/k ≠ ln n
B
2
æ
Œ
ÿ
k=1
1
k
2
+ “
2
=
ÕÕ
(1),næŒ.
I själva verket gäller att den stokastiska serien “ +
q
Œ
k=1
(X
k
≠ 1)/k konvergerar
med sannolikheten ett mot en Gumbelfördelad stokastisk variabel med väntevärdet
“ and variansen
q
Œ
k=1
1/k
2
= fi
2
/6.
För en Gammafördelad stokastisk variabel X
a
med tätheten x
a≠1
e
≠x
/(a), x>
0, och formparametern a>0, är momentgenererande funktionen
E
!
e
tX
a
"
=
⁄
Œ
0
e
tx
x
a≠1
e
≠x
/(a) dx =(1≠ t)
≠a
,t<1.
För summan av två oberoende sådana stokastiska variabler X
a
and X
b
fås
E
1
e
t(X
a
+X
b
)
2
=(1≠ t)
≠(a+b)
,t<1,
vilket visar att X
a
+ X
b
gammafördelad med formparameter a + b. Vi har
E(ln X
a
)=
⁄
Œ
0
ln xx
a≠1
e
≠x
/(a) dx =
Õ
(a)/(a)=(a).
Eftersom ln x är växande och X
b
> 0
(a + b)=E(ln(X
a
+ X
b
)) >E(ln X
a
)=(a).
Alltså är Psifunktionen växande, vilket ger ytterligare ett bevis för den logaritmiska
konvexiteten av Gammafunktionen, jfr [1].
Normat 2/2011 Lars Holst 57
5 Reflektionsformeln för Gammafunktionen och produktformeln
för sinusfunktionen.
Sats 4 För ≠1 <t<1,
(1 + t)(1 ≠ t)=
fit
sin fit
=
Œ
Ÿ
k=1
1
1 ≠ t
2
/k
2
.
Bevis. För X and Y oberoende och exponentialfördelade med väntevärde ett ger
resultaten ovan att för ≠1 <t<1
E(e
≠t ln X
) = (1 ≠ t)=e
“t
Œ
Ÿ
k=1
e
≠t/k
1 ≠ t/k
,E(e
t ln Y
) = (1 + t)=e
≠“t
Œ
Ÿ
k=1
e
t/k
1+t/k
.
Av symmetri följer
Œ
Ÿ
k=1
1
1 ≠ t
2
/k
2
= (1 + t)(1 ≠ t)=E
1
e
t(ln Y ≠ln X)
2
= E
1
(Y/X)
|t|
2
.
För u>0
P (Y/X Æ u)=P (Y/u Æ X)=E
1
e
≠Y/u
2
=
⁄
Œ
0
e
≠y/u
e
≠y
dy = u/(u + 1).
Alltså för ≠1 <t<1
E
1
(Y/X)
|t|
2
=
⁄
Œ
0
u
|t|
d
du
u
u +1
du =
⁄
Œ
0
u
|t|
/(u + 1)
2
du
= |t|
⁄
Œ
0
u
|t|≠1
/(u + 1) du =
fit
sin fit
,
ur nedanstående sats, vilket visar påståendet. ⌅
Sats 5
s
Œ
0
u
a≠1
/(u + 1) du = fi/ sin fia för 0 <a<1.
Bevis. Genom inte gration i komplexa talplanet erhålls
⁄
+Œ
0
u
a≠1
u +1
du ≠ 2fii(≠1)
a≠1
+
⁄
0
+Œ
u
a≠1
u +1
e
2fii(a≠1)
du =0,
vilket ger
⁄
Œ
0
u
a≠1
u +1
du (1 ≠ e
2fiia
)=≠2fii e
fiia
.
Alltså
⁄
Œ
0
u
a≠1
u +1
du =
≠2fii e
fiia
1 ≠ e
2fiia
=
fi
sin fia
.
58 Lars Holst Normat 2/2011
⌅
Genom serieutveckling
sin fit
fit
=1≠ fi
2
t
2
/6+···=
Œ
Ÿ
k=1
(1 ≠ t
2
/k
2
)=1≠ t
2
Œ
ÿ
k=1
1/k
2
+ ···
får vi på samma sätt som Euler lösningen till Baselproblemet
’(2) =
Œ
ÿ
k=1
1
k
2
=
fi
2
6
,
jfr [2, s. 111], [5, s. 38–41] och [6].
Från Sats 4 och relationen (t + 1) = t(t) följer att produktformeln för sinus-
funktionen och reflektionsformeln för Gammafunktionen
sin fit = fit
Œ
Ÿ
k=1
3
1 ≠
t
2
k
2
4
=
fi
(t)(1 ≠ t)
,
gäller för alla t, jfr [5, s. 59].
Tack. Jag tackar Torgny Lindvall för viktiga anmärkningar och uppmuntran.
Referenser
[1] R. Bagby, A simple proof that
Õ
(1) = ≠“, Amer. Math. Monthly 117 (2010) 83–85.
[2] R.E. Bradley, L.A. D’Antonio, and C.E. Sandifer, eds, Euler at 300; An
Appre ciation, Mathematical Association of America, Washington, DC, 2007.
[3] E. Chlebus, A recursive scheme for improving the original rate of convergence to the
Euler–Mascheroni constant, Amer. Math. Monthly 118 (2011) 268–274.
[4] L. Gordon, A stochastic approach to the Gamma function, Amer. Math. Monthly
101 (1994) 858–865.
[5] J. Havil, Gamma. Exploring Euler’s constant, Princeton University Press, Princeton,
2003.
[6] T. Marshall, A short proof of ’(2) = fi
2
/6, Amer. Math. Monthly 117 (2010)
352–353.
