92 Uppgifter Normat 2/2011
Nordiska Matematiktävlingen
Måndagen den 4 april 2011
Svensk version
Skrivtid: 4 timmar. Varje problem är värt 5 poäng. Enda tillåtna hjälpmedel är skriv-
och ritdon.
Problem 1
Om a
0
,a
1
,...,a
1000
betecknar siffror, kan summan av de båda 1001-siffriga talen
a
0
a
1
...a
1000
och a
1000
a
999
...a
0
bestå av enbart udda siffror?
Problem 2
IentriangelABC antas AB = AC.LåtD vara en punkt på förlängningen av
sträckan BA bortom A och E en punkt på sträckan BC,såattlinjernaCD och AE
är parallella. Visa olikheten
CD
4h
BC
CE,därh är höjden från A itriangelnABC.Närgällerlikhet?
Problem 3
Finn alla funktioner f sådana att
f(f(x)+y)=f (x
2
y)+4yf(x)
för alla reella tal x och y.
Problem 4
Visa att det för varje heltal n 2 gäller att summan av bråktalen
1
ab
,dära och b är
relativt prima positiva heltal så da na att a<b n och a + b>n,ärlikamed
1
2
.
Anm. Två heltal sägs vara relativt prima om de saknar gemensam delare > 1.
Normat 2/2011 Uppgifter 93
Resultat av Nordiska matematikt¨avlingen 2011
I ˚arets t¨avl i n g, den 25:e i ordningen, deltog 90 gymnasieelever fr˚an de fem nordiska
l¨anderna. Rebecca Sta↵as fr˚an V¨axj¨o Katedralskola, SE, delade segern med Karl Erik
Holter fr˚an Stabekk Vgs i Bærum, NO, och Asbjørn Nordentoft fr˚an
Aurehøj gymnasium i Gentofte, DK, med 19 po¨ang av 20 m¨ojliga. Det var
inte s¨arskilt ¨overraskande att just dessa tre deltagare stod i viss s¨arklass. I h¨ostas seg-
rade n¨amligen Rebecca i Skolornas matematik t¨avling, Karl Erik i Abelkonkurransen
och Asbjørn i Georg Mohr-Konkurrencen.
T¨avlingen var ¨oppen f¨or de 20 fr¨amsta deltagarna i respektive nationella t¨avlingar i
Danmark, Finland, Island, Norge och Sverige. T¨avlingen genomf¨ordes ute p˚a skolorna
den 4 april. Det g¨allde att l¨osa fyra uppgifter under fyra timmar. Maximala po¨angen
per uppgift var 5 po¨ang. Bidragen f¨orhandsgran skades lokalt i varje land och skickades
sedan till ˚arets v¨ardland Danmark f¨or koordinering. Deltagarna fick d i pl om men f¨or
¨ovri gt delades inga priser u t.
De 12 b¨asta i t¨avlingen:
1) Karl Erik Holter, NOR 4 5 5 5 19 p
1) Asbjørn Nordentoft, DEN 4 5 5 5 19 p
1) Rebecca Sta↵as, SWE 5 5 5 4 19 p
4) Olli Hirvin ie m i, FIN 5 2 5 4 16 p
5) Ilmari Kangasniem i , FIN 4 1 5 5 15 p
5) Simon Lindholm, SWE 5 0 5 5 15 p
7) H˚avard Bakke Bjerkev i k , NOR 4 5 0 4 13 p
7) Yue Jiao, SWE 4 5 1 3 13 p
9) Alex Loiko, SW E 5 2 5 0 12 p
10) Feli x Vaura, FIN 4 5 2 0 11 p
10) Mathias Krist e ns en , DEN 5 4 2 0 11 p
10) Johan Henriksson , SWE 5 5 1 0 11 p
94 Uppgifter Normat 2/2011
IMO 2011 i Amsterdam
Svensk version
Dag 1, måndagen den 18 juli 2011
Skrivtid per dag: 4 timmar och 30 minuter. Varje problem är värt 7 poäng.
Problem 1
För varje mängd A = {a
1
,a
2
,a
3
,a
4
} bestående av fyra olika positiva heltal betecknas
summan a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
med s
A
.Låtn
A
beteckna antalet par (i, j), 1 i<j 4,
för vilka a
i
+ a
j
är en delare till s
A
.
Finn alla mängder A bestående av fyra olika positiva heltal för vilka n
A
är det största
möjliga.
Problem 2
Låt S vara en ändlig mängd bestående av minst två punkter i planet. Anta att tre
punkter ur S aldrig kan ligga på en och samma linje. En väderkvarn kallar vi här ett
förfarande som börjar med en linje ` som går genom exakt en punkt P 2S.Linjen`
roterar sedan medurs med P som rotationscentrum tills den för första gången stöter
på ytterligare en punkt ur S.Dennapunkt,Q,tardåöversomrotationscentrumoch
linjen roterar nu medurs runt Q,tillsdenförförstagångenpasserarenannanpunkt
ur S. Processen fortsätter så i all oändlighet.
Visa att man kan välja en punkt P 2Soch en linje ` genom P så att den resulterande
väderkvarnen använder varje punkt ur S oändligt många gånger som rotationscent-
rum.
Problem 3
Låt f vara en funktion från R till R som uppfyller
f(x + y) yf(x)+f (f (x))
för alla reella tal x och y.Visaattf (x)=0för alla x 0.
Normat 2/2011 Uppgifter 95
Dag 2, tisdagen den 19 juli 2011
Problem 4
Låt n>0 vara ett heltal. Vi har en balansvåg med två skålar och n vikter som väger
2
0
, 2
1
,...,2
n1
.Vikternaskaplaceraspåvågen,enefteren,påsådantsättattden
högra vågskålen a ldrig väger mer än den vänstra. I varje steg väljer man en av de
vikter som ännu inte har placerats och lägger den i den vänstra eller den högra skålen.
Proceduren avslutas när alla vikter ligger på vågen.
På hur många olika sätt kan detta göras?
Problem 5
Låt f vara en funktion från mängden av alla heltal till mängden av de positiva
heltalen. Anta att differensen f(m) f (n) är delbar med f(m n) för varje par
av heltal, m och n.
Visa att för alla heltal m och n sådana att f(m) f ( n) ,ärtaletf(n) delbart med
f(m).
Problem 6
Låt ABC vara en spetsvinklig triangel med omskriven cirkel .Låt` vara en tangent
till ,ochlåt`
a
, `
b
och `
c
vara de linjer som erhålles genom att spegla ` ilinjerna
BC, CA och AB,respektive.
Visa att den omskrivna cirkeln till triangeln som bestäms av linjerna `
a
, `
b
och `
c
tangerar cirkeln .
