Normat 60:1, 1–16 (2012) 1
Gibbs’ fænomen swinger i 2D
Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen
XXX
aaa@bbb
1 Introduktion
Gibbs’ fænomen er et velkendt og overraskende problem indenfor Fourieranalyse.
Overraskende fordi forskellen (“overshootet”) mellem en funktion og den tilhørende
Fourierrækkes afsnitssum (i 1D) altid er ca. 9% af springet tæt ved et diskontinu-
itetspunkt. Overraskende var det også for fysikeren Michelson, der i 1898 byggede
en maskine, der kunne plotte afsnitssummen af en Fourierrække. Han så, hvad der
senere ville blive kendt som Gibbs’ fænomen, men var overbevist om, at afsnitssum-
mernes “overshoot” skyldtes fejlfyldt apparatur. Imidlertid var fænomenet allerede
opdaget og forklaret af Henry Wilbraham i 1848. Løbende gennem 1900-tallet er
fænomenet blevet undersøgt for funktioner af to variable (f.eks. [4]), men uden den
samme gennemslagskraft.
I denne artikel viser vi, at Gibbs’ fænomen også finder sted for funktioner af to
variable, og at “overshootet” her opfører sig meget anderledes. Vi angriber dette
ved først at udlede et generelt udtryk for størrelsen af “overshootet” for Fourier-
rækker for funktioner af én variabel. Derefter bevæger vi os videre til funktioner af
to variable, hvor vi i første omgang vil skabe et overblik over forskellene mellem dis-
kontinuerte funktioner af én og to variable. Ved hjælp af resultaterne for funktioner
af én variabel vil vi vise, at “overshootet” for funktioner af to variable langt fra er
lige så simpelt som for funktioner af én variabel. Teknisk gøres dette ved at udlede
et eksakt udtryk for “overshootet” for funktioner af typen f(x, y) = f
1
(x)f
2
(y).
1.1 Fourierrækker for funktioner af én variabel
Vi vil starte med kort at opridse de nødvendige forudsætninger for at forstå de
senere resultater. Som udgangspunkt formodes det at læseren er bekendt med ge-
nerel teori for Fourierrækker for funktioner af én variabel (se [3], [5], eller eventuelt
[8] for en gennemgang på norsk). Vi definerer
L
2
(−π, π) :=
f :] − π, π[→ C
Z
π
−π
|f(t)|
2
dt < ∞
.
For generel teori om funktionsrum som ovenstående, se [7], [2]. Til en 2π-periodisk
og kvadratisk integrabel funktion f, (herefter f ∈ L
2
(−π, π) ) knyttes Fourierræk-
ken
f ∼
X
k∈Z
c
k
e
−ikt
, (1.1)
2 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
hvor Fourierkoefficienterne c
k
er givet ved
c
k
:=
1
2π
Z
π
−π
c
k
e
ikt
dt.
Ved den N ’te afsnitssum af Fourierrækken for f forstås den endelige sum
(S
N
f)(t) =
k=N
X
k=−N
c
k
e
−ikt
.
Vedrørende Fourierrækkens konvergensforhold haves Fouriers sætning.
Sætning 1.2 (Fouriers sætning). Lad f være en stykkevis differentiabel og 2π-
periodisk funktion. Så konvergerer Fourierrækken for f punktvis for alle t ∈ R. For
Fourierrækkens sum gælder:
(a) Hvis f er kontinuert i t
0
så er,
X
k∈Z
c
k
e
−ikt
0
= f(t
0
).
(b) Hvis t
0
er et diskontinuitetspunkt for f så er,
X
k∈Z
c
k
e
−ikt
=
1
2
f(t
+
0
) + f(t
−
0
)
.
For en givet funktion er man altså ikke sikker på, at Fourierrækkens sum er lig
funktionsværdien f (t) for alle t ∈ R, hvilket er grunden til, at vi har brugt symbolet
”∼“ i (1.1).
2 Gibbs’ fænomen for funktioner af én variabel
I dette afsnit udleder vi Gibbs’ fænomen for funktioner af én variabel. Vi starter i
afsnit 2.1 med at betragte funktionen f = χ
[0,π]
, og viser at S
N
χ
[0,π]
har maksimum
i punktet
t =
π
N + 1
,
og at maksimumsværdien konvergerer mod 1.0895. Dette benytter vi i afsnit 2.2 til
at vise Gibbs’ fænomen for generelle funktioner af én variabel.
2.1 Udledning af Gibbs’ fænomen
I dette afsnit udledes Gibbs’ fænomen for f = χ
[0,π]
. Med [1] og [5] som forbillede
gøres dette ved først at finde maksimum for S
N
f og derefter bestemme værdien i
dette punkt.
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 3
Lemma 2.1. (i) Lad N ∈ N, så har S
N
χ
[0,π]
maksimum i punktet
t = τ
1
=
π
N + 1
.
(ii) I grænsen er “overshootet” i dette punkt
lim
N→∞
S
N
χ
[0,π]
π
N + 1
−χ
[0,π]
π
N + 1
!
= −
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt ≈ 0.0895.
Bevis. På grund af symmetri er det tilstrækkeligt at betragte intervallet
0,
π
2
.
Fourierrækken for χ
[0,π]
er
f(t) ∼
1
2
+
2
π
∞
X
n ulige
sin(nt)
n
=
1
2
+
2
π
∞
X
n=0
sin((2n + 1)t)
2n + 1
.
Da alle de lige Fourierkoefficienter er 0, betragter vi kun de ulige afsnitssummer
for Fourierrækken.
S
2N+1
χ
[0,π]
(t) =
1
2
+
2
π
N
X
n=0
sin((2n + 1)t)
2n + 1
, N = 1, 2, 3, . . . .
Vi ønsker nu at finde maksimum af denne funktion. Vi differentierer derfor funk-
tionen
S
0
2N+1
(t) =
2
π
(cos(t) + cos(3t) + cos(5t) + · · · ) =
2
π
N
X
n=0
cos((2n + 1)t).
Ved brug af Eulers formel fås
S
0
2N+1
(t) =
1
π
N
X
n=0
e
i(2n+1)t
+ e
−i(2n+1)t
=
1
π
e
it
N
X
n=0
(e
i2t
)
n
+ e
−it
N
X
n=0
(e
−i2t
)
n
!
.
Vi kan nu benytte formlen for summen af en endelig potensrække. Dette giver (da
t ∈
0,
π
2
),
S
0
2N+1
(t) =
e
it
π
1 − e
i2t(N+1)
1 − e
2it
+
e
−it
π
1 − e
−i2t(N+1)
1 − e
−2it
=
1
π
e
i2t(N+1)
− e
−i2t(N+1)
e
it
− e
−it
.
Ved at benytte Eulers formel for sinusfunktionen fås
S
0
2N+1
(t) =
1
π
sin((2N + 2)t)
sin(t)
. (2.2)
4 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
For at finde lokale maksima bestemmes rødderne i ovenstående. Det ses at
S
0
2N+1
(t) = 0 ⇔ t = τ
k
:=
kπ
2N + 2
, k = 1, 2, . . . , N + 1.
Vi betegner τ
k
hvor k er ulige med τ
ulige
og tilsvarende for k lige med τ
lige
. Ved
at differentiere S
2N+1
en gang yderligere ses det, at S
(2)
2N+1
(τ
ulige
) er negativ, og
S
(2)
2N+1
(τ
lige
) er positiv. Derfor findes de lokale maksima i punkterne τ
ulige
. Ved brug
af (2.2) ses at
Z
t
0
sin(2N + 2)u
π sin u
du =
Z
t
0
S
0
2N+1
(u)du = S
2N+1
(t) − S
2N+1
(0) = S
2N+1
(t) −
1
2
.
Vi får altså, at afsnitssummen kan skrives som
S
2N+1
(t) =
Z
t
0
sin(2N + 2)u
π sin u
du +
1
2
. (2.3)
Ovenstående udtryk kan også opnås ved brug af Dirichletkernen, men denne frem-
gangsmåde er valgt, for at artiklen kan læses uden forudgående kendskab til kerner.
Vi ønsker nu at bestemme hvilken τ
ulige
, der maksimerer S
2N+1
. I denne forbin-
delse er konstanten i (2.3) irrelevant. Nævneren i
sin(2N + 2)u
π sin u
vokser monotont i intervallet ]0, π/2], mens tælleren oscillerer afhængigt af N.
Det betyder, at amplituden af svingningerne af integranden i (2.3) er monotont
aftagende. Derfor er størrelsen af integralerne
Z
τ
i+1
τ
i
sin(2N + 2)u
π sin u
du, i = 1, 2, . . . , N
også monotont aftagende. Da integranden er skiftevis positiv og negativ maksi-
meres det samlede integral altså ved at integrere op til det første nulpunkt τ
1
.
Maksimumspunktet for S
2N+1
findes derfor i
t = τ
1
=
π
2N + 2
.
Vi lader A
2N+1
betegne maksimum af S
2N+1
for 0 < t ≤
π
2
. Da S
2N+1
har maksi-
mum i τ
1
, er A
2N+1
givet ved
A
2N+1
= S
2N+1
(τ
1
) = S
2N+1
π
2N + 2
=
1
2
+
2
π
N
X
k=0
1
2k + 1
sin
(2k + 1)π
2N + 2
.
Ved at definere ξ
k
og ∆t
k
som
∆t
k
:=
π
N + 1
, ξ
k
:=
(2k + 1)π
2N + 2
, k = 0, 1, ..., N,
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 5
opnås følgende udtryk
A
2N+1
=
1
2
+
1
π
N
X
k=0
sin ξ
k
ξ
k
∆t
k
.
Det sidste led er en Riemann-sum for integralet
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt.
Derfor gælder at
lim
N→∞
A
2N+1
=
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt ≈ 1.0895.
Vi har hermed vist at
lim
N→∞
S
N
π
N + 1
− χ
[0,π]
π
N + 1
!
=
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt − 1
= −
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt
Ovenstående bevis kunne have været udført tilsvarende for minimumspunktet
t = −
π
N+1
. Vi har valgt maksimumspunktet, da man normalt betragter fænomenet
som et “overshoot”. For generelle funktioner med diskontinuitetspunkt i t
0
, ved man
ikke om afsnitssummerne har minimum eller maksimum i t = t
0
+
π
N+1
. Ikke desto
mindre opstilles alle artiklens sætninger alligevel for punktet t = t
0
+
π
N+1
da det er
størrelsen på “overshootet” der er interessant. Om der er tale om et “undershoot”
eller et “overshoot” er mindre væsentligt.
Bemærk at τ
k
blev defineret som
τ
k
=
kπ
2N + 2
,
og at dette er maksimumspunktet for S
2N+1
, den (2N + 1)’te afsnitssum af Fouri-
errækken. Da alle Fourierkoefficenter med lige indeks er 0, kan vi slutte, at maksi-
mumspunktet for S
N
er givet ved
τ
1
:=
π
N + 1
.
Ovenstående definition vil blive benyttet i resten af artiklen.
2.2 Gibbs’ fænomen for generelle funktioner
Ved hjælp af ovenstående udregninger for funktionen χ
[0,π]
vil vi nu udlede et
resultat for “overshootet” af S
N
f for en generel funktion f. Vi vil få brug for
følgende udtryk, som vil blive brugt flittigt i resten af artiklen:
τ
1
=
π
N + 1
, δ = f(t
+
0
) − f(t
−
0
), υ = −
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt. (2.4)
Følgende sætning beskriver Gibbs’ fænomen for generelle funktioner.
6 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
Sætning 2.5 (Gibbs’ fænomen). Lad f ∈ L
2
(−π, π) være en funktion, der er
kontinuert og stykkevis differentiabel i en udprikket omegn omkring t
0
. Så gælder:
lim
N→∞
S
N
f(t
0
+ τ
1
) − f(t
0
+ τ
1
)
=
h
f(t
+
0
) − f(t
−
0
)
i
·
−
1
2
+
1
π
Z
π
0
sin t
t
dt
≈ 0.0895 ·
h
f(t
+
0
) − f(t
−
0
)
i
Bevis. Da f er kontinuert i en udprikket omegn om t
0
, gælder at afsnitssummerne
af Fourierrækken for f opfylder at
(S
N
f)(t
0
) →
f(t
+
0
) + f(t
−
0
)
2
for n → ∞.
Vi danner nu funktionen
h(t) =
(
f(t) − δ · χ
[0,π]
(t − t
0
) t 6= t
0
f(t
−
0
) t = t
0
.
Vi bemærker, at h er kontinuert i en åben omegn om t
0
, thi
h(t
+
0
) = f(t
+
0
) − δ · χ
[0,π]
(t
+
0
− t
0
)
= f(t
+
0
) −
f(t
+
0
) − f(t
−
0
)
χ
[0,π]
(0
+
)
= f(t
+
0
) − f(t
+
0
) + f(t
−
0
)
= f(t
−
0
).
En tilsvarende udregning viser at h(t
−
0
) = f(t
−
0
).
Da både χ
[0,π]
(t − t
0
) og f er stykkevis differentiable i en åben omegn om t
0
,
må h ligeledes være det. Derfor konvergerer afsnitssummerne af Fourierrækken for
h punktvis mod h i en åben omegn om t
0
.
Ved at omrokere leddene i definitionen af h fås
f(t) = h(t) + δ · χ
[0,π]
(t − t
0
).
Fourierrækken for en sum af flere funktioner er blot summen af Fourierrækkerne
for de enkelte funktioner. Derfor er
(S
N
f)(t) = (S
N
h)(t) + δ · (S
N
χ
[0,π]
)(t − t
0
).
Fourierrækken for χ
[0,π]
(t − t
0
) er blot en translation af Fourierrækken for χ
[0,π]
(t)
(se lemma A.1, side 14). Derfor er
lim
N→∞
(S
N
f)
t
0
+
π
N + 1
− f
t
0
+
π
N + 1
!
= lim
N→∞
(S
N
h)
t
0
+
π
N + 1
+ δ · (S
N
χ
[0,π]
)
π
N + 1
− f
t
0
+
π
N + 1
!
.
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 7
Da h er kontinuert i en åben omegn om t
0
, og der eksisterer et N
0
, sådan at t
0
+
π
N+1
er indeholdt i denne åbne omegn for N ≥ N
0
, må
S
N
h
t
0
+
π
N + 1
→ h(t
0
) for N → ∞.
Desuden gælder
t
0
+
π
N + 1
→ t
+
0
for N → ∞.
Fra lemma 2.1 ved vi, at lim
N→∞
(S
N
χ
[0,π]
)
π
N+1
= υ + 1, og kombineres dette
med ovenstående, fås
lim
N→∞
(S
N
f)
t
0
+
π
N + 1
− f
t
0
+
π
N + 1
!
= h(t
+
0
) + δ · (υ + 1) − f(t
+
0
)
= f(t
−
0
) + δ · (υ + 1) − f(t
+
0
)
= −δ + δ · υ + δ
= δ · υ.
Vi skylder efterhånden læseren en forklaring på navngivningen af Gibbs’ fæno-
men. Josiah Willard Gibbs var en amerikansk matematiker, der forsøgte at forkla-
re, hvorfor Michelsons maskine ikke opførte sig som forventet. Han forsøgte af to
omgange i 1898 og 1899 at forklare fænomenet, men hans fremstillinger var hen-
holdsvis forkerte og ufuldstændige. I 1906 udgav landsmanden Maxime Bôcher en
fuldstændig analyse af fænomenet og opkaldte det efter Gibbs.
På trods af at Gibbs’ fremstillinger var forkerte og ufuldstændige, blev fænome-
net alligevel opkaldt efter ham. Endnu mere kuriøs forekommer navngivningen, da
man senere fandt ud af, at briten Henry Wilbraham havde løst problemet 50 år
før, Gibbs kom med sit første fejlslagne forsøg. For flere detaljer og anekdoter om
opdagelsen, se [6].
3 Gibbs’ fænomen for funktioner af 2 variable
Vi vil nu bevæge os videre til funktioner af to variable. Vi vil i afsnit 3.1 disku-
tere nogle interessante problemstillinger vedrørende springet, der opstår, når man
betragter diskontinuerte funktioner af to variable. Her viser det sig nemlig at sprin-
get i 2D ikke kan udledes af springene i 1D, og at springet ikke nødvendigvis er
entydigt bestemt. Derefter vil vi i afsnit 3.2 indføre Fourierrækker for funktioner
af to variable. Med Fourierrækkerne på plads er vi i stand til at analysere Gibbs’
fænomen for funktioner af to variable i afsnit 3.3 .
8 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
3.1 Overvejelser angående funktioner af to variable.
For at vise kompleksiteten af Gibbs’ fænomen i 2D er det som tidligere nævnt
tilstrækkeligt at betragte funktioner af typen
f(x, y) = f
1
(x) · f
2
(y). (3.1)
Fremover er det implicit, at der med “funktioner af to variable” menes funktioner af
denne type – også kaldet tensorprodukter. Tensorprodukter er valgt, fordi det giver
tre klare fordele. Først og fremmest er analysen af sådanne funktioner tilstrækkelig
til at indse at Gibbs’ fænomen er totalt kaotisk i højere dimensioner. For det an-
det bliver udregningerne af Fourierkoefficienterne betydeligt nemmere (se lemma
3.5) end udregningerne af Fourierkoefficienter for generelle funktioner, der kan bli-
ve meget vanskelige. For det tredje simplificerer det nogle af de problemstillinger,
man møder, når man går fra funktioner af én variabel til funktioner af to variable.
For sådanne funktioner kan der nemlig højst være fire forskellige grænseværdier
omkring et diskontinuitetspunkt. Man behøver således kun at bestemme grænse-
værdierne omkring et diskontinuitetspunkt, (x
0
, y
0
) fra fire forskellige retninger:
(x
+
0
, y
+
0
), (x
+
0
, y
−
0
), (x
−
0
, y
+
0
), (x
−
0
, y
−
0
).
Når man undersøger diskontinuerte funktioner af to variable, er der især én ting,
der springer i øjnene. Da der er op til 4 forskellige grænseværdier omkring et dis-
kontinuitetspunkt, er springet i diskontinuitetspunktet ikke nødvendigvis entydigt
defineret. Lad os illustrere denne problemstilling med et konkret eksempel.
Eksempel 3.2. Vi betragter en 2π-periodisk funktion
f(x, y) =
χ
[0,π]
(x) + 1
χ
[0,π]
(y) + 2
, x, y ∈] − π, π].
Vi ser, at både χ
[0,π]
+ 1 og χ
[0,π]
+ 2 er diskontinuerte i 0. Funktionen er plottet i
Figur 1. Det fører til følgende mulige gennemløb af diskontinuitetspunktet (0, 0):
f(0
+
, 0
+
) = 6, f(0
−
, 0
+
) = 3,
f(0
−
, 0
−
) = 2, f(0
+
, 0
−
) = 4.
Ved at tage differencen mellem de mulige grænseværdierne ses at springet kan være
enten 1, 2, 3 eller 4, alt efter hvilken retning man gennemløber diskontinuitetspunk-
tet i.
For funktioner af én variabel har vi set, at der er en stærk kobling mellem “overs-
hootet” og springet. For at kunne lave en tilsvarende kobling mellem “overshootet”
og springet for funktioner af to variable er det nødvendigt at have en entydig defi-
nition af springet. Derfor vil vi nu definere springet for en funktion af to variable.
Definition 3.3. For funktioner af to variable f(x, y) = f
1
(x) · f
2
(y) defineres
springet δ som det størst mulige spring i punktet (x
0
, y
0
). Dvs. som den størst
mulige forskel mellem 2 af følgende 4 talstørrelser
f(x
+
0
, y
+
0
) , f(x
−
0
, y
−
0
) , f(x
+
0
, y
−
0
) , f(x
−
0
, y
+
0
).
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 9
Figur 1: Plot af f(x, y) =
χ
[0,π]
(x) + 1
χ
[0,π]
(y) + 2
.
Det er nu relevant at tage stilling til, hvordan springet som defineret ovenfor
kan udregnes. Intuitivt kunne man tro at løsningen ville være at gange springene
i x- og y-retningen sammen. Det følgende eksempel viser, at dette ikke er korrekt.
Eksempel 3.4. Betragt funktionen
f(x, y) = f
1
(x)f
2
(y) = xy, x, y ∈] − π, π]
og udvid funktionen til en 2π-periodisk funktion i både x og y. Det vil give følgende
spring for funktionerne af én variabel:
δ
1
= δ
2
= −2π.
Betragt nu det maksimale spring af f. Både f
1
og f
2
er diskontinuerte i π. Det
maksimale spring finder sted i grænsen mellem punkterne (π
−
, π
−
) og (π
−
, π
+
):
δ = f(π
−
, π
−
) − f(π
−
, π
+
) = π
2
− (−π
2
) = 2π
2
.
Dette er tydeligvis ikke lig med:
δ
1
δ
2
= (−2π) · (−2π) = 4π
2
.
3.2 Fourierrækker af funktioner af to variable
Vi tager nu fat på Fourierrækker for funktioner af to variable. Disse kan defineres
helt parallelt med Fourierrækker for funktioner af én variabel. Vi indfører først
L
2
(] − π, π]
2
) :=
(
f : ] − π, π]
2
→ C
Z
π
−π
Z
π
−π
|f(x, y)|
2
dxdy < ∞
)
.
10 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
Fourierrækken for en funktion f ∈ L
2
(] − π, π]
2
) er givet ved
f ∼
∞
X
m=−∞
∞
X
n=−∞
c
m,n
e
i(mx+ny)
,
hvor Fourierkoefficienterne er defineret ved
c
m,n
=
1
4π
2
Z
π
−π
Z
π
−π
f(x, y)e
−i(mx+ny)
dxdy.
Vi definerer da den (M, N)’te afsnitssum af Fourierrækken ved
(S
M,N
f)(x, y) =
M
X
m=−M
N
X
n=−N
c
m,n
e
i(mx+ny)
.
For funktioner af den specielle type (3.1) kan afsnitssummerne beregnes som
produktet af afsnitssummerne af én variabel.
Lemma 3.5. Afsnitssummerne af Fourierrækken for en funktion,
f(x, y) = f
1
(x) · f
2
(y), f
1
, f
2
∈ L
2
(−π, π)
er givet ved
(S
M,N
f)(x, y) = (S
M
f
1
)(x) · (S
N
f
2
)(y).
Bevis. Lad c
m
, c
n
, c
m,n
, n, m ∈ Z betegne Fourierkoefficienterne for henholdsvis
f
1
,f
2
og f . Da fås
c
m,n
=
1
4π
2
ZZ
f(x, y)e
imx+iny
dxdy
=
1
4π
2
ZZ
f
1
(x)e
imx
f
2
(y)e
iny
dxdy
=
1
2π
Z
f
1
(x)e
imx
dx
1
2π
Z
f
2
(y)e
iny
dy
= c
m
· c
n
.
Det er nu klart, at afsnitssummerne af Fourierrækken for f kan opskrives som et
produkt af afsnitssummerne af Fourierrækkerne for f
1
og f
2
(S
M,N
f)(x, y) =
M
X
m=−M
N
X
n=−N
c
m
c
n
e
imx
e
iny
=
M
X
m=−M
c
m
e
imx
N
X
n=−N
c
n
e
iny
= (S
M
f
1
)(x) · (S
N
f
2
)(y).
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 11
3.3 Gibbs’ fænomen for funktioner af to variable
For funktioner af en variabel har vi set at afsnitssummernes “overshoot” konvergerer
mod υ gange springets størrelse, hvor
υ = −
1
2
+
1
π
Z
sin t
t
dt ≈ 0.0895.
Derfor kunne man fristes til at tro, at funktioner af to variable vil give en afsnitssum,
der skyder over med υ
2
af springet. Ved nærmere eftertanke er dette ikke korrekt, da
υ
2
er mindre end υ. Vi minder læseren om at maksimum af S
N
χ
[0,π]
er 1+υ. Derfor
må S
M,N
f for funktionen f(x, y) = χ
[0,π]
(x) · χ
[0,π]
(y) have maksimumsværdien
(1 + υ)
2
jævnfør lemma 3.5. Forskellen mellem maksimumsværdien og funktionen
bliver derfor,
(1 + υ)
2
− 1 = υ
2
+ 1 + 2υ − 1 = υ
2
+ 2υ ≈ 0.1870. (3.6)
For den konkrete funktion viser ovenstående ræsonnement sig at holde stik. Det
viser sig dog, at for generelle funktioner er “overshootet” mere kompliceret end som
så.
Eksempel 3.7. Vi betragter funktionen
f(x, y) = x · y
3
, x, y ∈] − π, π].
Vi har således f
1
(x) = x og f
2
(y) = y
3
, hvor begge udvides til 2π-periodiske funk-
tioner. De har derfor begge en diskontinuitet i x = y = π, og det maksimale spring
er δ = 2π
4
. Funktionen f er plottet i Figur 2 sammen med S
10,10
. “Overshootet” i
punktet
(x, y) =
π −
π
N + 1
, π −
π
N + 1
konvergerer mod 19.5% af springet. Idet 0.195 er større end υ
2
+ 2υ ≈ 0.1870,
illustrerer det, at “overshootet” kan være større, end ræsonnementet ledte os frem
til i (3.6).
Tilsyneladende opfører Gibbs’ fænomen sig altså helt uforudsigeligt for funktio-
ner af to variable. Helt så slemt er det dog ikke. Faktisk er det muligt at opstille
en konkret formel, der angiver “overshootet” for en funktion af to variable. Dette
er indholdet i Sætning 3.9. Vi lader δ betegne det maksimale spring for f og vil
derudover benytte følgende størrelser
δ
1
= f
1
(x
+
0
) − f
1
(x
−
0
), δ
2
= f
2
(y
+
0
) − f
2
(y
−
0
), τ
1
=
π
N + 1
. (3.8)
Bemærk at hvis x
0
er et kontinuitetspunkt for f
1
, bliver δ
1
= 0.
Nedenstående sætning er opskrevet for punktet (x
0
+ τ
1
, y
0
+ τ
1
), men som tid-
ligere nævnt kan et punkt gennemløbes i fire interessante retninger. Sætningen og
beviset kan opskrives og udføres fuldstændig tilsvarende for de tre andre gennem-
løbsretninger, (x
+
0
, y
−
0
), (x
−
0
, y
+
0
), (x
−
0
, y
−
0
).
12 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
Figur 2: f og S
10,10
.
Sætning 3.9. Betragt funktionen f(x, y) = f
1
(x)f
2
(y) hvor f
1
, f
2
∈ L
2
(−π, π)
er stykkevis differentiable funktioner. For afsnitssummerne af Fourierrækken for
funktionen f gælder følgende
lim
M,N→∞
S
M,N
(x
0
+
π
M + 1
, y
0
+
π
N + 1
) − f(x
0
+
π
M + 1
, y
0
+
π
N + 1
)
=
δ
1
δ
2
υ + δ
2
f
1
(x
+
0
) + δ
1
f
2
(y
+
0
)
· υ.
Bevis. Vi tager udgangspunkt i følgende udtryk:
h
S
M
f
1
(x) − f
1
(x)
ih
S
N
f
2
(y) − f
2
(y)
i
= f
1
(x)f
2
(y) + S
M
f
1
(x)S
N
f
2
(y) − f
1
(x)S
N
f
2
(y) − f
2
(y)S
M
f
1
(x).
Vi betragter nu forskellen mellem afsnitssummen og funktionen, dvs. “overshoo-
tet”. Vi benytter først resultatet fra lemma 3.5, hvorefter vi benytter ovenstående
omskrivning. Det giver
S
M,N
(x, y) − f(x, y)
= S
M
f
1
(x)S
N
f
2
(y) − f
1
(x)f
2
(y)
= S
M
f
1
(x)S
N
f
2
(y) − f
1
(x)f
2
(y) − f
1
(x)f
2
(y) + f
1
(x)f
2
(y)
− f
1
(x)S
N
f
2
(y) + f
1
(x)S
N
f
2
(y) − f
2
(y)S
M
f
1
(x) + f
2
(y)S
M
f
1
(x)
=
h
S
M
f
1
(x) − f
1
(x)
ih
S
N
f
2
(y) − f
2
(y)
i
− 2f
1
(x)f
2
(y) + f
1
(x)S
N
f
2
(y) + f
2
(y)S
M
f
1
(x)
=
h
S
M
f
1
(x) − f
1
(x)
ih
S
N
f
2
(y) − f
2
(y)
i
+ f
1
(x)
h
S
N
f
2
(y) − f
2
(y)
i
+ f
2
(y)
h
S
M
f
1
(x) − f
1
(x)
i
. (3.10)
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 13
Ved at benytte sætning 2.5 og definitionerne fra (2.4) kan vi derfor omskrive S
M
f
1
−
f
1
.
lim
M→∞
S
M
f
1
(x
0
+ τ
1
) − f
1
(x
0
+ τ
1
)
= δ
1
· υ.
Tilsvarende for S
N
f
2
− f
2
. Indsættes dette i (3.10) fås nu
lim
M,N→∞
S
M,N
(x
0
+ τ
1
, y
0
+ τ
1
) − f(x
0
+ τ
1
, y
0
+ τ
1
)
= δ
1
δ
2
υ
2
+ δ
2
υf
1
(x
+
0
) + δ
1
υf
2
(y
+
0
)
=
δ
1
δ
2
υ + δ
2
f
1
(x
+
0
) + δ
1
f
2
(y
+
0
)
· υ.
Eksempel 3.11. Vi vil nu illustrere sætning 3.9 med funktionen fra eksempel 3.7.
Derfor udregnes følgende
δ
1
= −2π, δ
2
= −2π
3
, δ = 2π
4
.
Dette giver at
lim
M,N→∞
S
M,N
f
π −
π
M + 1
, π −
π
N + 1
− f
π −
π
M + 1
, π −
π
N + 1
!
= δ
1
δ
2
υ
2
− δ
2
f
1
(π) · υ − δ
1
f
2
(π) · υ
≈ 37.9889.
Det ses, at “overshootet” udgør ca. 37.9889/δ = 19.5% af det maksimale spring.
Umiddelbart virker sætning 3.9 mindre gennemskuelig end det tilsvarende re-
sultat for funktioner af en variabel (sætning 2.5), da det ikke er klart, hvordan δ
1
,
δ
2
, δ og funktionsværdiernes indbyrdes sammenhæng påvirker resultatet.
Anderledes simpelt ser det ud, når mindst én af f
1
, f
2
er kontinuert.
Korollar 3.12. Betragt funktionen f(x, y) = f
1
(x)f
2
(y) hvor f
1
, f
2
∈ L
2
(−π, π)
er stykkevis differentiable funktioner. Hvis f
2
er kontinuert gælder følgende for
afsnitssummerne af Fourierrækken for funktionen f
lim
M,N→∞
S
M,N
f(x
0
+
π
N + 1
, y) − f(x
0
+
π
N + 1
, y)
=f
2
(y) · δ
1
υ,
x
0
, y ∈] − π, π].
Korollar 3.13. Betragt funktionen f(x, y) = f
1
(x)f
2
(y) hvor f
1
, f
2
∈ L
2
(−π, π)
er kontinuerte of stykkevis differentiable funktioner. Så gælder følgende for afsnits-
summerne af Fourierrækken for funktionen f
lim
M,N→∞
S
M,N
f(x, y) − f(x, y)
= 0, x, y ∈] − π, π].
14 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
Her viser korollar 3.12, at “overshootet” i dette tilfælde minder meget om “overs-
hootet” for funktioner af én variabel (sætning 2.5). Korollar 3.12 kan således ses
som det bivariable modstykke til sætning 2.5. Den største forskel mellem de to sæt-
ninger er, at korollar 3.12 også kræver information om den kontinuerte funktion,
idet denne skalerer “overshootet”. Det bemærkes at “overshootet” i begge tilfælde
konvergerer mod springet ganget med υ, når antallet af led i afsnitssummen går
mod uendelig.
Vi har nu forklaret Gibbs’ fænomen for funktioner af én og to variable. Fouri-
errækker svinger, og det gør Gibbs’ fænomen også i 2D, alt efter hvilken funktion
man betragter. Hvis vi anskaffer os 3D-briller og undersøger fænomenet påny, vil
resultaterne givetvis ligne resultaterne i sætning 3.9, men med flere led.
A Lemma A.1
Lemma A.1. Hvis f ∈ L
2
(−π, π) og funktionen φ : R → C defineres som
φ(t) := f(t + u),
så er afsnitssummerne af Fourierrækkerne for φ givet ved
(S
N
φ)(t) = (S
N
f)(t + u).
Bevis. For at finde en sammenhæng mellem afsnitssummerne af Fourierrækkerne
for φ og f finder vi en sammenhæng mellem deres Fourierkoefficienter. Hvis f
udvides til en 2π-periodisk funktion er Fourierkoefficienterne for φ veldefinerede.
Disse betegner vi {d
n
}
n∈N
og de er givet ved
d
n
=
Z
π
−π
φ(t)e
−int
dt =
Z
π
−π
f(t + u)e
−int
dt.
Variabelskiftet, x = t + u, giver nu
d
n
=
Z
π+u
−π+u
f(x)e
−in(x−u)
dx = e
inu
Z
π+u
−π+u
f(x)e
−inx
dx.
Da integranden er 2π-periodisk integreres over en hel periode og vi kan derfor
forskyde integrationsintervallet med enhver værdi, også −u.
d
n
= e
inu
Z
π
−π
f(x)e
−inx
dx = c
n
e
inu
,
hvor {c
n
}
n∈N
er Fourierkoefficienterne for f. Heraf fås
(S
N
φ)(t) =
N
X
n=−N
d
n
e
int
=
N
X
n=−N
c
n
e
inu
e
int
=
N
X
n=−N
c
n
e
in(t+u)
= (S
N
f)(t + u).
Normat 1/2012 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen 15
B Maple
> restart: with(plots):
Definer funktionerne f
1
og f
2
på intervallet ] − π, π]:
> f1:=x->arctan(x): f2:=y->y^3:
> g1:=x->piecewise(x <= Pi and x >= -Pi,f1(x),
x > Pi and x < 2*Pi,f1(x-2*Pi)):
g2:=y->piecewise(y <= Pi and y >= -Pi,f2(y),
y > Pi and y < 2*Pi,f2(y-2*Pi)):
f:=(x,y)->g1(x)*g2(y):
> epsilon:=10^(-4):
plot1:=plot3d(f(x,y),x=0..Pi-epsilon,y=0..Pi-epsilon):
plot2:=plot3d(f(x,y),x=Pi+epsilon..2*Pi,y=0..Pi-epsilon):
plot3:=plot3d(f(x,y),x=Pi+epsilon..2*Pi,y=Pi+epsilon..2*Pi):
plot4:=plot3d(f(x,y),x=0..Pi-epsilon,y=Pi+epsilon..2*Pi):
Et plot af funktionen omkring punktet (π, π) og et omkring punktet (0, 0).
> plotA:=display(plot1,plot2,plot3,plot4):
plotB:=plot3d(f(x,y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi):
display(<plotA|plotB>,style=surfacecontour,transparency=0.2);
Figur 3
Litteratur
[1] Bachman, George and Narici, Lawrence and Beckenstein, Edward: Fourier and
Wavelet Analysis, Springer-Verlag, New York, 2000
[2] Christensen, Ole: Functions, Spaces, and Expansions - Mathematical tools in
physics and engineering. Birkhäuser,ANHA- series), 2010
16 Ole Christensen, Kristian Berg Thomsen, Mads Paulsen Normat 1/2012
[3] Walnut, David F.: An Introduction to Wavelet Analysis. Birkhäuser
(ANHA–series), Boston, 2002.
[4] Ustina, Fred: Gibbs’ phenomenon for functions of two variables. Transactions of
the American Mathematical Society 129 no. 1 (1967)
[5] Vretblad, Anders: Fourier Analysis and Its Applications. Springer-Verlag, New
York, 2003.
[6] Hewitt, Edwin and Hewitt, Robert E.: The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An
episode in Fourier analysis. Archive for History of Exact Sciences 21 no. 2 (1979),
129–160
[7] Rudin, Walter: Real and Complex Analysis. "McGraw-Hill, Singapore, 1986
[8] Lindstrøm, Tom Louis and Hveberg, Klara: Flervariabel analyse med lineær
algebra. Prentice-Hall, 2011
