Normat 60:1, 37–38 (2012) 37
Hopningspunkter
Ulf Persson
Matematiska Institutionen
Chalmers Tekniska Högskola och
Göteborgs Universitet
ulfp@chalmers.se
Introduktion
Låt oss för enkelhetens skull betrakta delmängder av R även om det mesta som sägs
går igenom i ett mycket allmännare sammanhang. Vi påminner om att en punkt p
är en en hopningspunkt till en mängd X om varje öppen omgivning till p innehåller
en punkt q ∈ X (och p 6= p). Av definitionen följer att varje omgivning innehåller
oändligt många punkter i X, men det kan mycket väl vara så att utanför varje
omgivning till p finner vi bara ett ändligt antal punkter i X. Exempel är legion,
det enklaste utgörandes av mängden I av inverterade heltal 1/n. Notera att ingen
av hopningspunkterna till en mängd X behöver tillhöra X. Hopningspunkterna
h(X) till en mängd X utgör uppenbarligen en sluten delmängd till det slutna höljet
¯
Xav X. Speciellt h(I) = {0}. De punkter som inte är hopningspunkter benämnes
isolerade punkter. En sluten icke-tom mängd utan isolerade punkter kallas perfekt.
Vi noterar däremot att h(X) mycket väl kan ha isolerade punkter, och vi kan
tänka oss en kedja . . . h
n
(X) ⊂ h
n−1
(X) ⊂ . . . h(X) ⊂
¯
X med strikta inklusio-
ner och därmed den strikta inklusionen h
∞
(X) = ∩
n
h
n
(X) ⊂ h
n
(X). Detta kan
givetvis fortsättas, via transfinita ordinaltal. Sätt h
ω
(X) = h
∞
(X) och definiera
h
ω+1
(X) = h(h
ω
(X)) och h
2ω
(X) = ∩
n
h
ω +n
(X) o.s.v. utan att processen någon-
sin kommer att stabiliseras utom i de fall det slutar med tomma mängden. Det
lär vara så Cantor kom in på mängdlära genom att successivt ta bort isolerade
punkter från en mängd. Vi har givetvis att h
2
(I) = ∅ och definierar vi induktivt
I
n+1
= ∪
n
(
1
n
+
1
2n
2
I
n
) finner vi att h(I
n+1
) = I
n
. (Där a + bX betecknar bilden av
X under den linjära avbildningen x 7→ a + bx)
Starka hopningspunkter
En punkt p säges vara en stark hopningspunkt till en mängd X om och endast
om varje omgivning till p innehåller ett överuppräkneligt antal punkter i X. Vi har
följande fundamentala lemma vars bevis liksom de efterföljande argumenten bygger
på att en uppräknelig union av uppräkneliga mängder är fortfarande uppräknelig.
Lemma: Varje överuppräknelig mängd X innehåller en stark hopningspunkt.
38 Ulf Persson Normat 1/2012
Antag att så inte är fallet. Vi kan då hitta ett n så att alla intervallen (x−
1
n
, x+
1
n
) endast innehåller ett uppräkneligt antal punkter i X för en överuppräknelig
mängd X
0
av x ∈ X. Tallinjen kan skrivas som en uppräknelig union av intervall
av längd
1
n
. Åtminstone ett av dessa intervall innehåller ett överuppräkneligt antal
element ur X
0
. Tag ett av dessa, de korresponderande intervallet kommer innehålla
en överuppräknelig delmängd av X
0
(och således av X).
Korrolarium: Varje överuppräknelig mängd innehåller ett överuppräkneligt
antal starka hopningspunkter.
Om det bara finns ett uppräkneligt antal starka hopningspunkter kommer kom-
plementet vara överuppräkneligt och därmed innehålla en stark hopningspunkt.
Som vi noterat kan en hopningspunkt vara isolerad bland mängden av hopnings-
punkter. Detta gäller inte för starka hopningsunkter. Om vi betecknar mängden
av starka hopningspunkter till X med H(X) gäller
Sats: H(H(X)) = H(X)
Låt p vara en stark hopningspunkt. Vi inser att för varje n kan vi finna ett
m > n så att snittet av X med mängden {x :
1
m
< |x − p| <
1
n
} är överuppräknelig
ty snittet med ∪
m
{x :
1
m
< |x − p| <
1
n
} är överuppräkneligt. Enligt korrolariet
ovan innehåller denna därmed ett överuppräkneligt antal starka hopningspunkter.
För att ’sluta cirkeln’ noterar vi att
Sats: Varje punkt till en perfekt mängd är en stark hopningspunkt.
Givet ett godtyckligt intervall som innehåller en punkt p kan vi finna distinkta
punkter p
0
, p
1
som också är hopningspunkter. Vi kan nu välja disjunkta intervall
som innehåller p
0
och p
1
respektive och välja p
00
, p
01
och p
10
, p
11
respektive. För
varje ändlig sekvens s av nollor och ettor kan vi således definiera p
s
. För oändliga
sekvenser betraktar vi helt enkelt gränsvärdet av de punkter som ges av de ändliga
trunkationerna. På grund av att X är sluten måste de tillhöra X och det finns ett
överuppräkneligt antal av dessa.
Korrolarium: Varje sluten uppräknelig mängd har isolerade punkter, och den
transfinita processen att avlägsna dessa leder slutligen till tomma mängden.
Det första påståendet är uppenbart. För det andra observera att om processen
avslutas med en icke-tom mängd är denna en perfekt delmängd.
Korrolarium: Varje sluten mängd har en perfekt delmängd vars komplement
är uppräkneligt.
Slutligen noterar vi att alla påstående förblir sanna för varje separabelt topo-
logiskt rum, d.v.s. ett med en uppräknelig bas av öppna mängder. Däremot för R
noterar vi följande struktursats, som vi av utrymmesskäl inte visar, men som är
lätt att inse.
Sats: Varje kompakt delmängd av R utan såväl isolerade punkter som inre
punkter är homeomorf med Cantormängden.
