52 Normat 60:2, 52–69 (2012)
Hilberts Tionde Problem och Büchisekvenser
Juliusz BrzeziÒski
Mathematical Sciences
Chalmers and Gothenburg University
S–41296 Göteborg, Sweden
jub@chalmers.se
1 Introduktion
Hilberts tionde problem tillhör den berömda lista på 23 matematiska problem som
presenterades av David Hilbert i ett föredrag vid den internationella matematik-
erkongressen i Paris år 1900. Dessa problem var utgångspunkten till flera spek-
takulära matematiska resultat och utvecklingen av helt nya forskningsområden
inom matematiken. Flera av Hilberts problem har besvarats, men det finns fort-
farande problem som inte är lösta
1
. Det tionde problemet handlar om Diofantiska
ekvationer dvs, i den mest vanliga tolkningen, om polynomekvationer med heltaliga
koefficienter och deras heltaliga lösningar. Frågan är om existensen av sådana lös-
ningar kan avgöras i e tt ändligt antal beräkningssteg. Det mest berömda exemplet
på Diofantisk ekvation är troligen Fermats ekvation:
X
n
+ Y
n
= Z
n
och frågan om existensen av nollskilda heltal X, Y , Z som uppfyller likheten då
n>2. Kan detta avgöras med hjälp av en algoritm som efter ett antal beräkn-
ingssteg kan konstatera att ekvationen (vid fixt n) har eller inte har några heltaliga
lösningar? En annan tänkbar formulering är att frågan gäller existensen av en al-
goritm som kan implementeras så att en dator kan avgöra om lösningar finns eller
ej. Rent allmänt har man alltså en polynomekvation f(X
1
,X
2
,...,X
n
)=0med
heltaliga koefficienter och frågar om det alltid är möjligt att konstruera en algoritm
som antingen hittar en heltalig lösning eller visar att en sådan inte finns. Hilberts
formulering var följande (i min fria översättning):
Man har en Diofantisk ekvation med rationella koefficienter i ett godtyckligt antal
obekanta: Bestäm en process som efter ett ändligt antal beräkningssteg kan avgöra
om det finns en heltalig lösning till ekvationen.
2
1
Av 2 3 p ro b le m h ar 1 5 b e sva r a t s , 5 h ar p a rt i el l a s va r el l er k a n b e t r a k ta s s om b e s va ra d e
beroende på frågans tolkning och 3 är obesvarade.
2
Eine D i o p h a n t i s c h e Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen
rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 53
Idag vet vi att detta ej är möjligt för alla Diofantiska ekvationer – det visades 1970
av Yuri Matiyasevich som därmed löste Hilberts tionde problem. Matiyasevichs
lösning av problemet bygger på hans tidigare resultat och resultat av flera andra
framstående matematiker som Martin Davis, Julia Robinson och Hilary Putnam.
Matiyasevich visar att det finns en Diofantisk ekvation f(X
1
,X
2
,...,X
n
)=0för
vilken existensen av heltaliga lösningar inte kan avgöras med hjälp av en algo-
ritm. Beviset bygger på en lämplig formulering och precisering av begreppen (vad
menas med en algoritm?), vilket spelar en mycket viktig roll i resonemangen som
i stora delar tillhör den matematiska logikens domäner. Ett lämpligt polynom kan
konstrueras helt explicit fast det är inte enkelt. Från början fanns det ett ganska
komplicerat exempel på ett polynom i 26 variabler. Matiyasevich själv konstruerade
senare ett polynom i 10 variabler med lika ogenomskådlig uppbyggnad. Richard J.
Büchi försökte konstruera ett relativt enkelt exempel på ett sådant polynom och
visade att Matiyasevich resultat implicerar att det finns sådana “enkla” exempel
om bara hans egen förmodan angående kvadratsekvenser av heltal är sann. Först
förklarar vi hur man kan välja ett konkret polynom i Hilberts tionde problem om
Büchis förmodan är sann för att därefter gå över till denna förmodan som är hu-
vudämnet för denna artikel.
Büchi bevisar (se [L] eller [Vo]) att i Matiyasevichs sats kan polynomet väljas som
(1) f(X
1
,...,X
n
)=P
2
1
+ ···+ P
2
m
,
där varje P
i
=
q
n
j=1
a
ij
X
2
j
≠ b
i
är (diagonalt) kvadratiskt polynom med heltaliga
koefficienter a
ij
,b
i
. Med andra ord bevisade Büchi att det finns ett system av
kvadratiska ekvationer för vilket existensen av heltaliga lösningar inte kan avgöras
med hjälp av en lämplig algoritm om bara hans förmodan om kvadratsekvenser
gäller samt det negativa svaret på Hilberts fråga är känt (notera att kvadratsumman
(1) är lika med 0 precis då P
i
=0för alla i =1,...,m).
Nu kan vi formulera Büchis kvadratproblemet (se [L], [Vo], [PPV]):
Büchis kvadratförmodan Varje tillräckligt lång sekvens av positiva heltal vars
kvadrater har andradifferenser lika med 2 måste vara trivial.
För att närmare förklara denna formulering låt oss ta en sekvens av positiva heltal
x
1
,x
2
,...,x
n
. De förstadifferenserna mellan kvadraterna är talen x
2
i+1
≠ x
2
i
för
i =1,...,n≠ 1. De andradifferenserna är
(2) (x
2
i+2
≠ x
2
i+1
) ≠ (x
2
i+1
≠ x
2
i
)=D
i
för i =1,...,n≠2. Büchis förmodan säger att om vi väljer D
i
=2så blir sekvensen
trivial om den är tillräckligt lång. Vad betyder trivial? Om vi startar med kon-
sekutiva positiva heltal t.ex. 1,2,3,4,5,6, så är de förstadifferenserna mellan deras
mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die Gleichung in ganzen
rationalen Zahlen lösbar ist.
54 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
kvadrater lika 3,5,7,9, och de andradifferenserna 2,2,2. Denna sekvens är ett exem-
pel på en trivial sekvens dvs en sekvens bestående av konsekutiva positiva heltal.
Finns det icke triviala sekvenser? Svaret är att de finns, men troligen enbart för
väldigt små längder. Som exe mpel ta talen 6, 23, 32, 39. De förstadifferenserna
av kvadraterna är 493, 495, 497, och de andra är 2. Det finns inte ett enda känt
exempel på en icke-trivial sekvens av den typen av längd 5. Beroende på mycket
omfattande numeriska beräkningar och en del teoretiska överväganden kan man
gissa att “tillräcklig lång” i Büchis förmodan innebär helt enkelt n =5.
I fortsättningen av denna artikel sysslar vi med olika resultat som anknyter till
Büchis kvadratproblem. I sektion 3 visar vi hur man enkelt kan konstruera alla
icke-triviala Büchi-sekvenser av längd 4. Eftersom försöken att förlänga dessa med
ytterligare termer misslyckas studerar vi två andra, närliggande problem. Det
första är huruvida det är möjligt att konstruera längre icke-triviala sekvenser vars
kvadrater har en konstant andradifferens som inte nödvändigt är lika med 2 – hur
svårt är det att konstruera sådana sekvenser när man vill ha relativt små andradif-
ferenser (helst 2)? Det andra är att söka konstruera Büchisekvens er med rationella
tal i stället for hela. Är det möjligt att konstruera längre sekvenser då? Vilken typ
av svårigheter möter man och vilka konsekvenser för det ursprungliga problemet
kan förväntas?
Dessa problem har studerats av flera matematiker både i samband med Büchis
kvadratproblem o ch i till synes andra sammanhang. Büchisekvenser av längd 4
studerades av Hensley [H] och något senare visade Buell [Bu] att det finns oändligt
många (t.o.m. växande) sekvenser av den typen. Han ställde också frågan om ex-
istensen av längre kvadratsekvenser med konstanta andradifferenser. Ungefär sam-
tidigt studerades frågan om exempel på kvadratiska polynom f (X)=aX
2
+bX +c
med heltaliga och relativt prima koefficienter a, b, c sådana att polynomets värden
är kvadrater för så många som möjligt heltaliga konsekutiva värden på X. Frågan
om möjliga antal av konsekutiva värden på X som ger kvadrater då a =1är ekvi-
valent med Büchis fråga (vi visar ekvivalensen i Appendix). Så t.ex. det faktum att
6, 23, 32, 39 är Büchisekvens översätts till att polynomet f(X)=X
2
+ 492X + 36
ger kvadrater då X =0, 1, 2, 3 (f(0) = 6
2
,f(1) = 23
2
,f(2) = 32
2
,f(3) = 39
2
).
Allison visade i [A] att det finns oändligt många symmetriska sekvenser av åtta
heltal vars kvadrater har konstanta andradifferenser t.ex. 17, 53, 67, 73, 73, 67, 53,
17 (med andradifferensen ≠420). Han hittade också två icke-symmetriska sekvenser
av 7 heltal med denna egenskap. Undersökningar av liknande karaktär finns i [Ba]
och [Pi]. Som ett svar på Buells fråga visades i [BB] att det finns oändligt många
(monotona) heltaliga kvintuppler och sextuppler med kons tanta andradifferenser
(beloppen av de minsta kända differenserna är |D| = 2110 för sextupplen 54, 229,
316, 381, 434, 479 och |D| = 112 för kvintupplen 111, 251, 337, 405, 463). Frågan
om existensen av längre sekvenser med liknande egenskaper är öppen. Genom att
använda ganska avancerad algebraisk geometri konstruerade Bremner [Br] 12 nya
sekvenser av längd 7 (utöver de två som var kända från [A]). Med hjälp av den
teknik som presenteras här (se också [BB2]) är det möjligt att hitta 5 nya sekvenser
av längd 7 som inte är trunkeringar av symmetriska sekvenser av längd 8. Det finns
inga icke-triviala symmetriska kvadratsekvenser med konstanta andradifferenser av
udda längd n Ø 7 [BB] och av jämn längd n Ø 10 ([G-JX]).
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 55
När det gäller rationella Büchisekvenser, så kan man visa att det finns oändligt
många (monotona) icka-triviala av längd 5 (se [BB2] och sektion 4). Nyligen an-
nonserades i [ALT] ett till en del starkare resultat om sådana sekvenser (se sektion
4). Det verkar att rationella Büchisekvenser av längd 6 är antingen triviala eller
symmetriska (se sektion 5 och en förmodan formulerad där). Slutsatsen från omfat-
tande numeriska beräkningar (se [BB2]) och en del kända resultat gör att följande
förmodan som omfattar Büchis ursprungliga fråga är trolig:
5-7-9 Förmodan (a) Varje Büchisekvens av längd 5 är trivial;
(b) Varje rationell Büchisekvens av längd 7 är trivial;
(c) Varje rationell kvadratsekvens av längd 9 med konstanta andradifferenser är
trivial.
Efter en inledande s ektion 2 där vi fixerar vår terminologi, visar vi existensen
av oändligt många Büchikvadrupler i sektion 3 . Vi ger en annan lösning än i [Bu]
och på ett naturligt sätt kommer fram till en parametrisering som finns hos Vidaux
[Vi]. I sektion 4 visar vi hur man kan konstruera oändligt många växande rationella
Büchikvintuppler genom ett lämpligt val av en elliptisk kurva på en yta i rymden. I
sektion 5 tittar vi på rationella Büchisextuppler som troligen är de sista någorlunda
icke triviala sekvenser – vi formulerar här en sannolik förmodan. I sektion 6 berättar
vi om kvadratsekvenser med konstanta andradifferenser av längd större än 6 och
slutligen i sektion 7 återkommer vi till Hilberts tionde problem och diskuterar
fortsatt forskning som är relaterad till olika mycket naturliga generaliseringar av
problemet t.ex. till andra talmängder. Artikeln avslutas med ett Appendix där vi
förklarar sambandet mellan Büchisekvenser och värden av kvadratiska polynom för
konsekutiva heltal.
2 Büchisekvenser
Låt x
1
,x
2
,...,x
n
(n Ø 3) vara en sekvens av positiva heltal vars kvadrater har
konstanta andradifferenser D =2. Enligt (2) har vi då följande ekvationssystem:
x
2
1
≠ 2x
2
2
+ x
2
3
=2,
x
2
2
≠ 2x
2
3
+ x
2
4
=2,
···(3)
x
2
n≠2
≠ 2x
2
n≠1
+ x
2
n
=2.
Om en helt godtycklig lösning (x
1
,x
2
,...,x
n
) be traktas som en punkt i ett affint
rum, så definierar dessa ekvationer en yta (en algebraisk mängd av dimension 2) i
A
n
. Sådana ytor, eller mera exakt, motsvarande ytor i det projektiva rummet P
n
som definieras av ekvationssystemet
56 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
x
2
1
≠ 2x
2
2
+ x
2
3
=2x
2
0
,
x
2
2
≠ 2x
2
3
+ x
2
4
=2x
2
0
,
···(4)
x
2
n≠2
≠ 2x
2
n≠1
+ x
2
n
=2x
2
0
,
har studerats ganska intensivt för att få grepp om strukturen av deras heltal-
iga punkter dvs Büchisekvenser. En helt godtycklig lösning [x
0
,x
1
,...,x
n
] av (4)
kan betraktas som punkt i det projektiva rummet P
n
i vilket ekvationssystemet
definierar en algebraisk yta. Vi skall beteckna denna yta med X
n
. I [Vo] studerade
Vojta dessa ytor och visade att om en förmodan av Lang om rationella punkter
på algebraiska ytor av så kallad allmän typ är sann för någon av ytorna X
n
med
n Ø 8, så gäller Büchis kvadratförmodan (se slutet av sektion 5).
Om man vill studera mera allmänna sekvenser x
1
,x
2
,...,x
n
(n Ø 4) vars kvadrater
har helt godtyckliga konstanta andradifferenser D (dvs sekvenser som uppfyller
ekvationerna (2) med D
i
= D) så är det naturligt att skriva om systemet genom
att subtrahera varje par av efterföljande ekvationer (eliminera D):
x
2
1
≠ 3x
2
2
+3x
2
3
≠ x
2
4
=0,
x
2
2
≠ 3x
2
3
+3x
2
4
≠ x
2
5
=0,
...(5)
x
2
n≠3
≠ 3x
2
n≠2
+3x
2
n≠1
≠ x
2
n
=0.
Här är D inte längre explicit utan kan definieras som det gemensamma värdet av de
vänstra leden i (3) (samma som i (4) ovan). I detta fall kan de nollskilda lösningarna
[x
1
,x
2
,...,x
n
] betraktas som punkter på en yta i det projektiva rummet P
n≠1
.I
fortsättningen betecknar vi denna yta med Y
n≠1
. Det finns nära samband mellan
ytorna X
n
och Y
n+1
som vi skall utnyttja senare.
I fortsättningen skall vi använda följande terminologi. Vi s äger att x
1
,x
2
,...,x
n
är en Büchi sekvens om D =2. Den kallas trivial om det finns e n aritmetisk
följd av heltal a
1
,a
2
,...,a
n
sådan att x
i
= |a
i
| för i =1,...,n. Vi kommer att
kalla s ekvensen primitiv om den största gemensamma delaren till alla x
i
är 1. En
sekvens kallas symmetrisk om |x
i
| = |x
n≠i
| for i =0, 1,...,n.
3 Büchikvadrupler
I denna sektion visar vi att det finns oändligt många Büchisekvenser x
1
,x
2
,x
3
,x
4
av längd fyra dvs att ekvationssystemet
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 57
x
2
1
≠ 2x
2
2
+ x
2
3
=2,
x
2
2
≠ 2x
2
3
+ x
2
4
=2,(6)
har oändligt många icke-triviala heltaliga lösningar som t.o.m. består av växande
positiva heltal x
1
<x
2
<x
3
<x
4
. Att sekvensen är icke-trivial innebär nu att den
inte är aritmetisk (x
2
är inte medelvärdet av x
1
,x
3
). Vi kan först hitta ett sätt att
lista alla tripplar x
1
,x
2
,x
3
och därefter försöka förlänga dessa till Büchikvadrupler.
Låt x
1
,x
2
,x
3
vara en icke-trivial lösning till ekvationen x
2
1
≠ 2x
2
2
+ x
2
3
=2. Låt
x
2
= x
1
+ k, x
3
= x
1
+ l. Eftersom 2k ≠ l ”=0(l =2k ge r en aritmetisk sekvens)
får vi:
x
1
=
2k
2
≠ l
2
+2
2(l ≠ 2k)
,
x
2
= x
1
+ k =
2kl ≠2k
2
≠ l
2
+2
2(l ≠ 2k)
,
x
3
= x
1
+ l =
2k
2
+ l
2
≠ 4kl +2
2(l ≠ 2k)
.
Vi betecknar 2k ≠ l = r och får
x
1
=
2k
2
≠ 4kr + r
2
≠ 2
2r
,
x
2
=
2k
2
≠ 2kr + r
2
≠ 2
2r
,
x
3
=
2k
2
≠ r
2
≠ 2
2r
,
x
1
,x
2
,x
3
är heltal endast om r är ett jämnt heltal som delar k
2
≠1. De är positiva
och växer endast om x
1
> 0 och k>r>0. Dessa villkor ger en enkel algoritm som
gör det möjligt att lista Büchitripplar med hjälp av en dator. Man väljer k =1, 2,...
och bestämmer för varje k alla positiva delare r till k
2
≠ 1 som uppfyller villkoret
r<k. Dessutom måste villkoret 2(k ≠ r)
2
≠ r
2
> 2 uppfyllas. För att konstruera
kvadrupler kan vi varje gång testa om också andra ekvationen i systemet (6) är
uppfylld dvs om x
4
=
2+2x
3
3
≠ x
2
2
är ett heltal. På det sättet får vi följande
lista av de kvadrupler som svarar mot alla k<200 (ordnade efter växande k och
motsvarande delare r till k
2
≠ 1):
58 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
TAB E L L 1 : B üch i kva d rup l er för k Æ 200
kr
6233239178
39 70 91 108 31 10
108 157 194 225 49 12
225 296 353 402 71 14
16 87 122 149 71 36
402 499 580 651 97 16
51 148 203 246 97 42
651 778 887 984 127 18
147 302 401 480 155 56
984 1145 1286 1413 161 20
79 242 333 404 163 72
59 228 317 386 169 80
1413 1612 1789 1950 199 22
Det finns flera möjligheter att visa att det finns oändligt många växande Büchik-
vadrupler. En m öjlighet är att försöka ge en formel för sådana sekvenser genom att
välja k som ett heltaligt polynom i en variabel m och r som en delare till k
2
≠ 1.
Som vi vet måste r vara mindre än k och dessutom kan det inte vara k ≠1 därför
att denna (triviala) delare ger en trivial sekvens. Låt os s göra det enklaste valet
k(m)=2m(m+s)+1 där vi vill välja ett lämpligt s som leder till önskade sekvenser
(vi hoppas att en lösning kan finnas på den formen). Vi har placerat en faktor 2
beroende på att vi vill ha heltaliga koefficienter i alla polynom och som vi redan
vet skall r(m) vara jämnt. Som delare till k(m) ≠ 1 väljer vi r(m) = 2(m + s),
räknar ut x
1
(m),x
2
(m),x
3
(m) och hoppas på en möjlighet att få fram x
4
(m).Med
hjälp av formlerna (7) får vi x
1
(m)=2m
3
+(2s ≠ 4)m
2
+(3≠ 4s)m + s ≠ 2,
x
2
(m)=2m
3
+(2s ≠2)m
2
+(3≠2s)m + s ≠1 och x
3
(m)=2m
3
+2sm
2
+ m ≠s.
Nu kan vi också räkna ut
x
4
(m)
2
=4m
6
+(8s + 8)m
5
+(4s
2
≠ 8 + 16s)m
4
+(8s
2
+ 16 ≠ 24s)m
3
+
(≠11 + 20s ≠ 16s
2
)m
2
+(6+4s
2
≠ 14s)m + s
2
+1+2s.
Eftersom vi vill ha värden på s sådana att x
4
(m) är en kvadrat av ett polynom
måste vårt polynom ha diskriminant lika med 0. En kort beräkning med ett lämpligt
datorprogram (t.ex. Maple) leder till att endast s =2duger. Som tur är får vi en
lösning på vårt problem: x
1
(m)=2m
3
≠5m, x
2
(m)=2m
3
+2m
2
≠m +1,x
3
(m)=
2m
3
+4m
2
+ m ≠ 2,x
4
(m)=2m
3
+6m
2
+ m ≠ 3.
Man ser direkt att 0 <x
1
(m) <x
2
(m) <x
3
(m) <x
4
(m) om bara m>1.
Dessutom har vi x
1
(m+1) = x
4
(m) så att vi verkligen får oändligt många växande
Büchikvadrupler.
Låt oss notera att formlerna för x
i
(m) (efter substitution m = t +2) gavs av
Vidaux [Vi]. Om man jämför med vår algoritm i början av sektionen som listar
alla Büchikvadrupler efter växande k så märker vi omedelbart att formlerna ovan
för x
i
(m) parametriserar endast en del av alla möjliga sekvenser.
För att få bättre uppfattning om Büchikvadrupler är det möjligt att parametrisera
dessa med hjälp av punkterna på en yta i A
3
som ges av ekvationen:
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 59
(1 ≠ z
2
)x
2
+(9z
2
≠ 1)y
2
=2.(7)
Det är inte svårt att kontrollera att varje Büchikvadrupel (x
1
,x
2
,x
3
,x
4
) œ Q
4
definierar en punkt (x, y, z) œ Q
3
på denna yta:
x =
x
1
+ x
4
2
,y =
x
2
+ x
3
2
,z =
x
3
≠ x
2
2x
1
.
Omvänt, om (x, y, z) är en punkt på ytan, så är
x
1
= x ≠ 3yz ,x
2
= y ≠ xz, x
3
= y + xz, x
4
= x +3yz
en Büchikvadrupel om bara punkten uppfyller enkla aritmetiska villkor. Vi lämnar
dessa tekniska begränsningar på x, y, z som ger Büchisekvenser x
1
,x
2
,x
3
,x
4
och
noterar att det finns fler möjligheter till att hitta parametriseringar av liknande
form som ovan (se Vidaux [Vi]).
4 Rationella Büchikvintupler
En naturlig väg till svaret på frågan om existensen av Büchis kvintuppler kan
vara undersökningar av rationella Büchisekvenser av denna längd dvs sekvenser
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
sådana att talen är rationella, men fortfarande har andradiffer-
enser av kvadrater lika med 2. I sådant fall har man ekvationssystemet (3) e ller i
homogena koordinater (4) för n =5. Dessa ekvationer definierar ytan X
5
i P
5
.Det
är välkänt att denna yta är av typ K3. Den har nyligen studerats i [ALT] där man
bevisat att punkterna [x
0
,x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
] med rationella koordinater ligger tätt
på denna yta (i Zariskis topologi me ning). I denna sektion visar vi att det finns
oändligt många växande rationella Büchikvintupler genom en relativt enkel och mer
elementär metod som bygger på existensen av oändligt många heltaliga kvintuppler
vars kvadrater har konstanta andradifferenser lika 2”
2
för ett heltal ” (jfr [BB2]).
Om [x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
] är en sådan kvintuppel (på Y
4
), så är
1
”
[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
] en
rationell Büchikvintuppel.
Kvintupler med konstanta andradifferenser av kvadrater uppfyller ekvationerna (5)
för n =5,dvs
x
2
1
≠ 3x
2
2
+3x
2
3
≠ x
2
4
=0,
x
2
2
≠ 3x
2
3
+3x
2
4
≠ x
2
5
=0.(8)
Betrakta ytan i A
3
med ekvationen:
60 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
(9) (1 ≠ 4z
2
)x
2
+3y
2
=4z
2
≠ 4z
4
.
Man kontrollerar utan svårighet att varje punkt (x, y, z) på denna yta definierar
en kvintuppel med konstanta differenser av kvadrater om
x
1
= x ≠ 2z
2
,x
2
= z ≠ xz, x
3
= y, x
4
= z + xz, x
5
= x +2z
2
.
Av dessa formler ser man direkt att
x =
x
1
+ x
5
2
,y= x
3
,z=
x
2
+ x
4
2
,
så att ytorna (8) och (9) är birationellt isomorfa. Det är klart att för varje fixt
värde på z ger (9) en konisk kurva vars punkter kan som vanligt parametriseras.
Detta ger oss en parametrisering av punkterna på ytan (9) då z = s och
x =
3st
2
≠ 6st ≠ (1 ≠ 4s
2
)s
1 ≠ 4s
2
+3t
2
,y=
(1 ≠ 4s
2
)s ≠ 2(1 ≠ 4s
2
)st ≠ 3st
2
1 ≠ 4s
2
+3t
2
.
Nu är det lätt att uttrycka x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
genom dessa parametrar s, t och även
beräkna D = x
2
1
≠ 2x
2
2
+ x
3
3
. Eftersom vi vill ha rationella Büchisekvenser måste
D vara lika 2 gånger en kvadrat. Det finns bara fåtal värden på s som leder till
triviala sekvenser. Vi avstår från att analysera dessa “dåliga” val, men s =2är inte
bland dem (det är lätt att göra beräkningar med hjälp av något av matematiska
program som t.ex. Maple). Om s =2får vi följande sekvens (så när som på faktorer
gemensamma för alla x
i
):
x
1
=3t
2
+2t≠25,x
2
= t
2
≠4t+15,x
3
= t
2
≠10t+5,x
4
=3t
2
≠4t+5,x
5
=5t
2
≠2t≠15,
D = 8(t
4
+ t
3
≠ 16t
2
+5t + 25).
Alltså vill vi ha sådana rationella värden på t att ekvationen
y
2
= t
4
+ t
3
≠ 16t
2
+5t + 25
har en rationell lösning y. Denna ekvation representerar en elliptisk kurva och
genom ett standardförfarande överförs denna på Weierstrass form:
y
Õ2
= t
Õ3
≠ t
Õ2
≠ 180t
Õ
+ 900.
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 61
Nu kan man lätt identifiera kurvan i Cremonas tabeller [C] som kurvan 840f2 med
rang 1 och en generator av oändlig ordning (av icke-torsionsdelen av de rationella
punkterna på kurvan) P =(t
Õ
,y
Õ
)=(≠10, 40) .OlikamultipleravpunktenP ger
olika rationella t
Õ
och därmed t. Vi avstår från att skriva ut lämpliga transforma-
tioner eftersom vårt syfte endast har varit att visa existensen av oändligt många
Büchikvintuppler. För fler detaljer se [BB2].
Om man vill konstruera sekvenser av mindre heltal så är det bättre att utnyttja
andra elliptiska kurvor än just den som vi har utnyttjat för att visa existensen
av oändligt många rationella Büchisekvenser dvs variera båda parametrar s och
t. I Tabell 2 ger vi några växande Büchikvintuppler som kan fås på detta sätt
upp till höjden 2000 (med höjden av ett rationellt tal
p
q
där p, q är positiva och
relativt prima menas maximum av dessa tal). I nästa sektion visar vi hur man kan få
oändligt många växande sextuppler med konstanta andradifferenser och formulerar
en förmodan om Büchisextuppler som bygger på egenskaper hos rationella punkter
på en K3-yta som “ansvarar” för förekomsten av sådana sekvenser.
TAB E L L 2 : I cke - tri v ial a vä x an d e r ati o nel l a B üch i k v int u ppl e r av h ö jd en Æ 2000.
1
9
[11, 50, 71, 88, 103]
1
82
[135, 157, 211, 279, 353]
1
27
[2, 179, 256, 317, 370]
1
119
[177, 208, 289, 390, 499]
1
122
[221, 251, 327, 425, 533]
1
103
[278, 319, 384, 463, 550]
1
268
[311, 407, 615, 857, 1111]
1
43
[715, 938, 1119, 1276, 1417]
1
151
[238, 711, 1000, 1241, 1458]
1
244
[191, 753, 1103, 1409, 1695]
1
473
[368, 391, 786, 1237, 1700]
1
326
[1257, 1331, 1475, 1671, 1903]
5 Finns det rationella Büchisextupler?
För att konstruera sextuppler med konstanta andradifferenser måste man lösa ek-
vationssystemet:
x
2
1
≠ 3x
2
2
+3x
2
3
≠ x
2
4
=0,
x
2
2
≠ 3x
2
3
+3x
2
4
≠ x
2
5
=0,(10)
x
2
3
≠ 3x
2
4
+3x
2
5
≠ x
2
6
=0.
Detta sys tem definierar ytan Y
5
idetprojektivarummetP
5
som är mer kom-
plicerad än ytor i tidigare sektioner. Den är inte längre rationell och är känd som
en så kallad K3-yta. Vi kan dock följa samma metod som i tidigare sektioner om
kvadrupler och kvintuppler för att hitta en annan yta som är birationellt ekvivalent
med Y
5
och som ligger i A
3
. Betrakta i A
3
ytan med ekvationen:
(11) x
2
≠ 3y
2
+2z
2
+2x
2
y
2
+ 25y
2
z
2
≠ 27x
2
z
2
=0.
En enkel beräkning visar att varje punkt (x, y, z) på denna yta definierar en sex-
tuppel:
62 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
x
1
= x ≠ 5yz,
x
2
= y ≠ 3xz,
x
3
= z ≠ xy,
x
4
= z + xy,(12)
x
5
= y +3xz,
x
6
= x +5yz.
som satisfierar ekvationssystemet (10). Å andra sidan ser man direkt att
x =
x
1
+ x
6
2
,y=
x
2
+ x
4
2
,z=
x
3
+ x
4
2
.
För att hitta rationella punkter på ytan (11), låt oss skriva om dess ekvation på
formen:
Ax
2
≠ By
2
+2x
2
y
2
= C,
där A =1≠ 27z
2
,B =3≠ 25z
2
,C = ≠2z
2
. Alltså
x
2
(A +2y
2
)=C + By
2
.
Låt u = x(A +2y
2
). Då är
u
2
A +2y
2
= C + By
2
,
dvs
(13) u
2
=2By
4
+(AB +2C)y
2
+ AC.
På det sättet får vi e n oändlig familj av e lliptiska kurvor som vi studerar för olika
värden av z. En av dessa kurvor (t.ex. för z =3) kan vi använda för att visa
att det finns oändligt många växande sextupler med konstanta andradifferenser.
Vi skall inte ta upp detaljerna här utan hänvisar till [BB] där detta visades med
hjälp av en annan metod, men rent tekniskt på samma sätt genom att konstruera
rationella punkter på en elliptisk kurva av nollskild rang. Metoden här är faktiskt
mer effektiv och genom att räkna rationella punter på kurvor (13) hittar vi fler
relativt små växande sekvenser (se Tabell 3) än i [BB]. Låt oss notera att z =3
ger kurvan y
2
= ≠444y
4
+ 53688y
2
+ 66
2
och vi kan använda färdiga formler för
att gå över till kurvans Weierstrass form (se [W], p.37).
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 63
Vad kan vi säga om rationella Büchisekvenser? För att hitta sådana måste vi
hitta heltaliga sextuppler med konstanta andradifferenser som är lika 2 gånger en
kvadrat. Trots omfattande beräkningar är de enda sådana icke-triviala sekvenser
man finner en oändlig serie av symmetriska sekvenser där “de minsta” två är
5
2
,
3
2
,
1
2
,
1
2
,
3
2
,
5
2
och
241
60
,
209
60
,
191
60
,
191
60
,
209
60
,
241
60
. Vi beskriver alla sådana sekvenser
i Prop os ition 5.2 nedan. Med tanke på dessa resultat är det troligt att följande
förmodan är sann:
Förmodan 5.1. Varje rationell Büchisekvens av längd 6 är trivial eller sym-
metrisk.
Denna förmodan har följande konsekvens som innebär att (b) i 5≠7≠9 Förmodan
gäller:
Proposition 5.1. Om Förmodan 5.1 är sann så är varje rationell Büchisekvens
av längd n Ø 7 trivial.
Bevis. Betrakta en rationell Büchisekvens av längd 7. Om de sex första eller de sex
sista talen bildar en trivial sekvens så är hela sekvensen av de sju talen trivial. Om
detta inte är fallet så bildar de första och de sista sex talen symmetriska sekvenser
enligt Förmodan 5.1. Denna möjlighet endast inträffar då alla talen i sekvensen är
lika, vilket är omöjligt för en Büchisekvens. 2
Detta betyder att Förmodan 5.1 medför att redan på ytan X
7
är de enda rationella
kurvorna med oändligt många rationella punkter de triviala. Låt oss notera än en
gång att detta visades av Vojta för ytorna X
n
då n>7 ([Vo], Theorem 3.1).
Vi avslutar denna sektion med en beskrivning av alla symmetriska Büchisekvenser
av längd 6 (se [BB2]):
Proposition 5.2. Det finns en-entydig motsvarighet mellan symmetriska Büchi-
sekvenser av längd 6 och rationella punkter på den elliptiska kurvan
(14) y
2
= x
4
+8x
2
+ 12
med positiva x, y, sådan att sekvensen (a, b, c, c, b, a) svarar mot punkten (x, y) då
(a, b, c)=(
Ô
x
2
+6,
Ô
x
2
+2,x).
Det är inte svårt att visa att den elliptiska kurvan (14) har oändligt många ra-
tionella punkter (dess rang är i själva verket lika med 1).
TAB E L L 3 : K än d a vä xan d e s ext u ppl e r m ed |D| Æ 10
5
D
54 229 316 381 434 479 ≠2110
355 521 643 743 829 905 ≠3408
79 343 457 529 575 601 ≠20208
20 359 478 547 584 595 ≠28878
483 853 1087 1263 1403 1517 ≠40360
19 749 1083 1355 1597 1821 51248
514 811 992 1115 1198 1249 ≠67182
619 655 739 857 997 1151 71232
31 934 1291 1544 1739 1894 ≠77070
1017 1483 1813 2073 2287 2467 ≠77320
445 886 1137 1312 1439 1530 ≠79198
64 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
6 Sekvenser längre än 6
Vad kan man säga om kvadratsekvenser med konstanta andradifferenser av längd
större än 6? Vi nämnde i inledningen att i samband med studier av andragrads-
polynom som ger kvadrater för konsekutiva heltalsvärden visade Allison [A] exis-
tensen av oändligt många symmetriska sekvenser av längd 8. Alla sådana sekvenser
konstrueras med hjälp av rationella punkter på en elliptisk kurva i enlighet med
följande resultat i [A] som kan formuleras på följande sätt:
Proposition 6.1. Det finns en en-entydig motsvarighet mellan alla symmetriska
sekvenser av 8 kvadrater med konstanta andradifferenser och rationella punkter
(x, y) med x, y > 0 på den elliptiska kurvan y
2
= 18x
4
≠27x
2
+10 i vilken sekvensen
a, b, c, d, d, c, b, a svarar mot den rationella punkten (x, y) så att x = c/d, gcd(c, d)=
1, c, d > 0, a =
|3c
2
≠ 2d
2
|,b=
|6c
2
≠ 5d
2
|.
Som vi nämnde i inledningen visades i [G-JX] att det inte finns symmetriska
sekvenser av kvadrater med konstanta andradifferenser av jämn längd större än
8. Att det inte finns sådana symmetriska sekvenser av udda längd större än 6
visades i [BB].
Allison försökte hitta andragradspolynom som ger “långa” icke-symmetriska kvadrat-
sekvenser för konsekutiva heltal. Han lyckades hitta två sådana exempel och bägge
var septuppler: 53, 173, 217, 233, 227, 197, 127 och 526, 337, 160, 113, 274, 461, 652.
Den studien återupptogs av Bremner i [Br] som försökte systematise ra sökan-
det efter sådana sekvenser av längd större än 6 genom noggranna studier av s.k.
Neron-Severi grupper av ytor som ges av ekvationssystemet (5) för n =7. Trots
det ursprungliga hoppet om att kunna visa existensen av oändligt många sådana
sekvenser (se [Br], p.97) visade det sig att de är mycket sällsynta. Bremner lyckades
konstruera 12 nya sekvenser eller snarare andragradspolynom som ger 7 kvadrater
för konsekutiva heltal (se Tabell 4). Med hjälp av en konstruktion av en birationellt
ekvivalent yta i A
3
med den som ges av ekvationen (5) för n =7konstruerades i
[BB2] ytterligare 5 sådana sekvenser (se Tabell 4). Konstruktionen av ytan följer ex-
akt samma spår som i tidigare sektioner för n =4, 5, 6, men kräver betydligt längre
uträkningar som vi här utelämnar (se [BB2]). Omfattande numeriska beräkningar
i [A], [Br], [BB] och [BB2] tyder på att följande förmodan kan vara sann:
Förmodan 6.1. Varje kvadratsekvens av längd 8 med konstanta andra differenser
är trivial eller symmetrisk
På samma sätt som Förmodan 5.1 implicerar (b) i 5-7-9 Förmodan, implicerar
Förmodan 6.1 att (c) i 5-7-9 Förmodan gäller:
Proposition 6.2. Om Förmodan 6.1 är sann så är varje rationell kvadratsekvens
av längd n Ø 9 med konstanta andradifferenser trivial.
Bevis. Betrakta en rationell kvadratsekvens av längd 9 med konstanta andradif-
ferenser. Om de åtta första eller de åtta sista talen bildar en trivial sekvens så är
hela sekvensen av de nio talen trivial. Om detta inte är fallet så bildar de första
och de sista åtta talen symmetriska sekvenser enligt Förmodan 6.1. Det är lätt att
inse att denna möjlighet endast inträffar då alla nio talen är lika. 2
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 65
Hur kan man förklara förekomsten av exceptionella kvadratsekvenser av längd 7
med konstanta andradifferenser och varför är det så svårt att hitta dessa sekvenser?
Ytan (5) för n =7är av en typ som omfattas av en känd förmodan av Lang (se
[Vo], Conjecture 0.3). Langs förmodan säger att om en icke-singulär yta har en
s.k. allmän typ så finns det ändligt många kurvor på ytan som samlar nästan
alla rationella punkter så att utanför dessa linjer kan det eventuellt finnas endast
ändligt många. Det är troligen just denna företeelse som inträffar för n =7vilket
kan innebära att sekvenserna i Tabell 4 är just de exceptionella punkterna som
inte ligger på de ändligt många kurvor som lyder under Langs förmodan. I [BB2]
finns en beskrivning av denna mängd av kurvor som tillsammans med omfattade
numeriska beräkningar låter formulera följande förmodan:
Förmodan 6.2. Med ändligt antal undantag, som kallas exceptionella, är varje
sekvens av 7 kvadrater med konstanta andradifferenser antingen trivial eller trunk-
eringen (från vänster eller höger) av en symmetrisk sekvens av 8 kvadrater med
konstanta andradifferenser.
Denna förmodan bygger på gissningen att nästan alla rationella punkter på ytan (5)
för n =7ligger antingen på en av 2
7
linjer (de triviala linjerna ±x
i
= x
1
+i≠1 eller
±x
i
= ≠x
1
+ i ≠1 för i =2,...,7)ellerpåenelliptiskkurva(x
2
1
=6x
2
3
≠5x
2
4
,x
2
2
=
3x
2
3
≠2x
2
4
) vars rationella punkter definierar trunkerade symmetriska sekvenser av
8 kvadrater (se Proposition 6.1 och [BB2]).
Det finns 19 kända exceptionella sekvenser av 7 kvadrater med konstanta andrad-
ifferenser som varken är triviala eller “TOYOTA-symmetriska” (i van der Portens
terminologi). De finns i Tabell 4.
Som avslutning låt oss notera följande resultat som bygger på liknande argument
som i beviset av Theorem 3.1 i [Vo]:
Proposition 6.3. Förmodan 6.2 implicerar att varje tillräckligt lång kvadratsekvens
med konstanta andradifferenser är trivial.
Bevis Anta att antalet exceptionella sekvenser i Förmodan 6.2 är lika med N .
Då måste varje sekvens av heltal med konstanta andradifferenser av kvadrater och
längden N +9 vara trivial. I själva verket om x
1
,x
2
,...,x
N+9
är en s ådan sekvens så
ger den upphov till N +3 olika septuppler x
i
,x
i+1
,...,x
i+6
for i =1, 2,...,N+3.
Punkterna (i, b
i
) ligger på en parabel (se Appendix och texten i inledningen om
kvadratiska polynom) så att alla septuppler är olika och icke-triviala. Högst två
av dessa septuppler kan utvidgas till en och samma symmetriska oktuppel. Alltså
har vi minst N +1septuppler som inte är triviala och som inte är trunkeringar
av symmetriska oktuppler vars kvadrater har konstanta andradifferenser. Detta
strider dock mot förutsättningen att det endast finns N sådana septuppler. Därför
måste sekvensen x
1
,x
2
,...,x
N+9
vara trivial. 2
Låt oss notera att under förutsättningen att Langs förmodan gäller för ytan X
n
som svarar mot alla Büchisekvenser av e n längd n Ø 8 visade Vojta i [Vo] att
nästan alla rationella punkter på denna yta måste ligga på de 2
n
triviala linjerna
±x
i
= x
1
+(i ≠ 1), ±x
i
= ≠x
1
+(i ≠ 1) för i =2,...,n. Samma argument som
i Proposition 6.3 ger då att Büchis kvadratförmodan (se sid. 53) gäller (vi följde
66 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
just Vojtas argumentering) fast man förmodar att redan Büchisekvenser av längd
5 är triviala (Förmodan 5.1 medför det för längd 6).
TAB E L L 4 : E xc e p ti o n el l a s ept u ppl e r
A = Allison, B=Bremner, BB = Browkin och BrzeziÒski.
53 173 217 233 227 197 127 A
526 337 160 113 274 461 652 A
3131 2351 1761 1589 1949 2631 3449 B
4630 2713 1544 2551 4442 6485 8572 B
5207 3025 337 41 2369 5153 7295 B
12515 7459 10143 17273 25339 33675 42121 BB
12871 9822 9373 11824 15885 20626 25673 BB
16620 12817 11314 12939 16808 21755 27198 BB
19920 8527 11074 23379 36668 50165 63738 BB
28621 10460 12651 31162 50423 69816 89255 B
40196 80351 98726 107179 108064 101579 86074 B
53331 36943 25885 27567 40429 57391 75747 B
87455 81103 79239 82169 89423 100065 113143 BB
572321 1938531 2969567 3938125 4881537 5812061 6735041 B
1237931 826051 436459 238499 530581 929731 1343701 B
1633911 1942706 3402469 5106636 6875821 8670314 10477119 B
2256701 1444880 1051139 1464358 2281673 3207796 4170865 B
258833915 247112534 311124657 417368948 541534361 673785150 810171421 B
490912179 325332727 178638667 138585489 260238115 421266649 590280507 B
7 Hilberts tionde problem – några generaliseringar
Även om Hilberts fråga om Diofantiska ekvationer besvarades i dess ursprungliga
formuleringen för heltalsringen Z genererar den liknande frågeställningar när det
gäller andra ringar. Hur är det om man ersätter heltalen med de rationella? Kan
man möjligen hitta en algoritm om man ersätter heltalen med en större talring?
Vad kan man säga om fallet då Z ersätts med ringar som ofta förekommer i talteori
och uppvisar en rad likheter till heltalen – polynomringar över ändliga kroppar eller
deras ändliga utvidgningar.
Många matematiker har arbetat intensivt med dessa frågor efter det en lämplig be-
greppsapparat byggdes i samband med det ursprungliga problemet. Som vi påpekade
tidigare var det preciseringen av algoritmbegreppet som gränsar till matematisk
logik (eller som idag kunde också placeras i närheten av datalogi) som var mycket
viktig för lösningen av Hilberts problem. I den sista sektion kommer vi inte att
fördjupa oss i dessa begrepp utan bara kort nämna några av lösta och olösta prob-
lem relaterade till Hilberts tionde problem. Det finns en utmärkt presentationen
av denna problematik i en populär artikel av Björn Poonen i [Po].
Först och främst låt oss notera att frågan om existensen av en algoritm för Dio-
fantiska polynomekvationer över de rationella talen fortfarande saknar lösning.
Rent allmänt om R är en kommutativ ring så är Hilberts tionde problem över
R frågan om det finns en algoritm som kan avgöra om en given polynomekvation
f(X
1
,...,X
n
)=0med koefficienter i R har eller inte har en lösning i R dvs om
det finns eller inte finns (x
1
,...,x
n
) œ R
n
så att f(x
1
,...,x
n
)=0. Alltså vet
man inte om en sådan algoritm e xisterar då R = Q. Man vet däremot att en
algoritm finns då R = R eller C (de reella och de komplexa talen) eller R = Z
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 67
är ringen av alla algebraiska heltal. Ett algebraiskt heltal är ett komplext tal som
uppfyller en polynomekvation med heltaliga koefficienter och den högsta koefficien-
ten lika med 1 (t.ex. i,
Ô
2,
3
Ô
2 är algebraiska heltal som lösningar till ekvationer
X
2
+1=0,X
2
≠ 2=0,X
3
≠ 2=0).
Den allmänna gissningen är att i likhet med heltalen Z har Hilberts fråga ett nega-
tivt svar då R betecknar heltalen i en godtycklig ändlig utvidgning av den rationella
talkroppen. Detta har visats för flera klasser av talkroppar i arbeten av J. Denef, L.
Lipshitz, T. Pheidas, B. Poonen och A. Shlapentokh (se [Po] för referenser och när-
mare diskussion). Forskningen kring Hilberts tionde problem är fortfarande mycket
viktig och levande tack vare flera nya upptäckter av samband mellan problemet över
olika ringar och andra viktiga o ch intressanta problem i bl.a. te orin för elliptiska
kurvor och vidhörande aritmetisk algebraisk geometri. Problemområdet har en rad
förgreningar inom matematisk logik (datalogi), funktionsteori och inte minst i olika
delar av talteorin.
Appendix
I detta appe ndix visar vi att existensen av en funktion f(X)=aX
2
+ bX + c,
där a, b, c är relativt prima heltal och b
2
≠ 4ac ”=0som antar kvadratvärden för n
efterföljande heltalsvärden på X är ekvivalent med existensen av en kvadratsekvens
av längd n med konstanta andradifferenser lika med 2a.
Om f (X)=aX
2
+ bX + c antar kvadratvärden för x =0, 1, 2, 3,... så har vi
följande talsekvenser där vi i första raden skriver f(0),f(1),f(2),... i andra raden,
differenserna av de efterföljande talen i första raden, och i den tredje raden, differ-
enserna av talen från den andra raden:
ca+ b + c 4a +2b + c 9a +3b + c...
a + b 3a + b 5a + b, . . .
2a 2a 2a...
Det är lätt att inse att alla andradifferenser är lika med 2a.
Omvänt, om x
2
1
,x
2
2
,...,x
2
n
är en sekvens vars kvadrater har den andradifferensen
konstant och lika med D, så kontrollerar man lätt med hjälp av rekurensrelationen
x
2
i
≠ 2x
i+1
+ x
2
i+2
= D for i =1,...,n≠ 2 att
f(X)=D
X
2
≠ X
2
+(x
2
2
≠ x
2
1
)X + x
2
1
antar kvadratvärden då x =0, 1, 2,...,n≠ 1.
68 Juliusz BrzeziÒski Normat 2/2012
Referenser
[A] D. Allison, On square values of quadratics, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.
99(1986), 381–383.
[ALT] M. Artebani, A. Laface, D. Testa, On Büchi’s K3 surface, arXiv:1212.1426
(2012), från http://arxiv.org/pdf/1212.1426v1.
[Ba] E.J. Barbeau, Numbers differing from consecutive squares by squares, Canad.
Math. Bull. 28(1985), 337–342.
[Br] A. Bremner, On square values of quadratics, Acta Arith. 108(2003), 95–111.
[BB] J. Browkin, J. BrzeziÒski, On Sequences of Squares with Constant Second
Differences, Canad. Math. Bull. 49(2006), 481–491.
[BB2] J. Browkin, J. BrzeziÒski, On Sequences of Squares with Constant Second
Differences II (http://cage.ugent.be/dnt/slides/Browkin-Brzezinski.pdf)
[Bu] D.A. Buell, Integer Squares with Constant Second Difference, Math. Comp.
49(1987), 635–644.
[C] J.E. Cremona, Elliptic Curve Data,
http://homepages.warwick.ac.uk/vmasgaj/ftp/data/
[G-JX] E. González-Jiménez, X. Xarles, On symmetric square values of quadratic
polynomials, Acta Arith. 149(2011), 145–159.
[H] D. Hensley, Sequences of squares with second difference of two and a problem
of logic, Sequences of squares with second difference of two and a conjecture
of Büchi, unpublished, (1980-1983).
[L] L. Lipshitz, Quadratic forms, the five square problem, and diophantine equa-
tions. In: The Collected Works of J. Richard Büchi (S. MacLane Dirk Siefkes,
eds.), Springer, 1990, 677–680.
[PPV] H. Pasten, T. Pheidas, X. Vidaux, A survey on Büchi’s problem : new pre-
sentations and open problems, in Proceedings of the Hausdorff Institute of
Mathematics, 2010.
[Pi] R.G.E. Pinch, Squares in Quadratic Progress ions, Math. Comp. 60(1993),
841–845.
[Po] B. Poonen, Undecidability in number theory, Notices of the AMS 55(2008),
344–350.
[Vi] X. Vidaux, Polynomial parametrizations of length 4 Büchi sequences, Acta
Arith. 150(2011), 209–226.
[Vo] P. Vo jta, Diagonal quadratic forms and Hilbert’s Tenth Problem, in: Con-
temp. Math. 270(2000), 261–274. Amer.Math.Soc., Providence, RI.
Normat 2/2012 Juliusz BrzeziÒski 69
[Vs] M. Vsemirnov, Hilbert’s tenth problem page. Website under the supervision
of Yuri Matiyasevich, http://logic.pdmi.ras.ru/Hilbert10.
[W] L.C. Washington, Elliptic Curves, CRC Press, Boca Raton, London, New
York, 2008.
