Normat 60:3, 97–113 (2012) 97

Anders Johan Lexell som matematiker

Johan Carl-Erik St´en

Tekniska forskningscentralen

FI-02044 VTT Esbo, Finland

johan.sten@vtt.ﬁ

1 Inledning

Anders Johan Lexell (1740–1784)

ar ett v

alk

ant namn i vetenskapshistorien (Pog-

gendorﬀ 1863, Grigorian & Yuskevich 1980), men som person

and˚a f

orv˚anansv

art

and (Mustelin 1977, Nystr

om 2005, Lehto 2008). Denna mots

agelse g

aller f

orvisso

m˚anga vetenskapsm

an. Lexell var de facto en av de f

orsta svenskar som stod i

ambredd med sin tids internationella matematiska forskning (Cantor 1908). Han

var f

odd i

Abo, huvudorten i Sveriges d˚avarande

ostra rikshalva Finland, men levde

under st

orre delen av sin yrkeskarri

ar i det ryska kejsard

omets huvudstad Sankt Pe-

tersburg. Han blev Leonhard Eulers n

armaste medarb e tare och eftertr

adde dennes

ambete som professor i matematik vid Kejserliga Vetenskapsakademien (framdeles

VA). I denna artikel ger jag e n inblick i hans matematiska arbeten, s om presenteras

mer ing˚aende i den av mig f

orfattade vetenskapliga biograﬁn (St´en 2014).

2 Levnadsteckning

Lexell f

oddes i guldsmeden Jonas Lexells och Magdalena Catharina Bj

orkegrens fa-

milj julaftonen 1740 gamla stilen (enligt nutida kalender den 4 januari 1741). Han

gick i skola i

Abo och kr

ontes till ﬁlosoﬁe magister 1760 i

Abo Kungliga Akademi i

en ˚alder av 19 ˚ar. Hans l

arare var Jakob Gadolin (Holmberg & Markkanen 2010),

professor i fysik, och Martin Johan Wallenius (Slotte 1898), professor i matematik.

Wallenius

ar kanske mest k

and f

or att 1766 ha funnit tv˚a kvadrerbara ”m˚ansk

aror”

over de tre redan k

anda Hippokratiska ”m˚anarna”. Gadolin blev senare biskop

och hans son Johan (f. 1760) blev en framg˚angsrik kemist. Lexells avhandlingar

i matematik och fysik var h

ogklassiga o ch f

oreb˚adade hans b

ojelse f

or stora ut-

maningar. Sverige hade emellertid mycket f˚a universitetstj

anster att erbjuda, och

ingen vakant vid tillf

allet. I v

antan p˚a sin chans tj

anade Lexell som informator i

Abo och utarbetade samtidigt en ny matematisk avhandling f

or Uppsala universi-

tet, d

ar han i professor Jonas Meldercreutz’ fr˚anvaro sj

alv till

ats fungera som preses

or disputationen 1763. Avhandlingen f

orsvarades pro exercitio av stude nten Erik

Ostling. Efter disputationen˚aterv

ande Lexell till

Abo, d

ar han strax utn

amndes till

docent i matematik. Av Akademien i

Abo ﬁck han ocks˚a en synnerlig rekommen-

dation f

or tj

ansten som l

arare i matematik i amiralitetskadettskolan i Karlskrona

98 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

efter avg˚aende M˚arten Str

omer, men f

orbigicks i utn

amningen av C. G. Bergstr

om.

Ibland uppges Lexell ha verkat som matematikl

arare f

or svenska marinkadetter,

vilket allts˚a inte st

ammer (Sj

ostrand 1941). Felet har sitt ursprung i nekrologen

skriven av Eulers

aldsta son (J. A. Euler 1784), som var sekreterare vid Petersburgs

Kejserliga VA.

Ar 1766 ﬂyttade Euler f

or andra g˚angen till Sankt Petersburg p˚a Katarina den

storas gener

osa inbjudan (Fellman 1995). Lexell uppm

arksammade h

andelsen i

Abo

och n

armade sig v˚arvintern 1768 Petersburgsakademien med en arbetsans

okan,

avfattad p˚a franska

, med ett bifogat latinskt manuskript ang˚aende l

osningen av

diﬀerentialekvationer av h

ogre grad. Efter att ha bekantat sig m ed manuskriptet

ber

omde Euler dess f

orfattare som ett matematiskt geni i niv˚a med d’Alembert och

sig sj

alv (vilket inte enbart var menat som smicker) och anbefallde Lexell en aka-

demisk tj

anst i St. Petersburg. Lexells ans

okan anl

ande vid en s

arskilt l

amplig tid-

punkt, eftersom akademin just d˚a r˚akade vara

oppen f

or samarbete med V

asteuropa

(Lindroth 1967, Vucinich 1963). F

orberedelserna f

or 1769-˚ars Venuspassage framf

solskivan var d˚a i full g˚ang och akademien hade stort behov av kompe tenta medar-

betare. I regel anst

allde akademien inte personer utan f

ortj

anster, men Lexell hade

gjort ett gott intryck och h

oll m˚attet. De ﬂesta av akademikerna i St. Petersburg var

fortfarande meriterade v

asteurop´eer, fr

amst protestanter fr˚an tyskspr˚akiga l

ander.

N˚agon praktisk astronom var Lexell vid det laget

annu inte, utan han ﬁck hu-

vudansvaret f

or ber

akningarna enligt den teori som Euler hade utarbetat (Eulers

syn var vid det laget redan kraftigt nedsatt). Samtidigt l

arde han sig astronomi

eﬀektivt. Det t

amligen s

allsynta astronomiska fenomenet hade gett upphov till ett

arldsomsp

annande samarbete mellan stormakterna, som s

ande ut tiotals expedi-

tioner runtom i v

arlden (se t.ex. den f

arska samlingsvolyme n Sterken & Aspaas

2013). Bland dessa torde den brittiska kapten Cooks expedition till Tahiti vara

mest k

and, men ocks˚a Sverige och Ryssland var med p˚a lika fot. Projektets s lutliga

m˚al var att best

amma avst˚andet fr˚an jorden till solen s˚a noggrant som m

ojligt.

osten 1768 blev Lexell inbjuden till den kejserliga huvudstaden f

or att bist˚a

i det astronomiska arbetet och de d

arp˚a f

oljande ber

akningarna. Tack vare sin

beg˚avning och ﬂit etablerade han sig snabbt som akademiens adjunkt och ut-

amndes 1772 fullv

ardig akademiker och professor i astronomi. I sitt f

orsta stora

arbete under Eulers ledning best

amde han solparallaxen (och det d

armed sam-

manh

angande avst˚andet till solen) med h

og precision genom att numeriskt sam-

manj

amka ett stort antal observationer av Venus intr

ade i och uttr

ade ur solskivan

p˚a olika h˚all i v

arlden i ett trigonometriskt ekvationssystem. Med denna f

or sin tid

avancerade metod uppskattades solparallaxen till 8,80 b˚agsekunder, vilket ligger

anm

arkningsv

art n

ara dagens v

arde om ca. 8,79 b˚agsekunder. Eulers metod utg

ett av de f

orsta dokumenterade exemplen p˚a statistisk behandling av m

atdata i

modellekvationer p˚a ett s

att som f

oreb˚adar Gauss’ minsta kvadratmetod (Ve rdun

2004). Sina egna parallaxber

akningar presenterade Lexell i KVA:s Handlingar 1771.

Ar 1773–1774 utkom i samma s erie Lexells ber

akningar av n˚agra svenska och ﬁnska

aders geograﬁska koordinater, s

arskilt deras longitud.

Lexell gjorde m˚anga sj

alvst

andiga uppt

ackter, f

orutom i celest mekanik och te-

oretisk astronomi, ocks˚a i geometrin samt diﬀerential- och integralkalkylen. Inte

Akademiens m

otesprotokoll (se Protokoly 1897–1911) skrevs sedan akademiens instiftande

1725 p˚a latin, sedan p˚a tyska och d

arefter p˚a franska. Ryska b

orjade anv

andas f

orst p˚a 1800-talet,

d˚a de ﬂe s t a a k a d e m i l e d a m o t e r va r i n f

odda ryssar.

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 99

allan hade de sin upprinnelse i n˚agot av Eulers arbeten. Lexell uppskattas s

arskilt

or sina teorem i sf

arisk geometri och r

aknas som en f

oreg˚angare i polygonome-

trin – en generalisering av trigonometrin. Han till

ampade Newtons r

orelselagar p˚a

himlakroppars banor och var bland de f

orsta att ber

akna elliptiska kometbanor.

I boken Recherches et calculs sur la vraie orbite elliptique de la com`ete de l’an

1769 (St. Petersburg, 1770) gav Euler och Lexell bevis av hur en komets bana och

omloppstid runt solen kunde f

orutses utifr˚an ett f˚atal iakttagelser av dess position

p˚a s t j

arnhimlen.

Ar 1778 f

orklarade Lexell hur den av Charles Messier ˚ar 1770

p˚atr

aﬀade kometen – ”Lexells komet” kallad – hade inf˚angats av Jupiters tyngd-

kraftsf

alt ˚ar 1768 och slungats p˚a en omloppsbana runt solen med en ovanligt kort

period om ca. 5,5 ˚ar. Vidare f

oruts˚ag han att kometen efter tv˚a fullbordade varv

runt solen skulle˚aterkomma i Jupiters n

arhet och slungas ut i den yttre rymden, vil-

ket ocks˚a skedde. Kometens senare

oden

ar obekanta. Samma id´e anv

ands i dag f

att accelerera rymdfarkoster m.h.a. energin som lagrats i planeters tyngdkraftsf

alt.

Problemet med Lexells komet h

or till klassen inskr

ankta trekropparsproblem (tv˚a

attraktionscentra: solen och Jupiter), som saknar allm

angiltig l

osning (se t.ex. Val-

tonen & Karttunen 2006). Le xell var o cks˚a den f

orsta att inse att den ˚ar 1781

uppt

ackta himlakroppen

ar en planet (som snart d

optes till Uranus) snarare

an en

komet (vilket man f

orst felaktigt antog) eftersom den r

orde sig i en n

ara nog cirke l-

formig bana runt solen. Lexell deltog

aven i Eulers stora projekt att f

orb

attra teorin

om m˚anens r

orelse. Ber

akningarna gjordes f

or hand med anv

andning av logaritm-

och trigonometritabeller.

Lexells vetenskapliga verksamhet i St. Petersburg fr˚an 1768 fram till hans tidiga

od 1784 var mycket framg˚angsrik. Hans internationella renomm´e likasom hans

inﬂytande inom Kejserliga VA v

axte ˚ar f

or ˚ar. Bland annat riktade Laplace sin ve-

tenskapliga korrespondens gemensamt till Euler och Le xell. Samtidigt var Lexells

sociala liv i den ryska huvudstaden t

amligen inskr

ankt. Han tillh

orde den svenska

orsamlingen i St. Petersburg (om svenskarnas liv och

oden i den forna ryska hu-

vudstaden, se Jangfelt 1998) och umgicks med sina svenska och ﬁnska landsm

och kolleger vid Petersburgsakademien (se bl.a. Lagus 1880, Nystr

om 2005, Svan-

berg 2007). Lexell var ogift. Sina sorger och kval ventilerade han i

oppenhj

artliga

brev till KVA:s st

andige sekreterare Pehr Wargentin (Centrum f

or Vetenskapshis-

toria vid KVA), med vilken han f

ovrigt var avl

agset sl

akt (Nordenmark 1939).

Ur dessa brev framg˚ar ocks˚a att Lexell var en central mellanhand i samarbetet

mellan de svenska och ryska vetenskapsakademierna (Lindroth 1967).

I boken (St´en 2014) n

amner jag n˚agra m

arkliga tilldragelser fr˚an Lexells tid

i St. Petersburg, som ofta f

orbigicks med tystnad i VA:s oﬃciella m

otesprotokoll

(Protokoly 1897–1911). Lexe ll ﬁck i uppdrag att klassiﬁcera Keplers manuskript-

samling, som Katarina f

or stora pengar k

opt av en samlare i Tyskland. Det tviv-

lades allm

ant om dessa manuskript kunde vara till n˚agon nytta – nyttot

ankandet

hade redan slagit rot i vetenskapen – men Euler hade rekommenderat anskaﬀandet.

Projektet att publicera manuskripten materialiserades dock aldrig. Lexells preli-

min

ara plan f

or redigeringen och publiceringen presenterades f

or kejsarinnan, men

har inte avancerat se dan dess. D˚a Peter den stores levnadsteckning skulle skrivas

ﬁck Lexell i uppdrag att best

amma Peters ”horoskop” f

or att granska, om n˚agot

arkv

ardigt fenome n p˚a stj

arnhimlen kunde ha f

oreb˚adat tsarens f

odelse 1672.

Lexell tog sig an sitt m

arkliga uppdrag professionellt, utan knot eller undanﬂykter,

som en ren

ovning i astronomiska ber

akningar. Tillsammans med Euler n

arvarade

100 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

Lexell ocks˚a vid upplysningsﬁlosofen Diderots bes

ok i St. Petersburg. En allm

ant

utbredd skr

ona om en akademiker (som antyddes vara Euler) som utmanade Di-

derot med ett ”matematiskt bevis” f

or Guds existens, och som publicerades efter

m˚anga upprepningar i E.T. Bells fantasifulla Matematikens m

an, kan nu demen-

teras (se Dulac 1994, St´en 2014). Under sin vistelse i Paris 1780 skriver Lexell i

ett brev om h

andelsen och l˚ater f

orst˚a att akademikern i fr˚aga var Franz Aepinus,

fysiker och kejserligt hovr˚ad (och f

ovrigt den svenske fysikern J. C. Wilckes men-

tor), och att sj

alva incidenten hade

agt rum i akademidirekt

oren greve Vladimir

Orlovs palats. Att Euler avsiktligt placerats in i historien har vissa historiska sk

al.

Ar 1775 utn

amndes Lexell till professor i matematik vid Akademien i

Abo, men

Gustav III beviljade honom uppskov p˚a inalles fem ˚ar f

or att avsluta sitt v

arv i St.

Petersburg. Under dessa ˚ar sk

ankte han h

alften av sin l

on till sin sj

alvutn

amnda

vikarie, tf. professor Johan Henrik Lindquist (1743–1798), och andra h

alften till

uppk

op av astronomiska instrument till

Abo (Donner 1907). Bland dessa instru-

ment ˚aterﬁnns det

aldsta bevarade pendeluret i Helsingfors universitet och ett

atinstrument kallat astronomisk kvadrant. Lexell besl

ot sig emellertid att avs

aga

sig sitt

ambete i Petersburg. Det lilla och perifera

Abo intresserade honom inte

heller, utan han ville resa till Europas viktigaste vetenskapliga centra f

or att tr

aﬀa

sina ryktbara kolleger. Som ett motdrag besl

ot VA i St. Petersburg att ﬁnansiera

resan om han f

orband sig att ˚aterv

anda till den ryska huvudstaden f

or gott. Lexell

godk

ande f

orslaget. Den

over ett ˚ar l˚anga grand touren f

orde honom till upplys-

ningstidens ber

omda vetenskapsliga societeter, observatorier, botaniska tr

adg˚ardar

och ﬁlosoﬁska salonger i Berlin, G

ottingen, Paris och London (se t.ex. Birembaut

1957, Dulac 1987, Lubimenko 1935, Lubimenko 1936, Mustelin 1963). Bland celeb-

ra kolleger som han m

otte under resan kan n

amnas Lagrange, Johann III Bernoulli,

astner, Lichtenberg, d’Alembert, Diderot, Condorcet, Laplace, Lalande, Monge,

Vandermonde, Legendre och Maskelyne. Under hemv

agen till St. Petersburg genom

Sverige h

osten 1781 bes

okte han Nils Schenmark i Lund, Wargentin vid Stockholms

gamla observatorium, samt Melanderhielm (Nordenmark 1946), Mallet, Prosperin

och Wilcke i Uppsala. F

ore ˚aterresan till St. Petersburg tr

aﬀade Le xell f

or sista

g˚angen sina v

anner och sl

aktingar i

Abo i november 1781.

S˚asom Eulers n

ara kollega och intima familjev

an var Lexell

ogonvittne vid den-

nes d

od 1783 genom ett slaganfall hemma i St. Petersburg. Han redogjorde f

det tragiska h

andelsef

orloppet bland annat i ett brev till sin n

armaste svenska

anf

orvant, Wargentin (Be rgianska avskriftssamlingen vid KVA, Vol. 20, ss. 34–35.

Se appendix). Markis de Condorcets ber

omda ˚aminnelsetal om Euler h˚allet vid Pa-

ris VA bygger delvis p˚a Lexells reportage. Lexell

overlevde Euler bara drygt ett ˚ar.

Han dog den 11 december 1784 i sviterna av en tum

oroperation i en ˚alder av 43 ˚ar.

Han var d˚a praktiskt taget p˚a h

ojden av sin bana s˚asom professor i matematik och

eftertr

adare till Euler. Han var ledamot i VA i St. Petersburg, Stockholm, Paris och

Turin, i societeterna i Uppsala och Edinburgh samt i den brittiska longitudkom-

missionen. Hans vetenskapliga korrespondens var volumin

os. Den omfattar brev

till Pehr Wargentin (112 brev ﬁnns bevarade vid KVA:s Centrum f

or vetenskaps-

historia), Carl von Linn´e (7 brev vid the Linnaean Society of London; se Nys tr

2005, Svanberg 2007), Anders Planman (8 brev vid HUB, Helsingfors), Johann

Albrecht Euler (28 brev i Ryska VA:s arkiv i St. Petersburg; se Lubimenko 1937)

samt Johann III Bernoulli (16 brev vid UBB, Basel) och m˚anga ﬂer. De av Lexell

mottagna breven f

orefaller dessv

arre ha g˚att f

orlorade.

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 101

Normat 1/2014 Johan Carl-Erik St´en 1005

Figur 1 : Silhuett av Lexell tagen i Berlin i 1780. K

alla: Johann III Bernoulli Briefe,

Universit

atsbibliothek Basel Ms L I a 703 fol. 106.

Figur 1 : Silhuett av Lexell tagen i Berlin i 1780. K

alla: Johann III Bernoulli Briefe,

Universit

atsbibliothek Basel Ms L I a 703 fol. 106.

102 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

3 Lexells tidiga matematiska arbeten

oga

ar k

ant om Le xells barndom. Emellertid m˚aste han redan tidigt ha v

ackt

de l

ardas uppm

arksamhet i

Abo, i synnerhet biskop Carl Fredrik Mennander,

som blev hans mentor. Kungliga Akademien (nuvarande Helsingfors universitets

oreg˚angare) l˚ag invid domkyrkan, bara ett stenkast fr˚an familjens hem. Alla dessa

byggnader f

orst

ordes i

Abo brand 1827. Lexells l

arare, den unge M. J. Wallenius

(1730–1772), var v

al insatt i matematikens nyaste r

on: som kunglig stipendiat i

Uppsala p˚a 1750-talet hade han inﬂuerats av Sveriges fr

amsta matematiker, Samu-

el Klingenstierna och M˚arten Str

omer (Rodhe 2002). S˚aledes b

orjade han efter

att ha blivit utn

amnd till professor 1758 systematiskt undervisa i den Leibnizis-

ka kalkylen i

Abo. I Lexells f

orsta pro exercitio-avhandling med Wallenius som

handledare, Animadversiones subitaneae circa principium universae opticae Leib-

nitianum, quatenus idem in catoptrica adhibetur (”Korta anm

arkningar g

allande

Leibniz’ universella optiska princip med till

ampning i spegeloptiken”, 1759) grans-

kas Leibniz’ princip om ”den l

attaste v

agen” f

or olika slags konkava speglar: plana,

ariska, elliptiska, paraboliska och hyperboliska. Slutsatsen l

od: Leibniz’ allm

anna

minimumprincip

ar inte allm

angiltig, ty ljusstr˚alens v

ag kan vara ett minimum,

ett maximum, eller n˚agot annat. Euler hade redan 1744 i sitt ber

omda verk om

variationsr

akning och den minsta verkans lag, Methodus inveniendi lineas curvas

maximi minimive proprietate gaudentes (”Metod f

or att ﬁnna kurvor som uppvisar

minimum- och maximumegenskaper”. Berlin 1744) framlagt liknande synpunkter.

I Lexells och Wallenius arbete motiveras varje steg med satser eller teorem fr˚an

Euklides Elementa. Till Leibniz’ minsta motst˚andets princip (Acta eruditorum 1682

och 1701) h

anvisas n˚agra g˚anger, till

ovriga verk bara en enstaka g˚ang, d

aribland

Descartes’ Dioptrica, Newtons Principia och Opticks, de l’Hˆopitals Analyse des in-

ﬁniment petits (1696), C.-F. Milliet Dechales’ Mundus mathematicus (1674), Mau-

pertuis’ Essai de cosmologie (1751), G. W. Kraﬀts Praelectiones physicae (1754),

Musschenbroeks Elementa physica (1726), Christian Wolﬀs Elementa matheseos

universae samt Colin MacLaurins Treatise of ﬂuxions (1742). Det torde inte kunna

akert fastst

allas, om dessa b

ocker verkligen fanns tillg

angliga i biblioteket i

Abo,

eller om Wallenius och Lexell endast citerade dessa verk i andra hand. De ﬂesta

orekommer i listan p˚a b

ocker i Lexells personliga bibliotek som efter hans d

auktionerades i St. Petersburg 1785 (F

ortekning 1785), men det

ar osannolikt att

han

annu i

Abo

agde t.ex. Newtons Principia. Lexells bibliotek p˚a ca. 1000 b

ocker

ar t

amligen imponerande och

aven av matematikhistoriskt intresse

Lexells pro gradu-avhandling skriven med Jacob Gadolin, Aphorismi Mathemati-

co-Physici (1760), bestod av tolv korta uppsatser i t

amligen element

ara matematisk-

fysikaliska

amnen. I den tredje avhandlingen De methodo inveniendi lineas curvas,

ex datis radiorum osculi proprietatibus (”Om en metod att best

amma kurvor ur en

given egenskap hos kurvans kr

okningsradie”, Uppsala 1763) blir Lexell med en g˚ang

and som en ”geometer” av f

orsta rang. M

arkligt nog inneh˚aller arbe tet inga litte-

raturh

anvisningar, men den viktigaste k

allan synes

and˚a ha varit Jakob Bernoullis

G. W. Leibniz pu bli cer ade en allm

angiltig minimumprincip f

or optiken i artikeln ”Unicum

opticae, catoptricae & dioptricae principium”, Acta eruditorum 1682, ss. 185–191. Den generalise-

rade Fermats princip om den kortaste tiden till att g

alla genomskinliga

amnen s˚asom glas. Enligt

Leibniz f

ardas ljuset allm

ant den ”l

attaste” v

agen, via omnia facillima.

Jag

ar ett stort tack skyldig Staﬀan Rodhe, som lyckades sp˚ara upp f

orteckningen i UUB. I

Finland har inte ett enda exem plar p˚atr

aﬀats.

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 103

samlade verk (Gen`eve 1744), som torde ha funnits tillg

anglig i biblioteket i

Abo

eller hos Wallenius. I sj

alva verket

ar arbetets k

arna en systematisk till

ampning av

Bernoullis formel f

or kr

okningsradien, det Bernoulli kallade f

or ”gyllene teoremet”

(Acta Eruditorum, 1694), medels vilken man genom integrering kan best

amma

alva kurvans f

orlopp (se Slotte 1898, St´en 2014). Lexell ger i avhandlingen ﬂera

exempel p˚a formelns till

ampningar.

4 Lexells ar beten i diﬀerential- och integralkalkylen

De tv˚a f

orsta artiklarna som Lexell skrivit hemma i

Abo s˚asom prov f

or sitt ma-

tematiska kunnande (och som hade gjort ett gott intryck p˚a Euler) publicerades i

Kejserliga VA:s handlingar Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis

Petropolitanae Vol. XIV (1769), Pars I, ss. 215–237 samt 238–246 under respek-

tive rubriker ”De integratione aequationis diﬀerentialis: a

y + ba

n≠1

ydx +

n≠2

ydx

+ ···+ rydx

= Xdx

” (”Om integrering av diﬀerentialekvationen

. . . ”), samt ”Methodus integrandi, nonnullis aequationum diﬀerentialium exemplis

illustrata” (”Metoden att integrera illustrerad genom exempel av n˚agra diﬀeren-

tialekvationer”). I dessa artiklar anknyter Lexell till analysens huvudf˚ara, d

ar i

synnerhet Euler hade gjort betydande insatser under de f

oreg˚aende ˚artiondena.

Lexell meddelar en systematisk l

osningsmetod f

or den generella diﬀerentialekva-

tion av h

ogre grad, i den m˚an de

ar m

ojliga att l

osa. Bland dessa kan n

amnas de

icke-linj

ara ekvationerna

ÕÕ

+ a

b(y

)

≠ y

=0,

ÕÕ

+ bx

)

+ cxyy

≠ ay

=0,

ÕÕÕ

+ ayy

ÕÕ

≠ b(y

)

=0, och

ÕÕÕÕ

+ ay

ÕÕÕ

+ b(y

ÕÕ

)

+ cy

ÕÕ

)

≠ f(y

)

=0,

ar a, b, c och f

ar konstanter och y

ar en funktion av variabeln x.F

or l

osningen av

dessa ekvationer anv

ander Lexell systematiskt den integrerande faktorns metod,

som f

orvandlar dem till ekvationer av f

orsta grad. S

arskilt en av de behandlade

diﬀerentialekvationerna

ÕÕÕ

+ a(y

ÕÕ

)

+ by

ÕÕ

)

+ c(y

)

=0,

kunde kallas Lexells diﬀerentialekvation, eftersom han som den f

orsta lyckats l

osa

den. Ocks˚a Planman (Holmberg 2008) och Lindqvist i

Abo samt Melander (senare

adlad Melanderhielm) meddelade sedermera sina l

osningar p˚a ekvationen. Ekvatio-

nen l

oser sig genom substitutionen y

ÕÕ

= p(y

)

, som efter separering av variablerna

leder till y

= ≠p

/((a + 2)p

+ bp + c), som kan integreras. Med det erh˚allna v

ardet

p˚a p f˚as l

osningen p˚a hela ekvationen genom ekvationen log(y

pdy.

Liknande partikul

arfall ledde Lexell sm˚aningom till att betrakta integrerbarhe-

ten av godtyckliga diﬀerentialekvationer. Hans f

orsta artikel om

amnet, ”De criteriis

integrabilitatis formularum diﬀerentialium”, utkom i Petersburgs Novi Commen-

tarii Vol. XV (1770), ss. 127–194. L˚at V beteckna e n generell funktion av x, y, p,

104 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

q, r, osv., och l˚at

dV = Mdx + Ndy + P dp + Qdq + ···+ Udu

ar dy = pdx,dp = qdx,dq = rdx, . . . , dt = udx. Med n˚agra enkla steg visade

Lexell att integrerbarhet kan garanteras endast om

N ≠ dP/dx +(d

Q)/(dx

) ≠ ···=0.

Emellertid var beviset inte helt vattent

att och det f

orsv˚arades ytterligare d˚a me-

toden utvidgades till ﬂera oberoende variabler (Cantor 1908). Inspirationen till

arbetet ﬁck Lexell fr˚an ett liknande villkor i Eulers variationskalkyl (givet i appen-

dixet av Institutionum calculi integralis Vol. 3, St. Petersburg 1770), som erh

olls

vid best

amningen av uttryckets

V dx minimum och maximum. Lexells bidrag ﬁck

and˚a Eulers godk

annande och uppskattning, eftersom det st

arkte variationskalky-

lens resultat.

Lexell befattade sig ocks˚a med serieutvecklingar och ekvationer av typ a ≠ bx +

≠dx

+···= 0 som uppstod t.ex. i samband med l

osningen av Keplers banekva-

tion t = x≠e sin x. Joseph Louis Lagrange hade i en artikel i Berlins Kungliga VA:s

handlingar M´emoires f

or ˚ar 1770 meddelat ett teorem baserat p˚a serieutveckling,

som v

ackte stor uppm

arksamhet. Lexell uppt

ackte ett vackert bevis av Lagranges

inversionsteorem, som var baserat p˚a rekursion, och som han p˚a Eulers uppmaning

meddelade Lagrange i Berlin (Lagrange Œuvres, Lubet 1998). Vidare deltog Lexell

i diskussionen om serieutvecklingar inneh˚allande trigonometriska funktioner – en

debatt som p˚ag˚att redan i ﬂera ˚artionden mellan Euler, Daniel Bernoulli och Jean

d’Alembert. I modern terminologi handlade tvisten om vilken klass av funktioner

som kunde representeras med hj

alp av serieutvecklingar av trigonometriska funktio-

ner (Kline 1972). Ocks˚a elliptiska integraler studerades av Lexell. Dessa funktioner

ok allt oftare upp i den celesta mekaniken, och f

oljaktligen uppstod ett behov av

systematisering, d

ar Lexe ll argumenterade f

or den indelning i 12 klasser av elliptis-

ka integraler som Euler f

oreslagit (Cantor 1908). Denna klassiﬁkation blev senare

ersatt av den indelning i tre klasser som inf

orts av Legendre. Som en utvikning

fr˚an

amnet meddelade Lexell l

osningen av en mycket spe cie ll integral i KVA:s Nya

Handlingar 1784 (”Integration af en diﬀerential-formel”, ss. 197–204)

⁄

(1 + x)

≠ 1

vilken han genom en serie skickliga substitutioner lyckats uttrycka med hj

alp av

element

ara funktioner. M

arkligt nog f

orekommer denna integral inte ens i de b

asta

tabellb

ocker som

ar tillg

angliga i dag.

5 Lexells geometriska arbeten

Sitt mest full

odiga matematiska bidrag gjorde Lexell i geometrin, n

armare best

amt

inom sf

arisk trigonometri och polygonometri. Dessa branscher av geometrin har sitt

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 105

Figur 2 : Lexells konstruktion av sitt teorem.

naturliga ursprung i astronomin, geograﬁn och geodesin. Sf

arens geometriska egen-

skaper har studerats sedan antiken. F

ore Euler och Lexell var emellertid endast ett

f˚atal teorem som ber

or trianglar p˚a en sf

aryta k

anda, bl.a. ett teorem av Menelaus

av Alexandria (ca. 70–130)

. Utg˚angspunkten f

or Lexells studier i sf

arisk geometri

var f

orutom Eulers tidigare arbeten ett k

ant teorem av Albert Girard (1595–1632)

samt formels amlingen Canon mathematicus, seu ad triangula (1579) av Fran¸cois

Vi`ete (1540–1603).

Bland Lexells artiklar om sf

arisk geometri kan n

amnas ”Solutio problematis

geometrici ex doctrina sphaericorum” (”L

osning av ett geometriskt problem vid

teorin om sf

aren”), Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Vol. V

(1781), Pars I, ss. 112–126, ”De proprietatibus circulorum in superﬁcie sphaerica

descriptorum” (”Om egenskaper hos cirklar uppritade p˚a en sf

arisk yta”), Acta Ac-

ademiae . . . Petropolitanae, Vol. VI (1782), Pars I, ss. 58–103, samt ”Demonstratio

nonnullorum theorematum ex doctrina sphaerica” (”Bevis av n˚agra teorem i teorin

om sf

aren”), Acta Academiae . . . Petropolitanae, Vol. VI (1782), Pars II, s s. 85–95.

Dessa artiklar inneh˚aller en rad nya resultat om ﬁgurer uppritade p˚a en sf

aryta.

I den andra artikeln generaliserar Lexell bl.a. Herons formel f

or triangelns area

or trianglar p˚a en sf

aryta. Det mest k

anda

ar satsen (”Theorema Lexellii”, ca.

1778), som saknar motsvarighet i den plana trigonometrin, ing˚ar i den f

orsta av

ovann

amda artiklarna:

Den linje p˚a ytan av en sf

ar, p˚a vilken spetsen av alla de trianglar som

har samma bas och lika area

ar bel

agen,

ar en sm˚acirkel.

Menelaus var den f

orsta att deﬁniera sf

ariska trianglar s˚asom uppbyggda av storcirkelb˚agar.

Han generaliserade f

oljande k

anda teorem f

or sf

ariska trianglar: L˚at ABC vara en triangel i ett

plan och l˚at X, Y, Z vara punkter p˚a str

ackorna AB, BC och AC eller deras f

orl

angningar, dock

inte p˚a deras

andpunkter. F

or att punkterna X, Y, Z ska ligga p˚a samma r

ata linje b

or uttrycket

◊

=1.

106 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

Figur 3 : Illustration av Lexells unders

okning av vridning runt en axel.

Lexell torde ha uppt

ackt teoremet omkr. 1778

. I sin artikel bevisar Lexell teoremet

orst analytiskt och d

arefter geometriskt m.h.a. konstruktionen i vidst˚aende bild

(Figur 2), d

ar kurvan OVQ utm

arker den s

okta sm˚acirkeln. Beviset

ar t

amligen

avande. Ett enklare bevis, som kan anbefallas, och som utnyttjar begreppet

”pol

ar triangel” ges t.ex. i (Fejes T´oth 1953).

arisk trigonometri till

ampades ocks˚a i en artikel med rubriken ”Solutio pro-

blematis analytici”, Novi Commentarii, Tom. XVII, pp. 155–172, 1772, d

ar Lexell

behandlar en av Euler introducerad koordinattransformation i De solidis quorum

superﬁciem in planum explicare licet (”Ang˚aende kroppar, vilkas yta kan utvecklas

p˚a ett plan”), Novi Commentarii Vol. XVI (1772), pp. 3–34 (Leonhardi Euler Opera

Omnia, Ser. I, Vol. 28, ss. 161–186. E419). Euler be skriver d

ar en helt ny klass av

enkelkr

okta ytor (ytor som

ar kr

okta i bara en riktning) ut

over de tidigare k

anda cy-

lindern och konen, n

amligen kroppar som genereras av tangenten av en rymdkurva

(Kline 1772, Reich 2007). I sin artikel framl

agger Lexell ett annat s

att att beskriva

dessa ytor m.h.a. sf

arisk geometri, varp˚a han antyder om m

ojliga begr

ansningar

hos de av Euler h

arledda uttrycken. Huruvida n˚agon unders

okt n

armare vad dessa

begr

ansningar inneb

ar obekant.

Euler hade i en artikel ˚ar 1775 introducerat sitt rotationsteorem och de tre

s˚akallade Eulervinklarna f

or att beskriva vridning runt en axel

. Teoremet s

ager att

varje f

orskjutning av en stel kropp, s˚adan att en punkt f

orblir or

orlig i f

orskjutningen,

motsvaras av en vridning av kroppen runt en or

orlig axel som g˚ar genom denna

punkt. Lexell unders

okte detta och andra teorem i sin artikel Theoremata nonnulla

Euler bevisade teoremet i en artikel som uppl

astes f

or VA i St. Petersburg 1778, “Variae

speculationes super area triangulorum sphaericorum”, Nova Acta Academiae Imperialis Petropo-

litanae Vol. X (1797), ss. 47–62; (Leonhardi E uleri Opera Omnia Seriei I, Vol. 29, ss. 253–266.

E698). Euler ger Lexell ensam

aran f

or uppt

ackten av teoremet.

“Formulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum”, Novi C ommentarii,

Vol. XX (1776), ss. 189–207 (Leonhardi Euleri Opera Omnia Ser. II, Vol. 9, ss. 84–98. E478).

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 107

Figur 4 : Utdrag ur Lexells brev till Bernoulli.

generalia de translatione corporum rigidorum (”N˚agra allm

anna teorem g

allande

orskjutningar av en stel kropp”), Novi Comentarii, Vol. XX (1775), ss. 239–270.

Han uppst

allde Eulers tre ekvationer f

or rotationen systematiskt och bevisare att

or varje vridning

ar det vi kallar determinanten av rotationsmatrisen lika med noll.

L˚at punkterna A, B och C betecknar de kartesiska koordinaterna av en punkt p˚a

ett klot, och a, b och c betecknar koordinaterna av samma punkt efter vridningen.

D˚a g

aller

–—“

–

—

“

–

ÕÕ

—

ÕÕ

“

ÕÕ

ar x = cos AZ, y = cos BZ, z = cos CZ, – = cos Aa ≠ 1, — = cos Ab, “ = cos Ac,

–

= cos Ba, —

= cos Bb≠1, “

= cos Bc, –

ÕÕ

= cos Ca, —

ÕÕ

= cos Cb, “

ÕÕ

= cos Cc≠1.

Den h

arav f

oljande karateristiska ekvationen

(cos Aa ≠ 1)(cos Bb ≠ 1)(cos Cc ≠ 1) + cos Ca cos Ab cos Bc

+ cos Ba cos Ac cos C b ≠ cos Bc cos Cb(cos Aa ≠ 1)

≠ cos Ba cos Ab(cos Cc ≠ 1) ≠ cos Ca cos Ac(cos Bb ≠ 1) = 0,

vilket Lexell bevisade m.h.a. sf

arisk trigonometri.

Polygonometrin

ar en generalisering av ”m

atning av trianglar”, det vi kallar

trigonometrin. Polygonometri l

ars inte ut systematiskt eftersom varje polygon i

princip kan s

onderdelas i trianglar. Emellertid bidrog Lexell till en formalisering

av de ekvationer som g

aller f

or vinklarna och str

ackorna i en godtycklig polygon,

inklusive polygoner p˚a en sf

aryta. Problemet har uppenbara till

ampningar i astro-

nomin och i synnerhet geodesin. I ett brev till sin astronomkollega Jean III Bernoulli

daterat den 22 december 1773 skriver Lexell (p˚a franska) om de tv˚a grundsatser

han funnit:

108 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

”L˚at sidorna i en godtycklig polygon vara a, b, c,[...f]ochdeyttre

vinklarna –, —, “,...›.D˚ag

aller

.asin – + b sin(– + —)+c sin(– + — + “)+...

+f sin(– + — + ···+ ›)=0

.acos – + b cos(– + —)+c cos(– + — + “)+...

+f cos(– + — + ···+ ›)=0

Eftersom – + — + “ + ···+ › = 360

ar dess sinus = 0 och dess co-

sinus = 1; s˚aledes kunde man i den f

orsta ekvationen ha negligerat den

senare termen och i den andra i st

allet f

or f cos(– + — + “ + ···+ ›)ha

skrivit f,menf

or enhetlighetens skull har jag velat skriva ekvationerna

p˚a detta vis. Genom olika kombinationer av n

amnda ekvationer ﬁnner

man l

att alla de ekvationer s om beh

ovs f

or att s

onderdela polygonen

trigonometriskt.”

Lexells polygonometriska forskningar utkom i ﬂera artiklar i Petersburgs Acta samt

i Royal Society of Londons Philosophical Transactions ˚ar 1775. En tysk mate-

matikl

arare i Freiburg, Johann Friedrich Lempe,

oversatte utan Lexells vetskap

dennes latinska artiklar till tyska och utgav dem i sitt eget namn som en bok

med titeln Polygonometrie, oder Anweisung zur Berechnung jeder gradlinichten

Figur (Leipzig, Kindervater, 1784). Den schweiziska matematike rn Simon L’Huilier

(1750–1840), som sammanst

allde polygonometrins grunder i det franskspr˚akiga

verket Polygonom´etrie, ou de la mesure des ﬁgures rectilignes (Gen`eve och Paris,

1789), h

anvisade till Lexells artiklar, som han k

ande till och som han ans˚ag vara

attre

an Lempes tyska

overs

attning av dem.

Som en utvikning fr˚an polygonometrin utstakade Lexell i en kort artikel utgi-

ven i KVA:s Handlingar f

or 1778 n˚agra av polyhedrometrins grundekvationer (En

arkv

ardig l

arosats, om planernas vinklar uti triangulaira pyramider, ss. 228–234).

Artikeln tycks inte vara allm

ant k

and. L’Huilier brukar betraktas som polyhedro-

metrins grundare, men Lexell var bevisligen f

ore ocks˚a h

ar.

Lexells matematiska arbeten ber

orde ocks˚a celest mekanik (bl.a. Lamberts teo-

rem) samt astronomiska till

ampningar av sf

arisk geometri (Trembley 1783) samt,

kanske lite

overraskande, talteori. I diskussioner med Euler tog sig Lexell an bl.a.

Fermats stora sats , p˚a vilket han i fallet x

+ y

= z

framlade ett bevis baserat

p˚a o

andlig nedstigning. Argume ntet visade sig dock oh˚allbart (Ribenboim 1999).

6 Sammanfattning

Lexell engagerade sig mestadels med problem som blivit aktuella genom Eulers,

Lagranges, Daniel Bernoullis, Johann Castillons och J. H. Lamberts forskningar.

Han arbetade ﬂitigt och skrev under en f

orh˚allandevis kort tid inemot etthundra

vetenskapliga artiklar i vitt skilda

amnen. Hans mest originella och varaktiga ma-

tematiska bidrag g

aller sf

arisk trigonometri och polygonometri,

amnen som han

bem

astrade till full

andning.

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 109

S˚asom Eulers n

ara medarbetare st

allde han h

oga krav p˚a sina egna arbeten,

vilket ocks˚a satte sina sp˚ar p˚a hans h

alsa och v

alm˚aga.

A ena sidan upplevde han

Leonhard Eulers n

arvaro i St. Petersburg som stimulerande, men samtidigt ytterst

avande. I ett brev till sin ﬁnska astronomkollega i

Abo, Anders Planman konsta-

terade han krasst (den 4 dec. 1771): “Gamla Euler

ar den enda [i St. Petersburg],

som ´estimerar de diupsinniga speculationerne, de andre t

anka, Quae supra nos ni-

hil ad nos [=vad som

ar ovan om oss

ar inte f

or oss]. Hade jag i n

odfall e i kommit

at heta Astronom, hade jag aldrig blifvit Professor, ja kanske afdankad”. De h

oga

vetenskapliga ideal som f

or Lexell f

orkroppsligades i Euler stod i bj

art kontrast till

de sm˚aaktiga kotterier som oftast h

or det akademiska livet till.

Aven om han s˚ag

som sin plikt att tilltr

ada sin professur i matematik i

Abo, kunde han slutligen inte

orm˚a sig att l

amna sin post i St. Petersburg.

Om dessa

amnen kan mer detaljer inh

amtas i min nya biograﬁ (St´en 2014), som

belyser upplysningstidens m˚angsidiga kultur och vetenskap i m˚anga l

ander, och ett

arkv

ardigt ﬁnlandssvenskt matematiker

ode i dess mitt.

7 Appendix: Lexells beskrivning av Eulers d¨od

Jag blef hindrad f

orleden fredag at beswara H

Secreterarens k

ar-

komna bref af den 29 Aug: och nu mera hafwa wi ei mer

an en postdag

hwarje wecka til Swerige.

Den 7 [gamla stilen] / 18 [nya stilen] September hade Petersburgska

Academien den olyckan at f

orlora sin st

orsta prydnad, genom Eulers

od, som timade efter en slag ﬂuss, hwilken innom n˚agra timmar slu-

tade et lif, som f

or menskligheten warit s˚a nyttigt. Han hade allenast

anne dagar f

or sin d

od warit besw

arad af s windel, men likafullt wid

ognablick d˚a han tyckte sig hafwa n˚agorlunda klart hufwud, budit

til at r

akna, och hade han

annu om morgonen af den dagen han dog,

upp˚a sin swarta taﬂa uptecknat n˚agra r

akningar

ofwer den aerostatiska

kulans r

orelse. Det war en besynnerlig aning s om dref mig at bes

oka

honom denna dag, och kan jag ei beskrifwa huru mycket jag blef r

ord,

d˚a han ber

attade om sit tilst˚and, at han nu mera f

orlorat synen aldeles

och al sansning af hwar han war, s˚a at han fann sig helt fr

ammande i

sit eget hus. Men likafullt hade han beh˚allit al sin sinnes styrka, s˚a at

han talte med mig om ˚atskilliga mathematiska

amnen,

ofwer hwilket

samtal jag giort en liten upsats, den jag n

asta p˚ast skal hafwa den

aran

ofwers

anda.

Til middagen ˚at han

annu med t

ammelig god appetit,

men d˚a han efter wanligheten efter m˚altiden r

okte sin pipa, blef han

swag och m˚aste l

agga sig, hwarefter han n˚agra timmar sof r

att s

ott.

Sedan han waknat, kom han ˚ater ut f

or at dricka th´e. Sedan han druc-

kit en kopp fr˚agade han sin fru, om det war f

orsta eller andra koppen,

och d˚a hon swarade den f

orsta, sade han: s˚a wil jag

annu dricka en til.

ogst tv˚a minuter derefter blef han r

ord af slag, som ungef

ar innom en

minut betog honom al k

ansla och sansning, ty ehuruw

al han

annu an-

dades och pulsen gick til kl. 11 samma afton (klockan war 4 d˚a han blef

N˚a g o n u p p s a t s h a r d e s s v

arre ej hittats. Wargentin dog redan i december 1783.

110 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

slagr

ord) war det blott mecaniskt. Alla f

ors

ok med ˚aderns

opnande,

clystirer, spanska ﬂugor woro fruktl

ose. Ehuru tre weckor redan

aro

orﬂutne sedan denna h

andelse, kan jag likw

al aldrig t

anka derp˚a utan

orelse, och tycker jag mig ei r

att wilja f

orm˚as at tro, det s˚a h

andt.

Jag

ar med med hiertelig tilgifwenhet

adle Herr Secreterarens

Odmiuke Tienare

d: 10 Octob: 1783 Lexell

Litteratur

Birembaut, Arthur (1957): ”L’Acad´emie royale des Sciences en 1780 vue par l’as-

tronome su´edois Lexell”, Revue d’Histoire des Sciences, Vol. 10, ss. 148–166.

Cantor, Moritz (1908): Vorlesungen

uber Geschichte der Mathematik. Band 4,

1759–1799. Leipzig: Teubner.

Donner, Anders (1907): Den astronomiska forskningen och den astronomiska insti-

tutionen vid det ﬁnska universitetet. Del I. Akademisk inbjudningsskrift. Helsing-

fors.

Dulac, Georges (1987): ”L’astronome Lexell et les ath´ees Parisiens (1780–1781)”,

Dix-Huiti`eme Si`ecle, Nr. 19, ss. 347–361.

—— (1994): ”Un nouveau La Mettrie `a P´etersbourg: Diderot vu de l’Acad´emie

imp´eriale des Sciences”. Recherches sur Diderot et sur l’Encyclop´edie, Nr. 16, ss.

19–43.

Euler, Johann Albrecht (1784): ”Pr´ecis de la vie de M. Lexell” (nekrolog

over

Lexell), Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Tomus II,

Histoire de l’Acad´emie de l’an 1784, ss. 12–15.

Fejes T´oth, L´azsl´o (1953): Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und in Raum.Die

Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band LXV. Berlin: Springer-

Verlag.

Fellmann, Emil A. (1995): Leonhard Euler. Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Ta-

schenbuch Verlag. P˚a engelska: Basel: Birkh

auser, 2007.

ortekning p˚a [A.J. Lexells] b

ocker som i St. Pettersburg komma at f

ors

aljas p˚a

open auction den . . . 1785.

Abo: Joh. C. Frenckells Enka, 1785.

Grigorian, Ashot Tigranovich, och Adolf Pavlovich Yushkevich (1970–1980): ”An-

ders Johan Lexell”. Dictionary of scientiﬁc biography. New York: Charles Scribner’s

Sons.

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 111

Holmberg, Peter (2008): ”Anders Planman och solens parallax”, Arkhimedes (tid-

skrift f

or Finlands matematiska och fysikaliska f

oreningar), Nr 5, ss. 15–21.

Holmberg, Peter, och Tapio Markkanen (2010): ”Jacob Gadolin, en m˚angfasetterad

vetenskapsman i

Abo p˚a 1700-talet”, Nordenski

old-samfundets tidskrift, Vol. 69, ss.

33–60, Helsingfors.

Jangfeldt, Bengt (1998): Svenska v

agar till S:t Petersburg. Stockholm: Wahlstr

& Widstrand.

Kline, Morris (1972): Mathematical thought from ancient to modern times. Vol. 2.

New York: Oxford University Press.

Lagrange, Joseph Louis (1867–1892): Œuvres de Lagrange. Paris: Gauthier-Villars.

Lagus, Wilhelm (1880): Erik Laxman, hans lefnad, resor, forskningar och bref-

vexling. Bidrag till k

annedom af Finlands natur och folk, 34. Helsingfors: Finska

Vetenskaps-Societeten.

Lehto, Olli (2008): ”Lexell, Anders Johan (1740-1784): professor i matematik och i

astronomi”. Biograﬁskt lexikon f

or Finland. 1, Svenska tiden ss. 455–457. Helsing-

fors och Stockholm: Svenska litteraturs

allskapet i Finland, Atlantis.

Lindroth, Sten (1967): ”Svensk-ryska vetenskapliga f

orbindelser under 1700-talet”,

Nordisk tidskrift f

or vetenskap, konst och industri. Vol. 43, ss. 24–48.

Atergiven

i: L

ojtnant

Ahls

aventyr, svenska studier och gestalter. Stockholm: Wahlstr

om &

Widstrand, 1967.

Lubet, Jean-Pierre (1998): ”De Lambert `a Cauchy: La r´esolution des ´equations

litt´erales par le moyen des s´eries”, Revue d’Histoire des Math´ematiques, Vol. 4, s s.

73–129.

Lubimenko, Inna (1935): ”Un acad´emicien russe `a Paris (d’apr`es ses lettres in´edites

1780–1781)”, Revue d’Histoire Moderne, Tome 10, Nr. 20, Nov.–D´ec., ss. 415–447.

—— (1937): Uqena korrespondenci Akademii nauk XVIII veka. 1766–1782

gg. La correspondance scientiﬁque de l’Acad´emie de P´etersbourg dans le XVIII

si`ecle. Leningrad: Akademi Nauk SSSR.

—— (1936): ”Zagraniqna komandirovka akad. A. I. Leksel v1780–1781

gg.” (Lexell utlandskommendering 1780–1781), Arhiv Istorii Nauki i Tehniki,

Tom. 8, str. 327–358.

Mustelin, Olof (1963): ”En ﬁnl

andsk astronom p˚a resa i Europa 1780–1781”, Finsk

Tidskrift, Nr. 1, ss. 147–157.

112 Johan Carl-Erik St´en Normat 3/2012

—— (1977): ”Anders Johan Lexell”. Svenskt biograﬁskt lexikon, Band 22, s. 670.

(http://www.nad.riksarkivet.se/sbl/Start.aspx)

Nordenmark, Nils Viktor Emanuel (1939): Pehr Wilhelm Wargentin. Kungliga Ve-

tenskapsakademiens sekreterare och astronom 1749–1783. Uppsala: Kungliga Svens-

ka Vetenskapsakademien, Almquist & Wiksell.

—— (1946): Fredrik Mallet och Daniel Melanderhjelm, tv˚a Uppsala-astronomer.

Uppsala: Kungliga Svenska Vetenskapsakademien, Almquist & Wiksell.

Nystr

om, Eva (2005): ”Naturalhistoriens tillst˚and i Ryssland. Johan Anders Lexells

brev till Linn´e 1772–1776”, Svenska Linn´es

allskapets ˚arsbok 2004–2005, ss. 7–56.

Poggendorﬀ, Johann Christian (1863): Biographisch-literarisches Handw

orterbuch

zur Geschichte der Exacten Wissenschaften. Leipzig: J. A. Barth.

Protokoly zasedan⇢ konferenci Imperatorsko⇢ AkademiNauk~ s1725po

1803 goda = Proc`es-verbaux des s´eances de l’Acad´emie Imp´eriale des Sciences de-

puis sa fondation jusqu’`a 1803 (1897–1911). Tomes II & III. Saint P´etersbourg.

(http://www.ranar.spb.ru/rus/protokol1/cat/232/)

Reich, Karin (2007): “Euler’s contribution to diﬀerential geometry and its recep-

tion”. ss. 479–502. I verket: Bradley, R. E., och C. E. Sandifer (eds.): Leonhard

Euler: Life, work and legacy. Amsterdam: Elsevier.

Ribenboim, Paulo (1999): Fermat’s last theorem for amateurs. New York: Springer-

Verlag.

Rodhe, Staﬀan (2002): Matematikens utveckling i Sverige fram till 1731. Uppsala

universitet.

ostrand, Wilhelm (1941): Grunddragen till den milit

ara undervisningens upp-

komst- och utvecklingshistoria i Sverige till ˚aret 1792. Uppsala: Lundequistska bok-

handeln.

Slotte, Karl Fredrik (1898):

Abo universitets l

ardomshistoria: Matemat iken och fy-

siken. Helsingfors: Svenska Litteraturs

allskapet i Finland.

St´en, Johan C.-E.(2014): A comet of the Enlightenment: Anders Johan Lexell’s life

and discoveries. Basel: Birkh

auser.

Sterken, Christiaan och Per Pippin Aspaas (eds.) (2013): Meeting Venus. A col-

lection of papers presented at the Venus Transit Conference in Tromsø 2012.Vrije

Universiteit Brussel och Universitetet i Tromsø. The Journal of Astronomical Data.

Vol. 19, Nr. 1. (http://www.vub.ac.be/STER/JAD/jad.htm)

Normat 3/2012 Johan Carl-Erik St´en 113

Svanberg, Ingvar (2007): ”Linnean i

osterled — Johan Peter Falck i Ryssland”,

Geograﬁtorget, Nr. 4, ss. 17–29.

Trembley, Jean (1783): Essai de trigonom´etrie sph´erique, contenant diverses appli-

cations de cette science `a l’Astronomie. Neuchˆatel: Samuel Fauche.

Valtonen, Mauri, och Hannu Karttunen (2006): The three-body problem. Cambridge:

Cambridge University Press, 2006.

Verdun, Andreas (2004): ”The determination of the solar parallax from transits of

Venus in the eighteenth c entury”, Archive des Sciences, Vol. 57, Fasc. 1, ss. 45–68.

Vucinich, Alexander (1963): Science in Russian culture. 1. A history to 1860. Stan-

ford: Stanford University Press.