Normat 61:1, 1–3 (2013) 1

Hur matematiken bidrog till strukturalismens

uppkomst

Osmo Pekonen

Agora Center

Jyväskylä Universitet

osmo.pekonen@jyu.ﬁ

Introduktion

Matematik har i alla tider tillämpats i de sociala vetenskaperna. Exempelvis dyker

statistiska metoder upp överallt. Ingenting märkligt med det. Men kunde också

matematikens abstrakta strukturer ha tillämpningar i de såkallade ’mjuka veten-

skaperna’? Det var i tiderna en stor sensation då gruppteorin fann tillämpningar

inom antropologin. Det hör fortfarande till matematisk allmänbildning att veta hur

detta gick till.

Det har nyligen påståtts i ett populärverk (Aczel 2006) att den under namnet

strukturalism kända ﬁlosoﬁska strömning, som under 1960-talet genomsyrade så

gott som varje humanistisk vetenskap, skulle ha fått sin början i studiet av ma-

tematiska strukturer och särskilt i den abstrakta klassiﬁkationen av algebraiska

strukturer som var central i det berömda Bourbaki-sällskapets verksamhet (Mash-

aal 2006). Strukturalismen är vid det här laget redan gammal skåpmat, men det

besynnerliga är att dess grundare, medlemmen av Franska akademin Claude Lévi-

Strauss (1908-2009), blev över 100-årig. Han överlevde många av sina elever och

uttolkare - bland vilka Amir D. Aczel (f. 1950) väl hör till de ytligaste, såsom vi

i samklang med Sir Michael Atiyah (2007) har påpekat i en kritisk recension (Pe-

konen 2009) till författarens stora missnöje (Aczel 2010). Ett citat från Mästaren

själv

satte punkt för också denna debatt (Kantor 2011).

Lévi-Strauss hade som mål att förstå den amerikanska kontinentens och t.o.m.

hela världens mytologier med hjälp av ett fåtal elementära strukturer. Han tog

till sig intryck från många vetenskapliga och kulturella domäner, exempelvis från

lingvistiken och musikvetenskapen, men också från matematiken. Den ryska fors-

karen Roman Jakobson (1896-1982) introducerade Lévi-Strauss i den lingvistiska

teorin som företräddes av den såkallade ’Pragskolan’. Uppslaget till den oreducer-

bara basenheten mytem i den Lévi-Strausska mytteorin var Ferdinand de Saussures

(1857-1913) centrala begrepp fonem. Det väsentliga i strukturalismen är emeller-

tid inte basenheterna i sig utan deras inbördes relationer och de strukturer som

Ne croyez pas un instant que Bourbaki m’ait emprunté le terme ’structure’ ou le contraire, il

me vient de la linguistique et plus précisément de l’Ecole de Prague. (Claude Lévi-Strauss i ett

brev till Jean-Michel Kantor)

2 Osmo Pekonen Normat 1/2013

de bygger upp. Musiken var likaledes en viktig inspirationskälla för Lévi-Strauss.

Ett av hans huvudverk, Mythologiques, har på grund av sin fyra beståndsdelar

jämförts med Richard Wagners Ring-tetralogi. Lévi-Strauss’ ﬁnländska elev, se-

miotikern Eero Tarasti (f. 1948), som är professor i musikvetenskap i Helsingfors

universitet, har i sin doktorsavhandling närmare studerat förhållandet mellan myt

och musik (Tarasti 1979).

Som strukturalismens tredje grundargestalt vid sidan om Claude Lévi-Strauss

och Roman Jakobson kunde matematikern André Weil (1906-1998) lyftas fram.

Dessa tre lärda judar befann sig under andra världskriget i exil i New York. På

den tiden var Greenwich Village den fria världens intellektuella hub. För en gångs

skull samarbetade stora intellektuella med varandra och hjälptes åt i tvärveten-

skaplig samverkan. Tillsammans med Jacques Maritain, Henri Focillon och Roman

Jakobson grundade Lévi-Strauss ett franskt exiluniversitet vid namn École Libre

des Hautes Études. Lévi-Strauss hade utfört antropologiskt fältarbete i Brasilien

och innehaft en tjänst i Sâo Paulos universitet. Han ordnade en temporär tjänst

för Weil i Sâo Paulo. När läget normaliserades återvände Lévi-Strauss till Paris

och disputerade för doktorsgraden 1949 i Sorbonne. Weil å sin sida slog sig ner i

Princeton och stannade i Förenta Staterna för gott (Weil 1991).

I sin avhandling i Sorbonne med rubriken Les structures élémentaires de la

parenté hade Lévi-Strauss behandlat den nordaustraliska murnginstammens egen-

domliga regler för giftermål, som han inte hade lyckats begripa. Han vände sig då

till sin matematikerbekanta. Weil löste problemet med hjälp av gruppteori. Weils

lösning utkom som bilaga i Lévi-Strauss’ tryckta avhandling. Hans argument är

likväl för omständigt för att presenteras här.

André Weil var grundargestalt för det hemliga Bourbaki-sällskapet som började

sin verksamhet i École Normale Supérieure redan kring 1935. Weils märkvärdiga

äventyr under vinterkriget i Finland, tidvis under namnet Bourbaki - arrestering

för påstått spionage samt utvisning till Sverige - har återgivits i (Pekonen 1992).

I Bourbakis verk spelar begreppet struktur en central roll. Bourbakisternas mål

var ju att förankra matematiken i några välvalda grundbegrepp, såsom mängd,

grupp osv. Förmodligen hade Lévi-Strauss redan tidigt hört talas om Bourbaki-

sällskapet av Weil, men han citerar aldrig dess verk, även om han nämner många

andra matematiska klassiker såsom Claude Shannon eller Norbert Wiener.

Till sin forskarnatur var Lévi-Strauss en bricoleur, dvs. en ’ﬁxare’ och ’tusen-

konstnär’. Vid skapandet av sin teori utnyttjade han de intellektuella redskap som

råkade ﬁnnas tillgängliga. Det formligen kryllar av matematiska metaforer i hans

verk. Bland annat förekommer där ofta möbiusband och kleinﬂaska, precis som i

psykoanalytikern Jacques Lacans skrifter.

För en professionell matematiker kan sådana metaforer synas tvivelaktiga. I

Jean Bricmonts och Alan D. Sokals kända bok (1997) har ju många franska mode-

intellektuella - Lacan bland dem - avslöjats som rena rama bluﬀmakare vad deras

kännedom och förståelse av matematiska begrepp beträﬀar. I Lévi-Strauss’ verk

förekommer matematiken dock inte uteslutande i form av metaforer, utan också i

mera konkreta sammanhang. Vi ska i det följande betrakta några valda tillämp-

ningar av gruppteorin.

Normat 1/2013 Osmo Pekonen 3

Släktskapets elementärstrukturer

Strukturalismens födelsestund kunde kanske dateras till det ögonblick då vissa

ursprungsfolks till synes komplicerade regler för giftermål första gången dechiﬀre-

rades. Såsom redan antytts är murnginfolkets exempel tämligen komplicerat, och

dessutom har det ifrågasatts (Cargal 1996). Således väljer vi att betrakta ett annat

läroboksexempel, nämligen den västaustraliska karierafolket.

Stammen i fråga indelas i fyra klaner, dvs. Banaka (A), Karimera (B), Burung

inom parentes.) Låt

S = {A, B, C, D}

beteckna mängden av karierafolkets klaner. Genom etnograﬁskt fältarbete har

man kunnat påvisa att det inom karierafolket råder följande regler för släktskap,

som bestämmer vilka klanmedlemmar tillåts gifta sig med varandra och till vilken

klan avkomman ska hänföras:

1)Regler för giftermål:

• A och C kan gifta sig med varandra

• B och D kan gifta sig med varandra

2)Regler för härkomst:

• far A & mor C → barn D

• far C & mor A → barn B

• far B & mor D → barn C

• far D & mor B → barn A

Låt oss nu betrakta några funktioner i mängden S. Låt e = Id

: S → S vara en

identitetsavbildning. Låt f : S → S beteckna ’giftermålsfunktionen’. Dess värden

framgår ur tabellen nedan:

X A B C D

f(X) C D A B

Således är f en involution: f ◦ f = e

För att beskriva härkomstreglerna behöver vi ännu två funktioner deﬁnierade

i S: ’Moderskapsfunktionen’ m : S → S, som avbildar moderns klan till hennes

barns klan. Funktionens värden framgår ur följande tabell:

X A B C D

f(X) B A D C

Det framgår tydligt, att också m är en involution: m ◦ m = e

På motsvarande sätt är ’faderskapsfunktionen’ p : S → S en avbildning av

faderns klan till hans barn klan. Faderskapsfunktionen framgår av tabellen:

4 Osmo Pekonen Normat 1/2013

X A B C D

f(X) D C B A

Även denna funktion är en involution: p ◦ p = e

Sats: f ◦ m = p.

Bevis: Utsagans riktighet bevisas av följande tabell:

X A B C D

m(X) B A D C

f(m(X)) D C B A

Sats: m ◦ f = p.

Bevis: Låt oss betrakta klanen X. Hustrun till en man av denna klan är av

klan f(X). Denna moders barn tillhör klan m(f(X)). Å andra sidan tillhör samma

barn enligt faderskapsfunktionen klan p(X). Eftersom det är frågan om samma

avkomma måste m(f(X)) = p(X). (Utsagan kan likaledes bevisas genom att skriva

ut tabellen såsom ovan.)

Låt oss nu betrakta mängden K = {e, f, m, p}, som innehåller all information

om karierafolkets släktskapsregler. Från avbildningarnas förening med operatorn ?

kan en matematiker omedelbart utläsa, att det är frågan om en klassisk fyrgrupp

(Viergruppe), som Felix Klein upptäckte 1884. Gruppens Cayleytabell är följande:

◦ e f m p

e e f m p

f f e p m

m m p e f

p p m f e

Nu förstår vi vad strukturalismen handlar om. Vid dagligt tal om släktförhållan-

den uppstår lätt missförstånd, men reducerar man det hela i matematiska symboler

blir allt klart och tydligt. Vi kan enkelt tolka den Kleinska fyrgruppens matema-

tiska egenskaper till vardagsspråk eller vice versa. Ett par exempel klargör saken:

(1) Utsagan m(m(X)) = X = p(p(X)) betyder, att varje barns mormor i karie-

rastammen och likaså varje barns farfar tillhör samma klan som barnet självt.

(2) Av utsagan f ◦ m = p följer, att en yngling kan gifta sig med sin morbrors

dotter.

Bevis: Låt morbrodern i fråga tillhöra klan X. Hans syster är självfallet medlem

av samma klan, vilket innebär att ynglingen i fråga genom sin mor är medlem av

klan m(X). Morbroderns dotter hör å sin sida till klan p(X). Eftersom f (m(X)) =

p(X) är giftermålet tillåtet.

Reglerna för giftermålet kunde utan tvivel tolkas annorlunda. Saken kan under-

sökas abstrakt. Till exempel förblir Kleins fyrgrupp K invariant under permutation

av dess element f, m och p.

Osökt inställer sig frågan, hur och varför dessa släktskapsregler har uppstått.

Har de utfärdats av någon schaman i tidernas begynnelse eller har de kommit till

genom naturligt urval? Och vad kunde vara meningen med hela systemet? Det

kan knappast vara enbart frågan om ett sätt att förhindra incest eller att bevara

Normat 1/2013 Osmo Pekonen 5

genetisk mångfald. Den rätta förklaringen torde ligga däri, att hela samhällsstruk-

turen och arbetsfördelningen i karierastammen baserar sig på klantänkande, vars

vidmakthållande och förnyelse garanteras av dessa släktskapsregler. Giftermålsreg-

lerna sammanﬂätar klanerna till en enhetlig stam, som inte löper risk att hamna

i ett inbördeskrig. Lévi-Strauss understryker, att ’pjäserna’ i bytesaﬀärerna mel-

lan klanerna utgörs uttryckligen av kvinnor, aldrig av män. Därför har han ibland

beskyllts för att vara en antifeministisk vetenskapsman. Det kan också vara värt

att påpeka, att Lévi-Strauss’ teorier om släktskapsregler återigen har blivit högst

aktuella genom den i Frankrike pågående häftiga samhällsdebatten om homoäk-

tenskapet.

Också bland andra naturfolk har man påträﬀat invecklade giftermålsregler. Bland

typiska fall kan nämnas en viss sexklanig stam bosatt på ön Malekulan i Vanuatu,

vars släktskapsregler bestäms av en dihedralgrupp av sjätte ordningen, samt den

rentav åttaklaniga nordaustraliska stammen Warlpiri. De utgör standardexempel i

den etnomatematiska litteraturen (Ascher 1994).

Också i det fornnordiska samhället har det möjligen funnits liknande giftermåls-

regler, om också kanske inte lika invecklade. Spår av detta kan möjligen förekomma

i det ﬁnska språket. Det ﬁnska ordet kihla, vilket betyder förlovning, har samma

ursprung som svenska språkets gisslan. En jungfru förmäld till en annan klan har

nämligen uppfattats som en slags pantfånge som garanterar freden. Kvinnorna an-

vändes som maktspelets spelbrickor för att förhindra krig och konﬂikter.

Släktskapsreglerna styrs av myter, riter och komplicerade bröllopsceremonier

som noggrannast observeras av samhällenas eliter, de kungliga dynastierna (i viss

mån ännu i dag!). Deras innebörd kan lätt förbli oklar för en fältarbetande antro-

polog. Strukturalismens mål är emellertid att visa, att världens mytologier inte är

godtyckliga sagoberättelser, utan att de rätta vetenskapliga hjälpmedlen - såsom

gruppteorin - kan avslöja de exakta strukturer som ligger bakom dem.

Lévi-Strauss’ kanoniska formel

Den andra och mer omfattande tillämpningen av gruppteorin i Lévi-Strauss’ tän-

kande utgörs av den kanoniska formeln (Canonical Formula, CF) som han framlade

1955 i sin tolkning av myter. Formeln uttrycks oftast på följande sätt:

(a) : F

(b) :: F

(b) : F

−1

(y)

Eftersom Lévi-Strauss inte särskilt noggrant deﬁnierar de begrepp han använder

måste matematikern nu ge sig en smula till tåls. I den antropologiska litteraturen

kallas de variabler som förekommer i formeln inom parentes för karaktärer, medan

variablerna i indexläge kallas för funktioner (i detta fall med en annan än den

vedertagna matematiska meningen). Den generiska symbolen F kan från fall till

fall betyda olika saker, likväl så att F

och F

representerar varandras antiteser

eller motsatta aktivitetsalternativ: typiskt innebär exempelvis F

det goda och F

det onda. Karaktären b är en ’polysemisk operator’: den får rollen av en antites

beroende på vilken sida i CF den beﬁnner sig. Vidare förutsätter formeln, att man

för variabeln a har deﬁnierat ett slags ’inverselement’ a

−1

, som vi fritt kallar för

6 Osmo Pekonen Normat 1/2013

dess ’twist’. Funktionen x förblir invariant, med andra ord förändras inte dess läge.

Å andra sidan förutsätter formeln, att funktionen y vid förﬂyttning från vänster

till höger kan förvandlas till en karaktär, med andra ord kan dess roll ’twistas’.

Härav beror den alternativa benämningen på CF, ’Double Twist’. Tecknet : utläses

’förhåller sig till, är i relation till’ och tecknet : : ’förhåller sig på samma sätt som’.

Det är med andra ord frågan om en relation av något slag.

Alla variabler representerar myter eller deras persongestalter eller elementära be-

ståndsdelar, såkallade mytem. Den polysemiska operatorn b kunde vara exempelvis

den i mytologin ofta förekommande trickstergestalten, såsom Loke i de isländska

sagorna, vars roll kan förvandlas helt oanat. CF:s otydlighet gör den professionella

matematikern naturligtvis misstänksam. Vad avses till exempel med ett ’mytems

inversmytem’, eller ’förhållande mellan myter’? Nu krävs tålamod, fortsatt tåla-

mod.

Redan på 1960-talet hade en slags ’myternas algebra’ utvecklats ganska långt

tack vare den ﬁnländskfödde antropologen Elli-Kaija Köngäs-Maranda (1932-82).

Hennes historia är värd att berättas. Elli-Kaija Köngäs föddes i en laestadianfamilj

på tolv barn vid Kemi älvdal i Tervola socken i ﬁnska Lappland. Också den stora

ﬁnska antropologen och Sibirienforskaren Matthias Alexander Castrén (1813-52),

härstammade från samma socken. Den begåvade Elli-Kaija rönte skolframgång i

matematik och i språk, bland annat i latin. Hennes val av karriär påverkades otvi-

velaktigt av förebilden Castrén. Vid Helsingfors universitet studerade hon folklo-

ristik, historia och lingvistik. År 1959 blev hon Asla-stipendiat i Indiana University

i Bloomington, där hon disputerade för doktorsgraden med en avhandling om ame-

rikaﬁnländarnas folklore och där hon gifte sig med den kanadensiska antropologen

Pierre Maranda (f. 1930). Paret fältarbetade tillsammans bland folket Lau på Sa-

lomonöarna. År 1971 publicerade de en gemensam bok om tolkningen av CF, där

CF bland annat tillämpas på ﬁnska gåtor. I Paris arbetade Elli-Kaija som Lévi-

Strauss’ elev. I Radcliﬀe College bekantade hon sig också med Roman Jakobson.

Till hennes minne har The American Folklore Society uppkallat ett pris efter henne.

Pierre Maranda har fortsatt sina forskningar i matematisk antropologi i Toronto,

där han nyligen redigerade en samlingsvolym kallad The Double Twist (2001), som

är tillägnad olika tolkningar av CF. Den innehåller till och med en artikel av Lévi-

Strauss. Maranda var också en av festtalarna i Lévi-Strauss’ 100-årssymposium i

Musée du quai Branly i Paris år 2007.

Låt oss nu uttolka CF formellt matematiskt på ett sätt som den amerikanska

forskaren Jack Morava (2003) har föreslagit.

Först bör vi märka att CF är osymmetrisk, eftersom ’Double Twist’ (vad det nu

kan tänkas betyda) endast äger rum i ena riktningen. Karaktären b förutsätts inte

att ha ett ’inverselement’, och inte heller förutsätts funktionen x kunna ’twistas’

till en karaktär. Följaktligen kan tecknet : : inte tolkas som en ekvivalensrelation

(emedan symmetriaxiomet inte uppfylls). Snarare bör : : utläsas som en transfor-

mationsrelation. En matematiker skulle därför hellre beteckna:

(a) : F

(b) → F

(b) : F

−1

(y)

Transformationsrelationen kan förvisso också vara en ekvivalensrelation, förut-

satt att symmetrikravet uppfylls. Lévi-Strauss säger ingenting om CF:s kvantiﬁka-

torer. Vi vet inte om formeln är avsedd att gälla för alla mytem, eller om meningen

Normat 1/2013 Osmo Pekonen 7

är att säga, att det gäller för ett visst mytem. CF:s innehåll torde kunna beskrivas

fritt på följande sätt:

’I en tillräckligt stor och koherent mängd av myter kan vi välja ’karaktärerna’ a

och b samt ’funktionerna’ x och y sålunda, att det uppstår en transformation, som

avbildar a till b, y till a

−1

och b till y, men som låter x förbli invariant.’

Anta att transformationen itereras. Vi erhåller då en kedja av transformationer:

(a) : F

(b) → F

(b) : F

−1

(y) → F

(y) : F

−1

)

I stället för F

(a) kunde vi lika så väl skriva x/a. Ovanstående kedja kan ut-

tryckas på följande sätt, som är bekant från skolaritmetiken ? ?

x/a

y/b

x/y

−1

vilket kan tjäna som en slags minnesregel.

Vi närmar oss nu gruppteorin. Det ska inom kort framgå, att ’Double Twist’-

formeln kan tolkas som en antiautomorﬁsm av kvaterniongruppen av ordning 8

. I

det följande kommer vi att se vad detta innebär.

Kvaternioner är allom bekanta. De uppfyller räknereglerna

= j

= k

= ijk = −1.

kvaterniongruppen av ordning 8 är följande grupp

Q = {±1, ±i, ±j, ±k}

utrustad med räkneregler för kvaternioner. Det är frågan om en icke-kommutativ

grupp, som således kan ha en antiautomorﬁsm, det vill säga en inverstransforma-

tion, som vid varje produkt mellan två element byter om faktorernas plats. Till

exempel avbildningen λ : Q → Q, som avbildar i → k, j → i

−1

= −i, k → j, är en

antiautomorﬁsm. För att bevisa detta skriver vi

λ(i · j) = λ(k) = j = (−i) · k = λ(j) · λ(i)

och

λ(j · k) = λ(i) = k = j · (−i) = λ(k) · λ(j)

osv. När detta väl har konstaterats, inser vi att parallellen

x ↔ 1, a ↔ i, y ↔ j, b ↔ k

bevisar att antiautomorﬁsmen λ och CF, det vill säga ’Double Twist’, är en och

samma transformation. Den kanoniska formeln CF är således allt annat än gripen

Det ﬁnns två icke-abelska grupper av ordning åtta, den dihedrala gruppen och kvaterni-

ongruppen, den senare är unikt inbäddad i kvaternionerna upp till konjugering Man kan således

även tala om kvaterniongrupper av ordning 8, och den nedan kan ses som den kanoniska Red.

anm.

8 Osmo Pekonen Normat 1/2013

ur luften, eftersom den motsvaras av ett icke trivialt och konsistent matematiskt

fenomen!

Gruppen Q har också andra antiautomorﬁsmer. Följaktligen ﬁnns det många

olika sätt att uttrycka ’Double Twist’. Lévi-Strauss presenterar själv en alternativ

formulering i sin bok La potière jalouse:

(a) : F

(b) :: F

(x) : F

−1

(b)

Formeln ser redan vid första ögonkastet annorlunda ut än den ursprungliga CF.

Transformationen överför nu x till y, a till x och y till a

−1

, medan b förblir invariant.

Motsvarigheten

x ↔ i, a ↔ k, y ↔ j, b ↔ 1

visar emellertid, att det är frågan om en annan automorﬁsm av Q, låt oss säga

σ , som deﬁnieras av

σ(i) = j, σ(j) = k − 1 = −k, σ(k) = i.

De två nämnda antiautomorﬁsmerna skiljer sig från varandra endast med avse-

ende å en cyklisk permutation τ : i → j → k → i (som är Q:s yttre automorﬁsm).

I själva verket är λ = σ ◦ τ.

CF lägger i dagen en rik matematisk struktur, som vi kan manipulera och ab-

strahera för att utröna kunskap om myternas korrespondenser.

Tolkning av en jivaromyt medels den kanoniska formeln

Hur vacker CF än må vara, har den misstänksamma matematikern alltid skäl att

fråga sig, varför myter eller mytem överhuvudtaget skulle uppfylla den ena eller

andra matematiska formeln.

Lévi-Strauss ger inget svar på frågan. Med geniets rätt förkunnar han utan

omsvep, att CF gäller, och därmed basta. Hypotheses non ﬁngo, kunde också vara

hans svar. Inte heller ursäktade sig Newton, varför planeterna rörde sig såsom hans

tyngdlag förutsade att de skulle göra.

Nu är det på tiden att ta en titt på en konkret myt och undersöka, om CF är

till någon nytta i dess tolkning. Läroboksexemplet ﬁnner vi i Lévi-Strauss’ bok La

potire jalouse (Den svartsjuka krukmakarinnan). I sina forskningar tar Lévi-Strauss

hänsyn till myternas dynamik: deras variationer och upprepningar, försvunna eller

korrumperade myter och myter som inte ens ha uppstått. Allra intressantast blir

CF - liksom för övrigt vilken naturlag som helst - om den har förmågan till precisa

förutsägelser, med andra ord om den gör det möjligt att rekonstruera en försvunnen

eller en ännu icke uppstådd myt.

Vid gränsområdet mellan Peru och Ecuador lever jivarofolket, som har blivit

känt som huvudkrympare. Finländaren Rafael Karsten (1879-1956) var en inter-

nationellt erkänd pionjär inom jivaroforskningen. Han besökte jivarofolket våren

1918. Karsten upptecknade följande jivaromyt:

Länge sedan bodde Solen och Månen på jorden. De hade ett gemensamt bo

och en gemensam hustru vid namn Aôho. Hustrun gillade Solen mer än Må-

nen. Då Solen yvades över detta steg den förnärmade Månen upp på himlen

Normat 1/2013 Osmo Pekonen 9

längs en klängväxt och förmörkade Solen. Aôho började då jaga Månen med-

dragande sina krukmakarredskap. Månen lyckades smita undan genom att

bryta av klängväxten, som förenade himlen med jorden. Aôho föll ner så att

leran stänkte överallt på jorden. Den döda Aôho förvandlades till en fågel med

samma namn, dvs. ’getmjölkaren’ (latin: Caprimulgus, svenska: nattskärra).

Trots idoga försök lyckades Solen aldrig mer komma på en omloppsbana med

Månen och de blev aldrig vänner.

Mytens avsikt är att förklara svartsjukans ursprung. Om två män inte kan dela på

samma kvinna beror det på att Solen och Månen en gång tävlat om Aôhos gunst.

Lévi-Strauss tar sig nu an en tolkning av myten med sin formel CF. Låt oss först

deﬁniera karaktärerna och funktionerna på följande sätt:

a = getmjölkaren

b = kvinnan

x = svartsjuka

y = krukmakeri

Enligt CF:

Getmjölkarens svartsjukefunktion förhåller sig till kvinnans krukmakerifunktion

på samma sätt som kvinnans svartsjukefunktion förhåller sig till krukmakeriets

funktion vid namn ’invers-getmjölkaren’.

Invers-getmjölkaren a

−1

är en tillsvidare obekant storhet: en fågelart, som verkar

på ett rakt motsatt sätt än ’getmjölkaren’ a eller dess urbild Aôho.

Nu förutsäger CF:

1) att det existerar en fågelart med anknytning till krukmakeri

2) att fågelarten i fråga har någon motsvarighet med kvinnan i avseende å svart-

sjuka

Mycket riktigt ﬁnner Lévi-Strauss en fågel med dessa egenskaper på jivarornas

bosättningsområden. Det är frågan om den röda horneron (Furnarius rufus). För

jivarofolket är fågeln välkänd, men den förekommer inte i deras myter. Den röda

horneron använder sig skickligt av lera i byggnaden av sitt bo. Den är också sin-

nebilden för äktenskaplig trofasthet, eftersom både honan och hanen sjunger för

varandra under byggnaden av sitt gemensamma bo. Således måste den röda hor-

neron vara getmjölkarens inverselement. I princip kunde jivarorna alltså ha - de

kanske har haft eller kommer någon gång i framtiden att ha - en myt som berör

den röda horneron, vars struktur förebådas av CF.

Lévi-Strauss’ och hans efterföljares verk är fyllda av liknande tillämpningar av

CF. Somliga är mer trovärdiga än andra.

Den professionella matematikern torde knappast ännu heller låta sig övertygas.

Vi kan emellertid inte vägra andra vetenskapers företrädare att fröjdas över den

skönhet de upptäcker. Lévi-Strauss’ antropologi har också en estetisk tolkning (Wi-

seman 2007). De gustibus non est disputandum. Matematiska antropologer må ha

rätt att säga, att den myt som överensstämmer med Lévi-Strauss’ formel CF är

estetiskt tillfredsställande.

10 Osmo Pekonen Normat 1/2013

Perspektiv

Man kan inte förneka att matematikern André Weil bidrog till strukturalismens

tillkomst. Aczel (2006) har kraftigt men utan dokumentation betonat hela Bourba-

kiverksamhetens betydelse som strukturalismens utgångspunkt. Hans påståenden

förefaller dock överdrivna. Aubin (1997) nöjer sig mer anspråkslöst att karakterise-

ra bourbakismen som strukturalismens parallellfenomen, en slags manifestation av

60-talets sjudande Zeitgeist. En deﬁnitiv historia av Bourbakifenomenet i sin in-

tellektuella kontext har aldrig skrivits. Vetenskapsjournalist Mashaals (2006) upp-

fattning om Bourbakiseminariets historia är i alla fall mer tillförlitlig än Aczels

(Pekonen 2006, Atiyah 2007).

Gruppteorins tillämpning på vissa urfolks giftermålsregler är det tydligaste ex-

emplet på matematiska strukturers betydelse inom antropologin. CF däremot är

mer en trosfråga. Somliga antropologer tillämpar den hängivet på sitt forsknings-

material, andra gör det inte alls. Den engelska antropologen Sir Edmund Leach

(1910-1989) ansåg CF vara ’oväsentlig abrakadabra’. Den bild av Lévi-Strauss som

Leach rätt tidigt (1970) förmedlade åt den engelskatalande världen - bland annat

åt många ﬁnländska forskare - var tämligen negativ. Således ﬁck Lévi-Strauss ab-

strakta tankegånger aldrig något större genomslag i Finland. Hans begåvade elev

Elli-Kaija Köngäs-Maranda ﬁck ingen ställning i Helsingfors universitet utan dog

under tragiska omständigheter i Kanada i en ålder av 50 år.

Lévi-Strauss’ berömdaste bok Tristes tropiques (1955) översattes till svenska re-

dan 1959 men till ﬁnska först 1997 (Pekonen 1998). I Sverige ﬁck Lévi-Strauss

väsentligaste skrifter i strukturalism stor spridning genom en översatt antologi

(Lévi-Strauss 1969). I CF:s uppkomsthistoria är det i varje fall intressant att läg-

ga märke till de två ﬁnländska antropologernas, Rafael Karstens och Elli-Kaija

Köngäs-Marandas, insatser.

CF har kommit för att stanna i den antropologiska litteraturen. Det bevisar Pier-

re Marandas samlingsvolym The Double Twist (2001), som utvidgar CF:s tillämp-

ningsdomäner till många nya branscher. Lévi-Strauss själv har upptäckt CF i den

sakrala arkitekturen. Enligt honom återspeglar den timglasformade konstruktion,

som förekommer i vissa folks heliga sävhyddor och tempel, den kanoniska for-

meln i våra mentala och materiella strukturer. Den ur matematikerns synvinkel

intressantaste artikeln i volymen bjuder René Thoms elev Jean Petitot på. Han

ger en nytolkning av CF i termer av katastrofteorin: Double Twist blir då Double

Cusp. Denna morfogenetiska tolkning av CF är matematiskt explicit och eventuellt

användbar i musikteorin. I musikens geometrisering har man som bekant utfors-

kat allt djupsinnigare strukturer inom algebraisk geometri och diﬀerentialtopologi

(Mazzola 2002).

Tarasti (1979) har påträﬀat CF i många av Wagners operaintriger. Exempel-

vis hamnar Siegfried eller Brúnnhilde ibland i den polysemiska operatorns b ställ-

ning. Petitots morfogenetiska modell kunde kanske bättre illustrera, hur detta åter-

speglas i själva musiken.

Såsom avslutning kan vi lekfullt konstatera, att myth och math står nära varand-

ra: det är ju bara en bokstav som skiljer!

Normat 1/2013 Osmo Pekonen 11

Litteratur:

Aczel, Amir D. (2006). The artist and the mathematician. The story of Nico-

las Bourbaki, the genius mathematician who never existed. New York: Thunder’s

Mouth Press.

Aczel, Amir D. (2010). Response to a review of my book. The Mathematical

Intelligencer 32:2, s. 2.

Ascher, Marcia (1994). Ethnomathematics: a multicultural view of mathematical

ideas. New York: Chapman & Hall/CRC.

Atiyah, Michael (2007). Recension av Aczel (2006) och Mashaal (2006). Notices

of the American Mathematical Society 54:9, ss. 1150-1152.

Aubin, David (1997). The withering immortality of Nicolas Bourbaki: a cul-

tural connector at the conﬂuence of mathematics, structuralism and the Oulipo in

France. Science in Context 10 (2), ss. 297-342.

Bricmont, Jean & Alan D. Sokal (1997). Impostures intellectuelles. Paris: Odile

Jacob.

Cargal, James M. (1996). An analysis of the marriage structure of the Murngin

tribe of Australia. Behavioral Science 23 (3), ss. 157-168.

Kantor, Jean-Michel (2011). Bourbaki’s structures and structuralism. The Mat-

hematical Intelligencer 33:1, s. 1.

Köngäs-Maranda, Elli-Kaija & Pierre Maranda (1971). Structural models in folk-

lore and transformational essays. Haag: Mouton.

Leach, Edmund (1970). Lévi-Strauss. London & New York: Fontana Modern

Masters. Samma år även i ﬁnsk översättning av Arto Kytöhonka. Helsingfors: Tam-

mi.

Lévi-Strauss, Claude (1949). Les structures élémentaires de la parenté. Paris:

PUF.

Lévi-Strauss, Claude (1955). The structural study of myth. Journal of American

Folklore 78 (270), ss. 428-444.

Lévi-Strauss, Claude (1964-71).Les mythologiques: Le cru et le cuit (1964). Du

miel aux cendres (1967). L’origine des manires de table (1968). L’homme nu (1971).

Paris: Plon.

Lévi-Strauss, Claude (1969). Claude Lévi-Strauss och strukturalismen: texter.

Översatta och sammanställda av Jan Anward och Gunnar Olofsson. Stockholm:

Zenit.

Lévi-Strauss, Claude (1985). La potire jalouse. Paris: Plon.

Lévi-Strauss, Claude (1955). Tristes tropiques. Paris: Plon. Svensk översättning

Spillror av paradiset (1959) av Gun och Nils A. Bengtsson. Stockholm: Bonnier.

Finsk översättning Tropiikin kasvot (1997) av Ville Keynäs. Helsingfors: Loki.

Maranda, Pierre (red.) (2001). The Double Twist. From ethnography to morp-

hodynamics. Toronto, Buﬀalo & London: University of Toronto Press.

Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki, a secret society of mathematicians. Provi-

dence, R.I.: The American Mathematical Society.

Mazzola, Guerino (red.) (2002). The topos of music. Basel: Birkhäuser.

Morava, Jack (2003). On the canonical formula of C. Lévi-Strauss. arXiv:math/0306174v2

Pekonen, Osmo (1992). L’aﬀaire Weil Helsinki en 1939. Gazette des mathéma-

ticiens 52 (avril 1992), ss. 13-20.

12 Osmo Pekonen Normat 1/2013

Pekonen, Osmo (1998). Tropiikin ihanat ja julmat kasvot. Helsingin Sanomat,

18 januari. Recension av översättningen ’Tropiikin kasvot’.

Pekonen, Osmo (2006). Recension av Mashaal (2006). The Mathematical Intel-

ligencer 28:3, ss. 68-69.

Pekonen, Osmo (2009). Recension av Maranda (2001) och Aczel (2006). The

Mathematical Intelligencer 31:3, 57-61.

Tarasti, Eero (1979). Myth and music. A semiotic approach to the aesthetics of

myth in music, especially that of Wagner, Sibelius and Stravinsky. Haag: Mouton.

Weil, André (1991). Souvenirs d’apprentissage. Basel: Birkhäuser.

Wiseman, Boris (2007). Lévi-Strauss, anthropology, and aesthetics. Cambridge:

Cambridge University Press.