Normat 61:1, 33–47 (2013) 33
Tonsättaren Per Nørgårds ”oändlighetsse-
rie”
Hans Thunberg
Institutionen för Matematik
KTH
100 44 Stockholm thunberg@math.kth.se
1 Inledning
Den danske tonsättaren Per Nørgård
1
(f.1932) har konstruerat en algoritm för att
generera tonföljder
2
(melodier) rika på symmetri- och självlikformighetsegenskaper.
Med matematiskt språk handlar det om linjära differensekvationer med fördröj-
ning, det vill säga en typ av rekursivt definierade talföljder. Denna text kommer
att matematiskt formulera och bevisa ett antal av dessa följders egenskaper.
Tanken bakom Nørgårds algoritm kan sägas vara att tonföljden skall utvecklas
lagbundet ur det minsta initiala fragment som kan betraktas som ett frö till en
melodi, det vill säga en följd av två toner. Algoritmen är inte bunden till något
speciellt tonförråd (skala), den opererar endast på toners relativa positioner inom
ett givet tonförråd, som till exempel stamtonerna (de vita tangenterna på pianot)
eller hela det kromatiska tonförrådet.
Givet två initiala toner, låt oss kalla dem T
0
och T
1
, som utgör början på vår
tonföljd, genereras resten av följden rekursivt enligt nedanstående recept. Med ett
intervall I från tonen T till tonen T
0
menar vi här, något oegentligt, riktning och
antalet tonsteg inom det givna tonförrådet från T till T
0
, och beteckningen −I
syftar på det intervall som har lika många tonsteg inom tonförrådet som I men
motsatt riktning.
• Avläs intervallet från T
0
till T
1
, och beteckna detta intervall I
1
.
• Tredje tonen T
2
fås genom att utgå ifrån T
0
och förflytta sig i tonförrådet
med intervallet −I
1
, om till exempel T
1
ligger två tonsteg över T
0
skall T
2
väljas som den ton som ligger två tonsteg under T
0
.
• Fjärde tonen T
3
fås genom att utgå från T
1
och förflytta sig med intervallet
I
1
. Om T
1
ligger två tonsteg över T
0
skall också T
3
ligger två tonsteg över T
1
.
1
Per Nørgård är av en Nordens mest välkända tonsättare. Hösten 2012 var han föremål för
Stockholms Konserthus tonsättarfestival.
2
I konstmusikaliska sammanhang används termen ”serier” för följder av toner, eller andra mu-
sikaliska parameterar, som utgör kompositoriskt grundmaterial; de tonföljder som ges av Nørgårds
algoritm visar sig var aperiodiska — härav termen ”oändlighetsserie”.
34 Hans Thunberg Normat 1/2013
• I nästa steg fås T
4
och T
5
genom att bestämma intervallet I
2
från T
1
till T
2
,
och sedan låta I
2
operera på det två senaste genererade tonerna på samma
sätt: T
4
fås genom att utgå från T
2
och förflytta sig intervallet −I
2
, och T
5
fås genom att förflytta sig intervallet I
2
från T
3
.
• Man fortsätter sedan rekursivt enligt samma mönster: Tonerna T
2n
och T
2n+1
fås genom att bestämma intervallet I
n
från T
n−1
till T
n
, och sedan låta T
2n
vara tonen ett intervall −I
n
från T
2n−2
, medan T
2n+1
definieras som tonen
ett interval I
n
från T
2n−1
.
Den melodiska strukturen efter n steg återanvänds alltså för att utveckla melodin
i två steg kring position 2n.
Per Nørgård och andra kompositörer och musikteoretiker har observerat en lång
rad intressanta egenskaper hos tonföljder som genereras på detta sätt, de uppvisar
till exempel självlikformighet. Man har också prövat ut alternativa, à priori helt
annorlunda, algoritmer för generera dessa följder. En översikt över egenskaperna
hos tonföljder genererade med Nørgårds metod ges av Jørgen Mortensen på web-
siten Per Nørgård. En introduktion til komponisten og hans musik, [1], av Erling
Kullberg i antologin The Music of Per Nørgård. Fourteen Interpretative Essays, [2],
och av Mattias Svensson Sandell i ett kompendium skrivet för elever vid Gotlands
Tonsättarskola, [3].
I denna artikel kommer vi alltså att beskriva dessa tonföljder som rekursivt
definierade talföljder och formulera och bevisa ett antal av de funna egenskaperna.
Jean-Paul Allouche och Jeffrey Shallit har tidigare visat att dessa talföljder är
exempel på vad de definierar som 2-reguljära följder, [4].
2 Definitioner och resultat
Per Nørgårds ovan beskrivna metod beskrivs naturligt med rekursivt definierade
talföljder.
Definition 1 Givet två hela tal a
0
och a
1
, där a
1
> a
0
, definierar vi Nørgårdföljden
A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
genom att för n ≥ 1 låta
(
a
2n
= a
2n−2
− d
n
a
2n+1
= a
2n−1
+ d
n
, där d
n
= a
n
− a
n−1
. (1)
Vi kommer speciellt att studera den normaliserade Nørgårdföljden
3
{c
n
}
∞
n=0
:= A(0, 1)
= {0, 1, −1, 2, 1, 0, −2, 3, −1, 2.0, 1, 2, −1, −3, 4, . . . }. (2)
Kommentar 1 Villkoret a
1
> a
0
i Definition 1 kan bytas mot villkoret a
1
< a
0
,
alla resultat nedan kommer fortfarande att gälla med den förändringen att succes-
siva minima respektive maxima i följderna kommer att byta roll. Om a
0
= a
1
fås
det triviala fallet med en konstant följd a
n
= a
0
, n ≥ 1.
3
Denna följd har nummer A004718 i The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).
Normat 1/2013 Hans Thunberg 35
Exempel 1 Låt oss som illustration tabulera inledningen på den normaliserade
följden {c
n
}
∞
n=0
:= A(0, 1) och på följden {a
n
}
∞
n=0
:= A(1, 3).
n | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
c
n
| 0 1 −1 2 1 0 −2 3 −1 2 0 1 2 −1 −3 4 1 0 −2 3 0 1 −1 2 −2 3 1 0 3 −2 −4 5
a
n
| 1 3 −1 5 3 1 −3 7 −1 5 1 3 5 −1 −5 9 3 1 −3 7 1 3 −1 5 −3 7 3 1 7 −3 −7 11
Om man studerar initiala segment av Nørgårdföljder observerar man följande egen-
skaper.
• Följderna tycks ha lokala minima och maxima på positioner 2
k
−2 och 2
k
−1,
och dessa lokala extremvärden tycks avta respektive öka aritmetiskt.
• Följderna tycks innehålla translaterade och spegelvända kopior av sig själv
– om vi avläser vart fjärde element, med början på position n = 0, återfår
vi den ursprungliga följden;
– om vi läser av vartannat element med början på position n = 0 får vi
en följd som är en spegelbild av den ursprungliga följden, det vill säga
en följd som har samma absoluta differenser mellan elementen men med
omvänt tecken;
– om vi läser av vartannat element med början på position n = 1 finner
vi ett translat av den ursprungliga följden (A(1, 2) respektive A(3, 5) för
följderna i Exempel 1);
– om vi läser av vart fjärde element med början vid n = 2 får vi en
translaterad spegelbild av den ursprungliga följden;
– om vi läser av vart fjärde element med början vid n = 3 får vi ännu en
translaterad version av den ursprungliga följden;
– om vi läser av vart åttonde element med början vid position n = 6
eller n = 7 får vi återigen ett speglat respektive ett rättvänt translat av
ursprungsföljden.
• Följdernas inledning återkommer i allt längre block
{a
5
} = {a
0
}
{a
10
, a
11
} = {a
0
, a
1
}
{a
20
, a
21
, a
22
, a
23
} = {a
0
, a
1
, a
2
, a
3
}.
Detta är exempel på de egenskaper hos Nørgårdföljder som vi nu formulerar mer
precist i Sats 1 – 4.
Sats 1 Om A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
är en Nørgårdföljd, och om d
1
= a
1
− a
0
, gäller
följande för alla naturliga tal k ≥ 1.
1. min
0≤i≤2
k
−1
(a
i
) = a
2
k
−2
och a
2
k+1
−2
= a
2
k
−2
− d
1
= a
0
− kd
1
.
36 Hans Thunberg Normat 1/2013
2. max
0≤i≤2
k
−1
(a
i
) = a
2
k
−1
och a
2
k+1
−1
= a
2
k
−1
+ d
1
= a
1
+ kd
1
.
3. För alla i sådana att 0 ≤ i ≤ 2
k
− 3 gäller att a
2
k
−2
< a
i
< a
2
k
−1
.
En ändlig följd a
0
, a
1
, ......a
2
k
−1
bestående av de 2
k
första elementen antar alltså sitt
strikt minsta värde i det näst sista elementet och sitt strikt största värde i sitt sista
element. Dessa succesiva minima och maxima avtar respektive ökar artimetiskt
med första differensen d
1
= a
1
− a
0
. Speciellt är Nørgårdföljder uppåt och nedåt
obegränsade och således också aperiodiska.
En Nørgårdföljd uppvisar självlikformighet i den meningen att den kommer att
innehålla oändligt många delföljder som är identiska med translat eller translate-
rade spegelbilder av hela den ursprungliga följden. Detta beskrivs i Sats 2.
Sats 2 Låt A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
vara en Nørgårdföljd.
1. För varje j ≥ 1 och varje k ≥ 1 gäller att
a
2
j
−2+2
j
k
− a
2
j
−2
= a
0
− a
k
.
2. För varje j ≥ 1 och varje k ≥ 1 gäller att
a
2
j
−1+2
j
k
− a
2
j
−1
= a
k
− a
0
.
Det första påståendet i Sats 2 säger att den delföljd som startar med elementet på
position 2
j
− 2, dvs i ett av de minima som beskriv i Sats 1, och därefter består
av element på succesiva avstånd 2
j
, kommer att vara identisk med en translaterad
spegelbild av den ursprungliga följden A(a
0
, a
1
). Speciellt fås för j = 1 att delföljden
bestående av alla element med jämnt index, med början i a
0
, utgör den ursprungliga
följdens spegelbild i a
0
.
Korrolarium 1 För varje Nørgård-följd A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
gäller att
a
2n
= 2a
0
− a
n
, ∀n ≥ 0.
Av detta följer att den delföljd som utgående från a
0
består av vart fjärde (eller
vart sextonde, eller vart sextiofjärde och så vidare) element är identisk med den
ursprungliga följden.
Korrolarium 2 För varje Nørgårdföljd A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
och varje naturligt
tal k ≥ 1 gäller att
a
4
k
n
= a
n
, ∀n ≥ 0.
Exempel 2 En kompositorisk tillämpning av detta är att man kan tänka sig att
man ”zoomar in” i en given Nørgårdstonföljd. Låt oss säga att vi har genererat en
melodi som löper i fjärdedelsnoter och önskar fylla i denna melodi på vissa ställen
med sextondelsornament. Vi kan göra detta genom att tänka på vår fjärdedelsme-
lodi som vart fjärde element i en underliggande följd. (Om vår ursprungliga fjär-
dedelsmelodi tänks ha oändlig utsträckning är den underliggande sextondelsmelodin
Normat 1/2013 Hans Thunberg 37
identisk med denna som tonföljd.) Korrolarium 2 ger oss alltså ett sätt att utfor-
ma sextondelsornamenten så att dessa är i linje med den ursprungliga melodins
självlikformighet. Detta kan för övrigt också göras genom att tillämpa ekvationerna
a
4n+1
= −a
4n
+ 2a
0
+ d
1
a
4n+2
= −a
4n
+ 2a
0
− d
1
a
4n+3
= a
4n
+ 2d
1
som gäller för varje n ≥ 0 i varje Nørgårdföljd {a
n
}
∞
n=0
, där d
1
= a
1
− a
0
. Dessa
ekvationer kan visas för den normaliserade följden genom att studera ett träd av
samma typ som i Figur 2 nedan med rot i c
n
, och kan sedan generaliseras med
hjälp av Proposition 3.1.
Det andra påståendet i Sats 2 säger oss att en delföljd som startar med elementet på
position 2
j
− 1, dvs i ett av de maxima som beskriv i Sats 1, och därefter består av
element på succesiva avstånd 2
j
, kommer att vara identisk med ett translat av den
ursprungliga följden A(a
0
, a
1
). För j = 1 fås specialfallet att delföljden bestående
av alla element med udda index är ett translat av A(a
0
, a
1
) med d
1
= a
1
− a
0
.
Korrolarium 3 För varje Nørgårdföljd A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
gäller att
a
2n+1
= a
n
+ d
1
, ∀n ≥ 0.
Nästa sats säger att en Nørgårdföljd också har en annan typ av självlikformighets-
struktur. Den innebär också att de kan genereras blockvis; ur en initial delsekvens
av längd 2
m
genereras nästföljande 2
m
element med en ”klipp-och-klistra”-algoritm.
För att kunna beskriva detta behöver vi följande definitioner.
Definition 2 1. Låt {a
0
}
2
n
−1
n=0
vara en ändlig följd bestående av de 2
n
, n ≥ 3,
första elementen i en Nørgårdföljd. Vi definierar V som dess vänstra halva
och H som dess högra halva, det vill säga
V = {a
k
}
2
n−1
−1
k=0
, H = {a
k
}
2
n
−1
k=2
n−1
.
2. Om J är en ändlig följd av längd 2
k
, betecknar vi dess vänstra halva J
V
och
dess högra halva J
H
.
3. Om J
Σ
är en ändlig följd av längd 2
k
, där Σ är en ändlig följd av symbolerna
V och H, betecknar vi dess vänstra respektive högra halva som J
ΣV
respektive
J
ΣH
.
Sats 3 Låt {a
k
}
2
n
−1
k=0
vara de 2
n
, n ≥ 3, första elementen i en Nørgårdföljd. Då
gäller att
H
V
= V
V H
V
V V
H
HV
= V
V HH
V
V HV
H
HHV
= V
V HHH
V
V HHV
. . .
H
H
(n−3)
V
= V
V H
(n−3)
H
V
V H
(n−3)
V
H
H
(n−3)
H
= {a
0
− (n − 1)d
1
, a
1
+ (n − 1)d
1
}
38 Hans Thunberg Normat 1/2013
Den självlikformighetsstruktur som följer av Sats 3 illustreras i Figur 1.
Observera också speciellt att H
V H
= V
V V
= {a
0
, a
1
, . . . , a
2
n−3
−1
}, allt längre
block av följdens intiala element återkommer alltså ju längre fram i följden vi tittar.
Med hjälp av Proposition 4.1 och Figur 4 nedan kan vi i själva verket se att
{c
5·2
k
, c
5·2
k
+1
, . . . , c
5·2
k
+2
k
−1
} = {c
0
, c
1
, . . . , c
2
k
−1
}
i den normaliserade Nørgårdföljden, och via Proposition 3.1 följer motsvarande
resultat i det generella fallet.
Figur 1 : Varje initialt segment av längd 2
n
, n ≥ 3, i en Nørgårdföljd har enligt Sats 3
en självlikformighetsstruktur som illustreras här. Det undre bandet representerar ett
sådant initialt segment, där delsekvenser med samma färg är identiska. Notera hur
den den högra halvan H byggs upp av delsegment från den vänstra halvans vänstra
del, V
V
. Det övre bandet visar hur samma struktur återfinns inom segmentets första
halva V (om n > 3). På motsvarande sätt kopieras strukturen på nivå 2
n
vidare in
i varje initialt segment av längd 2
m
, m > n.
Exempel 3 Antag att vi har genererat de sexton första elementen {a
k
}
15
k=0
av
A(1, 3). Vi vill nu generera ytterligare sexton element för att erhålla {a
k
}
31
k=0
. Vi
tillämpar Sats 3 med n = 5, {a
k
}
15
k=0
utgör då den vänstra halvan V av {a
k
}
31
k=0
,
V := {a
k
}
15
k=0
= {1, 3, −1, 5, 3, 1, −3, 7, −1, 5, 1, 3, 5, −1, −5, 9}.
För att generera H = {a
k
}
31
k=16
gör man på följande sätt.
1. Dela V i två lika delar och välj ut den vänstra delen V
V
= {1, 3, −1, 5, 3, 1, −3, 7}.
2. Dela i sin tur V
V
i två lika delar, dess vänstra V
V V
= {1, 3, −1, 5} och högra
del V
V H
= {3, 1, −3, 7}.
3. Sammanfoga V
V V
och V
V H
i omvänd ordning - detta ger de första 8 nya
elementen,
H
V
= {a
k
}
23
k=16
= V
V H
V
V V
= {3, 1, −3, 7, 1, 3, −1, 5}.
Upprepa nu steg 1 – 3 på H
V
.
Normat 1/2013 Hans Thunberg 39
4. Välj ut den vänstra halvan V
V H
.
5. Dela V
V H
i två halvor V
V HV
= {3, 1} och V
V HH
= {−3, 7} .
6. Sammanfoga V
V HV
och V
V HH
i omvänd ordning, detta ger de näst kommande
fyra elementen
H
HV
= {a
k
}
27
k=24
= V
V HH
V
V HV
= {−3, 7, 3, 1, }.
Upprepa nu igen processen på H
HV
.
7. Välj vänster halva V
V HH
.
8. Dela i vänster V
V HHV
= {−3} och höger del V
V HHH
= {7} .
9. Sätt samman dess i omvänd ordning för att generera
H
HHV
= {a
k
}
29
k=28
= V
V HHH
V
V HHV
= {7, −3}.
Processen kan nu inte fortsättas längre enligt samma mönster.
10. De två sista nya elementen H
HHH
= {a
30
, a
31
} bestäms nu genom att sub-
trahera respektive addera följdens initiala differens d
1
= a
1
− a
0
till de två
sista elementen i V , V
HHH
= {a
14
, a
15
}.
{a
30
, a
31
} = H
HHH
= {a
14
− d
1
, a
15
+ d
1
} = {−5 − 2, 9 + 2} = {−7, 11}.
Sammanfattningsvis får alltså {a
k
}
31
k=0
ur V = {a
k
}
15
k=0
som
{a
k
}
31
k=0
= V V
V H
V
V V
V
V HH
V
V HV
V
V HHH
V
V HHV
{a
14
− d
1
, a
15
+ d
1
}.
Nästa sats säger oss att elementen i den normaliserade följden kan beräknas direkt
utan rekursion, med hjälp av indexets binära form.
Sats 4 Låt c
k
vara ett godtyckligt element i den normaliserade Nørgårdföjden A(0, 1) =
{c
n
}
∞
n=0
, och låt k ha den binära representationen
k = (k
j
k
j−1
k
j−2
. . . k
0
)
2
, k
i
∈ {0, 1}, 0 ≤ i ≤ j.
Då är
c
k
= f
k
0
◦ f
k
1
◦ · · · ◦ f
k
j−1
◦ f
k
j
(0)
där f
0
(t) = −t och f
1
(t) = t + 1.
Exempel 4 Låt oss beräkna c
19
med den metod som anges av föregående sats. Det
naturliga talet 19 har binär representation
19 = 1 · 2
4
+ 0 · 2
3
+ 0 · 2
2
+ 1 · 2
1
+ 1 · 2
0
= (10011)
2
.
Alltså är
c
19
= f
1
◦ f
1
◦ f
0
◦ f
0
◦ f
1
(0) = f
1
◦ f
1
◦ f
0
◦ f
0
(1) = −(−1) + 1 + 1 = 3.
40 Hans Thunberg Normat 1/2013
3 Skalning och translationer
Lemma 3.1 Låt X = {x
n
}
∞
n=0
och Y = {y
n
}
∞
n=0
vara två Nørgårdföljder sådana
att x
1
− x
0
= y
1
− y
0
. Då är y
n
− x
n
= y
0
− x
0
för alla n ≥ 1.
PROOF:
Enligt förutsättningarna gäller att x
1
−x
0
= y
1
−y
0
vilket naturligtvis är ekvivalent
med att y
1
− x
1
= y
0
− x
0
. Om nu påståendena i lemmat är sant för alla k < 2n
gäller också att
y
2n
− x
2n
= y
2(n−1)
− (y
n
− y
n−1
) − x
2(n−1)
+ (x
n
− x
n−1
)
= y
2(n−1)
− x
2(n−1)
+ y
n−1
− x
n−1
+ x
n
− y
n
= y
0
− x
0
.
och
y
2n+1
− x
2+1
= y
2n−1
+ (y
n
− y
n−1
) − x
2n−1
− (x
n
− x
n−1
)
= y
2n−1
− x
2n−1
+ x
n−1
− y
n−1
+ y
n
− x
n
= y
0
− x
0
.
Lemma 3.2 Låt X = {x
n
}
∞
n=0
och Y = {y
n
}
∞
n=0
vara två Nørgårdföljder sådana
att x
0
= y
0
= 0 och x
1
6= 0 . Då gäller att
y
n
=
y
1
x
1
x
n
, ∀n ≥ 1.
PROOF:
Definiera q =
y
1
x
1
. Trivialt gäller då att y
1
= qx
1
. Om y
k
= qx
k
för alla k < 2n
gäller också att
y
2n
= y
2n−2
− (y
n
− y
n−1
) = qx
2n−2
− (qx
n
− qx
n−1
) = qx
2n
,
och på motsvarande sätt visas att y
2n+1
= x
2n+1
.
Proposition 3.1 Varje Nørgård följd A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
kan fås ur den norma-
liserade följden A(0, 1) = {c
n
}
∞
n=0
genom en omskalning och en translation,
a
n
= a
0
+ c
n
(a
1
− a
0
), ∀n ≥ 0.
PROOF:
Givet en följd A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
, bildar vi först följden {b
n
}
∞
n=0
:= A(0, a
1
−a
0
).
Enligt Lemma 3.1 är då b
n
= a
n
− a
0
för alla n ≥ 1. Bilda nu följden {b
n
/b
1
}
∞
n=0
=
A(0, 1) = {c
n
}
∞
n=0
. Enligt Lemma 3.2 är då c
n
=
c
1
b
1
b
n
för alla n ≥ 1. Sammantaget
gäller alltså att
c
n
=
c
1
b
1
b
n
=
1
a
1
− a
0
(a
n
− a
0
), n ≥ 1,
och propositionen är bevisad.
Normat 1/2013 Hans Thunberg 41
4 Den normaliserade följden
Den rekursiva definitionen (1) tar sig en mycket enklare form för specialfallet
A(0, 1).
Proposition 4.1 Följden {c
n
}
∞
n=0
= A(0, 1) med de två initalvärdena c
0
= 0 och
c
1
= 1 ges för n ≥ 1 av
(
c
2n
= −c
n
c
2n+1
= c
n
+ 1.
PROOF:
Eftersom c
0
= 0 och c
1
= 1 ger (1) att
c
2
= c
0
− (c
1
− c
0
) = −c
1
och c
3
= c
1
+ (c
1
− c
0
) = c
1
+ 1.
Genom induktion över n ≥ 2 fås med hjälp av (1) att
c
2n
= c
2n−2
− (c
n
− c
n−1
) = −c
n−1
− c
n
+ c
n+1
= −c
n
och
c
2n+1
= c
2n−1
+ (c
n
− c
n−1
) = c
n−1
+ 1 + c
n
− c
n+1
= c
n
+ 1.
Exempel 5 Vi kan beräkna c
19
som
c
19
= c
9
+ 1 = c
4
+ 1 + 1 = −c
2
+ 2 = c
1
+ 2 = 3.
Följden {c
n
}
∞
n=1
kan alltså ses som genererad av ett oändligt binärt träd T , med
rot i c
1
, där ett steg snett till vänster motsvara multiplikation med (−1) och ett
steg snett ner till höger motsvarar addition med +1. Se Figur 2.
c
1
·(−1)
xx
+1
&&
c
2
·(−1)
+1
c
3
·(−1)
+1
c
4
·(−1)
+1
c
5
·(−1)
+1
c
6
·(−1)
+1
c
7
·(−1)
+1
Figur 2 : Det binära trädet T som på rad 1 till och med rad n har generarat elementen
{c
1
, . . . , c
2
n
−1
} i den normaliserade Nørgårdföljden.
För att bevisa Sats 1 och 3 är det lämpligare att betrakta det utökade trädet U
i Figur 3, som har c
0
som rot och där varje rad generereras ur den föregående av
samma regler som i T .
De 2
n
första elementen {c
0
, . . . , c
2
n
−1
} återfinns nu i U på rad n+1. För att
verifiera detta räcker det att observera att (i) c
0
· (−1) = c
0
, (ii) den högra halvan
av rad n + 1 i U har sin rot i c
1
på rad 2 och följaktligen är identisk med rad n i
det ursprungliga trädet T , och att (iii) den vänstra halvan av rad n + 1 i U har sin
rot i c
0
på rad 2 och därför identisk med hela rad n i U.
42 Hans Thunberg Normat 1/2013
c
0
·(−1)
vv
+1
((
c
0
·(−1)
}}
+1
!!
c
1
·(−1)
}}
+1
!!
c
0
·(−1)
+1
c
1
·(−1)
+1
c
2
·(−1)
+1
c
3
·(−1)
+1
c
0
·(−1)
+1
c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
c
7
Figur 3 : Det utökade binära trädet U som på rad n + 1 har genererat elementen
{c
0
, . . . , c
2
n
−1
} i den normaliserade Nørgårdsföljden
.
5 Bevis av Sats 1 – 4
PROOF: [Bevis av Sats 1]
För den normaliserade följden A(0, 1) följer Sats 1 direkt ur Proposition 4.1 och
det utökade binära trädet U i Figur 3 - maximalt värde på rad n + 1 erhålls från
roten c
0
genom att i varje steg välja att addera 1, och minimalt värde fås genom
att addera 1 i alla steg utom det sista då istället teckenbyte väljs. Observera att
succesiva minimumvärden och maximumvärden är c
2
n
−2
= −(n − 1) respektive
c
2
n
−1
= n. Det allmänna fallet följer sedan genom att tillämpa Proposition 3.1.
[Bevis av Sats 2]
Vi bevisar först Sats 2 för den normaliserade följden A(0, 1) = {c
n
}
∞
n=0
genom
induktion över j. Kom ihåg att c
0
= 0 och c
1
= 1.
Först konstaterar vi att för j = 1 är
c
2
j
−2+2
j
k
= c
2k
= −c
k
= 2c
0
− c
k
= c
2
j
−2
+ c
0
− c
k
och
c
2
j
−1+2
j
k
= c
2k+1
= c
k
+ 1 = c
k
+ c
1
− c
0
= c
k
+ c
2
j
−1
− c
0
,
där vi har utnyttjat rekursionsformlerna i Proposition 4.1.
Från Proposition 4.1 ser vi också att
c
2
j−1
−1
= −c
2
j
−2
(3)
c
2
j−1
−1
+ 1 = c
2
j
−1
. (4)
Normat 1/2013 Hans Thunberg 43
Med hjälp av c
0
= 0, ekvationerna (3) och (4) och Proposition 4.1 genomför vi
nu induktionssteget som slutför beviset av Sats 2 för den normaliserade följden.
c
2
j
−2+2
j
k
= c
2(2
j−1
−1+2
j−1
k)
= −c
2
j−1
−1+2
j−1
k
= −(c
2
j−1
−1
+ c
k
− c
0
)
= c
2
j
−2
− c
k
+ c
0
och
c
2
j
−1+2
j
k
= c
2(2
j−1
+2
j−1
k−1)+1
= c
2
j−1
−1+2
j−1
k
+ 1 = c
2
j−1
−1
+ c
k
+ 1 − c
0
= c
2
j
−1
+ c
k
− c
0
.
Slutligen kan vi generalisera till den allmänna fallet A(a
0
, a
1
) = {a
n
}
∞
n=0
genom
att använda Proposition 3.1. Som tidigare låter vi d
1
= a
1
− a
0
.
a
2
j
−2+2
j
k
= a
0
+ c
2
j
−2+2
j
k
d
1
= a
0
+ (c
2
j
−2
− c
k
)d
1
= a
0
+ c
2
j
−2
d
1
− c
k
d
1
− a
0
+ a
0
= a
2
j
−2
+ a
0
− a
k
och
a
2
j
−1+2
j
k
= a
0
+ c
2
j
−1+2
j
k
d
1
= a
0
+ (c
2
j
−1
+ c
k
)d
1
= a
0
+ c
2
j
−1
d
1
+ c
k
d
1
+ a
0
− a
0
= a
2
j
−1
+ a
k
− a
0
.
[Bevis av Sats 3]
Eftersom elementen i en godtycklig Nørgårdföljd enligt Proposition 3.1 fås ur
den normaliserade följden genom en transformation oberoende av indexet n, följer
likheterna i Sats 3 i det allmänna fallet från motsvarande likheter i det norma-
liserade fallet. Det räcker alltså att bevisa Sats 3 för den normaliserade följden
A(0, 1) = {c
k
}
∞
k=0
.
Att bevisa att de 2
n
första elementen i den normaliserade följden, för n ≥ 3,
uppfyller påståendet i Sats 3, är detsamma som att visa att rad n+1, i det utvidgade
binära trädet U i Figur 3 uppfyller påståendet.
Rad 4 i U uppfyller påståendet i Sats 3 eftersom V
V V
= c
0
= c
5
= H
V H
och V
V H
= c
1
= c
4
= H
V V
så att H
V
= H
V V
H
V H
= V
V H
V
V V
, och eftersom
H
H
= {c
6
, c
7
} = {−2, 3}.
Vi forsätter beviset genom induktion över n. Antag att påståendet i Sats 3 gäller
från och med rad 4 till och med rad n i U, det vill säga för den ändliga följden
{c
k
}
2
n−1
−1
k=0
.
Låt V
Σ
och H
Σ
, där Σ är en ändlig följd av symbolerna V och H, beteckna
ett interval av element i en rad k , bildat genom succesiv intervallhalvering av
vänstra halvan av rad k, V = {c
0
, c
1
, . . . , c
2
k−2
−1
}, respektive högra halvan av rad
k, H = {c
2
k−2
, . . . , c
2
k−1
−1
} . Observera att
• varje element c
j
i rad k, ger upphov till precis två element {c
2j
, c
2j+1
} i rad
k + 1;
• ett interval av längd 2
j
i rad k ger upphov till interval av längd 2
j+1
i rad
k + 1;
• alla interval av typen V
Σ
eller H
Σ
som förekommer i Sats 3 har bildats genom
succesiv intervallhalvering.
44 Hans Thunberg Normat 1/2013
Detta innebär att varje intervall i rad n som omnämns i Sats 3, dvs H
H
j
H
, H
H
j
V
,
V
V H
j
H
och V
V H
j
V
, j = 0, 1, . . . , (n−4), ger upphov till ett dubbelt så långt interval
med samma relativa position, det vill säga samma index, i den dubbelt så långa
raden n + 1. Detta innebär i sin tur att likheterna
H
V
= V
V H
V
V V
H
HV
= V
V HH
V
V HV
H
HHV
= V
V HHH
V
V HHV
. . .
H
H
(n−4)
V
= V
V H
(n−4)
H
V
V H
(n−4)
V
,
som enligt induktionsantagandet gäller på rad n, också kommer att gälla på rad
n + 1. Detta illustreras i Figur 4.
Figur 4 : Rad 4 och 5 i det utökade binära trädet U illusterar (i) hur ett interval av
typ V
Σ
eller H
Σ
0
på rad 4 genererar interval av dubbel längd med samma index på
rad 5, med bibehållande av likheter av typ V
Σ
= H
Σ
0
; (ii) hur det på rad 5 uppstår
nya interval av längd 1 (V
V H V
, V
V H H
, H
HV V
och H
HV H
).
Det återstår att visa att
H
H
(n−3)
V
= V
V H
(n−3)
H
V
V H
(n−3)
V
(5)
H
H
(n−3)
H
= {−n + 1, n} (6)
gäller på rad n + 1. (Kom ihåg att för den normaliserade följden är a
0
= c
0
= 0,
a
1
= c
1
= 1 och d
1
= 1.)
För att visa Ekvation (5) konstaterar vi först att på rad n + 1 är H
H
(n−3)
V
=
{c
2
n
−4
, c
2
n
−3
}. Enligt Proposition 3.1 och Sats 1 är
c
2
n
−4
= −c
2
n−1
−2
= c
2
n−2
−1
= n − 2
och
c
2
n
−3
= c
2(2
n−1
−2)+1
= c
2
n−1
−2
+ 1 = −c
2
n−2
−1
+ 1 = −(n − 3).
Normat 1/2013 Hans Thunberg 45
Alltså är H
H
(n−3)
V
= {n − 2, −(n − 3)}
Vi studerar nu höger led av Ekvation (5). Eftersom V
V H
(n−3)
= {c
2
n−2
−2
, c
2
n−2
−1
}
är
V
V H
(n−3)
H
V
V H
(n−3)
V
= {c
2
n−2
−1
, c
2
n−2
−2
} = {n − 2, −(n − 3)}
där sista likheten återigen följer av Sats 1. Detta visas också i Figur 5. Ekvation
(5) är därmed verifierad.
Figur 5 : Ett utsnitt ur det utökade binära trädet U som illusterar varför H
H
n−3
V
=
V
V H
n−3
H
V
V H
n−3
V
på rad n + 1 i U , det vill säga varför c
2
n
−4
= c
2
n−2
−1
och
c
2
n
−3
= c
2
n−2
−2
i den normaliserade Nørgårdsföljden.
Ekvation (6) följer direkt av Sats 1 eftersom H
H
(n−3)
H
= {c
2
n
−2
, c
2
n
−1
}, de
två sista elementen i rad n + 1. Detta avslutar beviset för att Sats 3 gäller för
den normaliserade följden A(0, 1), och det allmänna fallet följer som nämnts ovan
därav.
[Bevis av Sats 4] För att bevisa Sats 4 räcker det att komma ihåg att den binära
representationen av naturliga tal kan ges av ett binärt B med rot i talet 1, och där
ett steg snett ned till vänster eller höger innebär att addera symbolerna 0 respektive
1 till höger i den binära utvecklingen, se Figur 6.
Sats 4 följer direkt ur en jämförelse av de binära träden T i Figur 2 och B i
Figur 6.
6 Avslutande kommentarer
Som många andra tonsättare var Per Nørgård under femtio- och sextiotalet inspi-
rerad av den så kallade seriella musiken, där kompositioner byggs upp genom att
konstruera ändliga följder (som i detta sammanhang kallas serier) av värden för
46 Hans Thunberg Normat 1/2013
1 = (1)
2
vv ((
2 = (10)
2
|| ""
3 = (11)
2
|| ""
4 = (100)
2
5 = (101)
2
6 = (110)
2
7 = (111)
2
Figur 6 : Det binära trädet B som på rad 1 till och med rad n genererar den bi-
nära utvecklingen av talen {1, 2, . . . , 2
n−1
}. Vid ett steg sned till vänster adderas
symbolen 0 i slutet av den binära utvecklingen, och vid ett steg snett ned till höger
symbolen 1.
olika musikaliska parameterar. Dessa följder, i sin ursprungliga form och i transfor-
merade former, får sedan styra det musikaliska förloppet. Den seriella musiken har
sitt ursprung i tolvtonstekniken som introducerades av Arnold Schönberg i början
av 1900-talet, här var det de tolv tonerna i det kromatiska tonförrådet som ordna-
des i serier. Oändlighetsserierna kan ses som ett uttryck för Nørgårds strävan att
utveckla de seriella formerna, [2]. Per Nørgård har också utvecklat en metod för
att utveckla följder för tonernas tidsvärden, baserad på Fibbonacciföljden. Denna
metod har diskuteras ur en matematisk synvinkel av Jeffrey Shallit, [5].
Slutligen kan nämnas att om man modifierar definitionen av den normaliserde
följden till
c
2n
= c
2n−2
+ (c
n
− c
n−1
)
c
2n+1
= c
2n−1
− (c
n
− c
n−1
),
det vill säga att nästa element med jämnt index på nivå 2n fås rekursivt genom
att addera differensen (c
n
− c
n−1
) på nivå n, medan nästa element med med udda
index fås genom subtrahera (c
n
− c
n−1
), fås den intressanta och välstuderade så
kallade Thue-Morse följden
4
. Det visar sig att detta ger en följd på två symboler
som också kan bestämmas rekursivt genom
{c
0
, c
1
} = {0, 1}
{c
2
n−1
, . . . , c
2
n
−1
} = {c
0
, . . . , c
2
n−1
−1
}, ∀n > 1,
där 0 = 1 och 1 = 0. Nørgård har även använt sig av denna talföljd i sitt kompo-
nerande.
Referenser
[1] Jørgen Mortensen,
http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uindhold.html, 1998 –
4
Thue-Morse följden har nummer i A010060 i The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
(OEIS).
Normat 1/2013 Hans Thunberg 47
1999, hämtad 5 augusti 2013.
[2] Erling Kullberg, Beyond Infinity. On the infinity series - the DNA of hierarchical
music, i The music of Per Nørgård. Fourteen Interpretative Essays, red. Anders
Beyer. Scholar Press, Hunts, och Ashgate Publishing Co., Vermont, 1996. ISBN 1
85928 313 6.
[3] Mattias Svensson Sandell, Oändlighetsserien, del 1 och del 2. Gotlands
tonsättarskola.
[4] Jean-Paul Allouche och Jeffrey Shallit, The ring of k-regular sequences, II, Theoret.
Computer Sci., 307 (2003), 3 – 29.
[5] Jeffrey Shallit, The Mathematics of Per Nørgård’s Rythmic Infinity System, The
Fibonacci Quarterly, 43 (2005), Nr 3, 262 – 268.
