Normat 61:2, 49–55 (2013) 49
Tschebyscheff polynomier i den komplekse plan
Ove Juul Munch
1931-2013
De Tschebyscheffske polynomier T
n
(x) har en lang historie, og det er velkendt, at
disse polynomier er optimale approksimanter af nulfunktionen på intervallet [≠1, 1].
Vi begynder med at opridse nogle af disse polynomiers grundlæggende egenskaber.
Indledende kan T
n
(x) for reelle |x|Æ1 fastlægges ved definitionen
(1) T
n
(cos(◊)) = cos(n◊), 0 Æ ◊ Æ 2fi
Heraf følger T
0
(x)=1, T
1
(x)=x og rekursionsformlen
(2) T
n
(x)=2xT
n≠1
(x) ≠ T
n≠2
(x)
som er en omskrivning af
cos(n◊)+cos((n ≠ 2)◊)=2cos(◊)cos((n ≠ 1)◊)
Man ser fra definitionen (1), at T
n
(x) iden +1 punkter
(3) x
‹
= cos(
(n ≠ ‹)
n
fi), 0 Æ ‹ Æ n
skiftevis antager værdierne +1 og ≠1, startende med (≠1)
n
. Bemærk at punkterne
x
‹
er angivet i voksende rækkefølge med x
0
= ≠1 og x
n
=1. Det følger desuden af
rekursionsligningen (2), at T
n
(x) er et polynomium af grad n med hovedkoefficient
2
n≠1
, og at alle T
n
(x) er symmetriske funktioner, lige for lige n og ulige for ulige
n.
Det normerede Tschebyscheff polynomium T
n
(x)=2
(1≠n)
T
n
(x) er for n Ø 1 det
reelle polynomium med hovedkoefficient 1, som har det mindste absolutte mak-
simum på intervallet [≠1, 1]. Faktisk kan man m ed enkle midler på en gang både
bevise dette udsagn og sige endnu mere. Antag at S(x) er et normeret n’te grads po-
lynomium og at den absolutte værdi |S(x
‹
)| af S(x) i hvert af punkterne x
‹
er min-
dre end |T
n
(x
‹
)| =2
(1≠n)
.DavilQ(x)=T
n
(x)≠S(x) være et polynomium af grad
højst (n≠1), som skifter fortegn i hvert af de n intervaller [x
‹
,x
‹+1
], 0 Æ ‹ Æ n≠1.
Men n nulpunkter kan kun forekomme for et polynomium Q(x) af grad højst n ≠1,
hvis Q(x)=0. Vi kan derfor konkludere, at for ethvert normeret polynomium S(x)
af grad n vil mindst en af de n+1 absolutværdier |S(x
‹
)| opfylde |S(x
‹
)|Ø2
(1≠n)
.
Temaet i denne artikel er, hvordan disse argumenter kan generaliseres fra inter-
valler på den reelle akse til ellipser og cirkler i den komplekse plan.
50 Ove Juul Munch Normat 2/2013
Polynomierne T
n
(z) i den komplekse plan C
Polynomierne T
n
(x) og T
n
(x) er i udgangspunktet kun definerede på [≠1, 1],men
har naturligvis en entydig udvidelse til komplekse polynomier T
n
(z) og T
n
(z) med
reelle koefficienter. Da T
n
(x) har n reelle rødder beliggende i intervallet [≠1, 1],er
disse n rødder også det fulde komplekse rodsæt for T
n
(z) og T
n
(z).
For hvert liniestykke I mellem to punkter i den komplekse plan definerer vi
det normerede Tschebyscheff-polynomium T
I
n
(z) som det komplekse, normerede
polynomium af grad n, hvis rødder dels ligger på I,delsinddelerI i samme pro-
portioner, som rødderne til T
n
(x) inddeler intervallet [≠1, 1]. På grund af symmetri-
egenskaberne ved polynomiet T
n
(x) og dets rødder, er det således definerede rodsæt
for T
I
n
(z) uafhængigt af orienteringen af I, og polynomiet T
I
n
(z) er derfor veldefi-
neret. For intervallet I =[≠1, 1] er T
I
n
(z) naturligvis lig det allerede introducerede
polynomium T
n
(z).
Denne artikels resultat er følgende, hvor benævnelsen ’fokuslinien’ benyttes om
det liniestykke, der forbinder en ellipses brændpunkter.
Sætning 1 Lad E betegne en ellipse i den komplekse plan med halvakser a>0
og b Ø 0, hvor a Ø b. Da gælder for ethvert polynomium P (z) af grad n med
hovedkoefficient 1,at
max
zœE
|P (z)|Ø(
a + b
2
)
n
+(
a ≠ b
2
)
n
og lighed indtræffer kun for P (z)=T
I
n
(z), hvor I er fokuslinien for E.
For b =0fortolker vi ellipsen som et interval og er da tilbage i det reelle tilfælde,
hvor påstanden er en enkel konsekvens af egenskaberne for T
n
(x) på [≠1, 1].
Standard ellipser E
a
En ellipse med brændpunkter i henholdsvis ≠1 og 1 og med største halvakse a
vil vi benævne en standard ellipse og b ete gne med notationen E
a
. Bemærk at for
standard ellipsen E
a
vil eccentriciteten e være e =1/a, og den mindste halvakse
b vil være bestemt ved b
2
= a
2
≠ 1. Sætning 1 vil i dette afsnit blive vist for
sådanne standard ellipser. Det generelle tilfælde vises efterfølgende ved reduktion
til standardtilfældet.
Vi vælger en parametrisering af standard ellipser ved en reel parameter — på
følgende måde: lad I
—
være det komplekse liniestykke I
—
=[≠i—, 2fi≠i—] og betragt
den analytiske udvidelse cos(z)=(1/2)(e
iz
+ e
≠iz
) af den reelle funktion cos(◊).
For ◊
t
= t ≠ i— på I
—
blive r
(4) cos(◊
t
)=cos(t)cosh(—)+isin(t)sinh(—)
hvor cosh(—)=(1/2)(e
—
+ e
≠—
) og sinh(—)=(1/2)(e
—
≠ e
≠—
) Sætter vi z
t
=
cos(◊
t
)=x
t
+ iy
t
, a = cosh(—) og b = sinh(—), finder vi derfor at
(x
t
/a)
2
+(y
t
/b)
2
=1
Normat 2/2013 Ove Juul Munch 51
R
iR
◊
t
= t ≠ i—
I
—
1≠1
E
a
z
t
= cos(◊
t
)
z
t
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
z
0
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
z
7
z
8
z
9
z
10
z
11
z
12
z
13
Figur 1 : Illustration af I
—
, E
a
og af punkterne x
‹
og z
k
for n =7.
og at funktionen cos(z) afbilder I
—
på en ellipse med centrum i 0 og med akselæng-
derne a og b.
For at se at denne ellipse er en standard ellipse, bemærk at a
2
≠b
2
= cosh(—)
2
≠
sinh(—)
2
=1. Heraf følger at a>b, og at e llipsens eccentricitet e r e =
1 ≠ b
2
/a
2
=
1/a, således at brændpunkterne vil ligge i henholdsvis ≠1 og 1. Når — gennemløber
alle positive tal, vil a = cosh(—) gennemløbe alle a>1, og dermed vil denne kon-
struktion parametrisere alle standard ellipser E
a
. Figur 1 illustrerer placeringen af
E
a
, I
—
og punkterne x
‹
i den komplekse plan C.Punkternez
k
på selve ellipsen er
den komplekse version af punkterne x
‹
og vil blive definerede i (7).
For en given ellipse E betegner vi med M
E
n
mængden af normerede, komplekse
polynomier af grad n. For en funktion f på E sætter vi
(5) ÎfÎ
E
Œ
= max
zœE
|f(z)|
og vi lader M
E
Œ
være infimum værdien
(6) M
E
Œ
=inf
P œM
E
n
ÎP Î
E
Œ
Desuden sættes
A
E
=(
a + b
2
)
n
+(
a ≠ b
2
)
n
og vi er nu klar til at bevise første del af Sætning 1.
52 Ove Juul Munch Normat 2/2013
Bevis for at T
n
(z) opfylder ÎT
n
(z)Î
E
Œ
= A
E
for E = E
a
. Identiteten T
n
(cos(◊)) =
cos(n◊) kan udvides til at gælde for alle komplekse ◊, da begge sider er analytiske
funktioner. Ved fornyet anvendelse af ligning (4) og brug af periodiciteten cos(z)=
cos(z +2fi) ses, at medens punkterne z
t
= cos(◊
t
) gennemløber E
a
for t œ [0, 2fi],
vil værdierne T
n
(z
t
)=cos(n◊
t
) foretage et n-foldigt gennemløb af ellipsen E
A
for
A = cosh(n—).
Som den halve hovedakse for E
A
vil A være maksimumsværdien for |T
n
(z)|, når
z gennemløber E
a
, og det ses at denne værdi antages netop for T
n
(z
k
)=(≠1)
k
A,
med
(7) z
k
= cos(kfi/n ≠ i—)
for k =0, 1, 2,...,2n ≠ 1.VærdienA = cosh(n—) kan afslutningsvist omskrives til
A =2
n≠1
((
a+b
2
)
n
+(
a≠b
2
)
n
) og beviset er færdigt.
I analogi med (5) og (6) definerer vi for en funktion f på E = E
a
med brug af z
k
fra (7)
(8) ÎfÎ
E
n
= max
0ÆkÆ2n≠1
|f(z
k
)|
og vi lader M
E
n
være infimum værdien
(9) M
E
n
=inf
P œM
E
n
ÎP Î
E
n
Lemma 1 Der findes for E = E
a
et og kun et normeret polynomium P (z ) som
opfylder
(10) ÎP Î
E
n
= M
E
n
Dette P (z) er et polynomium med reelle koefficienter. For lige n er P (z) en lige
funktion, medens P (z) er en ulige funktion for ulige n.
Bevis for Lemma 1. Antag først at P
1
og P
2
er to polynomier, som opfylder ÎP
1
Î
E
n
=
ÎP
2
Î
E
n
= M
E
n
> 0.SætP
3
=(1/2)(P
1
+ P
2
). Det er da indlysende på grund af
trekantsuligheden, at også P
3
opfylder (10). Ligeledes ser man, at for hvert k, hvor
|P
3
(z
k
)| = M
E
n
,måP
1
(z
k
)=P
2
(z
k
)=P
3
(z
k
). Lad m være antallet af sådanne k
med |P
3
(z
k
)| = M
E
n
.
Hvis m Æ n kan vi bestemme et polynomium Q af grad højst n≠1, som opfylder,
at Q(z
k
)=P
3
(z
k
) for disse m værdier af k. For passende ‘>0 vil P = P
3
≠ ‘Q
være et normeret polynomium af grad n med ÎQÎ
E
n
<M
E
n
.Detteerimodstrid
med definitionen af M
E
n
. Derfor må m>n, hvilket betyder, at de to normerede
n’te grads polynomier P
1
og P
2
stemmer overens på flere end n punkter. De må
derfor stemme overens overalt, således at P
1
= P
2
.
Entydigheden af P implicerer, at P må være et reelt, symmetrisk polynomium.
For at indse dette bemærk at mængden {z
k
}
2n≠1
k=0
er invariant under både kompleks
konjugation og multiplikation med ≠1. Derfor må sammen med P (z) begge nor-
merede polynomier P (z) og (≠1)
n
P (≠z) have minimalegenskaben og de må begge
være identiske med P (z).
Normat 2/2013 Ove Juul Munch 53
Som afslutning af beviset må vi argumentere for, at det implicitte infimum i
(10) antages for et p olynomium P (z), og for at M
E
n
> 0. En måde at se dette på
er at betragte vektoren af funktionsværdier (P (z
k
))
2n≠1
k=0
som en funktion af de va-
rierende koefficienter i P (z)=z
n
+
q
n≠1
i=0
p
i
z
i
. Når (p
i
)
n≠1
i=0
varierer, gennemløber
(P (z
k
))
2n≠1
k=0
et affint underrum af C
2n
med parametre defineret af {z
k
}
2n≠1
k=0
. Som
lukket mængde vil et sådant affint underrum indeholde et punkt, som realiserer af-
standen under supremumsnormen mellem underrummet og punktet 0; dette punkt
er det søgte P. Når M
E
n
antages i et P ,måtilslutM
E
n
= ÎP Î
E
n
> 0, da antallet af
punkter z
k
er større end n.
Afslutning af bevis for Sætning 1 i tilfældet E = E
a
. Det er klart fra definitionerne
og den første del af beviset, at
M
E
n
Æ M
E
Œ
Æ A
E
Vi ønsker at vise, at M
E
n
= A
E
. Det vil heraf følge, at et p olynomium P (z) er
minimalt i forhold til M
E
n
, hvis og kun hvis det er minimalt i forhold til M
E
Œ
.Da
T
n
(z) realiserer den fælles minimal-værdi A
E
,vilT
n
(z) da efter Lemma 1 være det
entydigt bestemte minimale polynomium for begge normer.
Antag at M
E
n
<A
E
og vælg efter Lemma 1 et reelt normeret polynomium P (z),
som opfylder ÎP Î
E
n
= M
E
n
. Ansæt P (z) som en linearkombination
(11) P (z)=T
z
(z)+
n≠1
ÿ
j=0
c
j
T
j
(z)
med reelle koefficienter c
j
, som ikke alle er 0. Ulighederne
|P (z
k
)|ÆM
E
n
<A
E
=(≠1)
k
T
n
(z
k
)
viser sammen med (11), at realdelen af
q
n≠1
j=0
c
j
T
j
(z
k
) for alle k er forskellig fra nul
og har fortegnet (≠1)
(k+1)
, det vil sige mo dsat fortegnet af T
n
(z
k
).Daz
k
= cos(◊
k
),
◊
k
= kfi/n ≠ i— og
T
j
(z
k
)=2
(1≠j)
cos(j◊
k
)
=2
(1≠j)
cos(j
kfi
n
)cosh(j—)+i 2
(1≠j)
sin(j
kfi
n
)sinh(j—)
slutter vi heraf, at for alle k vil
(≠1)
(k+1)
Q
a
n≠1
ÿ
j=0
c
j
2
(1≠j)
cos(j
kfi
n
)cosh(j—)
R
b
> 0
Ved inspektion ses, at dette kan omskrives til
(12) (≠1)
(k+1)
Q
a
n≠1
ÿ
j=0
d
j
T
j
(cos(
kfi
n
))
R
b
> 0
54 Ove Juul Munch Normat 2/2013
for d
j
= c
j
cosh(j—). Polynomiet Q(x)=
q
n≠1
j=0
d
j
T
j
(x) har grad n ≠ 1,menskifter
ifølge (12) fortegn n gange, når k løber fra n til 0 og cos(kfi/n) gennemløber x
‹
fra (3). Dette er umuligt, og antagelsen M
E
n
<A
E
fører dermed til en modstrid.
Cirkler og generelle ellipser
Afslutningsvis retfærdiggøres påstanden i Sætning 1 for generelle ellipser med po-
sitiv eccentricitet (a>b) og for cirkler (a = b).
Lemma 2 Sætning 1 gælder for alle ellipser E med a>b.
Bevis for Lemma 2. Lad en ellipse E i C med eccentricitet e>0 være givet. Denne
ellipse kan transformeres til en standard ellipse ved at foretage først en transla-
tion, så centrum for E føres i 0, derefter en rotation omkring 0, så linien gennem
brændpunkterne falder sammen med x-aksen, og sluttelig en reel ekspansion (eller
kontraktion) med centrum i 0, så brændpunkterne føres i ±1. Disse tre operationer
fører den oprindelige ellipse E gennem to andre ellipser E
1
og E
2
over i en standard
ellipse E
a
(a =1/e) med samme eccentricitet som E .
Hver af de tre transformationer bevarer ved symmetriargumenter gyldigheden
af Sætning 1.
Lemma 3 Sætning 1 gælder for alle cirkler (a = b).
Bevis for Lemma 3. Ved argumenter som i Lemma 2 kan vi reducere beviset til
cirkler med centrum i 0. Lad en sådan cirkels radius være R og antag, at et normeret
polynomium P (z) har et maximum ÎP Î
Œ
på cirklen, som er mindre end R
n
≠ ‘ for
et ‘>0. På grund af den uniforme kontinuitet af P (z) på begrænsede mængder kan
vi finde en omskrevet ellipse E med a>b>R, som opfylder at |P (z)| <R
n
≠ ‘/2
for alle z œE. Dette er i modstrid med det beviste resultat for ellipser, da A
E
>R
n
.
Entydighed kan vises ved en fremgangsmåde analog med beviset for Sætning 1.
Litteratur
[1] Ove Juul Munch. Opgave 144. Nordisk Matematisk Tidsskrift, 6:91, 1958
[2] Ove Juul Munch. Om Potensproduktsummer. Nordisk Matematisk Tidsskrift,
7:5-19, 1959
[3] Ove Juul Munch. Om Nogle Uligheder Af W. A. Markoff. Nordisk Matematisk
Tidsskrift, 8:21-29, 1960
Normat 2/2013 Ove Juul Munch 55
Efterskrift
Min far Ove Juul Munch døde 25 Januar 2013 i en alder af 81 år. Ved gennem-
gangen af hans efterladte papirer fandt mine søskende og jeg til vores forbavselse
et manuskript på 5 delvist håndskrevne sider til en artikel med titlen En Ellipse-
egenskab. Vi kunne konstatere, at dette manuskript i 1997 var blevet indsendt til
Nordisk Matematisk Tidsskrift, Normat. Den daværende redaktør havde som svar
udtrykt anerkendelse af det matematiske bidrag, men havde dog bedt om en vide-
rebearbejdning af manuskriptet før publicering. Derefter er der efter alt at dømme
ikke sket mere.
Min far var fra 1962 og frem til sin pensionering i 1996 gymnasielærer i blandt
andet matematik og han interesserede sig levende for sit fag. Før sin gymnasiekar-
riere udgav han i 1959-60 to artikler i netop Normat. En af disse artikler (3) udgør
udgangspunktet for det arbejde, han næsten 40 år senere nedskrev som pensionist,
og som foreligger i denne artikel.
Jeg kan kun gisne om grunden til, at han ikke selv viderebearbejdede og genind-
sendte sit manuskript. Måske mistede han interessen, måske forekom de praktiske
forventninger til udformningen af manuskriptet uoverkommelige for ham. Hvad
grunden end er, fik jeg ved dette spil af omstændigheder mulighed for udfylde og
præsente re min fars efterladte arb ejde. Det er, hvad jeg har gjort.
Resultatet i artiklen er stadig hans. Opgaven (1), som han stillede i Normat i
1958, beder læseren om for en given ellipse E dels at bevise, at den ne dre grænse for
problemet i Sætning 1 er givet ved A
E
, dels at identificere de minimale polynomier.
Opgaven er tilsyneladende aldrig blevet løst, men at den blev stillet viser i dag, at
Sætning 1 var kendt for ham allerede de ngang.
Niels Juul Munch
Rued Langgaards Vej 13, 6th
2300 København S
niels@jmunch.dk
