68 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
senere blev gruppeteori. Centralt i 1799 versionen er et resultat, Ruffinis permutations-
sætning, som han beviste uden mangler, og jeg vil i denne artikel give et indblik i hans
bevismetoder med særligt fokus på de gruppeteoretiske aspekter. Til slut vil jeg skitsere
sammenhængen mellem denne sætning og umuligheden af at kunne løse femtegradslig-
ningen algebraisk.
Ruffinis permutations-sætning
Ruffini undersøgte, hvad der sker med forskriften for et polynomium, når de variable per-
muteres. Mere præcist havde han brug for at kende antallet af reelt forskellige polynomier,
som man får frem ved samtlige permutationer. Som eksempel ser vi først på et polynomi-
um i tre variable, nemlig
f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
x
2
+ x
2
3
.
Der er seks mulige permutationer af de tre variable (medregnet den permutation, der beva-
rer alle variable), og et polynomium som f uden nogen symmetri vil g ive seks forskellige
polynomier ved de mulige permutationer. Anderledes bliver det, hvis polynomiet, som det
følgende, har en eller anden form for symmetri:
g(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
x
2
+ x
3
.
Ved de seks mulige permutationer af de variable får man her nogle forskrifter, der kan
opstilles i et skema som nedenfor:
x
1
x
2
+ x
3
x
1
x
3
+ x
2
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
1
+ x
3
x
3
x
1
+ x
2
x
3
x
2
+ x
1
De seks forskrifter ser forskellige ud, men ifølge den kommutative lov for multiplikation
er f.eks. g(x
1
,x
2
,x
3
) lig med g(x
2
,x
1
,x
3
), og man siger, at de to forskrifter er formelt
ens. Man får altså reelt kun tre forskellige polynomier svarende til de tre søjler, og man
siger også, at forskriften antager tre forskellige værdier ved samtlige permutationer.
Den følgende forskrift giver kun to værdier ved de seks permutationer:
h(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
x
2
)(x
1
x
3
)(x
2
x
3
).
Ombytning af to variable ændrer h’s fortegn; de øvrige permutationer ændrer ikke h.
Ruffini var særlig interesseret i polynomier med fem variable x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
. Antal
permutationer af fem variable er 5 ·4 ·3 ·2 ·1, altså 120. Der findes polynomier f
2
, f
5
, f
6
,
der antager henholdsvis to, fem eller seks værdier ved samtlige 120 permutationer; f.eks.
polynomier med forskrifterne
f
2
:
Y
i<j
(x
i
x
j
) f
5
: x
1
f
6
:(x
1
x
2
+ x
4
x
5
)x
2
3
+(x
2
x
3
+ x
5
x
1
)x
2
4
+ ···+(x
5
x
1
+ x
3
x
4
)x
2
2
Ruffini beviste følgende resultat, som vi her kalder Ruffinis permutations-sætning.
Normat 2/2013 Aksel Bertelsen 75
Det er altså muligt at farve ikosaederet, så ' =5; ved at farve et par af modstående
hjørner kan man også opnå ' =6. Det er heller ikke svært at se, at ' kan være ethvert af
de tal, der er over seks, og som går op i 60; men om de øvrige tal, der går op i 60 gælder:
Ikosaeder-sætningen. For ikosaederet kan ' ikke være 2, 3 eller 4.
Vi ser i det følgende på et bevis for, at ' ikke kan være 2. Beviset er indirekte. Vi antager
altså, at det er muligt at farvelægge ikosaederet, så ' =2, og vi kalder de to mulige figurer
for fig1 og fig2. Den tilhørende symmetrigruppe kaldes G
f
. Vi udleder to modstridende
resultater. Det første resultat er, at G
f
må bestå af 30 drejninger ifølge Lagranges sætning,
da 60 divideret med 2 er 30.
Det andet resultat er, at G
f
må bestå af alle 60 drejninger, og det kan udledes på følgen-
de måde. Først vises, at enhver hjørne-drejning er med i G
f
, og det vises, også indirekte,
i stil med Ruffinis fremgangsmåde ([4], § 274). Alle drejningerne falder i to klasser: den
ene består af G
f
, altså dem, der fører fig1 over i fig1, og den anden, K
12
, af dem, der fører
fig1 over i fig2. Lad f være vilkårlig hjørne-drejning. Antag at f ikke er i G
f
, altså at f
tilhører K
12
. Da vil f
2
tilhøre G
f
, idet f først fører fig1 over i fig2, og dernæst fig2 over
i fig1. Da f
4
=(f
2
)
2
, må f
4
også tilhøre G
f
, og da f
5
= f f
4
, må f
5
føre fig1 over
i fig2, men vi ved også at f
5
er den identiske afbildning, som tilhører G
f
. Altså har vi en
modstrid, så f er med i G
f
. Alle 24 hjørne-drejninger er altså med i G
f
.
På tilsvarende måde, bare enklere, vises, at alle 20 side-drejninger er med i G
f
. I alt har
vi så 44 drejninger i G
f
, men da |G
f
| skal gå op i 60 ifølge Lagranges sætning, må |G
f
|
være lig 60. Vi har dermed vist de to modstridende resultater.
At ' ikke kan være 3 eller 4 kan vises på tilsvarende måde.
Bevis for Ruffinis permutations-sætning
Vi vender nu tilbage til Ruffinis problemer med polynomier i fem variable. Først indføres
lidt notation. Et udtryk af typen f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
) vil vi for det meste skrive f(x), idet
vi sætter x =(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
). En permutation p af de fem variable kan skrives på
formen
✓
12345
p(1) p(2) p(3) p(4) p(5)
◆
hvor p(i) angiver den nye position for den variable i position i. Hvis p f.eks. er den per-
mutation, der ombytter de variable i de to første positioner, vil vi så kunne skrive
f(p(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
)) = f(x
2
,x
1
,x
3
,x
4
,x
5
),
og hvis q er den permutation, der ombytter de variable i position 2 og 3, kan vi skrive
f(q(p(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
))) = f(x
2
,x
3
,x
1
,x
4
,x
5
).
Det skal bemærkes, at Ruffini ikke har en lignende beskrivelse af permutationer, men frem-
stillingen af hans metoder bliver for tung, hvis vi bevarer hans egne formuleringer.
Antallet af mulige permutationer er som nævnt 120. Denne gruppe af permutationer
betegnes normalt S
5
, mens de 60 permutationer, der svarer til drejningerne i ikosaeder-
gruppen, betegnes A
5
. De permutationer, der svarer til hjørne-drejning og side-drejning,
kaldes hhv. 5-cykler og 3-cykler.
76 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
Ruffini klassificerer permutationerne i forskellige typer; hovedopdelingen har syv klas-
ser. Den ene klasse består kun af identiteten, e; n-cyklerne, hvor n 2 {2, 3, 4, 5}, giver fire
klasser. Repræsentanter for de to sidste typer er vist nedenfor.
p
6
:
✓
12345
21435
◆
p
7
:
✓
12345
23154
◆
Den ene p
6
er sammensat af disjunkte transpositioner (2-cykler), og p
7
er sammensat af to
disjunkte permutationer, hvoraf den ene er en 3-cykel og den anden en transposition.
Ved ordenen, ord(p), af en permutation p forstås det mindste naturlige tal m, for hvilket
p
m
= e. Inden for hver af de nævnte syv klasser har alle permutationer samme orden, og
den er henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 2 og 6.
For et givet polynomium f lader vi ' betegne antallet af forskellige polynomier, som
f(p(x)) giver, når p gennemløber S
5
. Ved symmetrigruppen G
f
forstås gruppen af per-
mutationer p, for hvilke f(p(x)) = f (x).
Med disse betegnelser siger Ruffinis permutations-sætning, at ' ikke kan være 3 eller 4,
når f er et polynomium i fem variable. Ifølge Lagranges sætning, |S
5
| = ' ·|G
f
|, er dette
ensbetydende med, at |G
f
| 6= 40 og |G
f
| 6= 30, og det er sådan Ruffini selv formulerer
resultatet i [4], §275, hvor han dog også har |G
f
| 6= 15, men dette delresultat får vi ikke
brug for.
Vi ser nu først på Ruffinis bevis. Det antages, at der findes et polynomium f med ' =3
eller ' =4. Han argumenterer for, at G
f
må indeholde en 5-cykel, som vi her kalder q.
Argumentet er helt i stil med argumentet for, at enhver hjørne-drejning måtte være med i
G
f
i beviset for ikosaeder-sætningen. Det er bemærkelsesværdigt, at Ruffini ikke udnytter
eller ikke opdager, at alle 5-cykler må være med i G
f
, hvilket kunne have gjort resten af
beviset meget kortere. Kernen i resten af beviset er følgende sætning, som han viser i §271.
Sætning R271. Hvis G
f
indeholder en 5-cykel, så er |G
f
| enten 5, 10, 20, 60 eller 120.
Hans bevis består i at finde ud af hvilke stabile mængder, H, man kan få frem, når det
antages, at mængden ud over 5-cyklen q indeholder en anden permutation p. Han opdeler
undersøgelsen i en række specialtilfælde svarende til forskellige typer af p.
I det simpleste tilfælde har p formen q
n
, hvor n 2 {0, 2, 3, 4}. Alle potenserne q
n
, hvor
n 2 {0, 1, 2, 3, 4}, skal være med i H, da H er stabil, men disse fem permutationer udgør
i sig selv en stabil mængde, så vi har |H| =5.
I det næstsimpleste tilfælde ser man på permutationerne
q :
✓
12345
23451
◆
p :
✓
12345
43215
◆
En stabil mængde med p og q må indeholde de 10 permutationer af formen q
n
eller pq
n
,
hvor n 2 {0, 1, 2, 3, 4}, og Ruffini kontrollerer, at de udgør en stabil mængde. Permuta-
tionerne p og q frembringer altså en stabil mængde H med |H| = 10.
Tilsvarende gennemføres for alle de øvrige principielt forskellige slags p. Det er om-
stændeligt og fylder over 4 sider hos Ruffini.
Vi ser nu på et moderne bevis for Ruffinis permutations-sætning. Beviset indeholder også
en generel udgave af Lagranges sætning, som Ruffini kun begrunder ud fra eksempler.
I beviset inddrages det abstrakte gruppebegreb, hvor en gruppe defineres som en mæng-
de G med en associativ komposition , således at der findes et neutralt element, og således
Normat 2/2013 Aksel Bertelsen 77
at ethvert element har netop ét inverst element. Ved at sige at er en komposition i G er det
underforstået, at G er stabil over for kompositionen. I det følgende skrives bare pq istedet
for p q.
En undergruppe H i G er en delmængde, der i sig selv udgør en gruppe. Lad nu H være
en undergruppe i en endelig gruppe G. Elementerne i G kan opdeles i ækvivalensklasser
ved at definere, at to elementer x og y skal tilhøre samme klasse, hvis y
1
x tilhører H.
Klasserne kaldes normalt sideklasser. Hvis et element x ligger i en given sideklasse, så
vil hele sideklassen bestå af elementer af formen xh, hvor h tilhører H, og sideklassen
kan betegnes xH. Da xh
1
= xh
2
medfører, at h
1
= h
2
, vil alle sideklasser indeholde
|H| elementer, og antal sideklasser er altså lig |G|/|H|. Dette tal kaldes H’s index, og vi
får dermed følgende udgave af Lagranges sætning: Index for enhver undergruppe H er lig
med |G|/|H|.
Ruffinis permutations-sætning kan bevises ved at vise, at der ikke findes undergrupper i
S
5
med index 3 eller 4. Vi laver et indirekte bevis, og antager først at H er en undergruppe
i S
5
med index 3, altså med 40 permutationer. Første del af beviset består i at vise, at
enhver 5-cykel q vil ligge i H. Dette kan indses på følgende måde. Der er fem potenser af
q, nemlig e, q, q
2
, q
3
og q
4
, hvor e er det neutrale element. To af disse må ligge i samme
sideklasse, så der findes to forskellige eksponenter n og m, så q
nm
tilhører H. Der findes
altså et tal k, k 2 {1, 2, 3, 4}, så q
k
ligger i H.
Da 5 er et primtal, er k og 5 indbyrdes primiske, så ifølge Bézout’s sætning findes hele
tal s og t, så
1=s · 5+t · k
Heraf får man
q = q
s·5+t·k
=(q
5
)
s
(q
k
)
t
=(q
k
)
t
og da sidstnævnte udtryk ligger i H, eftersom q
k
ligger i H, må q altså tilhøre H.
Andel del i beviset bygger på, at ehver 3-cykel kan skrives som et produkt af to 5-cykler,
idet for eksempel
✓
12345
23145
◆
=
✓
12345
34251
◆✓
12345
31524
◆
Da alle 5-cykler ligger i H, må alle 3-cykler også ligge i H, og H indeholder altså over 40
permutationer, i modstrid med antagelsen. Tilsvarende med index 4.
En af Ruffinis afgørende ideer var altså at vise, at det er umuligt at lave symmetrigrupper
med visse givne egenskaber, istedet for at vise, at det er umuligt at lave forskrifter med vis-
se givne egenskaber. Ved at se på symmetrigrupper får man et mere begrænset problem,
forstået på den måde, at der kun er endeligt mange symmetrigrupper, mens der er uende-
ligt mange forskrifter. Som nævnt side 72 taler meget for, at Ruffini i første omgang har
forsøgt at finde en formel for femtegradsligningen ved at lede efter symmetrigrupper som
en genvej til forskrifter med de egenskaber, som han søgte.
Brugen af symmetrigrupper for forskellige matematiske objekter er senere blevet en ud-
bredt teknik inden for mange matematiske felter. At en ny, ofte mere abstrakt, matematik er
opstået i forbindelse med et umulighedsbevis er set flere andre gange i matematikhistorien.
Dette hænger sammen med, at man i situationer, hvor man forsøger at vise, at matematiske
objekter med visse egenskaber ikke eksisterer, ikke kan foretage direkte regning, da man i
sagens natur ikke har nogen objekter at regne på.
78 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
Anden-, tredje- og fjerdegradsligninger
Problemerne med løsning af femtegradsligninger træder tydeligere frem på baggrund af
løsningerne af de tilsvarende ligninger af lavere grad. Andengradsligningen skriver vi
x
2
+ a
1
x + a
0
=0.
Man kan lave en ligning med rødder x
1
og x
2
på følgende måde:
(x x
1
)(x x
2
)=0.
Ved at gange parenteser ud ser man, at venstresiden er et normeret andengradspolynomium
i x, som på venstresiden af andengradsligningen. Sammenhængen mellem koefficienterne
og rødderne kan udtrykkes ved Viète-relationerne:
a
1
= x
1
+ x
2
a
0
= x
1
x
2
En algebraisk løsningsformel til andengradsligningen er to ligninger, hvor henholdsvis x
1
og x
2
er lig med udtryk dannet ved brug af koefficienterne a
0
og a
1
, de hele tal, de fire
grundlæggende (rationelle) regneoperationer og roduddragning. Vi vil nu komme frem til
en sådan løsningsformel på en lidt anderledes måde end den sædvanlige.
I Viète-relationerne er koefficienterne symmetriske funktioner af rødderne. I en løs-
ningsformel med x
1
på venstresiden vil man have en ikke-symmetrisk funktion på ven-
stresiden. Det betyder, at højresiden må indeholde en roduddragning; hvis den ikke gjorde,
ville højresiden være symmetrisk i rødderne, da rationelle operationer bevarer symmetrien.
Hvis man for en ikke-symmetrisk funktion f (x
1
,x
2
) kan finde en potens f(x
1
,x
2
)
n
,
der er symmetrisk, kan man ved roduddragning få f( x
1
,x
2
) udtrykt ved a
0
og a
1
. En ikke-
symmetriske funktion med denne egenskab er x
1
x
2
, idet (x
1
x
2
)
2
er symmetrisk. For
at udtrykke (x
1
x
2
)
2
ved a
0
og a
1
kan vi bruge en kvadratsætning:
(x
1
x
2
)
2
= x
2
1
+ x
2
2
2x
1
x
2
.
Denne højreside kan igen ved brug af en kvadratsætning udtrykkes ved de symmetriske
funktioner x
1
+ x
2
og x
1
x
2
:
x
2
1
+ x
2
2
2x
1
x
2
=(x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= a
2
1
4a
0
.
Hvoraf vi alt i alt får, at (x
1
x
2
)
2
er lig med a
2
1
4a
0
. Det vil sige at
x
1
x
2
= ±
q
a
2
1
4a
0
.
Addition af ovenstående ligning og Viète-relationen x
1
+ x
2
= a
1
giver 2x
1
, og til sidst
får man så den sædvanlige løsningsformel ved division med 2.
At (x
1
x
2
)
2
kan udtrykkes som et polynomium i koefficienterne er ingen tilfældighed;
det gælder ethvert symmetrisk polynomium ifølge en fundamental sætning om symmetri-
ske polynomier (se [5], s. 64).
Normat 2/2013 Aksel Bertelsen 79
Tredjegradsligningen har formen
(1) x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
=0.
Som for andengradsligningen kan der opstilles Viète-relationer, og de bliver:
a
2
= x
1
+ x
2
+ x
3
a
1
= x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
a
0
= x
1
x
2
x
3
Det er muligt at supplere de tre ligninger med nogle ligninger, hvor der indgår ikke-
symmetriske polynomier i rødderne, således at man får et ligningssystem, der kan løses
algebraisk. Som det første af disse ikke-symmetriske polynomier kan man tage
f(x)=(x
1
x
2
)(x
1
x
3
)(x
2
x
3
),
hvor x =(x
1
,x
2
,x
3
). Polynomiet f(x)
2
er symmetrisk i rødderne, og det kan derfor ud-
trykkes som et polynomium F i a
0
, a
1
og a
2
, d.v.s. f(x)=
p
F . Dernæst kan man finde
to ikke-symmetriske førstegradspolynomier, g(x) og h(x), således at g(x)
3
og h(x)
3
er
polynomier, G og H,ia
0
, a
1
, a
2
og
p
F . Ligningssystemet bestående af g(x)=
3
p
G,
h(x)=
3
p
H og den øverste Viète-relation kan løses, da der er tre lineære ligninger med
tre ubekendte. Udregningerne er ret omstændelige og overspringes her, men i [5] kan man
læse en mere detaljeret fremstilling. Når formlen for tredjegradsligningen udledes på den-
ne måde bliver det tydeligt, at alle roduddragninger i den endelige formel kan udtrykkes
som polynomier i rødderne.
Den traditionelle udledning af formlen for tredjegradsligningen, altså den udledning,
der kan spores tilbage til Cardano (1501-1576), er langt enklere end den ovenfor skitsere-
de, og jeg gengiver den her. Erstattes x med t
a
2
3
får (1) formen
(2) t
3
+ pt + q =0.
Vi kan sammenligne denne ligning med følgende udgave af binomialformlen for (u + v)
3
(u + v)
3
3uv(u + v) (u
3
+ v
3
)=0.
Hvis det er muligt at vælge u og v sådan at
(3) p = 3uv
q = (u
3
+ v
3
)
så er t = u + v løsning til (2). Da
u
3
v
3
=
p
3
27
u
3
+ v
3
= q
80 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
har vi to ligninger, der svarer til Viète-relationerne for andengradsligningen, og u
3
og v
3
vil derfor være løsningerne til andengradsligningen
z
2
+ qz
p
3
27
=0.
Ved at løse denne ligning får man u
3
og v
3
. Vi vælger så u og v som tilfredsstiller (3) og
får t = u + v. Det giver formlen
t
1
=
3
s
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
+
3
s
q
2
r
q
2
4
+
p
3
27
,
En løsning til den oprindelige ligning (1) fås som x
1
= t
1
a
2
3
. Det bemærkes, at det
inderste rodtegn er en kvadratrod, og det næstinderste en kubikrod.
Fjerdegradsligningen har man kunnet løse lige siden, man fandt formlen for tredje-
gradsligningen, men det var først Euler (1707-1783), der viste, hvor meget system, der er
i formlerne for ligningerne af grad til og med fire. Han viste, jvf. [1], at løsningerne til
fjerdegradsligningen uden tredjegradsled kan skrives på formen
x
1
=
4
p
A +
4
p
B +
4
p
C,
hvor A, B og C er løsningerne til en tredjegradsligning, der kan opstilles ved brug af
koefficienterne i den oprindelige ligning. Det inderste rodtegn bliver altså også her en kva-
dratrod, og det næstinderste en kubikrod. Alle roduddragningerne giver ikke-symmetriske
polynomier i rødderne x
1
, x
2
, x
3
og x
4
.
Femtegradsligningen
At der er system i formlerne til og med fjerde grad, styrkede i løbet af 1700-tallet troen
på, at man kunne finde lignende formler for femtegradsligningen, og Ruffinis påstand i
1799 om, at det modsatte var tilfældet blev mødt med stor skepsis af de fleste af dem, der
overhovedet bemærkede hans arbejde.
Det følgende giver nogle af hovedlinjerne i Ruffinis bevis fra 1799. Femtegradslignin-
gen skrives på formen
x
5
+ a
4
x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
=0.
Beviset er indirekte, så det antages, at der findes en algebraisk formel. Ruffini går ud fra, at
alle roduddragninger i denne formel kan udtrykkes som polynomier i rødderne x
1
, ··· ,x
5
,
og det er denne antagelse, som Abel senere beviser rigtigheden af.
Ruffini viser ved udelukkelsesmetoden, at det inderste rodtegn må være en kvadratrod,
altså ved at vise, at det hverken kan være en kubikrod eller nogen anden højere rod. Vi ser
først på beviset for, at det ikke kan være en kubikrod. Sæt igen x =(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
) og
antag, at f(x) er et ikke-symmetrisk polynomium, så
f(x)
3
= Q(x),
Normat 2/2013 Aksel Bertelsen 81
hvor Q(x) er et polynomium i koefficienterne a
0
, ··· ,a
4
; specielt er Q(x) altså et sym-
metrisk polynomium. Vi vil vise, at f (x) må antage tre forskellige værdier ved permuta-
tioner af de variable. At f (x) ikke er symmetrisk, betyder, at der findes en permutation p
af rødderne x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
, så f(p(x)) 6= f(x). Samtidigt gælder at
f(p(x))
3
= f(x)
3
idet man i f (x)
3
= Q(x) kan erstatte x med p( x ) og udnytte, at Q(x) er symmetrisk, så
Q(p(x)) er lig Q(x), og dermed lig f(x)
3
. Af f(p(x))
3
= f(x)
3
følger, at
⇣
f(p(x))
f(x)
⌘
3
=1.
En løsning forskellig fra 1 til ligningen y
3
=1er et af tallene
1
2
± i
p
3
2
, så
f(p(x))
f(x)
= ,
hvor er en af de nævnte løsninger til y
3
=1. Der gælder altså, at
f(p(x)) = f (x).
Erstattes x med p(x) får man så
f(p
2
(x)) = f (p(x)) =
2
f(x).
Tilsvarende gælder for enhver permutation p, for hvilken f(p(x)) 6= f(x), og vi har der-
med fundet, at f (x) antager de tre værdier f (x), f(x) og
2
f(x) ved permutation af
rødderne. Ifølge Ruffinis permutations-sætning eksisterer et sådant polynomium ikke.
Ruffinis metoder til at vise, at det inderste rodtegn ikke kan være en femterod, er også
interessant, men for at følge den overordnede tråd gemmes disse metoder til næste afsnit.
Det inderste rodtegn er altså en kvadratrod af formen
p
Q, hvor Q er et polynomium i
koefficienterne a
0
, ··· ,a
4
. Ruffini antager som nævnt, at der til en sådan roduddragning
findes et ikke-symmetrisk polynomium g(x), så g(x)
2
= Q(x). Som ovenfor følger, at
g(x) antager to værdier ved alle permutationer af rødderne, og som i beviset for ikosaeder-
sætningen ses, at g(p(x)) = g(x) for alle 3-og 5-cykler, d.v.s. for alle p i A
5
.
Det næstinderste rodtegn kunne så tænkes at være en kubikrod af formen
3
p
P +
p
Q,
hvor P er et polynomium i koefficienterne a
0
, ··· ,a
4
, og der skulle så eksistere et ikke-
symmetrisk polynomium f (x), så f(x)
3
= P +
p
Q. Som i det foregående ses, at f(x) så
må antage tre værdier ved alle permutationer i A
5
af rødderne. Ifølge Lagranges sætning
ville det imidlertid give en symmetrigruppe G
f
i A
5
med 20 permutationer, og en sådan
eksisterer ikke (da ' =3er udelukket ifølge ikosaeder-sætningen). Det næstinderste rod-
tegn kunne tænkes at være en kubikrod, hvor kvadratrødder indgår på andre måder, og
disse tilfælde kan klares på tilsvarende måde.
Ruffini argumenterer også for, at det næstinderste rodtegn ikke kan være hverken en
kvadratrod eller en rod af højere orden end tre, og der eksisterer altså ikke et næstinderste
rodtegn. Der kan altså ikke eksistere en algebraisk formel for femtegradsligningen.
Man kan med en vis ret sige, at kernen i beviset er, at der ikke er en symmetrigruppe
på 20 i A
5
, idet det er dette, der udelukker, at de inderste rodtegn har formen
3
p
P +
p
Q,
som i formlerne for både tredje- og fjerdegradsligningen.
82 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
Den inderste rod kan ikke være en femterod
Ruffini viser, at den inderste rod ikke kan være en femterod, igen ved et indirekte bevis. At
den inderste rod er en femterod betyder, at der findes et ikke-symmetrisk polynoium f(x),
så f ( x )
5
er symmetrisk. Ved at gå frem som i tilfældet med en tredjerod som inderste ses,
at der findes en permutation q, så f(x) 6= f(q(x)), og så
f(x)
5
= f(q(x))
5
.
Heraf følger, at der findes et tal ↵, hvor ↵
5
=1og ↵ 6=1, så f(q(x)) = ↵f(x) for alle x.
Ved gentagen indsættelse af q(x) som x ses, at der for ethvert naturligt tal m gælder, at
(4) f(q
m
(x)) = ↵
m
f(x).
Ruffini skriver, at det er klart, at q må være en 5-cykel, ([4],§277). Påstanden kan da også
let eftervises på følgende måde. Hvis m=ord(q), får man, at f (x)=↵
ord(q)
f(x), da
q
m
= e. Altså er ↵
ord(q)
=1, men samtidigt er ↵
5
=1, og da 5 er primtal, må 5 gå op i
ord(q). Vi ved, at ordenen af en permutation i S
5
højst kan være 6, så ord(q)=5, og q er
altså 5-cykel.
Symmetrigruppen G
f
vil vi nu betegne H. Den må bestå af 24 permutationer, og må
altså specielt indeholde en permutation p, hvor p 6= e, så f( p( x)) = f(x). Vi ved, at q
ikke er med i H, og vi kan derfor komme frem til en modstrid ved at vise, at q må tilhøre
H, hvis der eksisterer en permutation p med de nævnte egenskaber.
Indsættes p(x) som x i (4) får man
f(q
m
p(x)) = ↵
m
f(p(x)) = ↵
m
f(x)=f(q
m
(x)),
og indsættes heri q
m
(x) istedet for x, får man for m 2 {0, 1, 2, 3, 4}, at
(5) f(q
m
pq
m
(x)) = f(x).
Denne sammenhæng viser Ruffini også i §277. Vi har altså, at q
m
pq
m
tilhører H for
m 2 {0, 1, 2, 3, 4}.
Ruffini kan ved hjælp af ovenstående egenskab vise, at q så også må tilhøre H. Det
gør han ([4],§273) ved hjælp af en sætning, der med nutidens matematiske sprog kan
formuleres således:
Sætning R273. Lad q være en 5-cykel i S
5
, og lad H være en undergruppe i S
5
, der
indeholder en egentlig permutation p (altså p 6= e), og som også indeholder q
m
pq
m
for
m 2 {1, 2, 3, 4}. Da indeholder H også q.
Vi ser først på Ruffinis bevis for sætning R273. Han efterviser, at sætningen gælder for
de mulige typer af p. Hver type repræsenteres ved en konkret permutation, som han kan
regne på. Som eksempel ser vi på et tilfælde, hvor p er en transposition, og vi bruger
betegnelserne
q :
✓
12345
51234
◆
p
12
:
✓
12345
21345
◆
Ruffini viser, at q
4
pq
4
er lig med den permutation p
23
, der ombytter 2 og 3, at q
3
pq
3
er
lig med den permutation p
34
, der ombytter 3 og 4, og at q
2
pq
2
er lig med den permutation
Normat 2/2013 Aksel Bertelsen 83
p
45
, der ombytter 4 og 5. Permutationerne p
12
,p
23
,p
34
og p
45
tilhører altså H. Ruffini
viser så, at p
45
p
34
p
23
p
12
= q, således at q også ligger i H.
Han gør tilsvarende, når p er p
13
, og har dermed dækket alle muligheder for hvordan
transpositionen kan ligge i forhold til q. Han gennemfører lignende udregninger for de
øvrige typer af permutationer, og har dermed vist sætningen.
Ved brug af mere generelle egenskaber ved grupper kan sætningen bevises noget kortere
således: Lad r være en vilkårlig permutation af formen q
m
, hvor m 2 {1, 2, 3, 4}. Da
q
5
= e, og r
n
= q
nm
, vil der gælde, at r
5
= e, og at r
n
vil være en permutation af formen
q
m
, hvor m 2 {1, 2, 3, 4}, når n 2 {1, 2, 3, 4}. Permutationerne r
n
pr
n
vil derfor tilhøre
H ifølge forudsætningerne i sætningen. Da r
4
= r gælder, at
(rpr
1
)(r
2
pr
2
)(r
3
pr
3
)(r
4
pr
4
)p =(rp)
5
,
og (rp)
5
ligger derfor også i H.
Det betyder, at hvis bare én af de fire permutationer qp, q
2
p, q
3
p og q
4
p ikke er en 5-
cykel, så ligger den pågældende q
m
p i H. Permutationen q
m
p vil nemlig så have en orden,
der er primisk med 5, samtidigt med at (q
m
p)
5
ligger i H, og vi kan derfor bruge Bézout’s
sætning som på side 77.
At mindst én af de fire permutationer qp, q
2
p, q
3
p, q
4
p ikke er en 5-cykel, kan vises på
følgende måde: Permutationen p ændrer mindst én plads, da den ikke er e; lad os sige, at
p(i)=j, hvor i 6= j. De fire værdier q(j), q
2
(j) , q
3
(j) , q
4
(j) vil være forskellige, og ikke
lig j, da q er 5-cykel. Så mindst én af dem er i. Lad os sige at q
2
(j)=i. Da vil q
2
p(i)=i,
så denne permutation er ikke en 5-cykel.
Vi har altså en permutation af formen q
m
p, m 2 {1, 2, 3, 4}, der tilhører H, og dermed
også at q
m
tilhører H, da q
m
= q
m
pp
1
. Til hvert m 2 {1, 2, 3, 4} kan man finde et
naturligt tal k, så (q
m
)
k
= q (som k kan bruges henholdsvis 1, 3, 2 og 4), og q vil altså
også tilhøre H. (Tak til Anders Thorup for en idé, der forenklede beviset).
Når man ser Ruffinis omfattende bevis, kan man undre sig over, hvordan Ruffini overho-
vedet har fundet frem til, at der må gælde et resultat som sætning R273, men det kan vel
være sket under de mange lignende beregninger i forbindelse med sætning R271.
Det skal bemærkes, at beviset for, at den inderste rod må være en kvadratrod, kan for-
enkles betydeligt, som vist f.eks. i [5], hvor der benyttes argumenter i stil med Ruffinis i
hans senere arbejder.
Ruffinis egne formuleringer
Permutationer er i det foregående blevet beskrevet ved brug af matematiske betegnelser,
der er kommet til efter Ruffini. Det kan derfor være interessant at se et konkret eksempel
på, hvordan Ruffini rent faktisk formulerer sig, bl.a. for at se hvordan indførelse af nye
begreber og skrivemåder kan forenkle de matematiske beskrivelser.
Som eksempel bruges et lille afsnit fra § 273, hvor Ruffini skriver det, der øverst på
denne side er formuleret således: "Permutationerne p
12
,p
23
,p
34
og p
45
tilhører altså H.
Ruffini viser så, at p
45
p
34
p
23
p
12
= q, således at q også ligger i H."
Ruffini benytter i mange af sine beregninger med permutationer en tabel, der som ud-
gangspunkt har et et udtryk af formen f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
), og som indeholder alle de 120
mulige udtryk man får ved at permutere de variable.
86 Aksel Bertelsen Normat 2/2013
Det abstrakte gruppebegreb kan introduceres, og man kan eftervise, at symmetrigrup-
perne virkelig er grupper ifølge denne definition. Det vil være naturligt, at inddrage isome-
trier, altså afbildninger, for hvilke afstanden mellem to vilkårlige punkter er den samme
som afstanden mellem de tilhørende billedpunkter. Herunder hører spejlinger og drejnin-
ger. Samtlige isometrier, der afbilder en given punktmængde på sig selv, udgør en gruppe,
og man kan vise, at enhver endelig delmængde i sig selv er en gruppe, bare den er stabil.
Den indledende gruppeteori var i en periode en lille del af det faste pensum i gymnasiet,
uden den store succes. En af grundene til den manglende succes var nok, at man sjældent
nåede frem til at vise, hvordan gruppeteorien kunne bruges til at løse matematiske proble-
mer. Man kan reparere på dette ved at inddrage problemer, som historisk var med til at
skabe gruppeteorien, som vist i denne artikel.
Stoffet i denne artikel kan også suppleres med mere teori om permutationer, f.eks. ved
at inddrage materiale fra [5]. Det drejer sig om, hvordan permutationer kan sammensættes
af transpositioner og af disjunkte cykler, herunder definition på lige og ulige permutationer.
Man kan også se på konkrete opgaver som at finde symmetrigrupper for givne polynomier,
som f.eks. x
1
x
2
+ x
3
x
4
eller f
6
fra side 68.
Endelig kan suppleres med at se på geometri i rum af dimension over tre. Man kan
lave en gruppe af afbildninger, der svarer til S
5
, og som også er symmetrigruppe for en
punktmængde på følgende måde. I et 5-dimensionalt koordinatsystem betragtes de fem
punkter P
1
=(1, 0, 0, 0, 0), P
2
=(0, 1, 0, 0, 0), ···, P
5
=(0, 0, 0, 0, 1). De er hjørner
i et såkaldt 4-simplex, som ligger i et fire-dimensionalt rum med ligningen
P
x
i
=1.
Spejlinger i en hyperplan x
i
= x
j
bytter om på P
i
og P
j
, men bevarer de øvrige hjørner.
Man får en symmetrigruppe, der kan identificeres med S
5
, og man kan så definere farvede
figurer, og se på muligheden af ' lig 2, 3 osv.
En sådan fire-dimensional repræsentation af S
5
har jo imidlertid den store pædagogi-
ske ulempe, at den ikke kan visualiseres ligesom repræsentationen af A
5
i forbindelse med
ikosaederet. At man ikke på nogen måde kan repræsentere S
5
som en gruppe af geometri-
ske afbildninger i et tre-dimensionalt rum, er en følge af, at der ikke findes en irreducibel
tre-dimensional repræsentation af S
5
, hvilket er et fundamentalt resultat i repræsentations-
teorien.
Litteratur
[1] Bell, J., 2008. A conjecture on the forms of the roots of equations.
arXiv:0806.1927v1 [math.HO]. (En engelsk oversættelse af Euler’s De formis
radicum aequationum cuiusque ordinis coniectatio).
[2] Katz, Victor J., 1998. A History of Mathematics, Addison-Wesley, USA.
[3] Neumann, Peter, M., Stoy, Gabrielle, A. and Thomson, Edward, C., 1994. Groups
and Geometry, Oxford University Press, Oxford.
[4] Ruffini, P., 1799. Teoria generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la
soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto,iOpere
Matematiche di Paolo Ruffini, vol 1, 1915, Bortolotti (ed.), Palermo.
[5] Skau, C., 1990. Gjensyn med Abels og Ruffinis bevis for umuligheten av å løse den
generelle n’tegradsligningen algebraisk når n 5. Normat, 38(2):53-84.
